Über den Vergleich des Zinsrisikos mit dem biometrischen Risiko bei Lebensversicherungsprodukten

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1 Über de Vergleih des isrisikos mit dem biometrishe Risiko bei ebesversiherugsprodukte Marko Helwih Fahbereih Mathematik Uiversität Rostok Eiführug i das Thema Die zetrale Fragestellug Das Modell Vortragsihalte Vorshläge zur Utersuhug des ufallsrisikos Risikomaßzahle Vorshläge zur Utersuhug des Äderugsrisikos Risikomaßzahle Köler Versiherugsmathematishes Kolloquium, 14. Jui 24 Eiführug i das Thema Die zetrale Fragestellug ur Modellierug eies allgemeie Versiherugsgeshehes gehört (vgl. Milbrodt ud Helbig [1999]) die Beshreibug des versiherte Risikos, der Versiherugszahluge (eistuge ud Prämie), der zeitlih koordiierte Bewertug der ahluge durh Verzisug. etraler Begriff: Barwert ˆ= Summe aller auf de Vertragsbegi diskotierte ahluge Barwerte vo Versiherugszahluge sid ufallsgröße versiherugstehishes Risiko (ebesversiherug: biometrishes Risiko), bei zufälliger Verzisug (Rehugsgrudlage 2. Ordug) isrisiko Voraussetzug: stohastishe Uabhägigkeit beider Risikokompoete Whih is more importat, iterest or mortalit? Norberg [21] (O bous ad bous progoses i life isurae) selbst dazu: Atuarial wisdom sas it is iterest. This is, of ourse, a empirial statemet based o the fat that, i the era of otemporar isurae, mortalit rates have bee smaller ad more stable tha iterest rates. Our model a add some other kid of isight.... The overall impressio is that mortalit is the more importat elemet b term isurae, whereas iterest is the (b far) more importat b life auit isurae. exemplarishe Bestätigug i Arbeite vo Parker [1994], Mareau & Gaillardetz [1999], Olivieri [21] ud adere, aber keie kokrete Ergebisse weitere Fragestellug: Diversifizierbarkeit der Risikokompoete

2 Begrifflihe Klärug Das Modell - versihertes Risiko Spezifizierug der Risikokompoete: Sowohl beim biometrishe als auh beim isrisiko utersheide wir drei Arte (vgl. Far [2]). Diese sid das ufallsrisiko: besteht i der zufällige Ausprägug der Merkmale trotz Ketis der verursahede Gesetzmäßigkeite (korrektes Modell) das Äderugsrisiko: besteht dari, dass sih die verursahede Gesetzmäßigkeite mit der eit aders als modelliert veräder (ursprüglih korrektes Modell) das Irrtumsrisiko: besteht i der Möglihkeit, dass die verursahede Gesetzmäßigkeite z. B. aufgrud ugeügeder Datelage falsh eigeshätzt wurde (Abweihug vom korrekte Modell) ufalls- ud Äderugsrisiko werde utersuht T x ist die zufällige zuküftige ebesdauer eier VP mit Alter x zum Vertragsabshluss. ebesdauerverteilug ud Überlebesfuktio für t tq x := P (T x t) ud tp x := 1 t q x gazzahlig gestutzte zuküftige ebesdauer K x := k= k I {k<t x k+1} Mit versiherugstehishem Eitrittsalter x N, Sterbetafel q x := 1 q x = P (T x 1), x =,..., ω, ud der Statioaritätsbedigug gilt s+tp x = P (T x > s)p (T x > s + t T x > s) = s p x t p x+s s, t, x [ k ] P (K x = k) = (1 q x+i 1 ) q x+k. Das Modell - Verzisug Das Modell - Versiherugszahluge Eie Kapitalfuktio K ist eie mooto ihtfallede, rehtsseitig stetige Abbildug K : [, ) [1, ) mit K ( ) = 1. Bei kotiuierliher Verzisug mit isitesität φ(s), s gilt K (t) = e Φ(t) = e t φ(s) ds, t. Bei diskotiuierliher Verzisug mit Auszahluge zum Jahresede ud jährlihe issätze φ s, s = 1, 2,..., ist t K (t) = (1 + Φ(s)) =, t. t Die Diskotierugsfuktio v ist gegebe durh v := 1 K. zufällige Verzisug isitesität (issätze) durh stohastishe Prozesse modelliert (Gauß-Modelle) Versiherugsperiode eijähriger äge ahluge (kostate ahlugshöhe) erfolge ur am Afag bzw. Ede des jeweilige Jahres Portfolios bestehed aus gleihartige Versiherugsverträge (z.b. ur Todesfallversiheruge) Berüksihtigug vo Prämie, betrahte Portfolioverlust (ufallsgröße) := eistugsbarwert Prämiebarwert idividuelles Äquivalezprizip E [] = stohastish uabhägige gazzahlig gestutzte zuküftige ebesdauer K xi, i = 1,...,

3 Portfolioverlust i Cashflowshreibweise ( = max i i ) = CF k v(k) k= mit Diskotierugsfuktio v ud zufällige jährlihe ahlugsströme CF k CF k = A i B (i,k) C (i,k) D i E (i,k) F (i,k), k =,...,. Dabei sid für de i-te Vertrag im Portfolio (i = 1,..., ) A i bzw. D i die eistugs- bzw. Prämiehöhe. B (i,k) bzw. E (i,k) vo der gazzahlig gestutzte zuküftige ebesdauer K xi abhägige Idikatorfuktioe, die Auskuft über de ustad der versiherte Perso im k-te aufzeitjahr gebe (z.b. I (Kxi =k)). E (i,k) bzw. F (i,k) determiistishe Idikatorfuktioe, die agebe ob für das k-te aufzeitjahr ahluge vertraglih festgelegt sid (z.b. auf-, Aufshubzeite). Für ei Portfolio vo eibrete mit Beispiel zum Portfolioverlust jährlih vorshüssige eistuge Si R, i = 1,...,, jährlih vorshüssige Prämie π i, i = 1,...,, für i = 1,..., aufzeit i N, Prämiezahlugszeit k i N ud Aufshubzeit m i N gestalte sih die zufällige jährlihe ahlugsströme folgedermaße: CF k = I (Kxi k) I (ki +m i k< i ) π i I (Kxi k) I (k<ki ), k =,...,. S R i Dabei ist = max i i die aufzeit des Portfolios. Hauptrefereze Parker [1997]: Stohasti aalsis of the iteratio betwee ivestmet ad isurae risks, North Ameria Atuarial Joural Portfolio bestehed aus gemishte Kapitalversiheruge, Eiteilug i m Gruppe mit jeweils j, j = 1,..., m, idetishe Verträge Betrahtug ohe Prämie eistugsbarwert B des Portfolios Cashflow- astatt Poliedarstellug des eistugsbarwertes B Variaz V [B/] als Risikomaßzahl für das ufallsrisiko, Variazzerlegug Utersuhug der Diversifizierbarkeit ur uter der usatzvoraussetzug, dass bei wahsedem Portfolio die Ateile der Gruppe am Gesamtportfolio gleihbleibe ( j / uabhägig vo ) Mareau & Gaillardetz [1999]: O life isurae reserves i a stohasti mortalit ad iterest rates eviromet, Isurae: Mathematis ad Eoomis Portfolio gemishter Kapitalversiheruge uter Eibeziehug vo Prämie Vorshläge zur Utersuhug des ufallsrisikos Parker [1997] berehet für die zufällige Diskotierugsfuktio v(k) = exp{ Φ(k)} de erwartete durhshittlihe eistugsbarwert pro Polie [ ] B E = 1 E [CF k ] E [e Φ(k)] ud die Variaz desselbe V [ ] B = k=1 k=1 k=1 E [CF k CF s ] E [e Φ(k) e Φ(s)] [ E [CF k ] E [CF s ] E e Φ(k)] [ E e Φ(s)].

4 Für die Variaz eier reelle Fuktio zweier ufallsgröße X, Y gilt V [(X, Y )] = E [V [(X, Y ) X + V [E [(X, Y ) X. Übertragug auf de durhshittlihe eistugsbarwert pro Polie liefert [ ] [ [ B B [ [ B V = E V {Φ(k)} + V E {Φ(k)}. Dabei ka [ [ B E V {Φ(k)} = 1 2 k=1 [ E e Φ(k) e Φ(s)] Cov (CF k, CF s ) als Maßzahl für das biometrishe ufallsrisiko ud [ [ B V E {Φ(k)} = 1 2 E [CF k ] E [CF s ] Cov (e Φ(k), e Φ(s)) k=1 als Maßzahl für das iszufallsrisiko gewählt werde. Bezüglih der Diversifizierbarkeit gilt für das Portfolio gemishter Kapitalversiheruge i Parker [1997] uter der Voraussetzug j / kost. Das biometrishe ufallrisiko ist diversifizierbar, d.h. [ [ B lim E V {Φ(k)} =. Das iszufallsrisiko ist iht diversifizierbar, d.h. [ [ B lim if V E {Φ(k)} >. Neue Ergebisse Die Diversifizierbarkeit des biometrishe ufallsrisikos folgt für alle Portfolios vo Versiherugsverträge mit zufällige jährlihe ahlugsströme CF k der Form CF k = A i B (i,k) C (i,k) D i E (i,k) F (i,k), k =,...,. direkt aus der Uabhägigkeit der zuküftige ebesdauer. (Voraussetzug kostater Portfolioateile ka ersatzlos gestrihe werde.) Mit dem Äquivalezprizip ist das iszufallsrisiko für die utersuhte Portfolios (Erlebesfall-, Todesfall- u. Reteversiheruge) ebefalls ohe die Voraussetzug kostater Portfolioateile iht diversifizierbar. Durh Äquivalezprizip ergibt sih auh eie vereifahte Form der Variaz des durhshittlihe Polieverlustes. Es gilt da [ ] V = 1 [ 2 E e Φ(k) e Φ(s)] E [CF k CF s ]. ( ) k=1 Vergleih der ufallsrisike mit der Differez der Maßzahle (biometrishes ufallsrisiko - iszufallsrisiko Vorzeihe) [ [ [ [ := E V {Φ(k)} V E {Φ(k)} Für die Differez der Maßzahle gilt = 1 [ 2 E e Φ(k) e Φ(s)] (Cov (CF k, CF s ) E [CF k ] E [CF s ]). k=1 Berehug der Maßzahldiffereze für die betrahtete Portfolios grafishe Darstellug i Abhägigkeit vo der aufzeit des Portfolios ud für vershiedee versiherugstehishe Eitrittsalter x i, i = 1,..., Maßzahldiffereze für vershiedee Versiherugsprodukte vergleihe Vergleihbarkeit durh Stadardisiere auf gleihe eistugs- bzw. Prämiebarwert leider iht allgemei iterpretierbar

5 Beispiel: Portfolio Todesfallversiheruge Portfolio bestehed aus idetishe Verträge Verteilug der gazzahlig gestutzte zuküftige ebesdauer ah DAV- Sterbetafel 1994 T für Mäer Verzisug mit dem Vasiček-Modell Die isitesität (φ(t)) t ist gegebe durh φ(t) = β + (φ β)e αt + t σe α(s t) dw s, t, dabei sid α, β, σ, φ positive Kostate (.1,.6,.1,.8) ud (W s ) s ei Stadard-Wieer-Prozess. jährlih vorshüssige Prämie π = 1 Dargestellt sid die Maßzahldifferez ud die Variaz des durhshittlihe Polieverlustes V [/] (sowie V [/] als Vergleihsgröße) i Abhägigkeit vo der Vertragslaufzeit. Portfoliogröße = V[/] V[/] Abbildug 1: Eitrittsalter x = V[/] V[/] Abbildug 2: Eitrittsalter x = 5 Portfoliogröße = 1 Portfoliogröße = V[/] 1 5 V[/] V[/] V[/] V[/] V[/] V[/] V[/] Abbildug 3: Eitrittsalter x = 3 Abbildug 4: Eitrittsalter x = 5 Abbildug 5: Eitrittsalter x = 3 Abbildug 6: Eitrittsalter x = 5

6 um Vergleih - Ei Portfolio Erlebesfallversiheruge Portfoliogröße = 1 Portfoliogröße = V[/] V[/] V[/] V[/] V[/] V[/] V[/] V[/] Abbildug 7: Eitrittsalter x = 3 Abbildug 8: Eitrittsalter x = 5 Abbildug 9: Eitrittsalter x = 3 Abbildug 1: Eitrittsalter x = 5 Vorshläge zur Utersuhug des Äderugsrisikos Ag & Sherris [1997] (Iterest rate maagemet:... ): Iterest rate risk is traditioall measured b the derivative of the seurit value with respet to the iterest rate. diskotiuierlihe Verzisug, Periodeläge ei Jahr Duratio (Maaule, 1938 & Hiks, 1939) Bei flaher isstrukturkurve (kostate jährlihe issätze, φ s = φ, s) betrahte de Barwert B eier determiistishe ahlugsstromfolge als Fuktio des issatzes φ, da heißt D mod := B (φ) B(φ) die modifizierte Duratio des Barwertes B. Ho [1992]: Ke rate duratio measure of iterest rate risk Bei ihtflaher isstrukturkurve hägt der Barwert B eier determiistishe ahlugsstromfolge mit Gesamtlaufzeit vo de jährlihe issätze φ s, s = 1,...,, ab. Da ist KRD k := B k+ B k B 2 φ k die k-te Ke-Rate-Duratio, wobei B k+ als Barwert der ahlugsstromfolge mit φ k + φ k statt φ k ud B k mit φ k φ k statt φ k gebildet wird. Bei gleiher Äderug der jährlihe issätze ( φ k = φ, k = 1,..., ) ist die effektive Duratio D eff defiiert als ormierter zetraler Differezeqoutiet für die gleihzeitige Äderug aller jährlihe issätze um φ. Es gilt da D eff = KRD k. k=1 Ho [1992]: Effetive duratio is the total risk exposure, ad the ke rate duratios are the ompoet parts of the effetive duratio.

7 Übertragug auf die Utersuhug der Äderugsrisike Modellspezifizierug Aalog zur Darstellug der Diskotierugsfuktio v mittels der jährlihe issätze φ s, s = 1,...,, ( k 1 k v(k) = ) = 1, k = 1,...,, gilt für die gazzahlig gestutzte zuküftige ebesdauer K x mit eijährige Sterbeswahrsheilihkeite q x+s 1, s = 1,...,, P (K x k) = k (1 q x+s 1 ), k = 1,...,. Diese Ählihkeit beider Darstelluge ermögliht eie Übertragug der Idee für die Behadlug des isäderugsrisikos auf das biometrishe Äderugsrisiko. Modellvoraussetzuge wie obe: gleihartige Portfolios vo Versiherugsverträge, Eibeziehug vo Prämie, stohastish uabhägige zuküftige ebesdauer, Äquivalezprizip determiistishe Verzisug, erwartete jährlihe ahlugsströme usatzvoraussetzuge gleihe auf- ud Aufshubzeite für alle Verträge im Portfolio idetish verteilte gazzahlig gestutzte zuküftige ebesdauer Beispiel Reteversiherugsportfolio: erwarteter Portfolioverlust ( ) k E [] = Si R (1 q x+s 1 ) I ( k+m k< ) π i I (k< k) k= Maßzahle für beide Äderugsrisike Betrahte de erwartete Verlust E [] eies Versiherugsportfolios mit aufzeit als Fuktio E [] : R 2 R 1 mit (φ 1,..., φ ; q x,..., q x+ 1 ) E [] = E [CF k ] v(k) k=1 mit partielle Ableituge E[] φ w ud E[] q x+w 1 für w = 1,...,. Die kumulierte isduratio D mit D := D w wobei D w := E [ ], w = 1,...,, φ w w=1 sei als Maßzahl für das isäderugsrisiko gewählt. Die eizele Summade D w werde für w = 1,..., als w-te isduratio bezeihet. Die kumulierte Bioduratio BD mit BD := BD w wobei BD w := E [ ], w = 1,...,, q x+w 1 w=1 sei die Maßzahl für das biometrishe Äderugsrisiko. Wie obe sei BD w für w = 1,..., die w-te Bioduratio. Defiitio der Maßzahle basiert auf dem Kozept der Ke-Rate-Duratioe vo Ho [1992] Utershiede Differetial- statt Differezequotiet Äquivalezprizip erspart Normierug (absolute statt relative Veräderug) durhshittliher erwarteter Portfolioverlust (/ statt )

8 Beispiel Reteversiherugsportfolio: Mit dem Äquivalezprizip erhält ma für die w-te is- bzw. Bioduratio E [ ] ( 1 1 ( w 1 k (1 q x+s 1 )) = π i I (w< k) φ w (1 + φ w ) ( 1 + k= k=max( k+m,w) E [ ] ( 1 1 ( w 1 = q x+w 1 (1 q x+w 1 ) ( 1 + k=max( k+m,w) S R i k= S R i k (1 q x+s 1 )) I (w k) ), w = 1,...,, π i k (1 q x+w 1 ) ) I (w< k) k (1 q x+s 1 )) I (w k) ), w = 1,...,. uter vershiedee Gesihtspukte allgemei iterpretierbar: bezüglih Vorzeihe, Äderuge für vershiedee aufzeitjahre, Diversifizierbarkeit ud bezüglih des Vergleihes beider Äderugsrisike (ur vershiedee Vorfaktore biometrishes Äderugsrisiko betragsmäßig größer) Portfolio idetisher Verträge ( Maßzahle uabhägig vo der Polieazahl) jährlih vorshüssige Prämie π = 1 für Eitrittsalter x = 3 über 3 Jahre gezahlt, Aufshubzeit 5 Jahre für x = 4 über 25 Jahre gezahlt, keie Aufshubzeit kostater issatz φ =.325, DAV-Sterbetafel 1994 T Mäer 1 D 15 2 w D_w BD_w Abbildug 11: Eitrittsalter x = D w D_w BD_w Abbildug 12: Eitrittsalter x = 4 Portfolio idetisher Erlebesfall-, Todesfall-, Reteversiheruge mit gleihe eistugsbarwerte Eitrittsalter x = 3 kum. isduratio D kum. Bioduratio BD Erlebesfallversiherug Todesfallversiherug Reteversiherug Herzlihe Dak für Ihre Aufmerksamkeit! Eitrittsalter x = 4 kum. isduratio D kum. Bioduratio BD Erlebesfallversiherug Todesfallversiherug Reteversiherug Wihtig: keie Aussage darüber, i welhem Maße sih die issätze bzw. die eijährige Sterbeswahrsheilihkeite veräder Norberg [21] iteraturliste zurük

9 iteraturagabe E. Mareau & P. Gaillardetz [1999] O life isurae reserves i a stohasti mortalit ad iterest rates eviromet, i: INSURANCE: MATHEMATICS AND ECONOMICS 25, 1999, p R. Norberg [21] O bous ad bous progoses i life isurae, ACTUARIA JOURNA, No.2, 21, p i: SCANDINAVIAN A. Olivieri [21] Uertait i mortalit projetios: a atuarial perspetive, i: INSURANCE: MATHEMATICS AND ECONOMICS 29, 21, p G. Parker [1994] Momets of the preset value of a portfolio of poliies, i: SCANDINAVIAN ACTUARIA JOURNA, No.1, 1994, p G. Parker [1997] Stohasti aalsis of the iteratio betwee ivestmet ad isurae risks, i: NORTH AMERICAN ACTUARIA JOURNA Vol.1, No.2, 1997, p zurük A. Ag & M. Sherris [1997] Iterest rate maagemet: developmets i iterest rate term struture modellig for risk maagemet ad valuatio of iterest-rate-depedet ash flows, i: NORTH AMERICAN ACTUARIA JOURNA Vol.1, No.2, 1997, p D. Far [2] Versiherugsbetriebslehre, VVW Karlruhe 2, 3. Auflage J.R. Hiks [1939] Value ad apital, ershiee bei: Claredo Press, New York 1939, pp T. Ho [1992] Ke rate duratio measure of iterest rate risk, i: THE JOURNA OF FIXED INCOME, 1992, p F.R. Maaule [1938] Some theoretial problems suggested b the movemet of iterest rates, bods, ields, ad stok pries i the uited states sie 1856, ershiee bei: Columbia Uiversit Press, New York 1938 H. Milbrodt & M. Helbig [1999] Mathematishe Methode der Persoeversiherug, ershiee bei: Walter de Gruter, Berli 1999 zurük