Mathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/23 18:14:20 hk Exp $

Transkript

1 $Id: dreieck.tex,v /04/3 18:14:0 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir gezeigt das die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks sich immer in einem Punkt S m schneiden, den sogenannten Schwerpunkt des Dreiecks. In Termen der Vektorraumstruktur der Ebene läßt sich dieser auch als S m = 1 ( + + ) 3 schreiben. evor wir zum nächsten der speziellen Punkte kommen wollen wir noch auf die Konstruktion des Schwerpunkts mit Zirkel und Lineal eingehen. Diese können wir offenbar durchführen sobald wir in der Lage sind den Mittelpunkt einer Strecke zu bestimmen, denn dann können wir die Seitenmittelpunkte,, und somit auch die Seitenhalbierenden,, und schließlich ihren Schnittpunkt finden. Sei also eine Strecke gegeben. Mit dem Geodreieck können wir den Mittelpunkt P von finden X indem erst die Länge gemessen wird, diese durch Zwei geteilt wird und schließlich P auf mit halbierten bstand / gezeichnet wird. Mit einem unmarkierten Lineal müssen wir uns mehr anstrengen, die Konstruktion beruht dann auf der sogenannten Mittelsenkrechten der Punkte,. ls Mittelsenkrechte von und bezeichnen wir die Menge P g := {X R : X = X } aller Punkte die von und denselben bstand haben. Wir behaupten das g die Gerade durch P ist die senkrecht auf ist. Ist nämlich h diese Gerade und X ein Punkt auf h, so ergibt der Satz des Pythagoras Satz 1 die Gleichung X = P X + ( /) = X, also auch X = X und wir haben X g. Ist umgekehrt X g, so fälle das Lot von X auf und bezeichne Q den Lotfußpunkt von X auf. Erneut mit dem Satz des Pythagoras ist dann Q = X QX = X QX = Q, also ist Q = Q und somit P = Q und X h. Streng genommen funktioniert dies erst einmal nur für X nicht auf, der andere Fall ist aber sowieso klar. Die Mittelsenkrechte können wir mit Zirkel und Lineal finden. Ziehe hierzu Kreise mit Radius und den Mittelpunkten beziehunsgweise. Diese schneiden sich in zwei Punkten, D, die beide den bstand zu und haben, also auf 4-1

2 der Mittelsenkrechten von und liegen. Verbinden von und D liefert damit die Mittelsenkrechte. L g M D Mittelsenkrechte Lotfußpunkt Schneiden wir die Mittelsenkrechte D mit so erhalten wir den Mittelpunkt M der Strecke. ußerdem kann diese Konstruktion benutzt werden das Lot von einem Punkt auf eine Gerade g zu bestimmen, hierzu bilde einen Kreis mit Mittelpunkt der g in zwei Punkten, schneidet, dann hat von und denselben bstand liegt also auf der Mittelsenkrechten von und, d.h. diese ist das gesuchte Lot und der Schnittpunkt L mit g ist der Lotfußpunkt. ls nächsten der speziellen Punkte behandeln wir nun den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, und hierzu sollten wir uns erst einmal überlegen welche edeutung die Winkelhalbierende überhaupt hat. Wie sich herausstellt ist der egriff der Winkelhalbierenden in gewissen Sinne dual zum egriff der Mittelsenkrechten, es werden zwei Geraden betrachtet und nach der Menge aller Punkte gefragt die von beiden Geraden denselben bstand haben. ngenommen wir haben eine Gerade g und einen Punkt P außerhalb von g. Der bstand P d(p, g) ist der kleinstmögliche bstand von P zu Punkten auf der Gerade, also formal g d(p, g) = inf{ XP : P g}, wobei in dieser Situation tatsächlich ein Minimum vorliegt. Fällen wir nämlich wie rechts gezeigt das Lot von P auf g und bezeichen den Lotfußpunkt mit Q, so ist Q der eindeutige P am nächsten gelegene Punkt auf g. Nach einem lick auf das ild sollte das klar sein, formal kann man es etwa mit dem Satz des Pythagoras Satz 1 begründen, ist X ein beliebiger weiterer Punkt auf g, so haben wir ein X Q 4-

3 rechtwinkliges Dreieck XQP und erhalten XP = XQ + QP > QP, also auch XP > QP. Mit dieser eobachtung können wir nun einsehen, dass die Punkte auf der Winkelhalbierenden zweier Geraden tatsächlich genau die Punkte innerhalb des von den beiden Geraden gebildeten Winkels sind die von beiden Geraden denselben bstand haben. Wir formulieren diese ussage als ein kleines Lemma, das aufgrund der hierbei auftretenden Figur gerne als das Drachenlemma bezeichnet wird. Lemma 1.13 (estimmung der Winkelhalbierenden) Seien und zwei Strecken und P ein weiterer Punkt so, dass P senkrecht auf ist und P senkrecht auf ist. ezeichne α den auf derselben Seite wie P liegenden Winkel zwischen und im Punkt. Dann sind die folgenden ussagen äquivalent: (a) Es ist d(p, ) = d(p, ). (b) Es ist P = P. (c) Es ist =. (d) Die Dreiecke P und P sind kongruent. (e) Die Strecke P ist die Winkelhalbierende von α. α P eweis: (a) (b). Wegen P und P sind d(p, ) = P und d(p, ) = P (die Schreibweise ist hier etwas ungenau, gemeint ist der bstand zur jeweiligen Geraden und nicht zur Strecke), also sind (a) und (b) äquivalent. 4-3

4 (b) (c). Wenden wir den Satz des Pythagoras Satz 1 in den beiden rechtwinkligen Dreiecken P und P an, so ergibt sich + P = P = + P, und damit ist genau dann = wenn P = P gilt. (a)= (d). Da die Implikationen von (a) nach (b) und (c) bereits gezeigt sind, haben wir = und P = P, d.h. die beiden Dreiecke P und P sind kongruent. (d)= (b). Klar nach Definition der Kongruenz von Dreiecken. (d) (e). Die Dreiecke P und P stimmen in der Seite P überein und haben bei beziehungsweise gleiche, nämlich rechte, Winkel. Nach dem Kongruenzsatz SWW Satz 9 sind die beiden Dreiecke damit genau dann kongruent wenn ihre Winkel in übereinstimmen, wenn also P den Winkel α halbiert. w β α g w 1 h Gleicher bstand zu zwei Geraden Winkelhalbierende im Dreieck eachte das sich das Drachenlemma auf Punkte P innerhalb des Winkels α bezieht. Haben wir zwei verschiedene Geraden g, h die sich in einem Punkt schneiden, so setzt sich die Menge M := {P R d(p, g) = d(p, h)} aller Punkte die von g und h denselben bstand haben aus zwei Geraden zusammen die senkrecht aufeinander sind. Um dies zu sehen, unterteilen wir die Ebene in einen von g, h gebildeten Winkel α zusammen mit seinem Gegenwinkel und den anderen von g, h gebildeten Winkel β zusammen mit seinem Gegenwinkel. Der Teil von M innerhalb von α ist nach dem Drachenlemma die Winkelhalbierende w 1 von α und diese ist auch gleich der Winkelhalbierenden des Gegenwinkels und der Teil innerhalb von β und dem Gegenwinkel von β ist die Winkelhalbierende w von β. Der Winkel zwischen w 1 und w ist α/ + β/ = (α + β)/ = π/, die beiden stehen also senkrecht aufeinander. Damit haben wir M = w 1 w, wie behauptet. ei zwei beliebigen Geraden gibt es keine Möglichkeit zwischen w 1 und w zu unterscheiden, haben wir dagegen ein Dreieck = so betrachten wir in jedem Eckpunkt den das Dreieck enthaltenden Winkel und nennen seine Winkelhalbierende die Winkelhalbierende von durch die entsprechende Ecke. Die auf der Winkelhalbierenden von durch eine Ecke senkrecht stehende andere Winkelhalbierende nennt man dann die äußere Winkelhalbierende von 4-4

5 durch den betrachteten Eckpunkt. Schneiden wir diese paarweise, so erhalten wir wie oben abgebildet ein neues Dreieck, mit dem wir uns in den Übungsaufgaben beschäftigen werden. Nach diesen Vorbereitungen können wir die Existenz des Schnittpunkts der Winkelhalbierenden in einem Dreieck sehr bequem einsehen. Satz 1.14 (Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden) Sei = ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Winkelhalbierenden von in einem Punkt S w und dieser ist der eindeutige Punkt in der von allen drei Seiten des Dreiecks denselben bstand hat. eweis: Die beiden Winkelhalbierenden durch und schneiden sich in einem Punkt S w und nach dem Drachenlemma Lemma 13 angewandt auf diese beiden Winkelhalbierenden gelten d(s w, ) = d(s w, ) und d(s w, ) = d(s w, ), also ist d(s w, ) = d(s w, ) = d(s w, ) und wieder nach dem Drachenlemma liegt S w auch auf der Winkelhalbierenden durch. r S w Da der Schnittpunkt S w der Winkelhalbierenden von allen drei Seiten des Dreiecks denselben bstand r := d(s w, ) = d(s w, ) = d(s w, ) hat, berührt der Kreis mit Mittelpunkt S w und Radius r alle drei Seiten tangential. Man nennt diesen Kreis dann den Inkreis des Dreiecks und r heißt entsprechend der Inkreisradius von. Winkelhalbierende lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren und damit läßt sich auch der Punkt S w mit Zirkel und Lineal konstruieren. Da wir auch den Lotfußpunkt von S w auf eine Seite von bilden können, läßt sich schließlich auch der Inkreis mit Zirkel und Lineal konstruieren. Neben dem Inkreis gibt es noch drei weitere Kreise die alle, als Geraden aufgefasste, Seiten des Dreiecks berühren, diese haben die schon oben erwähnten Schnittpunkte je zweier äußerer Winkelhalbierenden des Dreiecks als ihre Mittelpunkte. Mit diesen sogenannten nkreisen von werden wir uns in den Übungen beschäftigen. 4-5

6 Der Inkreisradius r ist eine weitere numerische Invariante des Dreiecks zusätzlich zu den drei Seiten a, b, c und den drei Winkeln α, β, γ, und wir wollen die Zahl r nun in Termen der drei Seiten berechnen. Es stellt sich als technisch geschickt heraus hierzu eine weitere Größe zu betrachten nämlich die Fläche F unseres Dreiecks. ezeichnen wir die Höhen auf den drei Seiten a, b, c wie schon beim Sinussatz mit h a, h b, h c, so ist die Dreiecksfläche gegeben als F = 1 a h a = 1 b h b = 1 c h c. Im Sinussatz Satz 8 hatten wir diese Höhen zu h a = c sin β = b sin γ, h b = c sin α = a sin γ, h c = b sin α = a sin β berechnet, also wird etwa F = 1 ah a = 1 ab sin γ. Die Dreiecksfläche F ist also gleich dem halben Produkt je zweier Seiten und dem Sinus des von diesen eingeschlossenen Winkels. Das ist bereits eine Flächenformel, allerdings noch keine die die Fläche ganz in Termen von a, b, c ausdrückt. Um den Sinus zu eliminieren wollen wir den osinussatz verwenden und dazu müssen wir wiederum den Sinus in einen osinus umwandeln. Dies gelingt über die eziehung sin γ + cos γ = 1 indem wir unsere obige Gleichung quadrieren Setzen wir hier den osinussatz Satz 4 als ein, so wird F = 1 4 a b sin γ = a b (1 cos γ). 4 ab cos γ = 1 (a + b c ) a b (1 cos γ) = a b 1 4 (a + b c ) = 1 4 (4a b (a + b c ) ) und insgesamt ist damit F = 4a b (a + b c ). 16 Diese Gleichung ist schon fast unser Ziel, ihr einziger Nachteil ist noch das die Symmetrie in a, b, c in dieser Formel nicht klar zum Vorschein tritt. Schreiben wir diese Formel noch etwas um so ergibt sich: Satz 1.15 (Heronsche Flächenformel) Sei ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c. Weiter bezeichne s := (a + b + c)/ den 4-6

7 halben Umfang des Dreiecks und F seine Fläche. Dann gilt die Heronsche Flächenformel F = 1 4 (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a) = s(s a)(s b)(s c). eweis: Wir setzen die obige Rechnung fort und erhalten F = (ab) (a + b c ) 16 = 1 16 (ab (a + b c ))(ab + (a + b c )) = 1 16 (c (a b) )((a + b) c ) = 1 (b + c a)(a + c b)(a + b c)(a + b + c), 16 also F = 1 4 (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a). eachten wir noch so ergibt sich auch s a = b + c a, s b = a + c b F = s(s a)(s b)(s c). Damit ist die Heronsche Flächenformel bewiesen. und s c = a + b c, Den Zusammenhang zwischen Fläche F und Inkreisradius r eines Dreiecks = können wir der folgenden Skizze entnehmen: r r S w r Der Inkreisradius r war der gemeinsame bstand von S w zu den drei Ecken des Dreiecks, fällen wir also von S w aus Lote auf die drei Seiten, so haben die entstehenden 4-7

8 Lotfußpunkte jeweils den bstand r von S w. Hierdurch wird das Dreieck in drei Teildreiecke zerlegt, die jeweils S w und zwei der drei Ecken von als ihre Ecken haben. Weiter tritt der Inkreisradius r in jedem dieser Dreiecke als Höhe auf einer der drei Seiten von auf. Damit wird die Fläche F von zur Summe der drei Flächen dieser Teildreiecke, und diese eobachtung liefert uns einen Zusammenhang zwischen r und F. Korollar 1.16 (erechnung des Inkreisradius) Sei ein Dreieck mit Seiten a, b, c, Fläche F, Inkreisradius r und halbem Umfang s := (a + b + c)/. Dann gelten (s a)(s b)(s c) F = rs und r =. s eweis: Sei = und bezeichne S w den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von. Dann zerlegen wir in die drei Dreiecke S w, S w und S w. In jedem dieser Dreieck ist die Höhe durch S w gleich dem Lot von S w auf die entsprechende Seite von, die Länge dieser Höhe ist also der gemeinsame bstand r von S w zu diesen drei Seiten. Es folgt F = 1 ar + 1 br + 1 cr = r a + b + c = rs. Mit der Heronschen Flächenformel Satz 15 ergibt sich weiter r = F s = 1 s (s a)(s b)(s c) s(s a)(s b)(s c) =. s Damit kommen wir nun zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, die Existenz dieses Schnittpunkts ist dabei analog zum Fall der Winkelhalbierenden. Erinnern Sie sich dazu daran, dass die Mittelsenkrechte zweier Punkte, genau aus denjenigen Punkten X besteht die zu und denselben bstand haben, für die also X = X gilt. Satz 1.17 (Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) Sei = ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Mittelsenkrechten von in einem Punkt S u und dieser ist der eindeutige Punkt der von allen drei Ecken des Dreiecks denselben bstand hat. eweis: Sei S der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf und auf. Dann gelten S = S und S = S, also auch S = S und S liegt auch auf der Mittelsenkrechten auf. 4-8