Wiederholung Lineare Gleichungen Funktionen. Mathematik W3. Mag. DI Rainer Sickinger BRP, LMM. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 1 / 74

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1 Mathematik W3 Mag. DI Rainer Sickinger BRP, LMM v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 1 / 74

2 Binomische Formeln Binomische Formeln: (a + b) 2 =? (a b) 2 =? (a + b)(a b) =? v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 2 / 74

3 Binomische Formeln Binomische Formeln: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2 v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 3 / 74

4 Binomische Formeln Binomische Formeln mit höheren Exponenten (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 4 = a 4 4a 3 b + 6a 2 b 2 4ab 3 + b 4 v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 4 / 74

5 Die lineare Gleichung Seien T 1 und T 2 zwei Terme. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 5 / 74

6 Die lineare Gleichung 3x 2 = 6 Was ist x damit die Gleichung stimmt? v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 6 / 74

7 Grundmenge, Definitionsmenge und Lösungsmenge v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 7 / 74

8 Grundmenge, Definitionsmenge und Lösungsmenge Übungen zur Grund-, Definitions- und Lösungsmenge Geben Sie für folgende Gleichungen Definitions- und Lösungsmenge an! x + 3 = 4 G = Q G = Z n + 1 = n G = N 2(3x + 4) = 3(x + 2) + 2(1, 5x + 1) G = R 5 x 4 = 3 G = R v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 8 / 74

9 Lineare Gleichungen Eine lineare Gleichung in einer Variablen hat immer die Gestalt ax + b = 0 v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 9 / 74

10 Lösungsmengen Linearer Gleichungen Sei ax + b = 0 eine lineare Gleichung und G = R, dann kann man die Lösungsmengen folgendermaßen angeben: a b: eine Lösung a = 0 und b 0: keine Lösung L = {} a = 0 und b = 0: unendlich viele Lösungen L = R v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 10 / 74

11 Lösungsmengen Linearer Gleichungen Übungen Buch S. 83: v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 11 / 74

12 Einführung Die mathematische Maschine namens Funktion. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 12 / 74

13 Zusammenfassung Einführung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 13 / 74

14 Zusammenfassung Einführung Anstatt immer eine Maschine zu zeichnen, verwendet man eine einfachere Darstellungsweise der Maschine. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 14 / 74

15 Zusammenfassung Einführung Schreibt man die Eingabe und die jeweilige Ausgabe einer Funktion in eine Tabelle, so erhält man die sogenannte Wertetabelle: x y Wie würde hier der Funktionsterm aussehen? v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 15 / 74

16 Zusammenfassung Einführung Wenn man die Eingabe der Funktion auf der x-achse und die Ausgabe der Funktion auf der y-achse eines Koordinatensystems aufträgt, kann man die Funktion auch grafisch darstellen: v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 16 / 74

17 Definitionsmenge und Wertemenge Die Menge an Zahlen, die in die Funktion reinkommen, nennt man Definitionsmenge. Die Menge an Zahlen, die aus der Funktion rauskommen, nennt man Wertemenge. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 17 / 74

18 Definitionsmenge und Wertemenge Wie gibt nun der Mathematiker die Definitionsmenge einer Funktion an? v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 18 / 74

19 Definitionsmenge und Wertemenge Vollständige Definition einer Funktion: f : R R, f (x) = 1 2 x 2 Sei f eine Funktion von R nach R mit f von x ist gleich 1 2 x 2. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 19 / 74

20 Beispiel Sei A = {1, 2, 3, 4, 5} und f : A N mit f (x) = 2x Wertetabelle x f(x) f (x) Grafisch v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 20 / 74

21 Einschub grafische Darstellung Wenn wir die Funktion f (x) = 2x grafisch darstellen wollen, dann nehmen wir jeden Wert der Definitionsmenge und berechnen daraus f (x). Wenn x zum Beispiel 1 ist, dann ist f (1) = 2. Nun gehen wir auf der x-achse x-schritte nach rechts, und f (x) Schritte nach oben. Dies machen wir für jedes x der Definitionsmenge. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 21 / 74

22 Die grafische Darstellung einer Funktion Die grafische Darstellung einer Funktion nennt man Funktionsgraph. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 22 / 74

23 Beispiel 2 Sei nun f : R R mit f (x) = 2x Wertetabelle x f(x) , Wie groß ist die Wertetabelle? f (x) Grafisch v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 23 / 74

24 Übung Stelle die Wertetabellen auf für: Sei f : {x Z 3 x 3} R mit f (x) = 2x 3. Sei r : {x N 0 x 5} R mit r(x) = 0, 8x + 1. Sei ς : {x Z 2 x 3} R mit ς(x) = 4x 3 + 5x 2. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 24 / 74

25 Lösung Wertetabelle f x f (x) Wertetabelle r x r(x) ,2 2-0,6 3-1,4 4-2,2 5-3 Wertetabelle ς x ς(x) -2-7, , ,83 2 7, ,5 v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 25 / 74

26 Übung Zeichne nun: Sei f : {x Z 3 x 3} R mit f (x) = 2x 3. Sei r : {x N 0 x 5} R mit r(x) = 0, 8x + 1. Sei ς : {x Z 2 x 3} R mit ς(x) = 4x 3 + 5x 2. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 26 / 74

27 Lösung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 27 / 74

28 Übung Zeichne nun: Sei f : R R mit f (x) = 2x 3. Sei r : {x R 0 x 5} R mit r(x) = 0, 8x + 1. Sei ς : {x R x 3} R mit ς(x) = 4x 3 + 5x 2. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 28 / 74

29 Lösung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 29 / 74

30 Übung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 30 / 74

31 Lösung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 31 / 74

32 Lösung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 32 / 74

33 Was ist eine Funktion und was nicht? Wenn man eine Linie parallel zur y-achse (in dem Intervall der Definitionsmenge) verschiebt und zu jedem Zeitpunkt den Funktionsgraphen genau einmal kreuzt, hat man einen Funktionsgraphen, ansonsten nicht. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 33 / 74

34 Was ist eine Funktion und was nicht? Eine Funktion darf jedem Element das hineingeworfen nur genau ein Ergebniselement zuordnen. Wenn gilt f (3) = 2 und f (3) = 5 dann ist f keine Funktion. Man sagt auch: Eine Funktion ordnet jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zu. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 34 / 74

35 Übung Mathematikbuch Seite 88, Übung Punkt 1 und 2. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 35 / 74

36 Nullstelle Die Nullstelle einer Funktion ist jener x-wert für den gilt: f (x) = 0. Die Nullstelle einer Funktion ist also jener x-wert an dem der Funktionsgraph die x-achse schneidet. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 36 / 74

37 Nullstelle f (x) = x 2 9 f ( 3) = ( 3) 2 9 = 0 f (3) = = 0 v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 37 / 74

38 Übung Finde die Nullstelle von f (x) = 3x + 6 v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 38 / 74

39 Lösung Funktion gegeben: f (x) = 3x + 6 Für welches x gilt f (x) = 0? 3x + 6 = 0 x = 2 Probe: f ( 2) = 3( 2) + 6 = = 0 f (x) = 3x + 6 schneidet die x-achse im Punkt (-2, 0). v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 39 / 74

40 Übung Finde die Nullstelle von f (x) = 3 4 x 1 Finde die Nullstelle von f (x) = 3x + 3 v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 40 / 74

41 Lösung Nullstelle bei x = 4 3 N = ( 4 3, 0) Nullstelle bei x = 1 N = ( 1, 0) v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 41 / 74

42 Intervalle Arten von Intervallen Abgeschlossenes Intervall: [a; b] = {x R a x b} Offenes Intervall: (a; b) = {x R a < x < b} Links offenes Intervall: (a; b] = {x R a < x b} Rechts offenes Intervall: [a; b) = {x R a x < b} Unendliches Intervall: [a; ) = {x R x a} v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 42 / 74

43 Intervalle Intervalle kurz und knapp ]a, b[= (a, b) = {x R a < x < b} ]a, b] = (a, b] = {x R a < x b} [a, b[= [a, b) = {x R a x < b} [a, b] = [a, b] = {x R a x b} v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 43 / 74

44 Monotonie Nun machen wir einige Aussagen über das Verhalten von Funktionen. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 44 / 74

45 Monotonie Wir betrachten Funktionsgraphen von links nach rechts wie beim Lesen. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 45 / 74

46 Monotonie Funktion wird größer. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 46 / 74

47 Monotonie Funktion wird größer. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 47 / 74

48 Monotonie Funktion wird kleiner. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 48 / 74

49 Monotonie Funktion wird kleiner. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 49 / 74

50 Monotonie Wenn für jedes x 1 und x 2 aus D gilt: x 1 < x 2 und daraus f (x 1 ) < f (x 2 ) folgt, nennt man f streng monoton wachsend. Wenn für jedes x 1 und x 2 aus D gilt: x 1 < x 2 und daraus f (x 1 ) > f (x 2 ) folgt, nennt man f streng monoton fallend. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 50 / 74

51 Monotonie Funktion bleibt konstant. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 51 / 74

52 Monotonie Funktion wird größer oder ist konstant. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 52 / 74

53 Monotonie Funktion wird kleiner oder ist konstant. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 53 / 74

54 Monotonie Wenn für jedes x 1 und x 2 aus D gilt: x 1 < x 2 und daraus f (x 1 ) < f (x 2 ) folgt, nennt man f streng monoton wachsend. Wenn für jedes x 1 und x 2 aus D gilt: x 1 < x 2 und daraus f (x 1 ) > f (x 2 ) folgt, nennt man f streng monoton fallend. Wenn für jedes x 1 und x 2 aus D gilt: x 1 < x 2 und daraus f (x 1 ) f (x 2 ) folgt, nennt man f monoton wachsend. Wenn für jedes x 1 und x 2 aus D gilt: x 1 < x 2 und daraus f (x 1 ) f (x 2 ) folgt, nennt man f monoton fallend. v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 54 / 74

55 f (x) = x 2 f ist im Intervall zwischen und 0 streng monoton fallend f ist im Intervall zwischen 0 und streng monoton wachsend

56 Übung Mathematikbuch Übung : In welchen Intervallen ist die Funktion (streng) mon. fallend / steigend? v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 56 / 74

57 Lösung str. mon. steigend: ( 1; 0, 4) (1, 6; 2, 6) str. mon fallend: (0, 4; 1, 6) v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 57 / 74

58 Übung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 58 / 74

59 Übung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 59 / 74

60 Übung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 60 / 74

61 Übung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 61 / 74

62 Lösung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 62 / 74

63 Übung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 63 / 74

64 Lösung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 64 / 74

65 Übung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 65 / 74

66 Übung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 66 / 74

67 Lösung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 67 / 74

68 Übung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 68 / 74

69 Lösung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 69 / 74

70 Übung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 70 / 74

71 Lösung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 71 / 74

72 Übung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 72 / 74

73 Lösung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 73 / 74

74 Lösung v 4 Mag. DI Rainer Sickinger Mathematik W3 74 / 74

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