Projekt 2. Ising Modell: Monte Carlo Sampling auf dem Gitter, Phasenübergänge (Kurt Langfeld) 2.1 Das Ising Modell. 2.1.

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1 Projekt 2 Ising Modell: Monte Carlo Sampling auf dem Gitter, Phasenübergänge (Kurt Langfeld) 2.1 Das Ising Modell Allgemeines Das Ising Modell realisiert eine sehr vereinfachte Vorstellung von einem Ferromagneten in einem Modell. Wir werden untersuchen, inwieweit das vereinfachte Bild bereits in der Lage ist, komplexe Eigenschaften des Ferromagneten wie permanente Magnetisierung (Stabmagnet) und Phasenübergang zu beschreiben. Es geht dabei darum, mit möglichst einfachen Mitteln (Modell) ein vielfältiges physikalisches System zu verstehen, und weniger darum, ein konkretes Material genau zu beschreiben. Wir werden sehen, dass obwohl die zugrundeliegende physikalische Beschreibung sehr leicht zu verstehen ist, für die konkrete mathematische Berechnung ein numerisches Verfahren das Monte Carlo Sampling angebracht ist. Das Ising Modell ist also ein einfaches Modell für ein ferromagnetisches Material in 2 Raumdimensionen. Wir nehmen dazu ein quadratisches Gitter mit jeweils n Gitterplätzen in x und y Richtung an. Auf jedem dieser Gitterplätze α befindet sich ein Spin S α (ein magnetisches Moment), der sich entweder parallel S α = 1 oder antiparallel zur z-achse S α = 1 orientieren kann. Ein komplettes System von Spins mit gegebener Ausrichtung heißt Konfigration. Um jetzt unsere Vorstellung von einem ferromagnetischen Material zu realisieren, nehmen wir für eine Spinkonfiguration folgende Energie an: H(S) = B S α J S α S β (2.1) α <αβ> Dabei bezeichnet der Summationsindex < αβ > die Summation über alle Paare von Gitterplätzen, die direkt benachbart sind. Anschaulich bedeutet diese Gleichung, dass energetisch günstiger ist, wenn zwei benachbarte Spins gleich orientiert sind (egal ob in positive oder negative z-richtung). Zusätzlich kann man Energie gewinnen, wenn die Spins parallel zu einem äußeren Magnetfeld B ausrichtet, das in positive z-richtung 1

2 2PROJEKT 2. ISING MODELL: MONTE CARLO SAMPLING AUF DEM GITTER, PHASENÜBE zeigt. Wir werden sehen, dass diese einfache Vorstellung von einem Ferromagneten bereits viele seiner Eigenschaften beschreiben kann. parallele Spins: dh = J anti parallele Spins: dh = +J.. ausseres Magnetfeld dh = B dh = +B Spin und seine naechsten Nachbarn Abbildung 2.1: Wechselwirkungen der Spins (links), und eine Illustration der periodischen Randbedingungen (rechts). Um Effekte zu Minimieren, die vom Rand des Gitters stammen, nehmen wir zusätzlich periodische Randbedingungen an, d.h.: Ein Spin am unteren Rand des Gittersbesitzt einen direkten Nachbarn am entsprechenden Gitterplatz des oberen Randes. Das gleiche gilt für den linken und den rechten Rand. Eine Illustration der nächsten Nachbar Wechselwirkung findet man in Abbildung 2.1. Bei vorgegebener Temperatur T und Magnetfeld B in z-richtung ist die Magnetisierung dieses Spingitters durch M = ( ) w(s) S α (2.2) S α gegeben. Dabei geht die erste Summe über alle möglichen Spinkonfigurationen S des Gitters und die zweite Summe berechnet bei vorgegebener Konfiguration S die gesamte Spinprojektion in z-richtung. Die Größe w(s) läßt sich als Wahrscheinlichkeit interpretieren, dass man eine gegeben Spinkonfiguration antrifft. Diese Gewichtsfunktion ergibt sich aus den Regeln der Thermodynamik zu mit der Zustandssumme w(s) = Z = S exp ( H(S)/T ) Z (2.3) exp ( H(S)/T ). (2.4)

3 2.2. IMPORTANCE SAMPLING 3 Entsprechend kann man auch die mittlere Energie des Systems ausrechnen: E = S w(s)h(s). (2.5) Die Mean-field Näherung Im folgenden werden wir die Magnetisierung näherungsweise berechnen, um eine Idee über die Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung zu bekommen. Ausgangspunkt der sogenannten Mean-field Näherung ist die Energie (2.1): H(S) = B S α J S α S β B S α J S α S (2.6) α <αβ> α <αβ> = ( B + 4J S ) S α. (2.7) α Dabei haben wir die Spins der nächsten Nachbarn durch den Erwartungs wert S = 1 S α n α ersetzt (n ist die Gesamtzahl der Spins). Die Zustandssumme läßt sich nun analytisch ausrechnen: Z = [ S=±1 exp {( B + 4J S ) /T S }] n [ = 2cosh B + 4J S ] n. T Ein Vergleich von (2.2) und (2.4) zeigt, dass die Magnetisierung leicht berechnet werden kann, wenn die Zustandssumme bekannt ist: M = T d ln Z db. Setzen wir hier die Meanfield Näherung für die Zustandssumme ein, so erhalten wir die sogenannte Selbstkonsistenzbedingung ( ) B + 4J S S = tanh. (2.8) T Diese nichtlineare Gleichung dient der Berechnung des Erwartungswerts S als Funktion der Temperatur T und des äußeren Magnetfeldes B. 2.2 Importance Sampling Generierung von Zufallszahlen Typischerweise wird zunächst einmal eine Folge von Zufallszahlen aus dem Bereich der natürlichen Zahlen zwischen 0 und M 1 generiert durch die Vorschrift J n+1 = Mod(J n I 1 + I 2, M) (2.9)

4 4PROJEKT 2. ISING MODELL: MONTE CARLO SAMPLING AUF DEM GITTER, PHASENÜBE daraus ergeben sich dann Zufallszahlen im Interval [0, 1] durch x n = J n M 1 Die Qualität des Zufallszahlengenerators hängt natürlich von der Wahl der Konstanten I 1, I 2, M in (2.9) ab. Dazu stellen wir Ihnen Programme zur Verfügung: ran3.x für FORTRAN77 (x=f), FORTRAN90 (x=f90) und C (x=c) für einen Zufallszahlengenerator, der Zufallszahlen im Bereich [0,1] generiert z.b. durch den F77 Funktionsaufruf x = RAN3(ISEED) Dabei ist ISEED eine (negative) Integer Zahl, die zum Start einzugeben ist und dann immer wieder upgedatet wird Monte-Carlo Berechnung von Integralen Betrachten wir Integrale der Form I = f(x) w(x) dx w(x) dx, w(x) [0, 1]. Da w(x) positiv definit ist, kann w(x) dx als die Wahrscheinlichkeit intepretieren, dass ein Wert x im Intervall [x, x+dx] auftaucht, und I erhält Bedeutng als Erwartungswert: I = f. Man erzeugt nun ein Folge von Werten, x 1... x N, die gemäß der Wahrscheinlichkeitsdichte w(x) verteilt sind, und findet eine Nährungswert (Estimator) für das Integral durch: I 1 N f(x i ). N Der Fehler ɛ f für den Wert I läßt sich ebenfalls abschätzen mit: ɛ 2 f Betrachten wir das Beispiel und wählen: = σi 2 1 N σ2 f = 1 1 N N i=1 N f 2 (x i ) i=1 ( 1 N ) 2 N f(x i ) (2.10) i=1 1 I = 4 1 x2 dx = π (2.11) 0 w(x) = 1, f(x) = 1 x 2. Um nun eine Folge von x Werten zu erzeugen, geht man in der Praxis folgendermaßen vor: man bestimmt ein x i (mit gleicher Wahrscheinlichkeit, w(x) = 1) aus dem Intervall [0, 1] (siehe vorheriges Unterkapitel). Für eine Folge x 1... x N berechnen man f, f 2 und somit eine Abschätzung für I und den zugehörigen statistischen Fehler ɛ f.

5 2.2. IMPORTANCE SAMPLING 5 Etwas komplizierter ist das Beispiel: I = π/2 0 sin x cos x dx π/2 0 cos x dx = 1 2. (2.12) Hier setzen wir: f(x) = sin x, w(x) = cos x. Um die Folge x 1... x N zu erzeugen, wähle man zunächst einen Kanditaten x (mit gleicher Wahrscheinlichkeit) aus dem Intervall [0, π/2], und berechne p = w(x). Nun bestimme man eine gleichverteilte Zufallszahl q aus dem Intervall [0, 1]. Wenn q < p gilt, akzeptieren wir den Vorschlag x als zulässiges Glied der Folge. Wenn nicht, wiederholen wir die Prozedur bis wir ein neues Glied der Folge gefunden haben. Der Vorteil der Monte-Carlo Integration ist, dass diese sich sehr einfach auf hochdimensionale Integrale erweiteren läßt. Der Nachteil besteht in der geringen Genauigkeit des Verfahrens: während eine Integral Diskretisierung eine Genauigkeit der Ordnung O(1/N) liefern, ist die Genauigkeit des MC Verfahrens nur von der Ordnung O(1/ N) Der Heat-Bath Algorithmus Ausgangspunkt für die statistische Beschreibung des Ising Spin Systems ist die Zustandssumme Z = S={S x} exp b β x S x + β wobei wir folgende Abkürzungen eingeführt haben: <xy> S x S y (2.13) β = J T, b = B J. Wir betrachten ein quadratische Gitter, das n = L 2 Spinplätze trägt. Zusätzlich nehmen wir periodische Randbedingungen an. Der Heat-Bath Algorithmus gehört wie der Metropolis Algorithmus zur der Klasse der Local-Update Algorithmen. Man geht wie folgt vor: 1. Man wählt zufällig einen Gitterpunkt x 0. Der Update des zugehörigen Spins S x0 wird im folgenden studiert. 2. Alle anderen Spins werden für den Update Schritt als fest betarchtet. Diese bilden das sogenannte Heat-Bath. Der Anteil, der der Spin S x0 zur Gesamtenergie beiträgt, ist gegeben durch: H = const. β h 0 S x0, h 0 = x <xx 0 > σ x + b (2.14)

6 6PROJEKT 2. ISING MODELL: MONTE CARLO SAMPLING AUF DEM GITTER, PHASENÜBE 3. Mit der Wahrscheinlichkeit p = exp{βh 0 } exp{ βh 0 } + exp{βh 0 } (2.15) wird der Spin σ x0 auf 1 gesetzt. Dazu wird eine Zufallszahl z [0, 1] erzeugt. Gilt z < p, wird σ x0 auf 1 gesetzt, andernfalls auf Man wähle einen neuen Gitterpunkt x 0 und mache mit Punkt 1 weiter. Wenn der Update an jedem Gitterpunkt vollzogen ist, spricht man von einer Iteration. Üblicherweise werden zu Beginn Iterationen ausgeführt, um das Spinsystem ins Gleichgewicht zu bringen ( Thermalisieren ). Desweiteren werden dummy Iterationen zwischen zwei Messungen ausgeführt, um die Korrelationen zwischen den Spinensembles zu reduzieren. Würde man versuchen, die Summe über alle Spinkonfigurationen in (2.13) direkt auszuführen, würde man schnell an die Grenze des machbaren stoßen: da jeder Gitterplatz zwei Spineinstellungen tragen kann, gibt es insgesamt 2 n Spinkonfigurationen. Für ein nicht allzugroßes Gitter von n = L 2 = 50 2 = 250 Spinplätzen sind das immerhin Spinkonfigurationen. Man stellt jedoch fest, dass das statistische Gewicht für die meisten der Konfigurationen verschwindend gering ist. Die Idee des Importance Sampling besteht nun darin, nur Konfigurationen zu berücksichtigen, die über ein signfikantes Gewicht verfügen. Der Heat-Bath Algorithmus leistet nun gerade dies: aus einer relevanten Konfigurationen wird durch den Update Schritt eine weitere relevante erzeugt. Natürlich muß man sicherstellen, dass die erzeugten Konfigurationen statistisch unabhängig sind, und dass alle relevanten Konfigurationen erzeugt werden. Wir werden sehen, dass dieses in der Nähe des Phasenübergangs keine leichte Aufgabe ist. 2.3 Aufgaben: Meanfield Näherung Gehen Sie von der Meanfield Gleichung (2.8) aus und betrachten Sie zunächst den Fall B = 0. Für welchen Temperaturbereich besitzt die Selbstkonsistenzgleichung außer S = 0 eine weitere Lösung S 0? Lösen Sie die Selbstkonsistenzgleichung (beispielsweise mit einem Newton Verfahren), und bestimmen Sie S als Funktion von β [0.1, 1] für die Fälle b = 0, b = 0.1 und b = 0.5. [Hinweis: β = J/T, b = B/J] MC Integrale Berechnen Sie mit MC Methoden eine Nährung für die Integrale I in (2.11) und (2.12). Bestimmen Sie jeweils den Estimator I und den zugehörigen Fehler ɛ f für N = 10, 100, 1000, Vergleichen Sie jeweils mit dem exakten Resultat.

7 2.4. THEORIE DER PHASENÜBERGÄNGE Heat-Bath Algorithmus Schreiben Sie ein Programm, das den Heat-Bath Algorithmus zur Simulation des 2- dimensionalen Ising Modells implementiert. Verwenden Sie ein Gitter und periodische Randbedingungen. Eingabeparameter sind β und b. x S (k) x a. Setzen Sie zunächst b = 0. Sei s k = 1 der über das Volumen gemittelte Spinerwartungswert, ausgewertet mit dem Spinensemble der k-ten Iteration. n Plotten Sie s k als Funktion von k für β = 0.3, 0.34, 0.38, 0.4, 0.44 und schätzen Sie ab, wann das Spinsystem das thermische Gleichgewicht erreicht hat. Starten Sie dazu einmal mit einem Spinensemble S x = 1, x (cold ensemble) und einmal mit einem Ensemble aus zufallsverteilten Spins (hot ensemble) und beobachten Sie, ab welchem k beide Ensembles etwa das gleiche s k liefern. b. Bestimmen Sie mit dem Heat-Bath Algorithmus S als Funktion von β [0.1, 1] für die Fälle b = 0, b = 0.1 und b = 0.5. Vergleichen Sie mit den Ergebnissen der Meanfield Näherung. 2.4 Theorie der Phasenübergänge Man spricht von einem Phasenübergang, wenn sich der Zustand von Materie qualitativ ändert, sobald ein äußerer Parameter einen kritischen Wert erreicht. Ein allgemein bekanntes Beispiel ist der Phasenübergang von flüssigem Wasser zu Wasserdampf, wenn die Temperatur einen kritischen Wert von C erreicht. Ein anderes Beispiel bietet der Ferromagnet: die Wechselwirkung zwischen den Spins bevorzugt eine Gleichausrichtung. Bei kleinen Temperaturen liegt der Ferromagnet daher in einer geordneten Phase vor: Der Magnet besteht aus Weißschen Bezirken, in denen die Spins praktisch in die gleiche Richtung zeigen. Wird eine kritsche Temperatur (Curie Temperatur) überschritten, so findet ein Übergang zu einer ungeordenten Phase statt: die Spins sind willkürlich orientiert; die permanente Magnetisierung des Magneten verschwindet. Wir werden sehen, wie man auf der Basis von numerischen Simulationen das Verhalten des Ferromagneten qualitativ verstehen kann. Stellen wir uns vor, wir befinden uns in der ungeordneten Phase des Magneten in der Nähe der kritischen Temperatur T c. Wenn wir die Temperatur etwas vermindern, breitet sich die Information der Gleichorientierung der Spins über das ganze Spingitter aus. Dieses Gedankenexperiment macht uns klar, dass die räumliche Korrelation der Spins groß wird, wenn wir die krtische Temperatur erreichen. Um dieses Phänomen zu quantifizieren, führt man die Korrelationslänge ξ mit Hilfe der Korrelationsfunktion ein: σ(x) σ(y) exp { } x y ξ. (2.16) Die Korrelationslänge ξ ist offensichtlich ein Maß für die räumliche Entfernung, innerhalb derer die Spins noch ungefähr gleich ausgerichtet sind. Nahe des Phasenübergangs T > T c wird ξ sehr groß. Im Falle des Ferromagneten wird die Grösse von ξ jedoch

8 8PROJEKT 2. ISING MODELL: MONTE CARLO SAMPLING AUF DEM GITTER, PHASENÜBE durch die Grösse der Weißschen Bezirke beschränkt: Die Korrelationslänge bleibt endlich; man spricht von einem Phasenübergang 1. Ordnung. Bei einem Phasenübergang zweiter oder höherer Ordnung divergiert ξ für T T c, ξ ξ + 1 T T c ν, (T > T c ). (2.17) Durch das Anwachsen von ξ für T T c kommt es oft vor, dass ξ am Phasenübergang die dominante Längenskala ist: das Anwachsen der Korrelationslänge wird somit in vielen abgeleiteten Größen, wie der Wärmekapazität C oder der magnetischen Suszeptibilität χ, beobachtet. Im Falle eines Phasenübergangs 2. Ordnung findet man beispielsweise C C 0 1 T T c α, χ χ 0 1 T T c γ, (T > T c ). Die sogennannten kritischen Exponenten ν, α, γ sind charakteristisch für die Natur der Freiheitsgrade (und der Anzahl der Raum-Zeit Dimensionen). Aufgabe der Physik ist es nun, ausgehend von der mikroskopisch bekannten Spin-Spin Wechselwirkung, die kritische Temperatur T c, die Grösse der Weißschen Bezirke, beziehungsweise die kritischen Exponenten vorherzusagen. Dabei spielen numerische Simulationen, wie wir sie in den nächsten Abschnitten kennenlernen werden, eine große Rolle. 2.5 Die Krankheit: Autokorrelationen Damit diese numerische Prozedur zur Bestimmung der Spinensembles die Zustandssumme korrekt wiederspiegelt, ist es notwendig, dass die verschiedenen Spinensembles statistisch unabhängig sind. Um die Abhängigkeit der verschiedenen Spinensembles voneinander zu quantifizieren, führen wir die über den Raum gemittelte Magnetisierung M k ein, die mit dem Spinensemble der k-ten Iteration erzeugt wurde. Ein Maß für die statistische Abhängigkeit liefert die Autokorrelationsfunktion A(j) = M k M k+j M M k k+j, (2.18) wobei die Mittelung in (2.18) jetzt über die verschiedenen Spinensembles zu nehmen ist. Die Autokorrelationsfunktion ist unabhängig von k, wenn das Spinsystem hinreichend thermalisiert wurde. Im Idealfall sind die Konfigurationen statistisch unabhängig, und A(j > 0) = 0. In der Praxis lassen sich Korrelationen der Ensembles nicht vermeiden. Um diese Korrelationen abzuschätzen, definieren wir die Autokorrelationszeit τ über { } A(j) exp j/τ. (2.19) Damit der Heat-Bath Algorithmus zuverlässige Werte liefert, müssen mindestens k > τ dummy Iterationen durchgeführt werden, um zu garantieren, dass die Spinkonfigurationen statistisch unabhängig sind. Abbildung 2.2 zeigt eine numerisch ermittelte Abschätzung der Autokorrelationsfunktion A(j). Die Simulation wurde auf einem Gitter durchgeführt. Insgesamt kamen

9 2.5. DIE KRANKHEIT: AUTOKORRELATIONEN 9 2D Ising, 50x50 2D Ising, 125x125, β= auto-corr β=0.31 β=0.32 β=0.33 β=0.34 β=0.37 β=0.38 β= Abbildung 2.2: Autokorrelationsfunktion (links) und ein Beispiel für eine Ising Spinkonfiguration nahe des Phasenübergangs (rechts) Konfigurationen zur Auswertung. Wir sehen deutlich, dass die Autokorrelationen mit zunehmenden j exponentiell abklingen. Es zeigt sich jedoch, dass die Autokorrelationszeit τ stark anwächst, wenn wir uns dem kritschen Wert β c = nähern. Der Bereich nahe des Phasenübergangs, für den wir uns hier interessieren, ist mit dem Heat-Bath Algorithmus nur schwer zugänglich. Die Ursache für das Anwachsen der Autokorrelationszeit (critical slowing down) läßt sich anschaulich verstehen. In Abbildung 2.2 ist ebenfalls eine Beispiel Spinkonfiguration eines Gitter bei β = 0.44 dargestellt. Schwarz markiert sind Gitterpunkte x mit σ x = 1. Deutlich sind die Bereiche von Spins gleicher Orientierung zu erkennen. Die räumliche Korrelationslänge ξ nimmt in Einheiten des Gitterabstandes sehr große Werte an. Die Physik des Magneten wird durch fluktuierende Cluster beschrieben. Die Local Update Algorithmen (Metropolis, Heat Bath etc.) beschränken sich bei einem Gitterdurchlauf auf den Update eines einzelnen Spins im mittleren Feld der anderen Spins. Betrachten wir nun einen Spin innerhalb einer Domäne. Dieser Spin wird durch das mittlere Feld der angrenzenden, gleichorientierten Spins bestimmt, und der Local Update Algorithmus wird kaum eine andersartige Orientierung des Spins akzeptieren. Lediglich Spins am Rand von Clustern sind signifikanten Änderungen unterworfen. Eine Iteration wird somit lediglich die Clustergrenzen verändern. Um einen Cluster vom Durchmesser ξ komplett zu ändern, sind somit ungefähr ξ 2 Iterationen notwendig. Wenn wir davon ausgehen, dass mindestens eine Clusterstruktur geändert werden muß, um Autokorrelationen zu vermeiden, finden wir die Abschätzung τ ξ z, mit z = 2. (2.20) Die Grösse z heißt dynamisch kritischer Exponent. In der Tat findet man empirisch für den Metropolis Algorithmus z Metro Spinsysteme nahe des Phasenübergangs lassen sich durch Local Update Algorithmen nicht beschreiben.

10 10PROJEKT 2. ISING MODELL: MONTE CARLO SAMPLING AUF DEM GITTER, PHASENÜB 2.6 Das Heilmittel: Cluster Update Algorithmen Wir beginnen mit einer Umformulierung der Zustandsumme (2.13) Z = exp β σ x σ y = exp(β σ x σ y ). (2.21) {σ x} <xy> {σx} <xy> Wenn die beiden Spins σ x und σ y in (2.21) gleich sind, dann beträgt der Wahrscheinlichkeitsfaktor in (2.21) gerade exp(β). Besitzen die beiden Spins entgegengesetztes Vorzeichen, dann ist der Wahrscheinlichkeitsfaktor durch exp( β) gegeben. Wir können also (2.21) umschreiben Z = [ ] e β (1 p) + p δ σxσ y, p := 1 e 2β. (2.22) {σ x} <xy> Wir schreiben jetzt diese Darstellung der Zustandssumme komplizierter, indem wird die Identität 1 ] a + b = [a δ n0 + b δ n1 n=0 verwenden. Dazu führen wir die Variablen n xy {0, 1} ein, die mit einem Verbindungsstück (Link) zwischen den Punkten x und y korrespondiert. Wir erhalten Z = ] e [(1 β p) δ nxy,0 + p δ σxσ y δ nxy,1. (2.23) {σ x} {n xy} <xy> Die zentrale Idee ist, einen Heat Bath Algorithmus für den Variablensatz {σ x } und {n xy } durchzuführen. Was hat das mit Updates von Clustern zu tun? Swendsen-Wang Cluster Update Abwechselnd werden nun Updates der Spin Variablen σ x und der Link-Variablen n xy durchgeführt. Das Heat Bath Verfahren bedeutet, dass wir eine Variable (σ x oder n xy ) herausgreifen, die übrigen Variablen als konstant betrachten (heat bath), und die gewählte Variable gemäß ihrer Wahrscheinlichkeit in (2.23) neu wählen. 1. Nehmen wir an, wir hätten die Variable n ij zum Update bestimmt. Ein Blick auf das Wahrscheinlichkeitsmaß in (2.23) zeigt uns folgende Update Vorschrift: setze n ij = 0 falls die angrenzenden Spins verschieden sind. Sind die angrenzenden Spins gleich, so wähle n ij = 1 mit Wahrscheinlichkeit p und n ij = 0 sonst. Für große Werte β, liegt p in der Nähe von 1. Das bedeutet, dass im wesentlichen alle Spins, die zu einem Weißschen Bezirk gehören, d.h. innerhalb einer Domäne gleich ausgerichtet sind, mit Link Variable n ij verbunden sind. Die Variablen n ij markieren somit die Weißschen Bezirke. 2. Für den Spin Update identifizieren wir nun alle Spins, die zu einem Weißschen Bezirk gehören, d.h. wir identifizieren alle Spins, die durch Link-Variable n ij = 1 verbunden sind. Für diese Spins ist der Wahrscheinlichkeitsfaktor in (2.23) nun proportional zu δ σxσ y, d.h. dass alle Spins einer Domäne gleichzeitig ihr Vorzeichen ändern müssen, ansonsten ist die Wahrscheinlichkeit für den Update null.

11 2.7. AUFGABEN: Wähle eine Zufallszahl z = ±1 für jeden Cluster (1 Spin Cluster nicht vergessen!), und weise allen Spins des Cluster den Wert z zu. Empirisch zeigt sich, dass mit dem Cluster Update Algorithmus das Problem des critical slowing down gelöst werden kann. Man findet numerisch für das Swendsen-Wang Verfahren: 2.7 Aufgaben: τ ξ z, mit z 0.2. (2.24) Cluster Update Algorithmus Schreiben Sie ein Programm, das den Swendsen-Wang Cluster Update Algorithmus zur Simulation des 2-dimensionalen Ising Modells implementiert. a. Erzeugen Sie sich mit Hilfe des Swendsen-Wang Cluster Update Algorithmus für ein Gitter und β = 0.44 eine thermalisierte Konfiguration von Ising Spins und visualisieren Sie diese. Markieren Sie nach Eingabe eines Punktes (Wahl eines Spins) den zugehörigen Swendsen-Wang Cluster. b. Berechnen Sie die Magnetisierung als Funktion von β. c. Schätzen Sie die Autokorrelationsfunktion A(j) für den Swendsen Cluster Update Algorithmus ab, und verifizieren Sie, dass die Autokorrelationszeit praktisch von β unabhängig ist. 2.8 Literatur: 1 Wolfhard Janke, Nonlocal Monte Carlo Algorithms for Statistical Physics Applications, Proceedings of the IMACS workshop, Brussels, April 1-3, R. H. Swendsen and J. Wang, Nonuniversal Critical Dynamics In Monte Carlo Simulations, Phys. Rev. Lett. 58 (1987) 86.