Grundlagen der. h Rückblick. Dr. K. Krüger. Grundwissen Mathematik

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1 Grundlagen der Schulmathematik h Rückblick Sommersemester 2009 Dr. K. Krüger Grundwissen Mathematik (DGS)

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3 Folie aus der 1. Vorlesung

4 Inhalte 1. Beschreibende Statistik Mauna Loa Co Streudiagramm 1000 Daten erfassen, ordnen und graphisch darstellen Daten zusammenfassen Streudiagramme analysieren 400 Funktionen an Daten anpassen 2. Modellieren mit Funktionen year Eigenschaften und Anwendungen verschiedener Funktionsklassen Modell: Daten = Funktion + zufällige Reste (Residuen) 3. Zufall und Wahrscheinlichkeit h hk Grundbegriffe: Modellierung zufallshaltiger Situationen Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Abzählstrategien: Kombinatorik

5 Wie lassen sich diese Rückmeldungen interpretieren?

6 1. Beschreibende Statistik: Daten erfassen und ordnen Daten erfassen: Grundgesamtheit Vollerhebung vs. Stichprobe Merkmal / Merkmalsausprägung quantitativ ordinal nominal Daten ordnen: Strichliste, Urliste Relative und absolute Häufigkeit Häufigkeitsverteilung g Klasseneinteilung 6

7 1. Beschreibende Statistik: Daten graphisch darstellen Diagrammarten Säulendiagramm Kreisdiagramm Histogramm Liniendiagramm Piktogramm Formen von Häufigkeitsverteilungen: Glockenform, schiefe Verteilung Auswahl und Erstellung geeigneter Diagramme Analyse und Vergleich von Diagrammen Manipulationen von Diagrammen 7

8 1. Beschreibende Statistik: Daten zusammenfassen: ss n: Statistische Kennzahlen im Vergleich Lagemaße und ihre Eigenschaften ModalwertM d l t Arithmetisches Mittel Median Mittelwerte im Vergleich Streuungsmaße Spannweite Quartile und Quartilsabstand Varianz und Standardabweichung Boxplot 8

9 1. Beschreibende Statistik: Zusammenhänge von zwei Merkmalen untersuchen Streudiagramme: Lineare Zusammenhänge erkennen Eine Ausgleichgerade per Augenmaß anpassen Regressionsgerade y = ax + b Mauna Loa Co2 Berechnung 1000 Interpretation von a und b im Sachkontext Methode der kleinsten Quadrate 200 Korrelationskoeffizient r Berechnung Interpretation Zusammenhang zur Regressionsgerade Streudiagramm year ppm = 9,88year ; r 2 = 0,40 9

10 2. Modellbildung mit Funktionen Untersuchung von Eigenschaften und typische Anwendungsbeispiele zu: proportionalen und linearen Funktionen quadratischen Funktionen Potenzfunktionen Exponentialfunktionen Kapital Kn 4.000, , , , , , ,00 500,00 0,00 Zinsen; 87,64 Kapital; 2.191, Jahr n 10

11 3. Zufall und Wahrscheinlichkeit Grundbegriffe und Geschichte Modellierung zufallshaltiger Situationen: Zufallsversuch Ergebnismenge Wahrscheinlichkeitsverteilung Gleichwahrscheinlichkeit Wechselspiel l zwischen Wahrscheinlichkeiten h hk it und relativen Häufigkeiten Prognose zu erwartender Häufigkeiten Schätzen von Wahrscheinlichkeiten (Gesetz der großen Zahl) Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung 11

12 3. Zufall und Wahrscheinlichkeit Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Modellierung zufallshaltiger Situationen: Ereignis und Gegenereignis Laplace-Regel l Baumdiagramme und Pfadregeln Klassische Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Wetten des Chevalier de Méré Werfen bis zur ersten Sechs Verschiedene Varianten der Geburtstagswetten 12

13 3. Zufall und Wahrscheinlichkeit Kombinatorik: Abzählstrategien Zählen und Baumdiagramme: Produktregel Summenregel Quotientenregel Permutationen n über k Urnenmodelle: Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge Ziehen ohne Zurücklegen mit / ohne Beachtung der Reihenfolge Mengenmodell Pascalsches Dreieck 13

14 Wie lässt sich diese Rückmeldung interpretieren? Aus der DGS-StO: Zusammenhänge in der Natur, in der Wirtschaft,... werden durch Gleichungen oder durch Funktionen beschrieben. Daten werden gesammelt, geordnet, dargestellt, Häufigkeiten bestimmt und Prognosen gegeben. Zugrunde liegen fundamentale Begriffsbildungen und Aktivitäten ität aus Algebra und Stochastik tik sowie die fundamentale Idee der Funktion. Ziel: Grundlagen der Schulmathematik im Hinblick auf das Anwenden von Mathematik und Modellbildungen vertiefen.

15 Modellieren Ein Problem aus der Welt übersetzen wir in die Sprache der Mathematik. In dieser Vorlesung haben Sie wichtige mathematische Modelle kennengelernt, z.b. 1. Funktionen beschreiben Zusammenhänge zwischen zwei Merkmalen x und y. 2. Mit Hilfe von Zufallsexperimenten, Ergebnismengen, Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten lassen sich zufallshaltige Situationen mathematisch beschreiben. 3. Mit Baumdiagrammen lassen sich mehrstufige Zufallsexperimente oder Entscheidungsprozesse modellieren. 15

16 Metawissen des Anwendens Folie aus der 6. Vorlesung (nach Fischer /Malle: Mensch und Mathematik 1985) Der Schüler soll erkennen, dass Anwenden von Mathematik tik ein Prozeß ist, der in der Bildung von Modellen besteht. Er soll Prozeßschritte kennen. Der Schüler soll erkennen, dass ein Modell von der repräsentierten Situation verschieden ist und diese im allgemeinen nur ausschnittsweise und ungenau beschreibt. Der Schüler soll die Sicherheit und Genauigkeit, mit denen durch mathematische Modelle Aussagen über die Realität gewonnen werden können, beurteilen können. Der Schüler soll erkennen, dass eine Situation durch verschiedene Modelle beschrieben werden kann, die u.u. einander widersprechen. Der Schüler soll erkennen, dass verschiedene Situationen durch ein Modell beschrieben werden können. Der Schüler soll Grenzen und Gefahren des Mathematisierens erkennen und eine kritische Einstellung zur Modellbildung erlangen. 16

17 KMK-Bildungsstandards für den mittleren Bildungsabschluss (2003)/ Hauptschulabschluss (2004) Zahl Leitideen Raum und Form Messen Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall

18 Studierendenkritik Relevanz für Grundschulunterricht ht ist für mich nicht erkennbar Obwohl es sich um eine DGS-Veranstaltung handelt, sind nur wenige Bezüge zur Grundschule zu erkennen. Stoff hat wenig mit dem Schulmatheunterricht zu tun. Spätere Verwendung des Stoffs in der Grundschule ist ausgeschlossen. Das hat absolut nichts mit Grundschule zu tun!

19 KMK-Bildungsstandards Grundschule (2004) Leitideen Zahlen und Operationen Raum und Form Größen und Messen Muster und Strukturen Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit lchket

20 Häufigkeitsverteilung der Fachsemesterzahlen