Grundbegriffe. Vereinigungsmenge Schnittmenge sicheres Ereignis disjunkte Mengen komplementäre Ereignisse/ Gegenereignisse/ Alternativereignisse

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1 Grundbegriffe Vereinigungsmenge Schnittmenge sicheres Ereignis disjunkte Mengen komplementäre Ereignisse/ Gegenereignisse/ Alternativereignisse 33

2 Mengenschreibweise von Ereignissen - Rechenregeln: (1) A U A = A (2) A A = A (3) A U B = B U A Kommutativgesetz (4) A B = B A Kommutativgesetz (5) A U ( B U C ) = ( A U B ) U C Assoziativgesetz (6) A ( B C ) = ( A B ) C Assoziativgesetz (7) A ( B U C ) = (A B ) U ( A C ) Distributivgesetz (8) A = (A B ) U (A B ) Übungsaufgabe 34

3 b) Der Begriff Wahrscheinlichkeit Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff: Laplace ( ). P(E) = Anzahl der "günstigen" Fälle Anzahl aller möglichen Fälle 35

4 klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Probleme mit der Unendlichkeit Ereignisse müssen gleichwahrscheinlich sein Man muss die möglichen Fälle benennen können Enden tat das Spiel mit dem Sieg der einen Partei -- die andere Partei hatte den Sieg verloren. Es war vorauszusehen, dass es so kam. Karl Valentin 36

5 Der statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff 1. Verallgemeinerung: nicht alle Ereignisse müssen gleich oft vorkommen 2. Wir ziehen eine Stichprobe (engl. sample) aus einer (oft abstrakten) Grundgesamtheit (engl. population; diese muß nicht unbedingt vollständig bekannt sein) 3. für praktische Anwendung gilt: je umfangreicher die Stichprobe, desto genauer wird die WS bestimmt 37

6 Beispiel: Geburtenstatistik kommen Mädchen- und Jungengeburten gleich oft vor? Klassische Wahrscheinlichkeit: P(M) = 1/2 =0.5 Wir definieren: n = Gesamtzahl der Ereignisse in der Stichprobe f(e) = (Anzahl der günstigen Ereignisse) absolute Häufigkeit h(e) = f(e)/n relative Häufigkeit n f(m) (E=M) h(m)

7 Beobachtung: die relative Häufigkeit stellt einen Schätzwert für die unbekannte Wahrscheinlichkeit dar. Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: Sei mit P(E) die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens des Ereignisses E bezeichnet, dann wird mit der zugehörigen relativen Häufigkeit h(e) einer Stichprobe vom Umfang n die (statistische) Wahrscheinlichkeit P(E) geschätzt: pˆ pˆ = (E) = h(e) = f(e)/n Das Zeichen ^ unterscheidet den Schätzwert vom unbekannten ( wahren ) Wert p. f(e) ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses. 39

8 c. Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit... stammt von dem russischen Mathematiker Kolmogorov ( ) und wurde 1933 publiziert. Seien A und B Ereignisse des Ereignisraumes Ω und P(A) bzw. P(B) ihre Wahrscheinlichkeiten. Dann gelte: Axiom I: Jedem Ereignis A aus Ω wird eine Wahrscheinlichkeit P(A) zugeordnet, wobei 0 P(A) 1 gilt. Axiom II: Für (unmögliches Ereignis) und Ω (sicheres Ereignis) gilt: P( ) = 0 und P(Ω) = 1 Axiom III: Für zwei sich ausschließende (disjunkte) Ereignisse A und B gilt P(A U B) = P(A) + P(B) 40

9 1. Generelle Additionsregel: Für beliebige Ereignisse A und B gilt P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) Beweis: (muss nur für nicht-disjunkte A und B geführt werden; für disjunkte A und B ist Axiom III der Beweis ) Linke Seite: A U B aufteilen (grafisch!) in disjunkte Ereignisse: A U B = (A nicht-b) U (A B ) U (B nicht-a), also gem. Axiom III: P(A U B) =P(A nicht-b) + P(A B ) + P(B nicht-a) Rechte Seite: A =(A B ) U (A nicht-b) und B= (A B ) U (B nicht-a), also ist nach Axiom III: P(A)=P(A B ) + P(A nicht-b) und P(B)=P(A B ) + P(B nicht-a) also ist P(A)+P(B)=P(A B ) + P(A nicht-b) + P(A B ) + P(B nicht-a) demnach ist (denn ich muß einmal P(A B ) abziehen) P(A)+P(B)-P(A B) = P(A B ) + P(A nicht-b) + P(B nicht-a), was genau gleich der linken Seite ist. q.e.d. 41

10 2. Spezielle Additionsregel Für sich ausschließende (disjunkte) Ereignisse A und B gilt: P(A U B) = P(A) + P(B) 3. Komplementregel. Für die Alternativereignisse A und Ā gilt P(A) = 1 P(Ā), was man natürlich auch als P(A) + P(Ā) = 1 schreiben kann 42

11 d. Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Oft gibt es Situationen, bei denen die WS eines Ereignisses A davon abhängt, ob ein anderes Ereignis B auch vorliegt. Beispiel: Wir wollen feststellen, mit welcher WS ein Patient, der tatsächlich krank ist (K), von einem Test auch als krank diagnostiziert wird (T +, positives Testergebnis). P(K T + ) des Ereignisses "krank und im Test positiv" muß etwas mit der WS P(K) zu tun haben, daß der Patient "krank" ist sie hängt davon ab bzw wird davon beeinflußt. Wir bezeichnen das Ereignis "positives Testergebnis unter der Bedingung, daß der Patient krank ist" als T + K (Aussprache: T + gegeben K, oder: T + unter der Bedingung / Voraussetzung K). Dann suchen wir P(T + K), die bedingte WS von T + K. Ihr Wert ist gegeben durch P(T + K) = P(T + K) / P(K). 43

12 -Definition -Quotient aus zwei WS -0 P 1 Seien A und B zwei Ereignisse (und P(B)>0), dann definiert man die bedingte Wahrscheinlichkeit von "A unter der Bedingung B" durch P(A B) = P(A B) / P(B) Nach Multiplikation mit P(B) erhält man daraus die WS des gemeinsamen Auftretens von A und B, P(A B) als P(A B) = P(A B) P(B) ( generelle Multiplikationsregel ) 44

13 Falls Wahrscheinlichkeit von A nicht von B beeinflusst: unabhängig die bedingte Wahrscheinlichkeit ist dann eine unbedingte Dann ist P(A B) = P(A) Beispiel: B = Ω : P(A Ω) = P(A Ω) / P(Ω) = P(A)/1 = P(A) Definition: Zwei Ereignisse A und B werden unabhängig genannt, wenn P(A B) = P(A) (und P(B A) = P(B) ) In diesem Falle (unabhängige Ereignisse) wird die generelle Multiplikationsregel zu P(A B) = P(A) P(B) "spezielle Multiplikationsregel" 45

14 d.2 Totale Wahrscheinlichkeit Wenn wir den Ereignisraum B = Ω in zueinander disjunkte Ereignisse B 1, B 2, B 3... aufteilen, können wir A schreiben als A = (A B 1 ) U (A B 2 ) U (A B 3 ) U... Formel für die totale Wahrscheinlichkeit bei disjunkten Ereignissen B 1,B 2,B 3,...B n, mit U B j =Ω gilt (das U bedeutet Vereinigungsmenge): P(A) = P(A B j ) P(B j ) (die Summe geht von j=1..n) 46