Gliederung. Kapitel 1: Endliche Automaten

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1 Gliederung 0. Motivtion und Einordnung 1. Endliche Automten 2. Formle Sprchen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie Minimierungslgorithmus 1.3. Grenzen endlicher Automten 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

2 u Anmerkungen in diesem Kpitel lernen wir einen Anstz kennen, formle Sprchen zu eschreien, indem mn direkt ein Progrmm ngit, dss ds Wortprolem für die zu eschreiende Sprche löst wir müssen lso festlegen, welche Progrmme wir ufschreien können (/* lso ein Berechnungsmodell einführen */) welche Sprche ein Progrmm in diesem Berechnungsmodell eschreit (/* lso für welche Sprche ein Progrmm ds Wortprolem löst */) 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

3 u Gegenstnd des Kpitels wie schuen uns ein sehr einfches Berechenrkeitsmodell n, eigentlich ds einfchste, ds mn in der Informtik etrchtet die Progrmme dieses Modells (so gennnte endliche Automten) werden enutzt, um estimmte formle Sprchen zu eschreien die Progrmme dieses Modells reiten in Echtzeit, d.h. die Einge wird einml Zeichen für Zeichen von links nch rechts verreitet und sold ds letzte Zeichen verreitet wurde, steht ds Ergenis fest... dmit ist klr, dss diese Progrmme sehr effizient reiten 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

4 u Endliche Automten ls einfches Berechnungsmodell Welche elementren Opertionen stehen zur Verfügung? Wie viel Speicher steht zur Verfügung und wie geht mn dmit um? Wie wird die Einge eingegeen? Wie wird die Ausge estimmt? Lesekopf Eingend Progrmm 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

5 u Informelle Beschreiung eines endlichen Automten Eingend linerer Speicher; esteht us Zellen; je Zelle ein Zeichen Lesekopf ewegt sich von links nch rechts in jedem Schritt wird ein Zeichen gelesen Progrmm steuert die Verreitung efindet sich in unterschiedlichen Zuständen ktueller Zustnd und ktuell gelesenes Zeichen legen fest, in welchem Zustnd sich ds Progrmm dnch efindet keine direkte Ausge der Zustnd, in dem sich ds Progrmm nch Areitung des letzten Zeichens efindet, wird ls Ausge interpretiert 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

6 u Beispiel Verreitung der Einge s = 1010: z 0 z 1 z 2 Zustnd: z 0 Eingend mit Kopf: Zustnd: z 0 Eingend mit Kopf: Zustnd: z 1 Zustnd: z 1 Zustnd: z 2 Eingend mit Kopf: Eingend mit Kopf: Eingend mit Kopf: ein nderer Blick: (z 0,1010) A (z 0,010) A (z 1,10) A (z 1,0) A (z 2,ε) 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

7 u... ml nders rufgeschut string s; int z = 0; chr c; red(w); while ( s!= empty string ) { c = first_chr(s); if ( z == 0 && c == '' ) then z = 1; if ( z == 0 && c == ' ) then z = 0; if ( z == 1 && c == '' ) then z = 2; if ( z == 1 && c == ' ) then z = 1; if ( z == 2 && c == '' ) then z = 1; if ( z == 2 && c == ' ) then z = 2; s = del_first_chr(s); } 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

8 u Formle Beschreiung u Verwendung Bestimmungsstücke eines endlichen Automten A = [Z,Σ,z 0,F,δ] endliche Menge Z von Zuständen Strtzustnd z 0 Z Teilmenge F Z (/* die kzeptierenden Zustände */) endliches Eingelphet Σ vollständig definierte Üerführungsfunktion δ: Z Σ Z Zeichenketten s Σ* können uf dem Eingend stehen Progrmm "=" Üerführungsfunktion δ ds erste Zeichen uf dem Eingend wird im Strtzustnd z 0 verreitet Unterteilung in F und Z \ F wird enutzt, um ds Ausgeverhlten zu eschreien 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

9 u Beispiel endlicher Automt A = [Z,Σ,z 0,F,δ] mit: Z = { z 0,z 1,z 2 } Σ = { 0,1 } F = { z 2 } für lle z,z Z und lle Σ gilt: z 0 z 1 z δ(z,) = z gdw. es git eine mit mrkierte Knte von z nch z Alterntive Beschreiung von δ : δ(z,0) δ(z,1) z = z 0 z 1 z 0 z = z 1 z 2 z 1 z = z 2 z 1 z 2 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

10 u Schreiweisen (/* in Bildern */) strt Strtzustnd Akzeptierender Zustnd strt Strtzustnd, der gleichzeitig kzeptierend ist 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

11 u offener Punkt... es ist zu klären, welche Sprche ein gegeener endlicher Automt A eschreit u Anmerkung wie mn mit einem endlichen Automt A ds Wortprolem für die von ihm eschrieene Sprche löst, sollte klr sein... schreie die Zeichenkette s ufs Eingend strte A im Strtzustnd üerprüfe, o der von A nch vollständiger Verreitung von s erreichte Zustnd ein kzeptierender Zustnd ist flls dem so ist, git j us sonst git nein us 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

12 u Begriff: eschrieene Sprche (/* zugrunde liegende Idee */) sei A = [Z,Σ,z 0,F,δ] ein endlicher Automt die von A eschrieene Sprche (/* in Zeichen L(A) */) enthält genu diejenigen Zeichenketten us Σ*, für die gilt: A erreicht einen Zustnd z F, wenn A die Zeichenkette s im Strtzustnd z 0 eginnend vollständig verreitet... die Sprche L(A) wird uch die von A kzeptierte Sprche gennnt... wir kümmern uns jetzt drum, wie mn die Sprche L(A) forml definieren knn (/* die zugrunde liegende Idee ist typisch, um zu erklären, ws ein Progrmm eines Berechnungsmodells leistet */) 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

13 u Hilfsegriff: erweiterte Üerführungsfunktion sei A = [Z,Σ,z 0,F,δ] ein endlicher Automt Die erweiterte Üerführungsfunktion δ*: Z Σ* Z von A ist wie folgt definiert: flls s = ε, so ist δ*(z,s) = z flls s = s mit Σ und s Σ*, so ist δ*(z,s) = δ*(δ(z,),s ) u Beispiel δ*(z 1,01) = δ*(δ(z 1,0),1) = δ*(z 2,1) = δ*(δ(z 2,1),ε) = δ*(z 2,ε) = z z 0 z 1 z /1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

14 u Begriff: eschrieene (kzeptierte) Sprche (/* formle Definition */) sei A = [Z,Σ,z 0,F,δ] ein endlicher Automt die von A eschrieene Sprche (/* in Zeichen L(A) */) ist wie folgt definiert: L(A) = { s Σ* δ*(z 0,s) F }. u Beispiel z 0 z 1 z 2 für diesen endlichen Automten A gilt offenr: L(A) = { s Σ* s enthält gerde viele Nullen, mindestens zwei } 1 1 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

15 u weitere Vorgehensweise wir schuen uns jetzt n, wie mn zu einer gegeenen Sprche L einen endlichen Automten A mit L(A) = L konstruieren knn um uns ds Leen leichter zu mchen, führen wir noch einen Hilfsegriff ein 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

16 u Hilfsegriff sei A = [Z,Σ,z 0,F,δ] ein endlicher Automt sei z Z wir ezeichnen mit K(A,z) die Menge ller Zeichenketten s Σ* für die gilt: A erreicht den Zustnd z, wenn A die Zeichenkette s im Strtzustnd z 0 eginnend vollständig verreitet mit nderen Worten... K(A,z) = { s Σ* δ*(z 0,s) = z }. 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

17 u Beispiel z 0 z 1 z 2 für diesen endlichen Automten A gilt offenr: 1 1 K(A,z 0 ) = { s Σ* s enthält keine Null } K(A,z 1 ) = { s Σ* s enthält ungerde viele Nullen } K(A,z 2 ) = { s Σ* s enthält gerde viele Nullen, mindestens zwei } 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

18 u Eine wichtige Beochtung sei A = [Z,Σ,z 0,F,δ] ein endlicher Automt dnn gilt: Für je zwei verschiedene Zustände z, z Z gilt, dss die Mengen K(A,z) und K(A,z ) disjunkt sind. Wenn mn lle Mengen K(A,z) vereinigt, enthält mn die Menge Σ*.... die den Zuständen von A zugeordneten Mengen K(A,z) definieren eine Klsseneinteilung uf Σ* 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

19 u Anmerkung dss ein endlicher Automt eine Klsseneinteilung uf der Menge Σ* induziert, knn mn nun enutzen, um zu zeigen, dss ein konstruierter Automt A eine gegeene Sprche L Σ* korrekt eschreit, lso L(A) = L gilt zu einer gegeenen Sprche L Σ* einen endlichen Automten A mit L(A) zu konstruieren 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

20 u ein erstes Beispiel... ein endlicher Automt, der folgende Sprche L Σ* mit Σ = {, } eschreit: L = { s Σ* die letzten drei Zeichen von s ilden die Zeichenkette } u Vorüerlegungen... wir sgen uch: s ht den Suffix Zeichenketten us Σ*, die zu L gehören:,,,,,,,... Zeichenkette us Σ*, die nicht zu L gehören ε,,,,,,,,,,... 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

21 u Konstruktionsidee ds kürzeste Wort in L, lso die Zeichenkette s =, verrät uns die Grostruktur des gesuchten endlichen Automten, d.h. die Mindestnzhl von Zuständen und einige (Zustnds)Üergänge z 0 z 1 z 2 z 3 im Anschluss versucht mn, diesen prtiellen Automten sukzessive zu vervollständigen, woei mn druf chtet, dss nur im Notfll zusätzliche Zustände eingeführt werden 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

22 u Konstruktionsidee (cont.) offenr knn nicht δ(z 0,) = z 1, δ(z 0,) = z 2 zw. δ(z 0,) = z 3 gelten (/* sonst würden Zeichenketten kzeptiert, die nicht zur Sprche L gehören */) lso verleit nur: z 0 z 1 z 2 z 3 z 0 z 1 z 2 z 3 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

23 u Konstruktionsidee (cont.) offenr knn nicht δ(z 1,) = z 2 zw. δ(z 1,) = z 3 gelten (/* sonst würden Zeichenketten kzeptiert, die nicht zur Sprche L gehören */) offenr knn nicht δ(z 1,) = z 0 gelten (/* sonst würden Zeichenketten nicht kzeptiert, die zur Sprche L gehören */) lso verleit nur: z 0 z 1 z 2 z 3 z 0 z 1 z 2 z 3 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

24 u Konstruktionsidee (cont.) offenr knn nicht δ(z 2,) = z 1, δ(z 2,) = z 2 zw. δ(z 2,) = z 3 gelten (/* sonst würden Zeichenketten kzeptiert, die nicht zur Sprche L gehören */) lso verleit nur: z 0 z 1 z 2 z 3 z 0 z 1 z 2 z 3 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

25 u vollständiger endlicher Automt A für ds erste Beispiel z 0 z 1 z 2 z 3 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

26 u Anmerkungen um zu sehen, dss L(A) = L gilt, genügt es nun nchzuweisen, dss die von A induzierte Klsseneinteilung uf Σ* folgende Eigenschft ht: Für lle Zeichenketten s Σ* mit s 3 gilt: Wenn s den Suffix ht, so gehört s zu K(A,z 3 ). Wenn s den Suffix oder ht, so gehört s zu K(A,z 2 ). Wenn s den Suffix, oder ht, so gehört s zu K(A,z 1 ). Wenn s den Suffix oder ht, so gehört s zu K(A,z 0 ).... offenr kommen lle Zeichenkette der Länge größer oder drei in dieser Fllunterscheidung vor (/* drus folgt ds K(A,z 3 ) = L gilt */)... die Korrektheit dieser Aussge zeigt mn gnz einfch per Induktion üer die Länge der Zeichenketten in Σ* 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

27 u ein zweites Beispiel... ein endlicher Automt, der folgende Sprche L Σ* mit Σ = { 0,1 } eschreit: L = { s Σ* s ist Binärdrstellung einer durch 3 teilren ntürlichen Zhl } u verwendete Bezeichnungen zu einer Zeichenkette s Σ* mit s ε sei nt(s) die ntürliche Zhl, die s repräsentiert, lso gilt: wenn s = 0 gilt, so ist nt(s) = 0 wenn s = 1 gilt, so ist nt(s) = 1 wenn s = s 0 gilt, so ist nt(s) = 2*nt(s ) + 0 wenn s = s 1 gilt, so ist nt(s) = 2*nt(s ) + 1 es ezeichne R 3 (n) den Rest, den die ntürliche Zhl n ei Teilung durch 3 ht (/* mögliche Werte 0,1 und 2 */) 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

28 u Vorüerlegungen Rest ei Teilung durch 3 ntürliche Zhlen zugehörige Zeichenketten 0 0, 3, 6,... 0, 11, 110, , 4, 7,... 1, 100, 111, , 5, 8,... 10, 101, 1000,... die Menge Σ* (/* mit Ausnhme von ε */) wird in drei Klssen zerlegt: { s Σ* R 3 (nt(s)) = 0 } = { 0,11,110,... } (/* erste Klsse */) { s Σ* R 3 (nt(s)) = 1 } = { 1,100,111,... } (/* zweite Klsse */) { s Σ* R 3 (nt(s)) = 2 } = { 10,101,1000,... } (/* dritte Klsse */) 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

29 u Konstruktionsidee wir konstruieren einen endlichen Automten A mit vier Zuständen, der die folgende Klsseneinteilung induziert: K(A,z 0 ) = { s Σ* R 3 (nt(s)) = 0 } K(A,z 1 ) = { s Σ* R 3 (nt(s)) = 1 } K(A,z 2 ) = { s Σ* R 3 (nt(s)) = 2 } K(A,z 3 ) = { ε } A muss den Zustnd z 3 ls Anfngszustnd hen und den Zustnd z 0 ls kzeptierenden Zustnd ußerdem muss δ(z 3,0) = z 0 und δ(z 3,1) = z 1 gelten (/* d R 3 (0) = 0 sowie R 3 (1) = 1 gilt */) 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

30 u Konstruktionsidee (cont.) 1 0 z 3 z 2 z 0 z 1... jetzt knn mn wie im ersten Beispiel versuchen, diesen prtiellen Automten sukzessive zu vervollständigen oder ein wenig strkter n die gnze Sche herngehen 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

31 u ein wenig strkter... sei s die von A zu verreitende Zeichenkette mit s 2 offenr gilt entweder s = s 0 oder s = s 1 für ein s Σ* wenn s von A verreitet wird, so gilt: δ*(z 3,s) = δ(δ*(z 3,s ),0) oder δ*(z 3,s) = δ(δ*(z 3,s ),1) wenn A korrekt reitet, so muss ußerdem gelten: wenn R 3 (nt(s )) = 0 gilt, so gilt δ*(z 3,s ) = z 0 wenn R 3 (nt(s )) = 1 gilt, so gilt δ*(z 3,s ) = z 1 wenn R 3 (nt(s )) = 2 gilt, so gilt δ*(z 3,s ) = z 2 Zentrle Frge: Welchen Wert muss dnn δ*(z 3,s) hen? 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

32 u uf dem Weg zu einer Antwort... wie wir wissen gilt: wenn s = s 0 ist, so gilt nt(s) = 2*nt(s ) + 0 wenn s = s 1 ist, so gilt nt(s) = 2*nt(s ) + 1 sei nun x = nt(s ) dnn folgt unmittelr: wenn s = s 0 ist, so gilt R 3 (nt(s)) = R 3 (2x) wenn s = s 1 ist, so gilt R 3 (nt(s)) = R 3 (2x+1) 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

33 u uf dem Weg zu einer Antwort... (cont.) Fll 1: R 3 (x) = 0 für x = nt(s )... dnn ist x = 3z für ein z N 0 dmit gilt 2x = 6z und 2x+1 = 6z+1 lso erhlten wir: R 3 (2x) = 0 und dmit R 3 (nt(s 0)) = 0 R 3 (2x+1) = 1 und dmit R 3 (nt(s 1)) = 1... ds ergit dnn: R 3 (nt(s )) R 3 (nt(s 0)) R 3 (nt(s 1)) /1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

34 u Konsequenzen... ein nderer Blick uf die Telle R 3 (nt(s )) R 3 (nt(s 0)) R 3 (nt(s 1)) liefert uns die Antwort... δ*(z 3,s ) ( = z ) δ*(z 3,s 0) ( = δ(z,0) ) δ*(z 3,s 1) ( = δ(z,1) ) z 0 z 0 z 1 z 1 z 2 z 0 z 2 z 1 z 2 1/1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik

35 u vollständiger endlicher Automt A für ds zweite Beispiel z z 0 z 1 z /1, S Prof. Steffen Lnge - HD/FI - Theoretische Informtik