3.Wiederholung: Toleranzbereiche Für EX Geg:

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Martin Gerber
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1 3.Wiederholung: Toleranzbereiche Für EX Geg: Vl Schätzfunktion für Güte: Ist X Problem: Feb 17 13:21 > Wir berechnen Bereiche (Toleranzbereiche) für sind untere und obere Grenzen, berechnet auf der Basis der Stichprobe von X so dass gilt: P( S u < < S o ) = 1 : Sicherheitswahrscheinlichkeit : Irrtumswahrscheinlichkeit :Genauigkeit Mrz 3 09:42 B.Grabowski 1

2 1. Fall: X~N(, ) bekannt Es gilt: Feb 24 11:39 Feb 24 11:41 B.Grabowski 2

3 2. Fall Dichte von Y: Feb 24 11:44 Toleranzintervall für die Varianz Var(X) = Geg: Schätzfunktion für Stichprobenstreuung Es gilt: Die Chi Quadrat Verteilung Verteilung von Y: > Toleranzintervall für Feb 10 12:28 B.Grabowski 3

4 Nun bitte HA: Fallstudie 3, 4a,b,d Mrz 3 10: Was ist, wenn unsere Stichprobe nicht normalverteilt ist? Zentraler Grenzwertsatz: Wir haben bisher bei Vorliegen der Normalverteilung den Reproduktionssatz verwenden können: vorne genannten Toleranzintervalle für und Feb 10 12:27 B.Grabowski 4

5 Falls X nicht mehr normalverteilt ist, so verwenden wir statt Reproduktionssatz den Zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass die Normalverteilung einer Summe beliebig verteilter unabhängiger Größen für n > 30 erhalten bleibt: Feb 24 12:08 Alle Toleranzintervalle bleiben auch bei nicht Normalverteilung gültig, falls n 30. Feb 24 12:10 B.Grabowski 5

6 3.7 SPSS Analysieren > Mittelwerte vergleichen > t test für eine SP > Testwert : 0 > Optionen: Prozentsatz Konfidenzintervall: 95 % oder: Analysieren > Deskriptive Statistiken > Explorative Datenanalyse > Abhängige Variable:.rss0, rss12 >Faktorliste: z.b. Geschlecht (oder DZ) Konfidenzintervall für den Mittelwert: 95 % Feb 17 14:04 Feb 24 12:33 B.Grabowski 6

7 Feb 24 12:43 HA Fallstudie 3, Aufgabe 4 a,b,d Fallstudie 4, Aufgabe 2 Feb 24 12:45 B.Grabowski 7

8 4. Hypothesentests Vl Ein und zweiseitige Tests Wir betrachten nun Hypothesen über den unbekannten Erwartungswert =EX einer Zufallsgröße X der Form H 0 : θ = θ 0 gegen H 1 : θ θ 0 H 0 : θ < θ 0 gegen H 1 : θ θ 0 H 0 : θ > θ 0 gegen H 1 : θ θ 0 wobei eine vorgegebene bekannte Zahl ist. a) heißt 2 seitiges Problem; b) und c) bezeichnet man als einseitige Testprobleme. Ho: Nullhypothese H1: Alternative Feb 10 12:38 Entscheidungen : signifikant gegen Ho Gütekriterien Definition: Ein Test (=Teststrategie), der die Eigenschaft P(T ε / H 0 ) = nicht gegen Ho (d.h. nicht, dass Ho gilt) sondern nur: Wir können nicht signifikant nachweisen, dass Ho nicht gilt. > H1 sollte Ihre nachzuweisende Vermutung enthalten. besitzt, heißt -Test. heißt auch Signifikanzniveau des Tests. Wählen wir =0,05, so heißt das, dass bei 100 maliger Anwendung des Tests dieser in 95 % aller Fälle H 0 identifiziert, wenn H 0 vorliegt - nur in fünf nicht. Feb 24 10:29 B.Grabowski 8

9 Feb 24 10:22 Mrz 3 12:02 B.Grabowski 9

10 Mrz 3 12:04 Testkriterium: Toleranzbereiche H: EX= H: EX= Man berechnet zunächst die Bereichsschätzung zur Sicherheit für den unbekannten Erwartungswert. Verteilung von X Feb 24 10:37 B.Grabowski 10

11 Wenn Ho: EX = stimmen würde, so müsste unser Toleranzintervall mit großer Wkt (1 ) enthalten. > Entscheidungsregel zum Prüfen H: EX= H: EX= Ist o I, so lehnen wir Ho signifikant, d.h. mit der Irrtumswahrscheinlichkeit = 0.05 ab! Andernfalls wird Ho nicht abgelehnt. Mrz 3 14:28 Liegt in diesem Intervall, so entscheiden wir uns für H0, andernfalls gegen H0. Abbildung 8.1: Grafische Illustration der Entscheidungsregel (8.3) Aufgabe: Prüfen Sie: gegen: Feb 24 10:38 B.Grabowski 11

12 Testwert: 0 Mrz 3 12:18 Mrz 3 12:21 B.Grabowski 12

13 Bemerkung: Was ist, wenn wir Testwert = 153 einstellen? Hier wird das Tolearnzintervall für die Differenz: EX 153 angegeben: =[X 153 Mrz 3 14:44 Früher haben wir geprüft: Nun müssen wir prüfen: Mrz 3 12:51 B.Grabowski 13

14 Wir wollen nun Prüfen: gegen gegen einseitige Tests Mrz 3 12:24 Einseitige Tests erfordern einseitige Toleranzintervalle: gegen H1: Mrz 3 10:28 B.Grabowski 14

15 Der wahre Erwartungswert liegt mit Wahrscheinlichkeit 1 über Su. Ist nicht der wahre Wert sein, bzw. der wahre Wert kann nicht < sein, bzw. er ist > signifikant mit Irrtumswkt 1 Mrz 3 14:55 Mrz 3 12:34 B.Grabowski 15

16 SPSS gibt nur zweiseitige Tolearnzintervalle aus! > Wie kann man aus den zweiseitigen Intervallgrenzen die einseitigen ermitteln? Mrz 3 14:58 SPSS Optionen: einstellen! Mrz 3 15:11 B.Grabowski 16

17 Einseitiger Test gegen H1: einseitiges Intervall I: Entscheidung: Mrz 3 15:13 analog: Mrz 3 15:02 B.Grabowski 17

18 1 bei Optionen als 0.9 einstellen! Mrz 3 12:46 Anderes Testkriterium: Signifikanz p (und t Wert) H: Mrz 3 10:38 B.Grabowski 18

Wir wählen eine geeignete Teststatistik T, die den Abstand von zu misst, zum

19 Vorgehensweise: Teststrategie 1. Wir schätzen auf der Basis der Beobachtungen ) durch. Wir wählen eine geeignete Teststatistik T, die den Abstand von zu misst, zum Beispiel Wir vergleichen den Wert der Teststatistik mit einem kritischen Wert : T < Entscheidung für H0 T Entscheidung gegen H0 Mrz 3 10:40 Mrz 3 10:45 B.Grabowski 19

lautet für b): H0: gegen H1: T H1, sonst

20 Feb 24 10:31 Einseitige t Tests Zusammenfassung: Testen der einseitigen Hypothesen b) c) Berechnen der Teststatistik T Das Entscheidungskriterium lautet für b): H0: gegen H1: T H1, sonst H0 für c): H0: gegen H1: T H1, sonst H0 Feb 24 10:22 B.Grabowski 20

21 SPSS: Fallstudie 4 2b) Analysieren, Mittelwerte vergleichen, t Test bei einer Stichprobe H: EX uo = 0 Feb 24 10: Vergleich zweier Mittelwerte Wie gehabt. Aber zu beachten ist: Feb 10 12:51 B.Grabowski 21

22 Mrz 3 13:10 Antwort: Hat sich verbessert. die Differenz RSS0 RSS12 ist signifikant > 0 Mrz 3 13:11 B.Grabowski 22

23 Achtung: Beim Vergleich zweier Erwartungswerte muss man folgende Fälle unterscheiden: abhängige SP: Zwei verschiedene Variablen werden an einer Personengruppe miteinander verglichen. Mrz 3 15:21 unabhängige SP: Eine Variable wird an zwei Personengruppen erhoben und verglichen. Für diesen Fall ist noch die Varianz Gleichheit und die Varianz Ungleichheit in beiden Gruppen zu unterscheiden. Feb 10 13:17 B.Grabowski 23

24 Mrz 3 13:21 Mrz 3 13:25 B.Grabowski 24

25 > Kein Unteschied zwischen den Geschlechtern bei RRS0 nachweisbar! Mrz 3 13: Prüfung von Korrelationskoeffizienten gegen 0 Feb 10 12:50 B.Grabowski 25

26 Mrz 3 13: Prüfen auf Normalverteilung Analysieren > nichtparametrische Tests > eine Stichprobe Feb 10 13:16 B.Grabowski 26

27 Mrz 3 13:39 Mrz 3 13:41 B.Grabowski 27

28 Mrz 3 13:41 Mrz 3 13:42 B.Grabowski 28

Mrz 3 13:49 Für die Berechnung des kritischen Wertes wird zunächst ein akzeptabler Wert für den Fehler 1. Art vorgegeben, z. B. =0,05 oder =0,01. wird dann definiert als (8.

29 Mrz 3 13:49 Für die Berechnung des kritischen Wertes wird zunächst ein akzeptabler Wert für den Fehler 1. Art vorgegeben, z. B. =0,05 oder =0,01. wird dann definiert als (8.2) Wir vergleichen den Wert der Teststatistik mit einem kritischen Wert : (8.3) T < ε Entscheidung für H 0 T ε Entscheidung gegen H 0 Dieses Verfahren wird t-test genannt. Feb 24 10:35 B.Grabowski 29

30 Mrz 3 13: Unbekannte Varianz Vergleich von EX gegen einen vorgegebenen Wert Vorgehensweise zum Prüfen von H 0 : EX = θ 0 gegen H 1 : EX θ 0 Feb 10 12:49 B.Grabowski 30

31 Definition: Sei To ein konkreter Wert für T, der sich auf der Basis einer SP vom Umfang n ergeben hat. Der zu ε=to gehörende α- Wert α o, heißt α-wert von To. In vielen Statistik-Programmpaketen wird neben dem berechneten Wert To der Teststatistik ihr zugehöriger Wert αo (auch häufig als p-wert bezeichnet) ausgegeben. Anstelle des o.g. Entscheidungskriteriums T < Entscheidung für H 0 T Entscheidung gegen H 0 verwendet man dann das äquivalente Kriterium: α o > α Entscheidung für Ho α o α Entscheidung gegen Ho wobei i.a. α= 0.01 oder α=0.05 gewählt wird. Feb 24 10:30 B.Grabowski 31

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