Gemischte Modelle. Fabian Scheipl, Sonja Greven. SoSe Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München

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1 Gemischte Modelle Fabian Scheipl, Sonja Greven Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München SoSe 2011

2 Inhalt Amsterdam-Daten: LMM Amsterdam-Daten: GLMM Blutdruck-Daten

3 Amsterdam-Daten: LMM Daten Amsterdamer Wachstums- und Gesundheitsstudie Gesamt-Serumcholesterol von 147 Probanden insgesamt 6 Mal pro Proband gemessen Kovariablen: t: Zeit: Beginn der Studie 1977 (t = 0) alle Probanden 13 Jahre alt; ersten vier Messungen im Jahresabstand, letzten beiden Messungen 1985 und 1991 bfatness: Körperfettmessung (zeitvariierend): Summe der Dicke von 4 Hautfalten (mm) smoker: Raucher (ja/nein; zeitvariierend) gender: Geschlecht fitness: Fitness-Level bei Aufnahme in die Studie (also bei t=0). Gemessen als maximale Sauersto-Aufnahme bei einem Laufbandtest. Response: TC: Gesamt-Serumcholesterol (mmol/l)

4 Amsterdam-Daten: LMM Deskription Erstellen Sie mit der Funktion xyplot einen Spaghettiplot der TC-Messungen für die vier möglichen Kombinationen von smoker und gender Benutzen Sie bwplot, um für die beiden Geschlechter Boxplots der TC-Messungen über die Zeit zu erstellen. Berechnen Sie für jeden Zeitpunkt Mittelwerte und Standardabweichungen der TC-Messungen für die beiden Geschlechter.

5 Amsterdam-Daten: LMM Modellierung Passen Sie an die Daten ein einfaches LMM mit zeitlichem Trend sowie Random-Intercept und Random-Slope an. Geben Sie die Modellformel und die entsprechenden Verteilungsannahmen für die vorkommenden Zufallsvariablen an. Identizieren Sie aus dem Output die Schätzer aller auftretenden Parameter. Bestimmen Sie die marginale Kovarianzmatrix der Beobachtungen eines Individuums aus der Studie und interpretieren Sie diese. Wie sieht die marginale Kovarianzmatrix des gesamten Responsevektors aus? Modelldiagnose: Überprüfen Sie grasch ob die Modellannahmen für die Fehlerterme für dieses einfache Modell erfüllt sind.

6 Amsterdam-Daten: LMM Random Eects Testen Sie, ob der Random-Slope benötigt wird. Was müssen Sie bei diesem Test beachten? Wie wäre eine Ablehnung der Nullhypothese inhaltlich zu interpretieren? Skizzieren Sie mit Hilfe eines Plots von t gegen y, was positive bzw. negative Korrelation zwischen den beiden Random-Eects im einfachen LMM bedeutet. Fitten Sie subjektspezische lineare Modelle und vergleichen Sie die subjektspezischen Koezienten mit denen aus dem einfachen LMM.

7 Amsterdam-Daten: GLMM Daten Eigentlich von Interesse ob Studienteilnehmer in kardiovaskuläre Risikogruppe fallen oder nicht. Für jeden Zeitpunkt t ist kardiovaskulärer Risikoindikator Y (0=klein, it 1=groß) von Individuum i gegeben durch Y it = I (Y it > q 0.75 (t)), mit q 0.75 (t) 75%-Quantil der beob. TC-Messungen zum Zeitpunkt t

8 Amsterdam-Daten: GLMM Modellierung Fitten Sie ein gemischtes logistisches Regressionsmodell mit festen Eekten (nur Haupteekte) für t, gender und smoker sowie einem Random-Intercept mit AGQ. Geben Sie die entsprechende Modellformel für dieses Modell an und identizieren Sie aus dem Output die Schätzer für alle relevanten Größen. Interpretieren Sie die Regressionskoezienten für smoker und gender auf der Odds-Ratio-Skala und geben Sie für diese Kovariablen asymptotische 95%-Kondenzintervalle an.

9 Blutdruck-Daten Daten simulierte Daten - Story: Bei jedem Arzttermin wurde der Blutdruck von 96 medikamentös behandelten Hypertonikern (Patienten, die an Bluthochdruck leiden) gemessen. Die Patienten stellten sich beim Hausarzt in unregelmäßigen und unterschiedlichen Zeitabständen vor. Bereits vor Beginn der Behandlung wurde der Blutdruck mehrmals gemessen, um sicherzustellen, dass eine Behandlung tatsächlich angezeigt ist. Es liegen also für jeden Patienten mehrere Messungen vor und nach Beginn der Behandlung. Response: y (Blutdruck) Kovariable: t (Zeit in Monaten)

10 Blutdruck-Daten Deskription Stellen Sie die Daten grasch dar, sowohl getrennt nach Subjekten als auch im Ganzen. Was wurde hier oensichtlich als Zeitpunkt t = 0 deniert? Warum ist das günstig?

11 Blutdruck-Daten Modellierung Formulieren Sie auf Basis der Plots ein angemessenes Modell für diese Daten, schreiben Sie die Modellformel mit allen Verteilungsannahmen auf und interpretieren Sie die Modellgleichung inhaltlich. Schätzen Sie das Modell in R und identizieren Sie aus dem Output die Schätzer aller auftretenden Parameter.

12 Blutdruck-Daten Modelldiagnose/-erweiterung Plotten Sie die Struktur der Residuen - Worauf deutet der beobachtete Trend in den Residuen im Bezug auf die zeitliche Entwicklung des Blutdrucks hin? Wie ist der Sachverhalt inhaltlich zu interpretieren? Welchen zusätzlichen Term kann man in das Modell aufnehmen um dem beobachteten Trend in den Residuen gerecht zu werden? Welches Vorzeichen erwartet man für den Koezienten dieses zusätzlichen Terms? Fitten Sie das erweiterte Modell und überprüfen Sie wiederum die Modellannahmen.

13 Blutdruck-Daten Inferenz Wie kann die Struktur der zufälligen Eekte des erweiterten Modells vereinfacht werden? Führen Sie dazu den entsprechenden Test durch. Was müssen Sie bezüglich der Verteilung der Teststatistik beachten? Plotten Sie die realisierten zufälligen Eekte aus dem vereinfachten Modell. Interpretieren Sie die geschätzte Korrelationsstruktur der zufälligen Eekte inhaltlich. Man möchte nachweisen, daß der Blutdruck nach Beginn der Behandlung signikant sinkt. Formulieren Sie die entsprechende Nullhypothese und führen Sie den Test durch.