Notenpunkte: Unterschrift: Zur Bestimmung des arithmetischen Mittels ist es wichtig die Daten der Größe nach zu ordnen.!!

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Gitta Günther
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1 Name: Seite 1 von 11 Universität Kassel 29. April 2009 Biehler / Hofmann Elementare Stochastik ! Notenpunkte: Unterschrift: Aufgabe 1 Aussagen (12 Punkte) Kreuzen Sie an, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. Für jede richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt. Bei einer falschen Antwort wird Ihnen ein Punkt abgezogen. Für nicht bewertete Aussagen erhalten Sie null Punkte. Eine negative Endpunktzahl wird auf null Punkte getilgt. Statistik: richtig falsch Zur Bestimmung des arithmetischen Mittels ist es wichtig die Daten der Größe nach zu ordnen.!! Der Median ist der Wert, der in der Mitte zwischen dem kleinsten und dem größten Wert des Datensatzes liegt.!! Das Intervall [Q1, Q3] enthält genau!"# der Daten.!! Das arithmetische Mittel ist robust gegenüber Ausreißern.!! Das Minimum eines numerischen Datensatzes ist immer kleiner als das erste Quartil Q1.!! Höchstens!"# aller Daten sind größer oder gleich dem Median.!! Wahrscheinlichkeitsrechnung: richtig falsch Ein Ereignis eines Zufallsexperiments ist ein Element der Ergebnismenge.!! Der Erwartungswert ist der Wert, der bei einem Zufallsexperiment am häufigsten auftritt.!! Eine Zufallsgröße ist eine Funktion, die von einer Ergebnismenge in eine Wertemenge abbildet.!! Die Di!erenzen der Augenzahlen beim doppelten Würfelwurf lassen sich durch eine Urne mit $ nummerierten Kugeln " bis! simulieren.!! Beim Münzwurf mit einer ungezinkten Münze ist %! mal hintereinander Wappen gefallen. Nach dem Gesetz der großen Zahlen ist zu vermuten, dass bei den nächsten %! Würfen wahrscheinlich häufiger Zahl geworfen wird.!! Eine Münze wird sechsmal geworfen. Die Versuchsfolge WWWZZZ ist genauso wahrscheinlich wie die Versuchsfolge WZZWWZ.!!

2 Name: Seite 2 von 11 Aufgabe 2 Mittelwerte (5 Punkte) Gegeben sind folgende Werte auf einer Skala: a) Zeichnen Sie den Median ein. (1 Punkt) b) Was können Sie über die Lage des arithmetischen Mittels im Vergleich zum Median aussagen. Begründen Sie. (2 Punkte) c) Zeichnen Sie das arithmetische Mittel auf obiger Skala unter anschaulicher Ausnutzung der Schwerpunkteigenschaft ein. Dokumentieren Sie Ihre Überlegung. (2 Punkte)

3 Name: Seite 3 von 11 Aufgabe 3 Aussagen (9 Punkte) Die Abbildung stellt die Zubettgeh-Zeiten der!&' Schüler/innen aus dem Mu"ns -Datensatz an den verschiedenen Wochentagen als Boxplots (integriert in ein Diagramm) dar. Dabei bedeutet bekanntlich (! % Uhr nachts etc. a) Versuchen Sie folgende Beobachtungen inhaltlich zu erklären: (3 Punkte) i) Die Boxplots für die! Tage So, Mo,,Do sehen alle in etwa gleich aus. ii) Die Mediane der Verteilungen am Freitag und Samstag liegen höher als an den anderen Tagen. iii) Die Streuung (der Interquartilabstand) am Freitag und Samstag ist höher als an den anderen Tagen.

4 Name: Seite 4 von 11 b) In dem Mu"ns-Datensatz wurden auch die Schlafzeiten MoSchlaf,, SoSchlaf berechnet. Dabei bedeutet MoSchlaf die Zeit, die in der Nacht von Sonntag bis zum Montagfrüh im Bett verbracht wird. Die Verteilungen dieser 7 Merkmale kann man nicht direkt aus der vorherigen Graphik schlussfolgern. Trotzdem kann man begründete Vermutungen haben. (6 Punkte) i) Skizzieren Sie dazu 7 entsprechende Boxplots, die Ihren Vermutungen entsprechen, in das folgende leere Diagramm. Die Einteilung der Y-Achse entspricht der Anzahl der Stunden. ii) Erläutern Sie, warum Sie die Boxplots so und nicht anders skizziert haben.

Name: Seite 5 von 11 Aufgabe 4 Vierfeldertafel (4 Punkte) Die Daten der Vierfeldertafeln stammen aus der Mu"ns-Befragung von Schülerinnen und Schülern der Klassenstufen 9 und 10 aus

(2 Punkte) Der Anteil männlicher und in einem Sportverein organisierten Schüler an allen Jugendlichen beträgt Von allen in einem Sportverein organisierten Jugendlichen beträgt der

5 Name: Seite 5 von 11 Aufgabe 4 Vierfeldertafel (4 Punkte) Die Daten der Vierfeldertafeln stammen aus der Mu"ns-Befragung von Schülerinnen und Schülern der Klassenstufen 9 und 10 aus dem Jahr Lesen Sie aus den Auswertungstabellen die zu den Beschreibungen gehörenden Prozentangaben ab. Markieren Sie, wo Sie abgelesen haben. (2 Punkte) Der Anteil männlicher und in einem Sportverein organisierten Schüler an allen Jugendlichen beträgt Von allen in einem Sportverein organisierten Jugendlichen beträgt der Anteil der männlichen Schüler Aus einer Tabelle haben Sie noch nichts abgelesen. Ermitteln Sie dort die Prozentangabe bei Geschlecht=männlich und Sportverein=ja und beschreiben Sie, was dieser Wert aussagt: (2 Punkt)

Geben Sie den Wahrscheinlichkeitsraum (W,P) für den doppelten Tetraederwurf an, wenn die beiden Würfe stochastisch unabhängig voneinander erfolgen.

6 Name: Seite 6 von 11 Aufgabe 5 Tetraeder (13 Punkte) Die vier Seitenflächen eines Laplace-Tetraeders sind mit den Zahlen %)!()!& und * beschriftet. Als Wurfergebnis zählt die an der Standfläche befindliche Zahl (in der Abbildung die (). a) Der Tetraeder wird zweimal geworfen. Geben Sie den Wahrscheinlichkeitsraum (W,P) für den doppelten Tetraederwurf an, wenn die beiden Würfe stochastisch unabhängig voneinander erfolgen. (2 Punkt) b) Beschreiben Sie die Ereignisse A und B als Teilmengen von W und bestimmen Sie jeweils die zugehörige Wahrscheinlichkeit P(A) und P(B). (4 Punkte) A: Die Augensumme ist kleiner * B: Mindestens einer der Tetraeder zeigt eine % c) Die Zufallsgröße X bezeichne das Produkt der Augenzahlen des doppelten Tetraederwurfs. Geben Sie die Definitions- und Wertemenge von X sowie eine formale Definition von X als Abbildung an. (2 Punkte) d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. (2 Punkte)

7 Name: Seite 7 von 11 Wir betrachten den doppelten Tetraederwurf nun in einer Spielsituation mit folgendem Auszahlungsplan: Erhält man als Produkt der Augenzahlen eine ungerade Zahl, dann bekommt man * Euro ausgezahlt, sonst erhält man nichts. e) Die Zufallsgröße Y bezeichne den Nettogewinn pro Spiel. Bestimmen Sie den zu zahlenden Spieleinsatz, so dass das Spiel auf lange Sicht fair ist. (3 Punkte)

8 Name: Seite 8 von 11 Aufgabe 6 Urnenziehung (4 Punkte) In einer großen Urne befinden sich!" Kugeln, (& rote, %+ grüne und %" blaue. Es werden blind & Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie über ein Baumdiagramm mit Hilfe der Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei rote Kugeln darunter sind. 12

Name: Seite 9 von 11 Aufgabe 7 Galtonbrett (13 Punkte) a) Erläutern Sie anhand des Galtonbretts die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der binomialverteilten Zufallsgröße X: Nummer des

9 Name: Seite 9 von 11 Aufgabe 7 Galtonbrett (13 Punkte) a) Erläutern Sie anhand des Galtonbretts die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der binomialverteilten Zufallsgröße X: Nummer des Fachs, in das eine Kugel fällt.! P(X = k) = n $ " # k% & '! 1$ " # 2% & n Gehen Sie dabei insbesondere auch auf die Begri!e Bernoulliexperiment, Bernoullikette und Binomialkoe"zient ein. (5 Punkte)!

10 Name: Seite 10 von 11 b) Erstellen Sie für ein Galtonbrett mit,!-!' Stufen und.!-!")! einen Simulationsplan für eine Simulation durch Stichprobenziehung (siehe nächste Seite), aus dem hervorgeht, wie dieses Zufallsexperiment und dessen Wiederholung mit Fathom simuliert werden kann. Geben Sie auch alle dazu notwendigen Formeln an. (6 Punkte) Folgende Fragen sollen durch die Simulation beantwortet werden können: i) Wie sind die relativen Häufigkeiten der Zufallsgröße X: Nummer des Fachs, in das eine Kugel fällt verteilt? ii)wie wahrscheinlich ist es, dass eine Kugel in ein Fach mit der Nummer größer gleich 6 fällt? c) Berechnen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit /01!2!$3 aus Aufgabenteil b)ii) auf theoretischem Wege. (2 Punkte)

11 Name: Seite 11 von 11 Simulationsplan!!!!! Simulation durch Stichprobenziehung Zufallsexperiment: Fragestellungen:!! """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""! "" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" [1] Festlegen der Urnenkollektion [2] Stichprobe ziehen Merkmalsname: Ausprägungen: verwendete Formel: mit/ohne Zurücklegen: Anzahl der zu ziehenden Kugeln: [3] Festlegen der Messgrößen 1. Messgrößenname:! Formel: 2. Messgrößenname:! Formel: [4] Messgrößen sammeln Anzahl der gesammelten Messgrößen: [5] Auswertung: Verteilung, rel. Häufigkeit, Mittelwerte, benutzte Formeln

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