Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

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1 Einführung I Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Dominik Schillo Universität des Saarlandes 007 (Stand: 007, 4:9 Uhr) Wie viel Kilogramm Salzsäure der Konzentration % muss man mit wieviel Kilogramm der Konzentration 0% mischen, um 0 kg Salzsäure der Konzentration 5% zu erhalten? Wir setzen x = Masse der %-igen Salzsäure in kg, y = Masse der 0%-igen Salzsäure in kg Die obige Frage lässt sich nun wie folgt umformulieren: Wie sieht die Lösungsmenge der Gleichungen (ohne kg) x + y = 0 (I) 0, x + 0, y = 0 0, 5 =, 5 (II) mit x, y R aus? Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Einführung II Lösung (Einsetzungsverfahren) Einführung III Lösung (Additionsverfahren) Wir formen (I) nach x um: x = 0 y (I') (0, ) (I ): (II ) (I ): 0, x + 0, y =, (I') Wir setzen (I') in (II) ein: 0, (0 y) + 0, y =, 5, 0, y + 0, y =, 5 0, 08y = 0, 3 y = 3, 75 Einsetzen von y in (I'): x = 0 3, 75 = 6, 5 (kg) (0, x + 0, y) (0, x + 0, y) =, 5, 0, 08y = 0, 3 y = 3, 75 In (I): x + 3, 75 = 0 x = 6, 5 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 3 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 4

2 Denition (Lineares Gleichungssystem) Seien n, m N Ein lineares Gleichungssystem (LGS) der Gröÿe m n a,x + a,x + + a,nx n = b a,x + a,x + + a,nx n = b Mit der Notation aus der vorherigen Denition gilt für das einführende : LGS mit Gleichungen und Unbekannten sowie Koezienten a, =, a, =, a, = 0,, a, = 0, a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m besteht aus m Gleichungen mit n Unbekannten x,, x n R und Koezienten a i,j R für i =,, m und j =,, n sowie b,, b m R Das LGS heiÿt homogen, falls b = = b m = 0; inhomogen sonst sowie b = 0 und b =, 5 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 5 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 6 Wir betrachten das LGS x + x =, (I) x + x = (II) Wir formen (I) nach x um: Wir betrachten das LGS: x + x =, (I) x + x = 4 (II) Wir formen (I) nach x um: x = x (I') x = x (I') und setzen (I') in (II) ein: und setzen (I') in (II) ein: ( x ) + x = x + x = = ( x ) + x = 4 x + x = 4 = 4, dh für beliebiges x R sind (I) und (II) wahr, wenn wir x = x setzen Das LGS hat unendlich viele Lösungen dh das LGS hat keine Lösung Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 7 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 8

3 Denition (Lösung eines LSG) Wir betrachten ein LGS wie in der Dention auf Folie 5 Eine Lösung des LGS ist ein Vektor x = R n, so dass x,, x n alle Gleichungen des LGS erfüllen Die Menge L = {x R n ; x ist eine Lösung des LGS} R n heiÿt Lösungsmenge des LGS Wir nennen ein LGS lösbar, falls L Wir nennen ein LGS eindeutig lösbar, falls L aus einem Element/Punkt besteht Wir nennen ein LGS nicht lösbar, falls L = x x n {( )} 6, 5 von Folie : L =, dh das 3, 75 Gleichungssystem ist eindeutig lösbar {( von Folie ) 7: } x L = R x ; x R beliebig, dh das ( ) 0 Gleichungssystem ist lösbar, aber nicht eindeutig, da zb ( ) und in L liegen (L hat sogar unendlich viele Elemente) 0 3 von Folie 8: L =, dh das LGS ist nicht lösbar Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 9 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 0 Ziel Bereitstellung von Werkzeugen um die Lösungsmenge von LGSen zu bestimmen Denition Wir schreiben das LGS von Folie 5 als a, a, a,n b a m, a m, a m,n b m Wir kürzen dies ab als (A b), wobei a, a, a,n b A =, b = a m, a m, a m,n b m Denition Die Tabelle A bezeichnen wir als Matrix mit m Zeilen und n Spalten ((m n)-matrix) Wir schreiben R m n oder M(m n) für die Menge aller (m n)-matrizen Für homogene LGS schreiben wir oft A statt A 0 0 von Folie : ( ) x + x = 0 0 0, x + 0, x =, 5 0, 0,, 5 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

4 von Folie 7: 3 von Folie 8: 4 3x + x 3 + 4x 4 = x x 4 = 4x 4 = ( x + x = x + x = x + x = x + x = 4 ( 4 3x + 0x + x 3 + 4x 4 = 0x + ( )x + 0x 3 + ( )x 4 = 0x + 0x + 0x 3 + 4x 4 = ) ) x + x = 0 3x + 4x = 0 5x + 6x = ˆ= Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 3 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 4 Wir betrachten das LGS, das durch folgende Matrix gegeben ist: x + 5x + x 3 = 4, 0 5 0, dh x + 5x 3 = 0, x 3 = 0 Dieses hat eine sehr einfache Struktur und ist daher leicht lösbar: (III ) x 3 = 4 = 8 Einsetzen in (II) liefert: x + 5 = 0 x 4 = 5 8 Einsetzen in (I) liefert: 3x = 4 3x 8 4 = 4 5 = 3 x 8 8 = 8 Somit gilt L = 8 5, dh das LGS ist eindeutig lösbar Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 5 Denition Eine Matrix A R m n hat Zeilenstufenform (ZSF), falls sie die Form A = besitzt, dh, wenn in jeder Zeile der erste von Null verschiedene Eintrag (von links gelesen) weiter rechts steht als der erste solche Eintrag in der Zeile darüber Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 6

5 Zeilen, deren Einträge alle 0 sind (sogenannte Nullzeilen), dürfen sich nur ganz unten in der Matrix benden Ein LGS (A b) hat Zeilenstufenform, falls A Zeilenstufenform hat ( ) 0 Die Matrix hat keine Zeilenstufenform 3 ( ) 0 Die Matrix hat Zeilenstufenform Die Matrix 4 Die Matrix 5 Die Matrix 6 Die Matrix hat Zeilenstufenform hat Zeilenstufenform hat keine Zeilenstufenform hat keine Zeilenstufenform Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 7 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 8 Bei linearen Gleichungssystemen in Zeilenstufenform kann sehr leicht ermittelt werden, ob eine Lösung existiert und diese auch bestimmt werden Gegebenfalls müssen dazu eine oder mehrere Variablen frei gewählt werden Das LGS hat die Lösungsmenge L = (vgl Folie 5) Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 9 Das LGS entspricht ebenfalls dem LGS aus () (mit gleicher Lösungsmenge), da die zusätzliche Zeile 0=0 keine Bedeutung hat 3 Das LGS ist nicht lösbar (L = ), da die letzte Zeile 0= bedeutet Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 0

6 4 Das LGS entspricht x + 0x + 3x 3 + 5x 4 + x 5 = 4 0x + 0x + 0x 3 x 4 + 5x 5 = 0 0x + 0x + 0x 3 + 0x 4 40x 5 = 0 und hat die Lösungsmenge L = x x ; x, x R Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Frage Kann man jedes LGS (ohne Änderung der Lösungsmenge!) auf Zeilenstufenform bringen? Denition Sei ein LGS (A b) gegeben Unter elementaren Zeilenumformungen verstehen wir folgende Operationen: Vertauschen zweier Zeilen Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl ungleich 0 3 Addieren einer beliebigen Zeile zu einer anderen Man kann zeigen, dass sich durch elementare Zeilenumformungen die Lösungsmenge eines LGS nicht ändert Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Satz (Gauÿ-Algorithmus) Jedes LGS lässt sich durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bringen Dies ist zunächst nur eine Existenzaussage (es funktioniert) Man kann aber explizit einen Algorithmus angeben, den wir uns im Folgenden an en klarmachen wollen Wir betrachten das LGS 0, 3 0 0, 0, 4 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4 0, 0, Zunächst multiplizieren wir jede Zeile mit 0 (damit wir mit ganzen Zahlen rechnen können) und erhalten Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 3 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 4

7 Wir multiplizieren die erste Zeile mit ((I ) (I )): 4 Für die anderen Zeilen führen wir ähnliche Operationen durch ((II ) 6(II ), (III ) 3(III ) und (IV ) 3(IV )): Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 5 Wir addieren zur zweiten Zeile die erste Zeile ((II ) (II ) + (I )): Zu den anderen Zeilen addieren wir ebenfalls die erste Zeile ((III ) (III ) + (I ) und (IV ) (IV ) + (I )): 0 4 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 6 Wir multiplizieren die dritte Zeile mit - ((III ) ( ) (III )): Wir multiplizieren die vierte Zeile mit ((IV ) ( ) (IV )): Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 7 Wir addieren zur dritten Zeile die zweite Zeile ((III ) (III ) + (II )): 0 6 Wir addieren zur vierten Zeile die zweite Zeile ((IV ) (IV ) + (II )): 0 0 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 8

8 Wir tauschen die dritte und vierte Zeile ((III ) (IV )): 0 0 Aus x 3 = erhält man x 3 = und damit aus = 6x 4x 3 = 6x +, dass x = 0 gilt Schlieÿlich folgt aus 8 = 6x + 0x + x 3 = 6x + 0, dass x = 3 gilt Dies 3 liefert die Lösungsmenge L = 0 Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 9 Wir können auch abkürzend einige elementare Zeilenumformungen zusammenfassen I II III III +I 0 III III 6II IV IV II IV 0IV 3III Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie 30