Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion n k 3 = n2 (n+1) 2 b) Es seien a und p gegebene feste positive Zahlen, p 1 und K 1 = a, K n+1 := p K n + a, n N. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass folgende Formel gilt: Lösungsskizze zur Aufgabe 1: K n = a n, n N., n N. a) n k 3 = n2 (n+1) 2, n N. Induktionsanfang: Für n = 1 ist die Behauptung wahr, denn es gilt 1 k 3 = 1 3 = 12 (1+1) 2. Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebiges festes N N mit N 1 gelte Induktionsschritt: zu zeigen Beweis: k 3 = (N +1) 3 + N k 3 N k 3 = (N +1)2 (N +2) 2 k 3 = N2 (N +1) 2. Zerlegung in alten und neuen Term = (N +1) 3 + N2 (N +1) 2 Einsetzen der Induktionsvoraussetzung (N +1)2 = ((N +1)+N 2) Umformen in Richtung der Behauptung (N +1)2 = (N +2) 2.. (3 Punkte).

2 Analysis I, M. Hinze/P. Kiani, WiSe 2015/16, Blatt 2 - Lösungen 2 b) Gegeben: K 1 = a, K n+1 := p K n + a. Zu zeigen K n = a n. Induktionsanfang: Für n = 1 lautet die Behauptung Diese ist wahr. K 1 = a 1 = a. Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass die Aussage für ein festes, beliebiges N N bewiesen sei. Für dieses N gilt also K N = a N. Induktionsschritt: Zu zeigen ist, dass Behauptung dann auch für N + 1 gilt, also ( ) K = a. ) K := p K N + a = p (a N + a (Induktionsvoraussetzung eingesetzt) Der Rest ist elementares Rechnen: ) K = (a p p + a ( ) ( p p = a + = a ).

3 Analysis I, M. Hinze/P. Kiani, WiSe 2015/16, Blatt 2 - Lösungen 3 Aufgabe 2: (10 Punkte) Eine Person legt am Anfang jedes Jahres a Euro auf einem Sparkonto an. Er hat sich auf jährliche Verzinsung eingelassen und erhält jeweils am Ende des Jahres zwei Prozent Zinsen. Am Anfang des ersten Jahres hat er also K 1 = a Euro und am Anfang des zweiten Jahres (nach der Einzahlung) K 2 = a(1+0.02)+a Euro auf seinem Sparkonto. a) Welches Guthaben weist das Sparkonto am Anfang des dritten bzw. vierten Jahres nach der jeweiligen Einzahlung auf? Tipp: Multiplizieren Sie die Potenzen von 1.02 nicht aus, sondern lassen Sie diese als 1.02 k stehen. b) Es sei a = 500. GebenSie eine Formelfür das GuthabenamAnfang des n tenjahres (nach der Einzahlung) an, die nur a als Variable enthält, nicht aber K n 1.? Tipp: Benutzen Sie Aufgabe 1b) oder die Formel der Vorlesung. n k=0 q k = 1 qn+1, q 1 aus 1 q c) Berechnen Sie K n für a = 500 und n = 20 (Taschenrechner oder Ähnliches). Lösung: a) Am Anfang des zweiten Jahres sind a(1+0.02)+a Euro auf dem Konto. Diese werden mit 2 % verzint. Kapital am Ende des zweiten Jahren: (a(1.02)+a) 1.02 = a ((1.02) 2 +(1.02)). Nach der Einzahlung von a Euro am Anfang des dritten Jahres hat man also das Kapital: K 3 = a ((1.02) 2 +(1.02) ) +a = a ((1.02) 2 +(1.02)+1 ) Am Ende des dritten Jahres wird K 3 mit 2% verzinst und am Anfang des vierten Jahres werden a Euro eingezahlt. Also hat man am Anfang des vierten Jahres: K = 1.02 K 3 +a = 1.02 a ((1.02) 2 +(1.02)+1 ) +a = a ((1.02) 3 +(1.02) 2 +(1.02) 1 +1 ) b) Das Guthaben am Anfang des n+1 ten Jahres ergibt sich aus der Formel: K n+1 := 1.02 K n Dies ist die Formel aus 1b) mit p = 1.02 und a = 500. Also erhalten wir K n =a ((1.02) n 1 + +(1.02) 2 +(1.02) 1 +(1.02) 0) =a n 1 k= k = a n. Formel aus der Vorlesung. (3 Punkte)

4 Analysis I, M. Hinze/P. Kiani, WiSe 2015/16, Blatt 2 - Lösungen c) Guthaben für a = 500 und n = 20 Man kann die Summe per Rechner ausrechnen, indem man tatsächlich jeden Summanden berechnet und aufsummiert oder die Formel aus Teil b) benutzt. Wer im Vorkurs Matlab gemacht hat, kann ein kleines Programm (ohne Anspruch auf besondere Effizienz) schreiben, zum Beispiel so: m-file mit Namen kapital.m function [kap] = kapital(k0,z,n) %jährliche Kapitalverzinsung, jährliche Einzahlung k0, % jährliche Verzinsung z, anfang des n-ten Jahres k=0:1:n-1; z1=z+1; p=z1.^k; kap=k0*sum(p); end Aufruf in Matlab: >> kapital(500,0.02,20) Ergebnis: ans = e+0 Berechnung mit der Formel aus b) >> Kapp=500*(1-(1.02)^(20))/(1-1.02) Kapp = e+0 Man hat also am Anfang des zwanzigsten Jahres ca. 1218,68 Euro.

5 Analysis I, M. Hinze/P. Kiani, WiSe 2015/16, Blatt 2 - Lösungen 5 Aufgabe 3: (7 Punkte) Sei n N und M n eine Menge mit n Elementen. Also zum Beispiel M n = {1,2,3,...,n}. Zeigen Sie, dass es n! Permutationen der Elemente von M n gibt. Lösungsskizze: Ohne Einschränkung der Allgemeinheit (o.e.d.a.) M n = {1,2,3,...,n}. Induktionsanfang: Für n = 1, M n = {1} gibt es nur 1 = 1! Permutationen. Die Behauptung ist also wahr. Annahme: Für eine beliebige, feste natürliche Zahl N gelte: Es gibt N! Permutationen von M N = {1,2,3,...,N}. Zu zeigen ist: Für die Elemente von M = {1,2,3,...,N +1} gibt es (N +1)! Permutationen. Beweis: Jede Permutation der Elemente von M enthält genau an einer Position das Element N +1. Entfernt man N +1, so bleibt jeweils eine Permutation i 1, i 2, i 3, i N der Elemente 1, 2, 3, N. (Idee: 1 Punkt) Hiervon gibt es nach Induktionsvoraussetzung N! Stück. Jede dieser N! Permutationen von 1, 2, 3, N wird zu einer Permutation von 1,2,3,...,, indem man an einer Stelle das Element N + 1 einfügt. Hierfür gibt es jeweils N + 1 Möglichkeiten: i 1, i 2, i 3, i N Insgesamt erhalten wir somit (N + 1)N! = (N + 1)! Permutationen der Elementen von M = {1,2,3,...,N +1}.

6 Analysis I, M. Hinze/P. Kiani, WiSe 2015/16, Blatt 2 - Lösungen 6 Aufgabe : (11 Punkte) a) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass jede natürliche Zahl n 2 eine Primfaktorzerlegung n = p r 1 1 prm m, r 1,,r m N, p 1,,p m Primzahlen besitzt. b) Zeigen Sie mit Hilfe von Teil a), dass die Gleichung x 2 3 = 0 keine rationale Lösung hat. Lösungsskizze: a) Vollständige Induktion mit Anfang bei n = 2 = 2 1. Induktionsannahme: Wir nehmen mit einem festen, beliebigen N N, N 2 an, dass alle Zahlen n N mit n N eine Primfaktorzerlegung besitzen. Induktionsschritt: Entweder ist () eine Primzahl, dann ist N +1 = (N +1) 1 und man ist fertig! Oder = m k mit 2 m,k <.DannsetztmandieInduktionsvoraussetzung ein, wonach m und k Primfaktorzerlegungen besitzen: k = p r 1 1 p r l l m = p r 1 1 p r l l Die Primfaktorzerlegung von N + 1 ergibt sich dann als: N +1 = p r 1 1 pr l l p r 1 1 p r l l und man muss nur noch die Terme mit gleichen Basen zusammenfassen. b) Annahme: es gibt eine rationale Zahl q = m, m,n Z mit teilerfremden ganzen n Zahlen m und n 0, welche die Gleichung löst. Dann gilt x 2 = 3 m2 n 2 = 3 m 2 = 3 n 2. Dann müsste 3 ein Teiler von m sein. Also m = 3k, k Z. Somit gelte 3k 3k = 3 n n 3k 2 = n n. Also müsste 3 auch ein Teiler von n sein. Dies steht aber im Widerspruch zur Annahme, dass m und n teilerfremd sind! Also war die Annahme falsch! ( Punkte)

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