Satz von Rademacher und weiterführende Resultate

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1 S E M I N R R B E I T Saz von Rademacher und weierführende Resulae ausgeführ am Insiu für nalysis und Scienific Compuing TU Wien uner der nleiung von o.univ.prof. Dipl.-Ing. Dr.echn. Michael Kalenbäck durch Kaerina Uncovska Marikelnummer: Wien, am 27. Juni 2018

2 Inhalsverzeichnis 1 Einleiung 1 2 Saz von Rademacher Relevane Definiionen Funkionen auf R Saz von Rademacher Weierführende Resulae Differenzierbarkei in Räumen mi RNP i

3 1 Einleiung Zenral in dieser rbei is der Saz von Rademacher, der eine wichige ussage über Differenzierbarkei in endlichdimensionalen Banachräumen liefer. Sie orienier sich vor allem an den Ergebnissen in [DiB02] und [EG15]. Nach dem Einführen des relevanen Werkzeugs wird zunächs der eindimensionale, dann der allgemeine Fall berache. Schließlich wird ein kleiner Einblick in Räume mi Radon Nikodým Eigenschaf, vor allem Ergebnisse aus [BL00], in denen ähnliche, wenn auch schwächere ussagen über Differenzierbarkei geroffen werden können, geboen. 2 Saz von Rademacher 2.1 Relevane Definiionen Bevor wir zur ussage und zum Beweis des Sazes von Rademacher kommen, müssen zunächs einige Begriffe eingeführ werden. Im Folgenden werden alle Definiionen und Säze für auf R, beziehungsweise auf R N, mi N N definiere Funkionen formulier. nalog sind diese auch für offene Teilmengen von R (bzw. R n ) gülig. Mi bezeichnen wir die Zweinorm 2 = auf R n. Da alle Normen auf R n äquivalen sind, gelen alle Resulae analog für andere Normen. Definiion Eine Funkion f : R n R heiß Lipschiz-seig, wenn es eine Konsane L gib, sodass f(x) f(y) L x y für alle x, y R n. Definiion Eine Funkion f : R n R heiß demensprechend lokal Lipschizseig, wenn es für jede kompake Teilmenge K von R n eine Konsane L K gib, sodass die Lipschiz-Bedingung auf K erfüll is. Jede Lipschiz-seige Funkion is auch gleichmäßig seig. Die Umkehrung gil nich, wie man im folgenden Beispiel sieh. Beispiel Man berache die Wurzelfunkion, definier auf [0, ). Wäre diese Lipschiz seig, so gäbe es nun ein L > 0, sodass x y L x y auf ganz [0, ). Erweier man die linke Seie mi x+ y x+ y, so ergib sich 1 x+ 1 L. Für x =, y = 0 y 4L 2 erhalen wir einen Widerspruch. Wähl man δ = ε 2 zu ε > 0, dann folg, mi o.b.d.. y x, dass y x + ε 2 ( x + ε) 2 und somi x y ε. Dami is gleichmäßige Seigkei gezeig. Definiion Sei f : R n R. Für beliebiges v R n bezeichne man mi f(x + v) f(x) D v f(x) := lim, x R n, 0 1

4 die Richungsbleiung von f an der Selle x nach v, falls dieser Grenzwer exisier. Die Richungsableiungen nach den Einheisvekoren e 1,.., e n R n werden auch mi f x1 (x),.., f xn (x) bezeichne, der Gradien von f is f(x) = (f x1 (x),.., f xn (x)) T. Weiers is f pariell differenzierbar bei x R n, wenn die Richungsableiung D v (x) für v = e 1,..., e n exisier. Sind diese darüber hinaus seig, heiß f seig pariell differenzierbar. In dem Fall schreiben schreiben wir f C 1 (R n ). Nich mi diesen usdrücken zu verwechseln is der Begriff der Differenzierbarkei, der in der Lieraur auch als Fréche-Differenzierbarkei oder oale Differenzierbarkei bezeichne wird. Definiion Eine Funkion f : R n R is differenzierbar bei x R n, wenn es ein Df(x) R 1 n gib, sodass f(y) = f(x) + Df(x)(y x) + ε(x y), für y U ρ (x), erfüll is. Hierbei is ρ > 0 und ε: U ρ (0)\0 R derar, dass lim y x ε(x y) x y = 0. Elemenar zeig man: Gib es ein solches Df(x), so simm dieses mi f(x) überein. lso folg Parielle Differenzierbarkei aus der Differenzierbarkei. Umgekehr läss sich jedoch nich von der Exisenz von f(x) auf die Differenzierbarkei bei x schließen. us der seigen pariellen Differenzierbarkei folg aber sehr wohl die Differenzierbarkei. 2.2 Funkionen auf R Für den Beweis des Sazes von Rademacher is noch eine ussage zur Differenzierbarkei für Funkionen auf R nöig. Definiion Eine Funkion f : R R heiß absolu seig, falls es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gib, sodass für jede endliche Menge paarweise disjunker Inervalle {(x k, y k )} n k=1 mi Gesamlänge n k=1 (y k x k ) < δ gil. f(y k ) f(x k ) < ε k=1 Ein wichiges Resula is, dass Lipschiz-seige Funkionen auf R absolu seig sind. Lemma Eine Lipschiz-seige Funkion f : R R is absolu seig. 2

5 Beweis. Für ε > 0 wähle δ := ε. Dann folg für alle {(x L k, y k )} n k=1 mi Gesamlänge n k=1 (y k x k ) < δ f(y k ) f(x k ) k=1 L (y k x k ) = L (y k x k ) < L δ = L ε L = ε. k=1 k=1 Definiion Eine Funkion f : [a, b] R heiß von beschränker Variaion (f BV ([a, b])), falls V b a (f) < +, wobei V b a (f) := sup { f(x i ) f(x i 1 ) : a = x 0 < x 1 <.. < x n = b, n N}. i=1 Ein bekannes Ergebnis aus der Maßheorie is, dass absolu seige Funkionen auf jedem Inervall [a, b] von beschränker Variaion sind [Kus14, Kapiel 12.2/3]. Der Saz von Lebesgue - siehe [Kus14, Kapiel 12.2/3] - liefer dann die Differenzierbarkei fas überall auf genannem Inervall; also is f außerhalb einer Lebesgue-Nullmenge differenzierbar. Da Differenzierbarkei eine lokale Eigenschaf is, läss sich dieses Resula dann für absolu seige Funkionen auf ganz R überragen. Wir erhalen also: Lemma Eine absolu seige Funkion f : R R is f.ü. differenzierbar. Dieses Ergebnis läss sich mi Lemma für lokal Lipschiz seige Funkionen kombinieren. Wir erhalen eine ussage, die wir für den Beweis vom Saz von Rademacher benöigen werden. Korollar Sei f : R R eine lokal Lipschiz-seige Funkion. Dann is f f.ü. differenzierbar. 2.3 Saz von Rademacher Wir kommen zur Haupaussage dieser rbei. Saz (Saz von Rademacher). Sei f : R n R eine lokal Lipschiz-seige Funkion. Dann is f f.ü. differenzierbar. Beweis. Der Beweis wird in drei Schrien erfolgen. Für den ersen und zweien Teil berache Richungsableiungen D v f(x) für v = Behaupung: D v f(x) exisier für fas alle x R n. 3

6 Wie definieren D v f(x) = lim sup 0 D v f(x) = lim inf 0 f(x + v) f(x), f(x + v) f(x). Bezeichne mi E v die Menge, auf der D v f nich definier is, genauer E v = {x R n D v f(x) < D v f(x)}. Da f seig is, kann der Grenzwer D v f(x) bzw. D v f(x) für ( 1, 1) Q gebilde werden. Es folg, dass D v f(x) und D v f(x) messbar sind und demensprechend auch E v messbar is [Kus14, Kapiel 7.2]. Mi f is auch φ: R R, f(x + v) für jedes x R n lokal Lipschiz-seig, da φ() φ(s) = f(x + v) f(x + sv) L x + v x sv = L s v = L s. us Korollar folg dami für φ die Differenzierbarkei fas überall auf R. Wegen φ () = D v f(x + v) ha der Schni von E v mi jeder zu v parallelen Linie L eindimensionales Lebesgue-Maß null. Mi dem Saz von Fubini [Kus14] folg λ n (E v ) = λ(e v L) dλ n 1 = 0. v 2. Behaupung: D v f(x) = f(x) v für fas alle x. uf der Menge = R n \(E v n j=1 E e j ) exisieren alle Richungsableiungen von f nach v sowie der Gradien. Berache ( 1, 1) Q und bezeichne mi e j, j = 1,..., n, die Einheisvekoren von R n. Da f lokal Lipschiz-seig is, gil für alle beliebig of differenzierbaren Funkionen mi kompakem Träger ζ C0 (R n ), f(x + v) f(x) ζ(x) L ζ ζ(x), wobei L ζ die Lipschiz Konsane von f auf einer hinreichend großen, den Träger von ζ enhalenden Kugel is. Somi sind die Bedingungen für den Saz von dominierer Konvergenz [Kus14] erfüll. Inegrier man auf der Menge, so folg f(x + v) f(x) D v f(x)ζ(x) dx = lim ζ(x) dx 0 = lim 0 ( f(x + v) ζ(x) dx Subsiuier man im linken Inegral mi x v, so erhäl man f(x) f(x) = lim( ζ(x v) dx ζ(x) dx) 0 ζ(x) ζ(x v) = lim f(x) dx. 0 4 f(x) ζ(x) dx)

7 Mi dem selben rgumen wie zuvor, kann man jez mi dominierer Konvergenz den Limes und das Inegral verauschen. Da ζ aus C 0 (R N ) gewähl wurde, ergib das v j j=1 f(x)ζ xj (x) dx = j=1 v j lim f(x) 0 ζ(x) ζ(x e j) Nun wird, ähnlich wie zuvor, mi v + e j subsiuier und dominiere Konvergenz angewende. lso simm obiger usdruck überein mi j=1 = v j lim 0 f(x + e j ) f(x) ζ(x) dx v f(x)ζ(x) dx dx. Das implizier (D v f(x) f(x) v)ζ(x) dx = 0 für alle ζ C0 (R n ). Nach [Kus14] folg daraus D v (x)f = f(x) v fas überall auf. Da nach dem ersen Teil E v n j=1 E e j Lebesgue-Maß Null ha, erhalen wir D v (x)f = v f(x) fas überall auf R n. Sei nun B = {u k k N} eine abzählbare diche Teilmenge auf dem Rand der Einheiskugel B 1, sodass alle Einheisvekoren e j darin enhalen sind. Berache F uk := {x R n D uk f(x) exisier und D uk f(x) = f(x) u k }. Nach dem bereis Gezeigen ha R n \ F uk k N Lebesgue-Maß Null. Um das Theorem zu beweisen, genüg es nun die Differenzierbarkei von f auf F = zu zeigen. F uk k N 3. Behaupung: f is differenzierbar auf F. Für x F, u B 1 und [ 1, 1]\{0} definieren wir Q(x, u, ) := f(x + u) f(x) f(x) u. Sei weiers L die Lipschizkonsane von f auf K 1 (x). Für beliebeige v B 1 gil Q(x, u, ) Q(x, v, ) f(x + u) f(x + v) + f(x) (u v) L u v + f(x) u v 5

8 L( n + 1) u v. (1) f(x+e Die leze Ungleichung gil, da f xj = lim j ) f(x) 0 L x+ x = L und somi f n L. Für ε > 0 wähle N(ε) N groß genug, sodass sup u =1 min u u k k=1,...,n(ε) ε 2L( n + 1). (2) Wegen der Dicheeigenschaf der Menge B und der Kompakhei von B gib es ein solches N(ε). Weiers gil nach Definiion der Menge F lim Q(x, u k, ) = 0 0 für k {1,..., N(ε)}. Es folg die Exisenz eines δ > 0 mi o.b.d.. δ 1, sodass Q(x, u k, ) < ɛ 2 für alle 0 < < δ und k = 1,..., N(ε). (3) Zusammen folg aus den Gleichungen (1)-(3) für alle u B 1 Q(x, u, ) Q(x,, u k ) + Q(x, u, ) Q(x, u k, ) < ε für 0 < < δ, wobei k so gewähl wird, dass u u k = min j=1,...,n(ε) u u j. Wähle y x aus R n und seze u := y x und = y x. Offensichlich is dann y x y = x + u. Es folg mi f(y) f(x) f(x) (y x) = f(x + u) f(x) f(x) u y x = Q(x,, y x ) y x, y x Q(x, y x, y x ) y x < ε für 0 < y x < δ. Somi is f bei x differenzierbar, wobei Df(x) = f(x). 3 Weierführende Resulae Der Saz von Rademacher is eine sehr schöne und sarke ussage auf endlichdimensionalen Vekorräumen. ber wie sieh das mi unendlichdimensionalen Räumen aus? Es lassen sich asächlich ähnliche Resulae finden. Eines davon berache Räume mi der Radon-Nikodým Eigenschaf. Da es vom Inhal dieser rbei zu sark abweich, werden usdrücke wie Radon-Nikodým bleiung, absolue Seigkei von Maßen und dami verbundene Eigenschafen vorausgesez. Die zuvor verwendeen Definiionen für absolue Seigkei und beschränke Variaion sind hier analog, mi der Norm sa dem Berag auf die Funkionswere angewand, zu verwenden. 6

9 3.1 Differenzierbarkei in Räumen mi RNP Definiion Sei E ein Banachraum, C E abgeschlossen, konvex und beschränk. Man sag, C habe RNP (Radon Nikodým Propery), wenn die folgene Eigenschaf erfüll is: Is (Ω, ) ein Maßraum, τ ein E-weriges Maß und µ ein skalares Wahrscheinlichkeismaß auf (Ω, ), sodass τ() C für alle mi µ() 0, dann exisier ein f µ() L1 (µ, E), sodass τ() = f(ω) dµ(ω) für alle. Dieses Inegral exisier im Sinne von Bochner. Man sag E habe RNP, wenn die Einheiskugel RNP ha. Offenbar ha eine abgeschlossene, konvexe, beschränke Teilmenge eines Banachraumes E RNP, falls E selbs RNP ha. Diese Definiion mag zunächs ein wenig absrak wirken. Zum besseren Versändnis is die folgende charakerisische Eigenschaf hilfreich. Lemma Der Banachraum E ha genau dann RNP, wenn jede absolu seige Funkion f : R E differenzierbar f.ü. is. Den Beweis kann man bei Theorem 5.21, [BL00, Kapiel 5.3] nachlesen. uf unendlichdimensionalen Räumen müssen wir zudem die Begriffe der Differenzierbarkei einführen. Differenzierbarkei (Fréche Differenzierbarkei) läss sich genau wie auf R N auch auf beliebigen Banachräumen definieren. Um ein nalogon zur pariellen Differenzierbarkei zu erhalen, muss aber noch weier ausgehol werden. Definiion Seien E und F Banachräume. Eine Funkion f : E F is Gâeaux differenzierbar bei x E, wenn für jedes v E die Richungsableiung D v f(x) exisier und v D v f(x) eine lineare, seige Funkion is. Kommen wir nun zu dem zu Beginn angesprochenen Resula über Differenzierbarkei in Räumen mi RNP. Saz Sei F ein Banachraum mi RNP und f : R n F lokal Lipschiz-seig. Dann is f fas überall Gâeaux differenzierbar auf R n. Für den Beweis des Sazes wird noch ein echnisches Lemma benöig. Lemma Seien E, F Banachräume über R, U E offen und f : U F eine Lipschiz seige Funkion. Sei weiers G E eine diche, abzählbare Unergruppe von (E, +). ngenommen, es gib ein x 0 E, sodass für alle u G die Richungsableiungen D u f(x 0 ) exisieren und die Funkion u D u f(x 0 ) addiiv is. Dann is f Gâeaux differenzierbar bei x 0. 7

10 Beweis. Berache Funkionen h (u) := f(x 0+u) f(x 0 ), 0. Dabei gil h (u) L u. ußerdem gil h (u) h (v) = f(x 0 + u) f(x 0 + v) L u v. lso gib es zu einem gegebenen ɛ > 0 und v E ein δ > 0, sodass für alle u G mi u v < δ die Ungleichung h (v) h (u) ɛ für alle R, 0, gil. Für solche u 3 exisier lim 0 h (u), wodurch h (v) h s (v) h (v) h (u) + h (u) h s (u) + h s (u) h s (v) < ɛ für und s klein genug, sodass h (u) h s (u) < ɛ. lso exisier lim 3 0 h (v) für alle v E. Die ddiiviä des Grenzweres auf G ha auch die ddiiviä auf E zu Folge und per Definiion gil lim 0 h (α u) = α lim 0 h (u). lso is lim 0 h ( ) ein linearer Operaor, der mi h (u) L u durch die Lipschizkonsane beschränk is. Ein weierer Begriff, der im Beweis wichig is, is der von Lebesgue-Punken einer Funkion. Definiion Sei f : R n R eine lokal Lebesgue inegrierbare Funkion. Dann heiß x R n ein Lebesgue-Punk von f, wenn 1 lim r 0 r f(x y) f(x) dy = 0. y <r Nach Theorem 1.37 [EG15, Kapiel 1.7.2] sind für lokal inegrierbare Funkionen fas alle x R Lebesgue-Punke. Beweis. [von Saz ] Sei G R n eine abzählbare, diche addiive Unergruppe. Eine solche is zum Beispiel Q n. Sei φ: R F, f(x + v). Nach Lemma is φ differenzierbar fas überall mi φ () = D v f(x + v). Bezeichne weiers mi E v die Menge, auf der die Richungsableiung nach einem v G nich exisier. nalog zum Beweis des Sazes von Rademacher läss sich der Saz von Fubini anwenden, um zu zeigen, dass E v eine Lebesgue-Nullmenge is. Da G abzählbar is, folg die Exisenz der Richungsableiungen nach allen v G von f fas überall. Nach Lemma genüg es zu zeigen, dass diese Richungsableiungen nach v G fas überall addiiv sind. Hierzu werden Falungen verwende. Berache eine seig differenzierbare Funkion ψ : R n [0, + ) mi kompakem Träger und ψ(x)dx = 1. Dann is auch R n g := f ψ = ψ(x y)f(y) dy R n seig differenzierbar. lso is für jedes x R n D u g(x) = D u ψ(x y)f(y) dy = (f D u ψ)(x) R n 8

11 linear in u R n. ndererseis folg für fas alle x und für alle u G mi dominierer Konvergenz g(x + u) g(x) f(x y + u) f(x y) D u g(x) = lim = ψ(y) lim dy. 0 R n 0 lso gil D u g(x) = (ψ h u )(x) mi der beschränken, messbaren Funkion f(x+u) f(x) h u (x) = lim 0. Es folg 0 = f (D u+v ψ D u ψ D v ψ) = D u+v g(x) D u g(x) D v g(x) = ψ (h u+v h u h v ) für alle u, v G. Diese rgumenaion funkionier ebenso für ψ k := k n ψ(kx), mi einer beliebigen naürlichen Zahl k, und somi auch für den Grenzwer lim k ψ k h u. Um diesen zu berechnen, berache lim k ψ k T h u (x) mi einem linearen und beschränken Funkional T : F R. Es ergib sich lim ψ k T h u (x) T h u (x) = lim k n ψ(ky) T h u (x y) dy T h u (x) k k R n = lim ψ(y) (T h u (x y k R k ) T h u(x)) dy. (4) n ls Grenzwer messbarer Funkionen is h u und somi auch die Zusammensezung T h u messbar. Weiers is T h u durch T h u (x) T L x beschränk, also lokal inegrierbar und beseh demensprechend f.ü. aus Lebesgue-Punken. Das Inegral in (4) is kleiner als ψ(y) (T h u (x y y <1 k ) T h u(x)) dy + ψ(y) (T h u (x y y 1 k ) T h u(x)) dy sup ψ(y) (T h u (x y) T h u (x)) dy + T L 1 ψ(y) y dy. (5) k y < 1 k Für den linken Teil von (5) finde sich nun auf allen Lebesgue-Punken von T h u für jedes ε > 0 ein K N groß genug, sodass (T h u (x y) T h u (x)) dy 1 k ε y < 1 k y 1 für alle k K. Für den rechen Teil von (5) gib es, da ψ einen kompaken Träger ha, ein R R, sodass supp ψ B R (0) gil. Es folg ψ(y) y dy = ψ(y) y dy R 2 sup ψ(y). y 1 1 y R Fass man nun alle Konsanen zu einer Konsane C zusammen, läss sich (5) durch 1 C(ε + 1) k 9

12 für alle k K abschäzen. Für k + konvergier der usdruck gegen Null und es folg fas überall lim k ψ k T h u (x) = T h u (x). Weiers is lim k ψ k T h u (x) = T lim k ψ k h u (x) für alle x R n. Da F punkerennend auf F operier (vgl. [WKB, Kapiel 5.2]), folg daraus lim k ψ k h u (x) = h u (x) fas überall. Da G abzählbar is, folg für alle u, v G : h u+v = h u + h v fas überall auf R n. 10

13 Lieraur [BL00] Yoav Benyamini and Joram Lindensrauss. Geomeric nonlinear funcional analysis. Vol. 1, volume 48 of merican Mahemaical Sociey Colloquium Publicaions. merican Mahemaical Sociey, Providence, RI, [DiB02] Emmanuele DiBenedeo. Real analysis. Birkhäuser dvanced Texs: Basler Lehrbücher. [Birkhäuser dvanced Texs: Basel Texbooks]. Birkhäuser Boson, Inc., Boson, M, [EG15] Lawrence C. Evans and Ronald F. Gariepy. Measure heory and fine properies of funcions. Texbooks in Mahemaics. CRC Press, Boca Raon, FL, revised ediion, [Kal14] Michael Kalenbäck. Fundamen nalysis, volume 26 of Berliner Sudienreihe zur Mahemaik [Berlin Sudy Series on Mahemaics]. Heldermann Verlag, Lemgo, [Kus14] Norber Kusolisch. Maß- und Wahrscheinlichkeisheorie. Springer-Lehrbuch. [Springer Texbook]. Springer Spekrum, Berlin Heidelberg, expanded ediion, Eine Einführung. [n inroducion]. [WKB] Harald Woracek, Michael Kalenbäck, and Marin Blümlinger. Funkionalanalysis. Vorlesungsskripum Version SS 2016 (11. uflage). 11