Ein Partialmodell für Lebensversicherer BRiSMA die stochastische Modellierung biometrischer Risiken

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1 Solvency Consulting Knowledge Series Autor Lars Moormann Kontakt Dezember Münchener Rückversicherungs-Gesellschaft Königinstraße 107, München Bestellnummer In Zusammenhang mit der Entwicklung risikobasierter Aufsichtssysteme weltweit lässt sich verstärkt ein Trend hin zur Verwendung ökonomischer Kennzahlen in der Unternehmenssteuerung erkennen. Mit der Einführung von Solvency II werden die Unternehmen beispielsweise verpflichtet, eine ganzheitliche risikoadäquate Sicht auf das Gesamtunternehmen zu werfen. Zur Ermittlung des Solvenzkapitalbedarfs ist hierzu in Solvency II ein Standardansatz definiert, der eine große Bandbreite individueller Risikosituationen standardisiert. Ein Standardmodell kann zwar europaweit die Vergleichbarkeit zwischen Unternehmen vereinfachen, bildet aber nicht notwendigerweise das Risikoprofil eines einzelnen Unternehmens exakt und risikoadäquat ab. Um unter Solvency II die eigene Risikosituation möglichst exakt zu bewerten oder auch um die Unternehmenssteuerung nach Risikoaspekten zu optimieren, besteht unter Solvency II die Möglichkeit, zur Risikomodellierung anstatt einer vorgegebenen Struktur und Parametrisierung, wie sie im Standardmodel definiert sind, auch ein selbstentwickeltes mathematisches Risikomodell zu entwickeln. Dabei besteht die Möglichkeit, alle Risiken des Unternehmens mit einem eigenen quantitativen Modell zu bewerten, ein sogenanntes volles internes Modell, oder aber lediglich manche Risiken mit einem eigenen quantitativen Modell zu messen und andere wiederum mit der Standardformel zu quantifizieren. Dieser Ansatz wird als partielles internes Modell oder kurz als Partialmodell bezeichnet. Neben der differenzierteren Abbildung der individuellen Risikosituation bietet ein internes Modell auch die Möglichkeit, die Unternehmenssteuerung nach Risikoaspekten zu optimieren. So können beispielsweise die risikointensiven Produkttypen oder auch die wesentlichen Risikotreiber und Risikokomponenten in den einzelnen Produkten identifiziert werden. Ein individuell zu kalibrierendes Modell ermöglicht auch die Messung des Einflusses und Veränderungen einzelner Kalibrierungen und Parameter auf die Risikosituation des Unternehmens, womit die Berechnung verschiedener Szenarien vereinfacht wird. Da laut Solvency-II-Anforderungen insbesondere für das versicherungstechnische Risiko Leben keine unternehmensspezifischen Parameter (USP) verwendet werden dürfen, bildet die Implementierung eines eigenen Modells speziell für Lebensversicherungsunternehmen die einzige Möglichkeit, die unternehmenseigene Risikosituation individuell zu bewerten. So gehört beispielsweise im Schweizer Aufsichtssystem Swiss Solvency Test (SST) für Lebensversicherungsunternehmen die Verwendung von (partiellen) internen Modellen zum Normalfall. Aus dem Ergebnisbericht von EIOPA zur fünften quantitativen Auswirkungsstudie QIS5 geht hervor, dass in Europa knapp 10 Prozent aller teilnehmenden Unternehmen interne Modelle zur Berechnung des erforderlichen Solvenzkapitals (SCR) verwenden, davon sind 42 Prozent Partialmodelle. Fest steht: Mit internen Modellen lässt sich die Risikosituation individueller

2 Seite 2/6 erfassen, modellieren und bewerten. Dabei ist es möglich, das Risikokapital zu senken, wodurch ein gewisser Wettbewerbsvorteil entstehen kann, da geringere Kapitalkosten für das Unternehmen die Folge sind. Die Entscheidung für die Nutzung des Standardmodells oder für den Aufbau eines partiellen oder internen Modells wird somit von vielen Faktoren beeinflusst. Sie sollte nicht ausschließlich von aufsichtsrechtlichen Vorgaben abhängen, sondern vielmehr auch von strategischen Überlegungen im Hinblick auf die zukünftige Unternehmenssteuerung. Einführung Um seine Lebensversicherungskunden in diesem Thema adäquat unterstützen zu können, hat Munich Re einen Ansatz eines Partialmodells entwickelt, der stellenweise auf dem eigenen voll internen Modell von Munich Re basiert. Dieser Ansatz, genannt BRiSMA (Biometric Risk Stochastic Modelling Approach), ermöglicht die Modellierung des versicherungstechnischen Risikos Leben. Munich Re möchte hiermit seine Kunden in vielen Aspekten beraten, darunter unter anderem: Entscheidungsfindung: Lohnen sich die Kosten der Implementierung eines internen Modells? Wie verändert sich das Risikokapital? Beurteilung des eigenen Modells: Benchmark-Rechnung Optimierung von Risikokapital bis hin zu den Anfängen einer wertorientierten Steuerung: Welche Parameter haben den größten Einfluss aufs Risikokapital? Welchen ökonomischen Wert generiert eine Rückversicherungslösung? Wie lässt sich Rückversicherung optimieren? Daher wird der Ansatz gemeinsam mit dem Kunden im Rahmen eines Projektes diskutiert, und die Analyse findet unter Berücksichtigung möglichst vieler unternehmensindividueller Aspekte statt. Überblick Mit BRiSMA ist es möglich, verschiedene Lebensversicherungsprodukte (z. B. Todesfalldeckungen, Invaliditätsdeckungen) abzubilden. Dabei können, wie in Abbildung 1 ersichtlich, die folgenden im Standardansatz definierten Risikomodule ersetzt werden: Sterblichkeit Langlebigkeit Invalidisierung Katastrophe Die beiden übrigen Untermodule im versicherungstechnischen Risiko Leben, Kosten und Revision werden nicht berücksichtigt. Bei dem Untermodul Kosten ist unseres Erachtens eine stochastische Simulation nicht gerechtfertigt. Das Untermodul Revision reflektiert Änderungen der gesetzlichen Rahmenbedingungen oder des Gesundheitszustandes einer versicherten Person und ist nur dann anzuwenden, wenn aus diesen Gründen die Leistungen steigen können. Berücksichtigt werden nur diejenigen Renten, bei denen im Folgejahr ein Revisionsprozess möglich ist. Aufgrund der untergeordneten Bedeutung (in QIS5 kamen 2 Prozent des Risikokapitals für das versicherungstechnische Risiko Leben aus dem Untermodul Revision) wird es momentan in BRiSMA nicht abgebildet. Für die verschiedenen Produkte werden in BRiSMA unterschiedliche Übergangswahrscheinlichkeiten stochastisch modelliert. So liegt der Schwerpunkt bei Todesfallprodukten in der Modellierung der Übergangs- Abbildung 1: Risiko-Submodule im versicherungstechnischen Risiko Leben Abbildung 2: Übergangswahrscheinlichkeiten Versicherungstechnisches Risiko Leben Katas trophe BRiSMA Todesfallprodukte BRiSMA Invalidisierung Revision S x S x r x Kosten Aktiv Aktiv Invalide i x q a x q a x q i x Inva lidität Tot Tot Lang lebigkeit Sterblichkeit

3 Seite 3/6 wahrscheinlichkeiten vom aktiven Status zum oder zum Todesfall. Bei Produkten zur Absicherung der Invalidisierung werden deutlich mehr Übergangswahrscheinlichkeiten berücksichtigt, wie Abbildung 2 aufzeigt. Im ersten Teil dieser Knowledge Series wird der Ablauf eines typischen BRiSMA-Projektes vorgestellt, während der zweite Teil den fachlichen Ansatz und die Resultate von BRiSMA vorstellt. BRiSMA das Projekt Wie in Abbildung 3 dargestellt und im Weiteren ausführlich erläutert, wird BRiSMA in bis zu fünf Schritten als Gemeinschaftsprojekt mit dem Kunden durchgeführt. 1. Biometrische Portefeuille-Analyse Während bei den versicherungstechnischen Rückstellungen in der statutorischen Rechnungslegung üblicherweise das Vorsichtsprinzip vorherrscht, befürworten sowohl IFRS als auch Solvency II einen an ökonomischen Grundsätzen ausgerichteten Bilanzansatz, wobei Unterschiede zwischen IFRS und Solvency II bestehen können. Unter Solvency II basieren die quantitativen Anforderungen für Versicherungsunternehmen auf einem marktgerechten Wert der versicherungstechnischen Rückstellungen, für den man neben einem Zuschlag für künftige Kapitalkosten (Risk Margin) den sogenannten besten Schätzwert versicherungstechnischer Lebens-Verpflichtungen (Best-Estimate-Raten) benötigt. Die unternehmensspezifischen Best- Estimate-Raten bilden die Grundlage für die Hochrechnung realistischer Zahlungsströme, die die Entwicklung u. a. der Prämien, Schadenzahlungen und somit auch des Gewinns pro Jahr der Laufzeit abbilden. Abgesehen von Solvency II finden Best-Estimate-Raten noch bei verschiedenen anderen Aufgaben eines Lebensversicherers Anwendung, z. B. Embedded Value, IFRS, Monitoring, Pricing, Reservierung und Profit Testing. Dieser erste Schritt im BRiSMA-Projekt ist besonders wichtig, denn bei der Herleitung von Best-Estimate- Raten spielen viele Faktoren eine Rolle. Wichtig sind die Verfügbarkeit und Qualität der zu untersuchenden Daten. Ist der Bestand zu klein oder die Beobachtungsdauer zu kurz, sind die Ergebnisse unter Umständen statistisch nicht repräsentativ. Aktuarielle Expertise, adäquate mathematische Verfahren (z. B. Glättungsverfahren und Vergleiche mit Referenztafeln) sowie professionelle Tools oder Auswertungssoftware sind für die Ermittlung von Best Estimates unabdingbar. Im Idealfall sind unserem Kunden die eigenen Best-Estimate-Raten bekannt und er kann die konkreten Hochrechnungen der realistischen Zahlungsströme liefern. Andernfalls können Näherungswerte verwendet werden oder auf die Unterstützung von Munich Re bei einer individuellen biometrischen Portefeuilleanalyse zurückgegriffen werden. 2. Modellierung der Zahlungsströme (Cash Flows) Grundlage jeder Modellierung bilden die Best-Estimate-Zahlungsströme. Für BRiSMA werden als Inputparameter je nach zu bewertendem Produkt verschiedene separate Zahlungsströme (Prämieneinnahmen, Schadenzahlungen etc.) benötigt. Im Projektionszeitraum ist für jedes Kalenderjahr wenigstens eine Best- Estimate-Schätzung zur Einnahme von Risikoprämien und Auszahlung von Versicherungsleistungen bis zum Run-off des Portefeuilles erforderlich. Da BRiSMA auch der Analyse der Wirkungsweise von Rückversicherungsverträgen dient, werden in diesem Projektschritt weitere Zahlungsströme, die Netto-Zahlungsströme (gebildet unter Berücksichtigung von Rückversicherung), für den gesamten Projektionszeitraum berechnet. Darunter versteht man die Brutto- Zahlungsströme (vor Rückversicherung), bereinigt um die Zahlungsströme, die zusätzlich durch den Rückversicherungsvertrag generiert werden. Die Modellierung erfolgt analog zu den Solvency-II-Anforderungen unter der Annahme des natürlichen Bestandsauslaufs. In die Projektionsrechnung fließt somit kein Neugeschäft ein. Die Best-Estimate-Zahlungsströme (brutto/netto) werden sowohl als Inputparameter für den Standardansatz als auch für das Partialmodell benötigt. Sollten diese beim Kunden nicht vorliegen, unterstützt BRiSMA bei der Berechnung. 3. Berechnung des SCR life mit dem Standardansatz Nach Eingabe der Best-Estimate- Zahlungsströme bietet BRiSMA die Möglichkeit, das Risikokapital für das versicherungstechnische Risiko Leben SCR life unter Verwendung des Standardansatzes zu ermitteln. Dabei werden die Untermodule Kosten und Revision nicht berücksichtigt. Als Schockfaktoren werden die jeweils aktuellen Parameter aus Solvency II sowie die aktuelle Korrelationsmatrix verwendet. 4. Ermittlung des ökonomischen Risikokapitals durch stochastische Simulation Dieser Projektschritt ist der wesentliche Teil von BRiSMA. Inputpara meter Abbildung 3: Teilschritte eines BRiSMA-Projektes Biometrische Portfeuille- Analyse 1. Modellierung der Zahlungsströme 2. Berechnung des SCR life mit dem Standardansatz 3. Stochastische Simulation des Risikokapitals 4. Ergebnispräsentation 5.

4 Seite 4/6 sind auch hier die im zweiten Projektschritt berechneten Best-Estimate-Zahlungsströme. Es müssen aber darüber hinaus weitere Parameter definiert und die zugrunde gelegten Verteilungen kalibriert werden. Für die einzelnen Risikokomponenten der Risikotreiber werden verschiedene mathematische Verteilungen mit entsprechenden Variationskoeffizienten definiert. Die individuelle Kalibrierung der stochastischen Risikokomponenten erfolgt in enger Absprache mit dem Kunden. Je nach Produkttyp, Projektionshorizont und modellierten Übergangswahrscheinlichkeiten sind einige Simulationen in kurzer Zeit zu berechnen. In diesem Projektschritt ist es auch möglich, Sensitivitäten einzelner Kalibrierungen bzw. Inputparameter, z. B. Veränderungen in den annahmen, zu berechnen. Die wesentlichen Unterschiede zum Standardansatz sind zum einen die Berechnung des Risikokapitals durch die Verwendung von stochastischen Simulationen, zum anderen die individuelle Kalibrierung der stochastischen Risikokomponenten. 5. Vorstellung der Ergebnisse Zum Abschluss des BRiSMA-Projektes werden alle Schritte des Projekts zusammengefasst und dokumentiert. Sie werden im Anschluss in einer gemeinsamen Präsentation mit den Einzelergebnissen von unseren Solvency-Experten dem Kunden vorgestellt. Die Ergebnisse umfassen dabei mindestens den Vergleich zwischen Standardansatz und Partialmodell, sowie das Risikokapital ohne Rückversicherung und unter Berücksichtigung von Rückversicherung. Die Art der Ergebnisse werden in einem separaten Absatz dieser Knowledge Series vorgestellt. BRiSMA der fachliche Ansatz BRiSMA ist kein implementierungsfähiges Softwaretool. Vielmehr stehen der fachliche Aspekt und die Idee der stochastischen Modellierung von biometrischen Risiken im Vordergrund. In einem BRiSMA-Projekt diskutiert Munich Re mit seinen Kunden gemeinsam die Methodik und Herangehensweise bei der Implementierung eines Partialmodells. Deshalb liegt der Schwerpunkt unserer Experten nicht auf der Entwicklung von IT-Software, sondern auf der Weiterentwicklung und Anpassung von den Funktionalitäten. BRiSMA selbst basiert auf einer Excel-Anwendung mit einer integrierten Statistiksoftware. Die konzeptuelle Logik sollte grundsätzlich ohne größeren Aufwand in eine bestehende IT-Landschaft oder Systemumgebung integrierbar sein. Dies ist ein wichtiger Aspekt, denn im Rahmen des Zertifizierungsprozesses von partiellen oder internen Modellen werden Daten, Tools, IT- Systeme usw. auf ihre Revisionssicherheit geprüft. Dabei ist es wichtig, dass die Funktions- und Arbeitsweise der verwendeten Systeme bestimmten Funktionen im Unternehmen bekannt ist. Die Funktionsweise Die Methodik in BRiSMA fundiert auf der Idee, die einzelnen Risikotreiber (z. B. Sterblichkeit) in jeweils vier verschiedene Risikokomponenten zu zerlegen und für diese dann stetige oder diskrete Verteilungen zu definieren. Folgende vier Risikokomponenten werden unterschieden: Zufallsrisiko Diese Risikokomponente beinhaltet die jährliche zufällige Schwankung um den Best-Estimate-Wert. Katastrophenrisiko Das Katastrophenrisiko berücksichtigt extreme Schwankungen z. B. aufgrund von Naturkatastrophen oder Pandemien. Basisrisiko Im Basisrisiko werden Schwankungen aufgrund von Fehlern in der Tarifierung und bei der Reservierung widergespiegelt. Diese Fehler können durch Fehlinformationen, Änderungen in der Gesetzgebung oder falsche Rechnungsgrundlagen aufgrund unzureichender oder irrtümlicher Datenbasen entstehen. Abbildung 4: Zerlegung der Risikotreiber in jeweils vier Risikokomponenten Sterblichkeit Invalidität Risikotreiber Auf Grundlage der Ergebnisse werden dann mit dem Kunden weitergehende Schritte, wie z. B. die Anpassung von Kalibrierungen oder Rückversicherungsparameteren, vereinbart. Zufallsrisiko Risikokomponenten Katastrophenrisiko Basisrisiko Trendrisiko

5 Seite 5/6 Trendrisiko Im Best Estimate werden gewisse Trendannahmen berücksichtigt. Jedoch können sich diese Trends über die lange Laufzeit von Lebensversicherungsprodukten verändern oder neue Trends entstehen. Basierend auf historischen Daten werden hier mögliche Schwankungen berücksichtigt. Der wesentlichste Teil von BRiSMA besteht in der Festlegung und Definition der Verteilungen für die vier Risikokomponenten. Dabei ist die Zielsetzung, das Partialmodell so unternehmensindividuell wie möglich zu kalibrieren. Folgenden Quellen werden hierzu herangezogen: 1. Ergebnisse und Daten der individuellen biometrischen Portefeuilleanalyse 2. Weitergehende unternehmensindividuelle Daten (z. B. Geschäfts-/ Risikobericht) sowie daraus folgende Annahmen für den Projektionshorizont 3. Markt- bzw. Bevölkerungsstatistiken 4. Parameter aus Solvenzmodellen, wie bspw. SST 5. Expertenmeinungen Schließlich lässt sich über alle Simulationen damit das benötigte Risikokapital unter Verwendung des Risikomaßes Value at Risk berechnen. Das Konfidenzintervall lässt sich variabel festlegen und ist standardmäßig analog zum Solvency-II-Standardmodell mit 99,5 Prozent festgelegt. Rückversicherung BRiSMA berücksichtigt aktuell insbesondere proportionale Rückversicherungsverträge, wie beispielsweise Quoten- und Exzedentenverträge. Als Rückversicherungsparameter können unter anderem Gewinnbeteiligungen (in Prozent des Rückversicherungsergebnisses) berücksichtigt werden. Dabei kann in Jahren mit negativem Ergebnis auch ein Verlustvortrag gebildet werden, der ohne Einschränkung vorgetragen wird. Der Verwaltungskostenvorwegabzug für die Rückversicherung kann als fester Betrag oder als Prozent der Rückversicherungsprämie vorgegeben werden. Bei der Definition der Verteilungen für die Risikokomponenten werden die Effekte durch die Rückversicherungsverträge berücksichtigt. Beispielsweise ergibt sich insbesondere durch einen Exzedentenrückversicherungvertrag eine Homogenisierung des Portefeuilles, das unter anderem in einem geringeren Variationskoeffizient für das Zufallsrisiko resultiert. Diese werden explizit mit den Kundendaten und unter Berücksichtigung der Rückversicherungsparameter berechnet. Ergebnisse Neben dem Risikokapital basierend auf dem Solvency-II-Standardansatz liefert BRiSMA insbesondere das ökonomische Risikokapital für das versicherungstechnische Risiko Leben, berechnet mittels stochastischer Simulation in einem Partialmodell. Das Risikokapital wird sowohl ohne als auch unter Berücksichtigung von Rückversicherung ausgewiesen. Wie am Beispiel in Abbildung 5 ersichtlich wird, sinkt das Risikokapital bei stochastischer Modellierung um etwa 16 Prozent im Gegensatz zum Solvency-II-Standardmodell unter QIS5. Betrachtet man das Risikokapital unter Berücksichtigung der Rückversicherung, ist zu erkennen, dass das Partialmodell die Wirkung von Rückversicherung genauer abbildet, die Risikokapitalersparnis ist mit 27 Prozent höher als im Standardmodell mit 22 Prozent. Der risikoreduzierende Effekt durch Rückversicherung (graue Kurve in Abbildung 6) spiegelt sich in einer deutlich geringeren Streuung wider, was der Verlauf der Ergebnisvertei- Die jeweiligen Einzelergebnisse aller vier Risikokomponenten werden ab - schließend zu einer stochastischen Variablen aggregiert, die die Best-Estimate-Zahlungsströme in jedem Jahr des Projektionszeitraumes pro Simulation verändern (Anstieg oder Rückgang). Abbildung 5: Risikokapital, berechnet unter Verwendung des Solvency-II- Standardmodells QIS5 sowie mittels stochastischer Simulierung jeweils mit und ohne Rückversicherung m 35 Aus den verschiedenen Zahlungsströmen wird somit das simulierte Ergebnis pro Jahr berechnet und anschließend diskontiert. Aus dem Barwert der simulierten Ergebnisse wird im Anschluss an jede Simulation die Abweichung zum Barwert der Best-Estimate-Ergebnisse berechnet. Diese Abweichung ist als Schwankung des Net Asset Values aufzufassen. Dadurch wird die Höhe des Risikokapitals bestimmt. Es ergeben sich weitere statistische Kenngrößen, wie z. B. Erwartungswert, Standardabweichung und Quantil r ~ 16 % gross BRiSMA r ~ 27 % net gross QIS5 r ~ 22 % net

6 Seite 6/6 lung eines Portefeuilles mit und ohne Rückversicherung aufzeigt. Somit erhält der Kunde eine rasche Transparenz über die risikokapitalentlastende Wirkung durch Rückversicherung, die sowohl quantifiziert als auch in Form einer empirischen Dichtefunktion dargestellt werden kann. Als weiteres Ergebnis liefert BRiSMA die Kapitalkosten für das berechnete Risikokapital. Hierzu ist in BRiSMA ein Kapitalkostenansatz integriert, der dem Cost-of-capital-Ansatz des Standardansatzes ähnelt. Speziell für Lebensversicherer, die nach Embedded Value ihr Geschäft steuern, ist es von großem Interesse, den Einfluss der Rückversicherung auf den Embedded Value zu kennen oder transparent zu machen. BRiSMA ermöglicht die Betrachtung der Kapitalkosten und eine Analyse individueller Auswirkungen auf den Embedded Value. Es lassen sich dadurch die durch Rückversicherung eingesparten Kapitalkosten ins Verhältnis zu den Rückversicherungskosten setzen. Somit lässt sich die quantitative Wirkung von Rückversicherung auf einer breiteren Basis betrachten und ein möglicher Mehrwert (eingesparte Kapitalkosten Rückversicherungskosten) für den Kunden berechnen. Mit diesem Ansatz lassen sich Rückversicherungverträge optimieren. So zeigt Abbildung 7 diesen Mehrwert im Verhältnis zum definierten Selbstbehalt des Kunden für ein beispielhaftes Portefeuille. Darüber hinaus lassen sich mit BRiSMA weitere, vielseitige Sensitivitätsanalysen durchführen. Hierbei helfen die Flexibilität und die vielseitigen Ergebnis- und Auswertungsmöglichkeiten, die BRiSMA bietet. Fazit Nach mehreren erfolgreich durchgeführten Gemeinschaftsprojekten mit europäischen Versicherungsgesellschaften lautet das gemeinsame Fazit: BRiSMA lässt sich für verschiedene Zielsetzungen einsetzen, unter anderem: Mögliche Risikokapital- und Kapitalkostenersparnis bei Verwendung eines Partialmodells im Vergleich zum Standardansatz Benchmark-Berechnung zum unternehmenseigenen Partialmodell Identifizierung der Haupttreiber beim Risikokapital Sensitivitätsanalysen einzelner Risikotreiber sowie Stresstests Optimierung der Rückversicherungsverträge Als weiteres Fazit hat sich gezeigt: Das im Partialmodel mit BRiSMA er - mittelte ökonomische Risikokapital für das versicherungstechnische Risiko Leben ist i. A. geringer als unter Anwendung des Standardansatzes. Somit ist die Implementierung eines partiellen oder voll internen Modells nicht nur aus risikoadäquaten oder steuerungsoptimierten Aspekten sinnvoll, sondern kann sich auch finanziell lohnen. Abbildung 6: Verlauf einer Ergebnisverteilung eines Portefeuilles mit und ohne Rückversicherung mit Rückversicherung Abbildung 7: Funktion des Mehrwerts in Abhängigkeit vom Selbstbehalt Mehrwert ohne Rückversicherung Not if, but how Selbstbehalt

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