Modelle für Vorgänge mit zufälligem Ergebnis und Kombinatorik Teil 2

Transkript

1 Modelle für Vorgänge mit zufälligem Ergebnis und Kombinatorik Teil 2 Dr. Elke Warmuth Sommersemester / 35

2 Mehrstufige Vorgänge und Baumdiagramme Pfade und Ergebnismenge Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm Pfadregeln Produktregel Hintergrund Zufallsgrößen Verteilung einer Zufallsgröße Erwartungswert von Zufallsgrößen Modellierung mit Zufallsgrößen Weitere Beispiele Ziehen ohen Zurücklegen Mini-Lotto Lose ziehen Gerechte Teilung 2 / 35

3 Pfade und Ergebnismenge Definition Ein Vorgang mit zufälligem Ergebnis, der sich aus mehreren Teilvorgängen zusammensetzt, heißt mehrstufiger Vorgang. Ein Baumdiagramm veranschaulicht Ablauf eines mehrstufigen Vorgangs. 3 / 35

4 Pfade und Ergebnismenge Jedem möglichen Ablauf des Gesamtvorgangs entspricht genau ein Pfad durch das Baumdiagramm. Ergebnismenge Menge aller möglichen Pfade Beispiel Ω = {ad, ae, af, bg, bh, c} 4 / 35

5 Pfade und Ergebnismenge Aufgabe Paul und Paula wollen eine Familie gründen. Sie wünschen sich einen Jungen und ein Mädchen, wollen aber höchstens drei Kinder haben. Schließen Sie vereinfachend Zwillingsgeburten aus und zeichnen Sie ein Baumdiagramm für die Geschlechterfolge. 5 / 35

6 Pfade und Ergebnismenge Aufgabe Fortsetzung Paul und Paula. Geben Sie ein geeignete Ergebnismenge Ω an. Stellen Sie das Ereignis A: Sie bekommen ein Pärchen als Teilmenge von Ω dar. Ω = {JJJ, JJM, JM, MJ, MMJ, MMM} A = {JJM, JM, MJ, MMJ} = Ω \ {JJJ, MMM} 6 / 35

7 Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm Beispiel Ziehen ohne Zurücklegen Aus der Urne wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Wir beobachten die Farbe der Kugeln. 7 / 35

8 Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm 8 / 35

9 Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm Wenn die erste Kugel rot war, dann ist die zweite Kugel mit Wahrscheinlichkeit 2 9 rot. Wenn die erste Kugel rot war, dann ist die zweite Kugel mit Wahrscheinlichkeit 7 9 weiß / 35

10 Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm Eintragen der Wahrscheinlichkeiten an den Wegstücken Modellierungsprozess Wahrscheinlichkeiten kommen aus Symmetrieannahmen, aus Beobachtungen, aus Rechnungen, aus der Erfahrung. An jeder Verzweigung muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten der von dort ausgehenden Wegstücke gleich 1 sein. Die Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm sind ab der zweiten Stufe dem Wesen nach bedingte Wahrscheinlichkeiten (nächste Vorlesung). 10 / 35

11 Produktregel Aufgabe Fortsetzung Paul und Paula. Beschriften Sie Ihr Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten. Frage: Wie sollen den Pfaden (=Ergebnissen) Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden? Produktregel (1. Pfadregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. 11 / 35

12 Produktregel Aufgabe Fortsetzung Paul und Paula. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Pfade. Berechnen Sie P(A). Summenregel (2. Pfadregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die für dieses Ereignis günstig sind. Fragen: Warum gilt die 2. Pfadregel? Antwort: Additivität Wie kann die Produktregel plausibel gemacht werden? 12 / 35

13 Produktregel Argumentation über Chancen Die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 (bzw. 100%) wird verteilt: ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel rot ist Von diesen 3 10 entfallen 2 9 auf den Fall, dass auch die zweite gezogene Kugel rot ist. 2 9 von 3 10 sind Der Pfad rr bekommt die Wahrscheinlichkeit / 35

14 Produktregel Argumentation über Häufigkeitsinterpretation Wir beobachten eine große Anzahl von Ziehungen, z.b : In etwa 3 10 der Ziehungen ist die erste gezogene Kugel rot. Das sind etwa Ziehungen. Von diesen etwa Ziehungen entfallen etwa 2 9 auf den Fall, dass auch die zweite gezogene Zahl rot ist. Das sind etwa Ziehungen. Die relative Häufigkeit des Pfades rr in Ziehungen beträgt also etwa = Je größer die Anzahl der Ziehungen ist, desto weniger wird die relative Häufigkeit von diesem Wert abweichen. Deshalb bekommt der Pfad rr die Wahrscheinlichkeit / 35

15 Produktregel Wahrscheinlichkeiten aller Pfade: Probe : = 1 15 / 35

16 Produktregel Veranschaulichung am Kreis in anderem Beispiel: Im ersten Teilvorgang Rot mit Wahrscheinlichkeit 1 2. Wenn Rot im ersten Teilvorgang, dann im zweiten Teilvorgang Grün mit Wahrscheinlichkeit 3 4 und Gelb mit Wahrscheinlichkeit von 1 2 sind = / 35

17 Hintergrund Hintergrund zu Pfadregeln: Anfangswahrscheinlichkeiten und bedingte Wahrscheinlichkeiten (Übergangswahrscheinlichkeiten) Wahrscheinlichkeiten für mehrstufigen Versuch Beispiel: 2 9 (per Vorgang) bedingte Wahrscheinlichkeit für r in der zweiten Ziehung, wenn ich schon weiß, dass die erste Ziehung r ergab bedingte Wahrscheinlichkeiten naiv/intuitiv verwendet: 9 Kugeln sind noch da, davon 2 rote 17 / 35

18 Verteilung einer Zufallsgröße Idee: Beschreibung von zahlenmäßigen Merkmalen, die mit einem zufälligen Vorgang verbunden sind. Definition Sei (Ω, F, P) ein diskreter Wahrscheinlicheitsraum. Dann heißt jede Funktion X : Ω R eine Zufallsgröße (Zufallsvariable). ω X (ω) Der Zufall steckt im ω. Steht das Ergebnis ω des Zufallsexperiments fest, dann steht auch der Wert X (ω) fest. 18 / 35

19 Verteilung einer Zufallsgröße Die Funktion X transportiert die Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf die reelle Achse. Es entsteht die Verteilung von X : Werte von X x 1 x 2... x r P(X = x k ) p 1 p 2... p r Beispiel R Anzahl der gezogenen roten Kugeln Werte von R P(R = r k ) / 35

20 Erwartungswert von Zufallsgrößen Definition Es sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilung Die Zahl Werte von X x 1 x 2... x r P(X = x k ) p 1 p 2... p r E(X ) = x 1 p 1 + x 2 p x r p r heißt Erwartungswert von X. Beispiel Werte von R P(R = r k ) E(R) = = = 3 5 = = 0, /

21 Erwartungswert von Zufallsgrößen Motivation dieser Definition? Bezug zur Beobachtungsebene und x: Die Zufallsgröße X wurde n-mal beobachtet. Häufigkeitsvert.: Werte von X x 1 x 2... x r rel. Häufigk. h n (x 1 ) h n (x 2 )... h n (x r ) arithm. Mittel: x = x 1 h n (x 1 ) + x 2 h n (x 2 ) + + x r h n (x r ) stabile Werte: x x 1 p 1 + x 2 p x r p r Deutung: E(X ) ist der stabile Wert des arithmetischen Mittels aus vielen unabhängigen Beobachtungen der Zufallsgröße X. 21 / 35

22 Ziehen ohen Zurücklegen Aufgabe Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für B: 2. Kugel ist weiß? vgl. Tombola P(B) = = / 35

23 Mini-Lotto Beispiel Mini-Lotto 3 aus 20 Aus den Zahlen 1, 2,..., 20 werden 3 auf gut Glück gezogen. Zu Lotto generell: Aufklären, nicht Moralisieren Modell für Zufall im Ziehungsgerät Getippt seien die Zahlen 1, 2, 3 3 aus 20 reicht Aufgabe Zeichnen Sie ein Baumdiagramm für eine Ziehung im Mini-Lotto. Sie interessieren sich für die Anzahl Ihrer Richtigen. 23 / 35

24 Mini-Lotto Mini-Lotto 24 / 35

25 Mini-Lotto Argumentation über Chancen Die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 wird verteilt: ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Zahl richtig ist. Von diesen 3 20 entfallen 2 19 auf den Fall, dass auch die zweite gezogene Zahl richtig ist von 3 20 sind Von diesen 3 17 wiederum entfallen 18 auf den Fall, dass die dritte Zahl falsch ist von sind Der Pfad RRF bekommt die Wahrscheinlichkeit Gesamtwahrscheinlichkeit 1 auf die Pfade verteilt Nachrechnen! 25 / 35

26 Mini-Lotto Aufgabe Bestimmen Sie die Verteilung und den Erwartungswert der Anzahl der Richtigen R. Rechnen Sie genau. Verteilung der Anzahl der Richtigen: Anzahl Richtige Wahrscheinlichkeit exakt Wahrscheinlichkeit gerundet 0, 596 0, 358 0, 045 0, 001 Erwartungswert: E(R) = = = 9 20 = / 35

27 Mini-Lotto Ereignis: Dritte gezogene Zahl ist richtig : günstige Pfade RRR, RFR, FRR, FFR P(3. gezogene Zahl ist richtig) = = Achtung: Bei jeder der drei Ziehungen ist die Wahrscheinlichkeit, eine richtige Zahl zu ziehen, gleich Vergleichsexperiment zu Lotto: n-facher Münzwurf: Ereignis A: Es fallen n Wappen P(A) = 0, 5 n Frage: Für welches n ist die Wahrscheinlichkeit für lauter Wappen ungefähr so groß wie die Wahrscheinlichkeit für einen Dreier im Minilotto 3 aus 20? 0, 5 n 0, 001 für n = / 35

28 Lose ziehen Beispiel Fünf Kinder Anja, Bernd, Clara, Dennis und Else dürfen aus fünf Losen ziehen Sie wissen, dass darunter vier Nieten und ein Gewinn sind. Jeder darf ein Los ziehen. Sie können sich über die Reihenfolge nicht einigen. Ist der Streit berechtigt? Aufgabe Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beantworten Sie die Frage. 28 / 35

29 Lose ziehen G 3 das dritte Kind zieht das Gewinnlos 29 / 35

30 Lose ziehen 1. Für das Ereignis G 3 ist nur der Pfad NNG günstig. 2. Nach der 1. Pfadregel beträgt seine Wahrscheinlichkeit = Ersetze G 3 durch ein beliebiges anderes G k. 4. Fazit: Der Streit ist nicht berechtigt. Jedes Kind hat dieselbe Chance. 30 / 35

31 Lose ziehen Ein ähnliches Problem lösen: Aus einer Urne mit einer weißen und neun schwarzen Kugel ziehen zwei Personen abwechselnd und ohne zurückzulegen eine Kugel. Wer die weiße Kugel zieht, gewinnt. Würden Sie lieber als erster oder lieber als zweiter ziehen? Antwort: Es ist egal. Wie lautet Ihre Entscheidung bei einer weißen und zehn schwarzen Kugeln? Antwort: Wer anfängt, ist im Vorteil. 31 / 35

32 Gerechte Teilung Aufgabe Zeichnen Sie ein Baumdiagramm für den weiteren Spielverlauf beim Problem der gerechten Telung. Es steht 3:2 für Anton. Nötig sind 5 Siegpunkte. Kennzeichnen Sie die günstigen Pfade für Pünktchen. 32 / 35

33 Gerechte Teilung Gewinnbringende Pfade für Pünktchen: P P P 1 8 A P P P 1 16 P A P P 1 16 P P A P / 35

34 Gerechte Teilung Gewinnwahrscheinlichkeit von = 5 16 für Pünktchen. Folglich Gewinnwahrscheinlichkeit von für Anton. Anton bekommt 5,50 e und Pünktchen 2,50 e. 34 / 35

35 Gerechte Teilung Wie lange dauert es im Mittel bis zur Entscheidung? Weitere Spiellänge T : Werte von T Wahrscheinlichkeit Erwartungswert der weiteren Spiellänge E(T ) = = 25 = 3, Im Durchschnitt vieler Wiederholungen dauert es etwas mehr als drei Spiele, bis der Gesamtsieger feststeht. 35 / 35