Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler

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1 Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 7 (7.8.7). Gegeben ist die Matrix A (a) Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren. Geben Sie zu allen Eigenwerten die algebraische und geometrische Vielfachheit an. (b) Ist A diagonalisierbar? Falls ja, geben Sie eine invertierbare Matrix V und eine Diagonalmatrix D an, für die A V DV gilt. (c) Wie müssen die Konstanten α, β R gewählt werden, damit A + αa + βi O gilt? Hinweis: Denken Sie über die Eigenwerte und Eigenvektoren der Nullmatrix nach.. (a) Die Eigenwerte ergeben sich als Nullstellen des charakteristischen Polynoms, d. h. aus! λ 3 λ 3 3 λ ( λ) ( λ). Die Eigenwerte von A sind also λ mit algebraischer Vielfachheit sowie λ mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit. Die Eigenvektoren zu λ erhält man als Lösungen des linearen Gleichungssystems (A λ I) v (A + I) v mittels Gauß-Elimination (Nullzeilen und linear abhängige Zeilen einfach streichen): (II)/3 Die erste und dritte Komponente des Eigenvektors müssen somit gleich sein, während die zweite frei gewählt werden kann. Zwei linear unabhängige Eigenvektoren sind also z. B. gegeben durch v, [,, T und v, [,, T. Die geometrische Vielfachheit von λ ist damit. Analog löst man das LGS (A λ I) v (A I) v, um die Eigenvektoren zu λ zu erhalten: (I)/3 (II)/3 Das so modifizierte Gleichungssystem lässt sich problemlos auflösen; es ergibt sich v [,, T (oder beliebige nichttriviale Vielfache; Details der Auflösung bitte ausführen). (b) Da für alle Eigenwerte algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen, ist A diagonalisierbar. Die gesuchten Matrizen V und D ergeben sich aus den Eigenwerten und

2 Eigenvektoren: V, D. (c) Da A diagonalisierbar ist, ist die Forderung A + αa + βi O äquivalent zu d. h. zum LGS λ i + αλ + β (i, ), α + β 4 + α + β. Dieses lässt sich z. B. per Einsetzungsverfahren lösen (bitte detailliert ausführen); die einzige Lösung ist α, β.. Gegeben ist die Funktion f : R R, f(x, y) x + y + xy. (a) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt (, ) in Koordinatenform? (b) Bestimmen Sie sämtliche Vektoren r R mit r, für die f r (, ) 4 gilt. (c) Bestimmen Sie Art und Lage der lokalen Extrema von f. Geben Sie auch die zugehörigen Extremwerte an. (a) Wir berechnen zunächst [ + y f(x, y) x 3 + x y 3 Die Gleichung der gesuchten Tangentialebene lautet somit. [ t(x, y) f(, ) + f(, ) T x y + [ T [ 4 x + 4 y + 4(x ) + 4(y + ) 4x + 4y + 8. (b) Der gesuchte Vektor muss die Gleichung f(, ) r f(, ) T! r 4r + 4r 4 erfüllen, d. h. r r +. Einsetzen in die (quadrierte) Zusatzbedingung r r +r! liefert somit r + (r + ) r + r +! r + r r (r + )! mit den Lösungen r und r. Die gesuchten Vektoren sind somit r [, T und r [, T.

3 (c) Mögliche Kandidaten für lokale Extrema erhalten wir durch Lösen des (nichtlinearen) Gleichungssystems [ + y f(x, y) x 3! + x y 3 bzw. äquivalent der beiden Gleichungen x 3 + y, y 3 + x. Die erste Gleichung liefert y x 3, und Einsetzen in die zweite Gleichung liefert x 9 + x x( x 8 )! mit den Lösungen x und x. (Die Lösung x 3 entfällt, da f(x, y) für x nicht definiert ist - hier war die Notation in der Aufgabe etwas ungenau!). Die zugehörigen y-werte y und y ergeben sich aus der umgestellten ersten Gleichung. Es gibt also zwei stationäre Punkte: (, ) und (, ). Um zu prüfen, ob dies tatsächlich Extremstellen sind, bestimmen wir die Hesse-Matrix [ 6 H f (x, y) x 4 6. y 4 Es gilt det H f (, ) det H f (, ) >, d. h. an beiden stationären Punkten liegen Extrema vor. Da die Hauptdiagonalelemente der Hesse-Matrizen positiv sind, handelt es sich in beiden Fällen um lokale Minima. Für die zugehörigen Funktionswerte gilt f(, ) f(, ) Gegeben sei der inhomogene Körper, der von den Kugeloberflächen x + y + z und x + y + z 4 sowie den Ebenen y und z begrenzt wird, und für den y und z gilt. Die Massendichte sei gegeben durch ϱ(x, y, z) x + y + z +. Skizzieren Sie die Schnittfläche des Körpers mit der y z Ebene und berechnen Sie die Masse des Körpers.

4 Für die Berechnung der Masse bietet sich auch unter Beachtung der gegebenen Dichte die Verwendung von Kugelkoordinaten an. Konkret gilt: m r π π π π π/ ϑ π/ ϕ π/ r ϑ r r 64 5 π. (r + ) r sin ϑ dϕ dϑ dr }{{} ρ(r,ϕ,ϑ) (r 4 + r ) sin ϑ dϑ dr (r 4 + r ) [ cos ϑ π/ dr (r 4 + r ) dr [ 5 r5 + 3 r3 4. Gegeben sind die Funktion sowie die Nebenbedingung f : R R, f(x, y) x + y xy. (a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode alle Punkte, die für f unter der gegebenen Nebenbedingung als lokale Extremstellen in Frage kommen. (b) Skizzieren Sie ein Höhenlinienbild (Karte) von f mit mindestens vier Höhenlinien, das auch die Nebenbedingung enthält. Entnehmen Sie dieser Skizze, ob tatsächlich Extrema existieren, und ob es sich in diesem Falle um Minima oder Maxima handelt. (a) Wir notieren die Nebenbedingung zum Beispiel in der Form g(x, y) xy und definieren die zum Problem gehörige Lagrange-Funktion gemäß L(x, y; λ) f(x, y) + λg(x, y) x + y + λ (xy ). Kandidaten für Extrema unter der angegebenen Nebenbedingung sind die stationären Punkte der Lagrange-Funktion, d. h. die Lösungen des nichtlinearen Gleichungssystems L x (x, y; λ) + λy L y (x, y; λ) + λx L λ (x, y; λ) xy. Aus der ersten Gleichung erhält man λ y, woraus sich nach Einsetzen in die zweite Gleichung x x y ( ) y ergibt. Setzt man ( ) in die dritte Gleichung ein, ergibt sich y mit den Lösungen y, ±. Zusammen mit ( ) ergeben sich damit die Punkte (, ) und (, ) als einzig mögliche Kandidaten für bedingte Extrema.

5 y (b) Die Höhenlinien von f sind wegen x + y c y c+ x fallende Geraden, während die Nebenbedingung xy y x eine Hyperbel beschreibt. Die Skizze müsste somit die wesentlichen Elemente des folgenden Bildes enthalten: x Bei (, ) finden wir ein bedingtes lokales Maximum und bei (, ) ein bedingtes lokales Minimum. 5. (a) Man bestimme die Bogenlänge der folgenden Kurve: γ : [, 4 R 3, γ(t) 3 sin t t 3 cos t. (b) Besitzt das Vektorfeld F : R 3 R 3, F (x, y, z) z (x + z ) y x eine Potentialfunktion/Stammfunktion? Wenn ja, bestimmen Sie eine. (c) Man berechne die Arbeit W F ( x) d x, wenn γ die Kurve aus (a) und F das Vektorfeld (Kraftfeld) aus (b) ist. γ (a) Wir bestimmen die Zeitableitung γ(t) [ cos t, 3 T t, sin t und deren Norm γ(t) cos t + sin t + 94 t t.

6 Damit ergibt sich für die Bogenlänge L γ γ(t) dt [ x t dt (b) Es existiert keine Stammfunktion, denn wegen 9 x dx (Subst. x + 4 t) F z, aber F 3 x ist die Integrabilitätsbedingung verletzt. 4 (c) Da keine Stammfunktion existiert, muss das Integral von Hand berechnet werden: W F ( x) d x γ 4/3 F ( γ) T γ(t) dt cos t T (sin t + cos t)t 3 sin t ( cos t + 3 t + sin t ( + 3 ) t dt [t + 4/3 t ) dt cos t 3 t sin t dt 6. (a) Bestimmen Sie die Lösung y y(t) des Anfangswertproblems y ty sin t, y(). (b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung y y(t) der Differentialgleichung y + 4y sin(t). (a) Trennung der Variablen liefert y dy t sin t dt y y t cos t + sin t + c t cos t sin t c (part. Integration, bitte Details ausführen)

7 mit einer Konstanten c R. Den Wert dieser Konstanten ermittelt man aus der Anfangsbedingung: y()! c c. Die Lösung des Anfangswertproblems ist somit y(t) t cos t sin t +. (b) Es handelt sich um eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Wir ermitteln zunächst die allgemeine Lösung y h der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Das charakteristische Polynom c(λ) λ +4 besitzt die Nullstellen λ, ±i, d. h. y h (t) c sin t + c cos t. Nun ermitteln wir eine spezielle Lösung y s der inhomogenen Differentialgleichung. Das Störglied ist von der Form C sin ωt (hier ω ), und es gilt c(iω). Daher verwenden wir den Ansatz y s (t) t(a cos t + B sin t) mit den Ableitungen y s(t) t( A sin t + B cos t) + A cos t + B sin t, y s (t) t( 4A cos t 4B sin t) 4A sin t + 4B cos t. Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung führt auf y s (t) + 4y s (t) 4A sin t + 4B cos t! sin t, und per Koeffizientenvergleich erhalten wir 4A A und B. Insgesamt ergibt sich als allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung y(t) y h (t) + y s (t) c sin t + (c ) t cos t (c, c R).