Aufgaben zur Klausurvorbereitung

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1 Universität des Saarlandes Fakultät 7 Physik und Mechatronik Prof. Dr. L. Santen Fachrichtung 7.1 Theoretische Physik Mail: p.hudalla@lusi.uni-sb.de Web: Saarbrücken, den Aufgaben zur Klausurvorbereitung Theoretische Physik I, SS2012 Zur Erinnerung: Die Hauptklausur findet am Freitag, den von 12-15:30 Uhr im großen Hörsaal des Gebäudes C4 3 (Chemie) statt. Vergessen Sie nicht, dass Sie sich im Vorfeld unter für die Teilnahme an der Klausur anmelden müssen! Die gestellten Aufgaben sollen lediglich Art und Umfang möglicher Klausuraufgaben veranschaulichen. Die Auswahl der hier behandelten Themengebiete ist für die tatsächliche Klausur nur in geringem Maß repräsentativ! Aufgabe 1 Massenpunkte auf konzentrischen Ringen [11 (3+3+5) Punkte] Zwei Punkte mit Masse m können sich reibungsfrei auf zwei konzentrischen Ringen mit den Radien r und R, wobei r < R, bewegen. Die beiden Massenpunkte sind durch eine masselose Stange der Länge L verbunden und unterliegen der Erdbeschleunigung g = ge y. Abbildung 1: Zwei Massenpunkte auf konzentrischen Ringen. a) Stellen Sie alle Zwangsbedingungen sowie die Lagrange-Funktion in kartesischen Koordinaten auf. b) Geben Sie die Lagrange-Gleichungen 1. Art an. c) Leiten Sie aus den Lagrange-Gleichungen her, dass für die Gleichgewichtslage des Systems x 1 + x 2 = 0 eine allgemeine Lösung ist. Welche Bedingungen ergeben sich durch die Forderung einer Gleichgewichtslage?

2 Aufgabe 2 Bewegung auf Paraboloid [17 ( ) Punkte] Ein Teilchen der Masse m bewegt sich unter dem Einfluss der Schwerkraft reibungsfrei auf einem Paraboloid (x 2 + y 2 = az). a) Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion zunächst in Zylinderkoordinaten (ϱ, ϕ, z) und dann in verallgemeinerten Koordinaten. b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für das Teilchen auf! c) Welche Bedingungen müssen für die generalisierten Koordinaten erfüllt sein, damit das Teilchen eine Kreisbahn in der Ebene z = h durchläuft? Berechnen Sie die Zeit für einen Umlauf! d) Wie groß ist die Periode, wenn das Teilchen in der Vertikalebene x = 0 bis zu einer Maximalhöhe z = h schwingt? Berechnen Sie die Periode für die Grenzfälle h/a 1 und h/a 1! Hinweis: Verwenden Sie die Energieerhaltung! Zur Erinnerung: Es gilt 1 dx = arcsin x 1 x 2 Aufgabe 3 Eichinvarianz der Lagrangefunktion [5 Punkte] Sei f(q, t) eine beliebige Funktion der Koordinaten und der Zeit. Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen unter der Transformation der Lagrange-Funktion L(q, q, t) L (q, q, t) = L(q, q, t) + d f(q, t) dt invariant sind, indem Sie die Variation der Wirkung betrachten. Aufgabe 4 Erhaltungsgrößen [6 (1+3+2) Punkte] a) Sei f eine differenzierbare, homogene Funktion vom Grad n, d.h. es gilt: f(αx) = α n f(x) α R + Zeigen Sie: xf (x) = nf(x)

3 3. Gefederter Stab [8 Punkte] b) Sei L die Lagrangefunktion Sie, dass sein eines Trägheitsmoment abgeschlossenen bezüglich Systems. des Schwerpunkts Die generalisierten (SP) für Rotationen Koordinaten werden mit um eine senkrecht zum Stab stehende Achse durch I = q i bezeichnet. Zeigen Sie, dass die Größe 1 3 ml2 gegeben ist. eine Erhaltungsgröße ist. a) [1 Punkt] Ein sehr dünner homogener Stab habe Masse m und Länge 2l. Zeigen Die Enden E1 und E2 des Stabes seien nun E = mit zwei massenlosen Federn verbunden, die beide, senkrecht stehend, im Abstand 2l voneinander L am Boden befestigt sind (siehe Abb. 1). Die Federn haben gleiche Längen L 1 = q L i L 2 = q L l und unterschiedliche Federkostanten k 1 und k 2. Die z-koordinaten von E1 bzw. E2 seien z 1 und z 2. Deren Nullpunkte i i seien so gewählt, dass z 1 = z 2 = 0 die horizontale Gleichgewichtslage beschreibt (nach Berücksichtigung der Schwerkraft, die im Folgenden ignoriert werden darf). Wir wollen nun kleine Schwingungen des Stabes in die ẑ-richtung betrachten (d.h. z 1, z 2 l) und c) Zeigen Sie, dass vernachlässigen die Größejegliche E in Auslenkungen diesem Fall von (d.h. E1 und füre2 ein Richtungen abgeschlossenes parallel zumsystem) Boden. die Gesamtenergie des Systems darstellt, Die potenzielle d.h. Energie hat dann näherungsweise folgende Form: E = T + U Aufgabe 5 Gefederter Stab [10 ( ) Punkte] V (z 1,z 2 )= 1 2 k 1z k 2z 2 2. (1) Zur Beschreibung der Schwingungen empfiehlt es sich, die Auslenkung z des Schwerpunkts (SP) und den Kippwinkel θ des Stabes als verallgemeinerte Koordinaten zu benutzen, mit Wir betrachten einen unendlich dünnen homogenen Stab der Masse m und Länge 2l. z 1 = z + l sin θ, z 2 = z l sin θ. E1 2l SP z 1 z E2 θ z 2 k 1 L k 2 fester Boden 2l Abbildung 1: Gefederter Stab (nicht maßstabsgerecht gezeichnet, da z 1,z 2 l L). Abbildung 2: Gefederter Stab. a) Zeigen Sie, dass sein Trägheitsmoment bezüglich des Schwerpunkts (SP) für Rotationen um eine senkrecht zum Stab stehende Achse durch I = 1 3 ml2 gegeben ist. Hinweis: Da der Stab unendlich dünn ist, reicht es aus, die Integration über x auszuführen, wobei ˆx die Richtung der Symmetrieachse ist. Die Enden E1 und E2 des Stabes seien nun mit zwei massenlosen Federn verbunden, die beide, senkrecht stehend, im Abstand 2l voneinander am Boden befestigt sind (siehe Abbildung 2). Die Federn haben gleiche Längen L 1 = L 2 = L l und unterschiedliche Federkonstanten k 1 und k 2. Die z-koordinaten von E1 bzw. E2 seien z 1 und z 2. Deren Nullpunkte seien so gewählt, dass z 1 = z 2 = 0 die horizontale Gleichgewichtslage beschreibt (nach Berücksichtigung der Schwerkraft, die im Folgenden ignoriert werden darf). Wir wollen nun kleine Schwingungen des Stabes in die ẑ-richtung betrachten (d.h. z 1, z 2 l) und vernachlässigen jegliche Auslenkungen von E1 und E2 in Richtungen parallel zum Boden. Die potentielle Energie hat dann näherungsweise folgende Form: V (z 1, z 2 ) = 1 2 k 1z k 2z 2 2. (1) Als verallgemeinerte Koordinaten sollen im Folgenden die Auslenkung z des Schwerpunkts (SP) und der Kippwinkel θ des Stabes benutzt werden, sodass: z 1 = z + l sin θ, z 2 = z l sin θ. (2) b) Geben Sie die potenzielle Energie V (z, θ) als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten an und entwickeln Sie anschließend diese unter der Annahme θ 1, also sin θ θ ist.

4 c) Geben Sie die kinetische Energie des Stabs T (ż, θ) als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten an. Hinweis: Betrachten Sie Schwerpunkts- und Rotationsbewegung getrennt voneinander. d) Stellen Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen für z(t) und θ(t) auf. Zeigen Sie, dass diese in die Form ( ) ( ) ( ) ( ) m 0 K kl z z θ m + = 0 (3) k/l K θ gebracht werden können. Bestimmen Sie die Konstanten K und k. Aufgabe 6 Gekoppelte Schwingungen [10 (5+3+2) Punkte] a) Wie lautet das charakteristische Polynom zum System aus Aufgabe 2? Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen der Schwingung aus Gleichung (3)? b) Betrachten Sie den Fall k = 0. Geben Sie die Eigenfrequenzen und Eigenmoden an. c) Skizzieren Sie die Bewegung der zwei Endpunkte des Stabs (siehe Abbildung 2) als Funktion der Zeit für jede der beiden in Aufgabenteil b) bestimmten Eigenmoden. Aufgabe 7 Gekoppelte Pendel [17 ( ) Punkte] Wir betrachten zwei mathematische Pendel gleicher Masse m und Fadenlänge l, die durch eine Feder mit Federkonstante D miteinander verbunden sind. Der Abstand zwischen den Aufhängepunkten der Pendel sei viel größer als die Pendellänge l, sodass vertikale Bewegungen der Feder vernachlässigt werden können. Die zwei Winkel ϕ 1 und ϕ 2 werden als verallgemeinerte Koordinaten des Systems gewählt. Die Gleichgewichtslage ist durch ϕ 1 = ϕ 2 = 0 gegeben. a) Geben Sie die Lagrange-Funktion des Systems in den Koordinaten (ϕ 1, ϕ 2 ) an! Stellen Sie Lagrangegleichungen auf und bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen des Systems für die beiden Koordinaten! b) Im Fall kleiner Auslenkungen ϕ i 1 können die Bewegungsgleichungen linearisiert werden. Geben Sie die linearisierten Gleichungen an und zeigen, dass der Ansatz ϕ i (t) = A i e iωt auf ein Eigenwertproblem der Form ( ω 2 + ω0 2 + κ2 κ 2 ) ( ) A1 κ 2 ω 2 + ω0 2 + = 0 κ2 führt. Geben Sie ω 0 und κ an! A 2

5 c) Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen und Eigenmoden des Systems! Beachten Sie, dass dieser Aufgabenteil unabhängig gelöst werden kann! d) Geben Sie die allgemeine Lösung des Problems an! e) Bestimmen Sie die Lösung für die Anfangsbedingungen ϕ 1 (0) = ϕ 0 ; ϕ 2 (0) = 0; ϕ 1 (0) = ϕ 2 = 0 Aufgabe 8 Wellengleichung [10 ( ) Punkte] Die Schwingung einer Saite der Länge L wird durch die Wellengleichung beschrieben. 2 u(x, t) t 2 = c 2 2 u(x, t) x 2 (4) e) Welche Form haben die beiden aus der Vorlesung bekannten allgemeinen Lösungen für u(x, t)? Interpretieren Sie die Form der Lösungen physikalisch. Die Saite sei an ihren Enden fest eingespannt und werde zum Zeitpunkt t = 0 in ihrer Ruhelage so angeschlagen, dass sie zwischen L a 2 und L+a 2 die anfängliche Geschwindigkeit v 0 habe. f) Formulieren Sie die Anfangsbedingungen u(x, 0) und u(x, 0). Worin drückt sich die Tatsache aus, dass die Saite bei x = 0 und x = L eingespannt ist? Wir betrachten nun den Ansatz u(x, t) = C n sin(k n x) sin(ω n t). (5) n=1 g) Leiten Sie den Ausdruck für k n und ω n her. h) Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten C n. Hinweis: Das Addtionstheorem cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x)sin(y) hilft bei der Vereinfachung. a n = 2 T b n = 2 T t0 +T t 0 f(t) cos(ω n t) dt (6) t0 +T t 0 f(t) sin(ω n t) dt (7) Aufgabe 9 Erzeugende einer kanonischen Transformation [11 ( ) Punkte] Gegeben seien die Hamilton-Funktion eines Systems ( ) p1 p 2 2 H = + p 2 + (q 1 + q 2 ) 2 (8) 2q 1 und die Erzeugende einer kanonischen Transformation F 2 (q 1, q 2, P 1, P 2 ) = q1p (q 1 + q 2 )P (q 1 + q 2 ) 3. (9)

6 a) Bestimmen Sie die Transformationsvorschriften Q i = Q i (q 1, q 2, p 1, p 2 ) und P i = P i (q 1, q 2, p 1, p 2 ) unter Verwendung der Bestimmungsgleichungen p i = F 2 q i und Q i = F 2 P i. b) Bestimmen Sie die neue Hamilton-Funktion H(Q 1, Q 2, P 1, P 2 ). Warum ist es sinnvoller, das Problem mit den transformierten Variablen zu lösen? c) Geben Sie die allgemeine Lösung für Q i (t) und P i (t) an. d) Berechnen Sie die Bahnkurve Q i (t) und P i (t) für die Anfangsbedingung Q 1 (0) = 1, Q 2 (0) = 0, P 1 (0) = 2, P 2 (0) = 0. e) Zeichnen Sie die Trajektorie in einem Q 1 -Q 2 -Diagramm. Markieren Sie die Punkte, die zu t = 0, t = 1 und t = 2 gehören. Aufgabe 10 Teilchen im homogenen, zeitlich veränderlichen Feld [4 Punkte] Ein Teilchen der Masse m bewegt sich in einem homogenen, zeitlich veränderlichen Potential V (q, t) = Aqt. Geben Sie die Erzeugende S an, sodass H = H(q, p = S S q, t) + t = 0. Aufgabe 11 Hamilton-Funktion und kanonische Transformationen [15 ( ) Punkte] Ein Teilchen der Masse m bewege sich im Potential U(q) = m 2 ω2 q 2. a) Geben Sie die Lagrange-Funktion des Systems an! b) Berechnen Sie mittles Legendre-Transformation die zugehörige Hamilton-Funktion! Betrachten Sie nun die Transformation Q = c(p + imωq) und P = c(p imωq). c) Bestimmen Sie die Konstante c so, dass die Transformation kanonisch ist! d) Bestimmen Sie die Erzeugende F(q,Q) der Transformation! e) Berechnen Sie die die Hamilton-Funktion in den neuen Koordinaten und stellen Sie die kanonischen Gleichungen für P und Q auf! Aufgabe 12 Interpretation der Dissipationsfunktion [4 Punkte] Gegeben sei ein dissipatives mechanisches System mit der Lagrange-Funktion L(q 1,..., q f, q 1,..., q f ) in den generalisierten Koordinaten q 1,..., q f. Die Reibungskräfte lassen sich als Geschwindigkeitsableitungen der Dissipationsfunktion P ( q 1..., q f ) schreiben. P sei dabei homogen vom Grade n. Zeigen Sie, dass sich für die Zeitableitung der Hamilton-Funktion folgender Ausdruck ergibt dh dt = n P. (10) Hinweis: Beachten Sie, dass die Lagrange-Gleichungen bei Dissipation einen weiteren Term beinhalten und nutzen Sie die Legendre-Transformation.

7 Aufgabe 13 Rollender Kreiskegel [21 ( ) Punkte] Gegeben sei ein homogener Kreiskegel mit Masse M, Grundradius R und Höhe h. (Öffnungswinkel α mit tan α = R h ) a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes! b) Wie liegen die Hauptträgheitsachsen des Körpers (keine Rechnung, Symmetrieüberlegung)? Berechnen Sie die Hauptträgheitsmomente im Schwerpunktssystem! Der Zylinder rollt nun auf der x-y-ebene. Die momentane Drehachse werde mit Ω bezeichnet, der Winkel zwischen Ω und der x-achse mit ϕ. c) Drücken Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit V durch ϕ aus! d) Wie lautet der Zusammenhang zwischen ϕ und der Drehrate Ω des Kegels (Rollbedingung)? e) Zerlegen Sie Ω entlang der durch den Schwerpunkt laufenden Hauptachsen! Geben Sie die Rotationsenergie an! f) Wie groß ist die gesamte kinetische Energie?