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1 1 Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am , Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle 9 gestellten Aufgaben. b) Lösungswege sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses allein gilt nicht als Lösung. Da keine Taschenrechner zugelassen sind, brauchen Zahlenrechnungen, für die man normalerweise einen Taschenrechner benutzen würde, nicht durchgeführt zu werden. Ausnahme: Zwischenergebnis, für das der Zahlenwert für die weitere Behandlung der Aufgabe unbedingt nötig ist. Dieser Zahlenwert kann aber dann durch Kopfrechnung ermittelt werden. Ein Endergebnis ist vollständig, wenn zur Ermittlung des Zahlenwertes höchstens die Ausführung der elementaren Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und die Anwendung elementarer Funktionen (exp x( e x ), ln x, log x, sin x, cosx, tanx, arcsin x, arccosx, arctan x, x y, x, y x) nötig wäre. Z.B. wären 400 ( ) oder arctan(3.0/ 13.4) gültige Endergebnisse. Die Bildung von m! und des Binomialkoeffizienten z.b. gehören nicht zu den elementaren Rechenoperationen. c) Zugelassene Hilfsmittel: 10 Seiten DIN A4 mit Sätzen, Definitionen und Formeln (einschließlich begleitender Text dazu), aber ohne Aufgaben, ohne Lösungsvorschläge von Aufgaben und auch ohne Beispiele, Fremdsprachenwörterbücher (ohne zusätzliche Einträge). Weitere Hinweise: a) Wer mindestens 30 Punkte erreicht hat, hat bestanden. b) Weitere Infos finden Sie im Internet in dem File allginfo.pdf im Verzeichnis Kolbe WS0607/. Aufgabe 1 Bestimmen Sie zu der Häufigkeitstabelle: x i f i (durch die also jedem Merkmalwert x i die absolute Häufigkeit f i zugeordnet ist) das arithmetische Mittel, die mittlere absolute Abweichung und die Standardabweichung.

2 2 Lösungsvorschlag: Das arithmetische Mittel beträgt: x = Die mittlere absolute Abweichung beträgt: ( 4) = = 4 ( 4) = (= 3.6) 100 Für die Standardabweichung erhalten wir nach Formel (3.2.3): ( 4) σ = x 2 (x) 2 = (= 17.3) Aufgabe 2 Bei den Kleinbetrieben einer Stadt wurden die Meldung der Umsätze vom in der folgenden Häufigkeitstabelle ausgewertet: Klasse Tagesumsatz von... prozentuale bis unter... (Euro) Häufigkeit Wieviel % haben näherungsweise einen Tagesumsatz von weniger als 750 Euro und wieviel % haben näherungsweise einen Tagesumsatz von mindestes 400 Euro? Lösungsvorschlag: Klasse Merkmalswert von... prozentuale kum. proz. Häufigkeit kum. proz. Häufigkeit bis unter... Häufigkeit aufsteig. Kum. absteig. Kum Klasse 2: 40% haben einen Tagesumsatz unter 700 Euro 80% haben einen Tagesumsatz unter 900 Euro y% haben einen Tagesumsatz unter 750 Euro

3 3 Anwendung der Interpolationsformel (2.2.1): y (80 40) = Näherungsweise 50% haben also einen Tagesumsatz unter 750 Euro. Klasse 3: 100% haben einen Tagesumsatz von mindestens 0 Euro 70% haben einen Tagesumsatz von mindestens 500 Euro y% haben einen Tagesumsatz von mindestens 400 Euro Anwendung der Interpolationsformel (2.2.1): y (100 70) = 76 Näherungsweise 76% haben also einen Tagesumsatz von mindestens 400 Euro. Aufgabe 3 In einem Betrieb wurden 2004 die Artikel C und D neu eingeführt: Artikel Stückpreis Stückzahl Stückpreis Stückzahl Stückpreis Stückzahl in Euro in Euro in Euro A B C D Beschreiben Sie die Preisentwicklung (nicht bei den einzelnen Artikeln, sondern bei dem Gesamtbetrieb) von 2004 nach 2005 durch die Bestimmung eines geeigneten Indexes und von 2004 nach 2006 durch die Bestimmung eines geeigneten Indexes. Lösungsvorschlag: Die Preisentwicklung von 2004 nach 2005 wird durch den Preisindex P 0,1 = = 100 = beschrieben. Wir benötigen die fiktiven Preise für die neuen Artikel C und D im Basisjahr 2004, bei dem die Gesamtpreisentwicklung von A und B berücksichtigt wird: p 0,3 = = 20, p 0,4 = = Die Preisentwicklung von 2004 nach 2006 wird durch den Preisindex P 0,2 =

4 4 beschrieben. Aufgabe 4 9 Punkte Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b der exponentiellen Trendschätzfunktion T (t) = a b t für die Umsatzentwicklung eines Betriebes in den Jahren 2001 bis 2005, wobei von den Umsatzddaten y 1, y 2,..., y 5, in den einzelnen Jahren bereits die natürlichen Logarithmen gebildet wurden: ln(y 1 ) = 1.0, ln(y 2 ) = 1.5, ln(y 3 ) = 2.0, ln(y 4 ) = 2.5, ln(y 5 ) = 2.0. Lösungsvorschlag: Wir bestimmen zunächst eine linearen Trendschätzfunktion zu der (bereits vorgegebenen) Zeitreihe ln y i. Dazu benötigen wir einige Mittelwerte: t = = 3, ln y = = = 1.8, t 2 = = = 11, t ln y = = 30.0 = Daraus gewinnen wir dann die Steigung b und den Achsenabschnitt a der Trendschätzgerade zu der Zeitreihe ln y i : b = t lny t lny t 2 (t) 2 = / = = 0.3, a = ln y b t = = 0.9 Für die gesuchten Parameter der exponetiellen Trendschätzfunktion erhalten wir somit: b = e 0.3 und a = e 0.9. Bemerkungen: Es kann wie in Aufgabe 6 eine Arbeitstabelle benutzt werden. Die obigen Zahlenrechnungen brauchten nicht durchgeführt zu werden; es genügte gemäß der allgemeinen Regeln der Klausur die entsprechende Zahlenausdrücke (also z.b. 9.0/5 für ln y) einzusetzen. Aufgabe 5 Die Gewinndaten eines Unternehmens seien in Quartalswerten y i angegeben, und zwar ab dem 1.Quartal Die ersten 5 Werte der Zeitreihe (beginnend also mit dem 1.Quartal 2004) sind y 1 = 2, y 2 = 2, y 3 = 20, y 4 = 20, y 5 = 30. Zur Vorbereitung der Schätzung der Saisonnormale wurden von den Werten y i soweit möglich die zugehörigen Werte des gleitenden Durchschnitts abgezogen, was dann folgende Differenzen d i (in Mio.Euro) ergab: Quartal Jahr I II III IV

5 5 Bestimmen Sie dazu die ersten 5 Schätzwerte (beginnend also mit dem 1.Quartal 2004) der saisonbereinigte Zeitreihe. Lösungsvorschlag: Wir bilden zunächst die Durchschnittswerte bei den einzelnen Quartalen: d I = = 4, d II = = 8, d III = = 5, d IV = = 5 Wir bilden dann deren Durchschnittswert: Schätzwerte der Saisonnormale zu y i : d = ( )/4 = 1 SI = = 5, S II = = 7, S III = = 6, S IV = = 4. Die ersten 5 Schätzwerte der saisonbereinigten Zeitreihe sind demnach: 2 5 = 7, 2 ( 7) = 5, 20 6 = 14, 20 ( 4) = 24, 30 5 = 25 Aufgabe 6 8 Punkte Zu drei Merkmalen liegen Daten aus 4 Beobachtungen vor. i x i y i z i Geben Sie für die Regressionsebene z = a 1 + b 1 x + c 1 y ein lineares Gleichungssystem für a 1, b 1 und c 1 an. Es sind also die Elemente der Koeffizientenmatrix und die Koordinaten des Störvektors zu bestimmen. Eine Lösung des lineares Gleichungssystems ist nicht verlangt. Lösungsvorschlag: Wir verwenden in dieser Aufgabe eine Arbeitstabelle für die Ermittlung der benötigten Summen. Selbstverständlich können die benötigten Summen auch ohne Arbeitstabelle bestimmt werden. i x i y i z i x 2 i y 2 i x i y i x i z i z i y i

6 6 Die Parameter der ersten Regressionsebene gewinnen wir als Lösung der Normalengleichungen: 4a b 1 + 8c 1 = 17 11a b 1 + 3c 1 = 38 8a 1 + 3b c 1 = 57, Aufgabe 7 5 Studenten einer Universität treffen sich in der Mensa. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 davon das gleiche Fach studieren? Dabei sei angenommen, dass jeder der Studenten sich aus den 40 an der Universität angebotenen Studienfächern sich genau eines zufällig auswählt. Lösungsvorschlag: Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, dass mindestens zwei Studenten das gleiche Fach studieren, berechnen wir über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses B: Alle Studenten studieren verschiedene Fächer. Um gleichwahrscheinliche Elementarereignisse zu garantieren, wählen wir m.b.d.a. und erhalten so P(B) = 1 P(B) = 1 K 5(40)o.Z.m.B.d.A = 1, K 5 (40)m.Z.m.B.d.A Aufgabe 8 4 Punkte Jeder von einer Gruppe von 4 Kunden einer Carsharing Firma wollen sich je eines von 7 Autos verschiedenen Typs ausleihen, die an dem Standplatz am Bahnhof bereitstehen. Wieviele Möglichkeiten der Verteilung gibt es, wenn es a) gleichgültig ist, b) nicht gleichgültig ist, welcher Kunde sich welches Auto auswählt, und jeder der 4 Kunden das gewählte Auto auch erhält? Lösungsvorschlag: a) Es handelt sich um Kombinationen 4. Ordnung aus 7 Elementen ohne Zurücklegen (die Kunden erhalten das gewählte Auto, d.h. jeder Kunde wählt nur ein solches Auto aus, dass nicht von einem anderen schon gewählt wurde) a) ohne Berücksichtigung der Anordnung; Anzahl: ( ) 7 4 = b) mit Berücksichtigung der Anordnung; Anzahl: Aufgabe 9 10 Punkte

7 7 Drei Versicherungsgesellschaften einer Region bieten Kapital Lebensversicherungen und Risiko Lebensversicherungen an und nur diese beiden Lebensversicherungsformen. Jeder neue Lebensversicherungsvertrag wird mit genau einer der drei Gesellschaften abgeschlossen, mit Wahrscheinlichkeit 0.30 mit Versicherungsgesellschaft 1 und mit Wahrscheinlichkeit 0.10 mit Versicherungsgesellschaft 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mit Gesellschaft 1 neu abgeschlossene Lebensversicherung eine Risiko Lebensversicherung ist, sei mit Gesellschaft 2 neu abgeschlossene Lebensversicherung eine Risiko Lebensversicherung ist, sei mit Gesellschaft 3 neu abgeschlossene Lebensversicherung eine Risiko Lebensversicherung ist, sei a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine neu abgeschlossene Lebensversicherung eine Kapital Lebensversicherung ist? b) Ein zufällig ausgewählter Versicherungsnehmer schließt eine Risiko Lebensversicherung ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sie mit Gesellschaft 3 abschließt? c) Ein zufällig ausgewählter Versicherungsnehmer schließt eine Kapital Lebensversicherung ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sie nicht mit Gesellschaft 2 abschließt? Lösungsvorschlag: a) Ereignisse: K: Abschluss einer Kapitallebensversicherung R: Abschluss einer Risikolebensversicherung V i : Abschluss bei Versicherunggesellschaft i Die Bedingungen der Sätze (Formel für die totale Wahrscheinlichkeit) und (Formel von Bayes) sind erfüllt, da V 1, V 2, V 3 ein vollständiges System bilden und da P(V i ) > 0 für alle i und P(R/V 1 ) > 0 gelten. P(V 3 ) = = 0.6 P(R/V 1 ) = 0.6, P(R/V 2 ) = 0.7, P(R/V 3 ) = 0.5 P(R) = P(R/V 1 ) P(V 1 ) + P(R/V 2 ) P(V 2 ) + P(R/V 3 ) P(V 3 ) = = 0.55 P(K) = 1 P(R) = (= 0.45)

8 8 b) P(V 3 /R) = P(R/V 3) P(V 3 ) P(R) = c) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist: P(V 1 /K)+P(V 3 /K) = P(K/V 1) P(V 1 ) + P(K/V 3) P(V 3 ) = P(K) P(K) (1 0.60) (1 0.50)

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