f(x) a) Bestimmen Sie die Ableitung f (x) mittels Grenzwertbildung des Differenzialquotienten. f = a 5
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- Josef Bergmann
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2 Punkte: 1. Arbeit Mathematik von 120 Note Thema: Differenzieren Kurvendiskussion Arbeit 1 Note [ab Pkte] λ ζ Anzahl Hinweis: Zwischen- und Endergebnisse mindestens auf 2 Nachkommastellen runden Erlaubte Hilfsmittel: (nicht programmierbarer) Taschenrechner Viel Erfolg! und jetzt los,) 1) Erläutern Sie bitte, was die Ableitung f (x) einer Funktion f(x) darstellt. 2. 2) Gegeben sei die Funktionen f(x) (siehe Grafik). Konstruieren Sie bitte qualitativ die Funktion der ersten Ableitung f (x) in das untere Koordinatensystem. a) f(x) b) f(x) c) f(x) 3. / 5. / 4. f (x) f (x) f (x) 2 2 3) Gegeben ist die Funktion f(x) = x x a) Bestimmen Sie die Ableitung f (x) mittels Grenzwertbildung des Differenzialquotienten. b) Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis mithilfe der Ableitungsregel. c) Welche Steigung hat die Funktion f(x) an der Stelle x 1 =-2? ) Bestimmen Sie bitte jeweils die Ableitung f (x): a) f ( x) = 7x b) f( x) = c) f( x) = x x + 0, / 1. / 3. n 2 d) f( x) = ax bx e) f( x) 4 3x = 2 1 f) f ( x) = 2x 4 2. / 1. / 1. a 5 2 g) f( x) = ax h) f( x) = x i) f( x) = x 2 5 x / 1. / 2. j) f ( x) = 7 x k) ( x) f = 2 3 x L) f( x) = ( 3x 5) 2 2. / 2. / 2. Σ 1= 48 Datei: Bsp _FOS12 _1.Arbeit _Differenzieren+KurvDiskuss _Roggan roggan@sds-wiesbaden.de
3 Thema: Differenzieren Kurvendiskussion Arbeit ) Gegeben ist folgende Funktion: f( x) = x x x a) Führen Sie bitte eine komplette Kurvendiskussion durch, in dem Sie auf folgende Punkte eingehen: a1) Definitionsbereich & Symmetrieeigenschaften a2) Ordinate & Nullstellen a3) Extrempunkte a4) Wendepunkt(e) a5) Verhalten von f(x) für (=Randverhalten) lim x ± a6) Skizze des Funktionsgraphen 50. b) Der Punkt P(0,5-0,5) liegt auf der Funktion f(x). Ermitteln Sie bitte die Tangentenfunktion t(x) durch den angegebenen Punkt P und zeichnen Sie sie in das nebenstehende Koordinatensystem ein. 8. Wahlpflicht-Aufgaben (löse mind. 1 von 2) (Notiz: Es muss mindestens eine Aufgabe bearbeitet werden. Werden Beide bearbeitet, zählt die Bessere.) 6) Bestimmen Sie bitte (nur) die Nullstellen folgender Funktionen 3 2 a) f( x) = 2x + 9,6 x 2,8 x 14, 4 b) f( x) = 2x + 18,5 x 4, / 7. 7) Prüfen Sie bitte, ob bei der Funktion f( x) 2x 16x + 36x 52 und geben Sie gegebenenfalls seine Koordinaten an = ein Sattelpunkt vorliegt 14. Σ 2= 72 BONUS-Aufgabe (Notiz: Hier kann man noch zusätzlich Punkte sammeln. Maximal 8 Bonuspunkte) 8) Bitte differenzieren Sie: f ( x) = ( 3 x + 5) 3 9) Bestimmen Sie (nur) die Nullstellen folgender Funktionen a) f ( x) = 2x + x + 17x x 15 b) f ( x) = ( x 1,5 ) ( x + 4) / +4. Datei: Bsp _FOS12 _1.Arbeit _Differenzieren+KurvDiskuss _Roggan roggan@sds-wiesbaden.de
4 Arbeit 1 MUSTERLÖSUNG Seite 1 Datei: Bsp _FOS12 _1.Arbeit _Differenzieren+KurvDiskuss _Roggan roggan@sds-wiesbaden.de
5 Arbeit 1 MUSTERLÖSUNG Seite 2 Datei: Bsp _FOS12 _1.Arbeit _Differenzieren+KurvDiskuss _Roggan roggan@sds-wiesbaden.de
6 Arbeit 1 MUSTERLÖSUNG Seite 3 Datei: Bsp _FOS12 _1.Arbeit _Differenzieren+KurvDiskuss _Roggan roggan@sds-wiesbaden.de
7 Arbeit 1 MUSTERLÖSUNG Seite 4 Datei: Bsp _FOS12 _1.Arbeit _Differenzieren+KurvDiskuss _Roggan roggan@sds-wiesbaden.de
8 Arbeit 1 MUSTERLÖSUNG Seite 5 Datei: Bsp _FOS12 _1.Arbeit _Differenzieren+KurvDiskuss _Roggan roggan@sds-wiesbaden.de
9 Schulze-Delitzsch-Schule Fachoberschule - Wirtschaft und Verwaltung Klassenarbeit Mathematik Themen: Arbeit 2 Aufstellen von Funktionen nach Bedingungen Gebrochenrationale Funktionen 1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer punktsymmetrischen Funktion 3. Grades mit einem Hochpunkt bei (2 4) (8 Punkte) 2. Eine Funktion 4. Grades hat einen Sattelpunkt im Ursprung und einen Hochpunkt bei ( 1 3). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. (8 Punkte) 3. Untersuchen Sie die Funktion: - Definitionsbereich - Achsenschnittpunkte - Symmetrie - Randverhalten - Polstellen im Hinblick auf: Fertigen Sie eine geeignete Wertetabelle an und zeichnen Sie die Funktion. (18 Punkte) 4. Untersuchen Sie die Funktion auf: - Definitionsbereich, - Achsenschnittpunkte, - Polstellen und Lücken, - Randverhalten (geben Sie die Asymptotengleichung an), - Extremwerte, die hinreichende Bedingung (2. Ableitung) muss nicht untersucht werden. b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für das Intervall [-6; 4] und zeichnen Sie den Graph der Funktion. Zeichnen Sie auch die Asymptote ein. Wertetabelle: x f(x) (32 Punkte)
10 Schulze-Delitzsch-Schule Fachoberschule - Wirtschaft und Verwaltung Klassenarbeit Mathematik Arbeit 2 MUSTERLÖSUNG Seite 1 Musterlösung: 1. 2.
11 Schulze-Delitzsch-Schule Fachoberschule - Wirtschaft und Verwaltung Klassenarbeit Mathematik Arbeit 2 MUSTERLÖSUNG Seite 2 3. Nullstelle und Ordinatenschnittpunkt: (0 0) Nicht symmetrisch. Randverhalten: Die Funktion hat die Asymptote Die Funktion hat zwei Polstellen bei x = - 1 und bei x = 2 Verhalten bei x = -1: Links von der Polstelle strebt die Funktion gegen +, rechts davon gegen - f(-1,01)=22,6 und f(-0,99)= - 21,9 Verhalten bei x = 2: Links von der Polstelle strebt die Funktion gegen -, rechts davon gegen + f(1,99)= - 88,3 und f(2,01)= 89,5
12 Schulze-Delitzsch-Schule Fachoberschule - Wirtschaft und Verwaltung Klassenarbeit Mathematik Arbeit 2 MUSTERLÖSUNG Seite 3 4. Funktion Achsenschnittpunkte: Nullstellen: (0 0) und ( - 2 0), Sy(0 0) Polstelle bei x = -3 f(-3,01) = - 304,01 f(-2,99) = 296,01 Links von der Polstelle strebt die Funktion gegen -, rechts davon gegen +. Lücke bei x = 4 Faktorisieren: 4 in die gekürzte Funktion eingesetzt ergibt: Für alle weiteren Rechnungen kann die einfachere gekürzte Funktion verwendet werden: Asymptote: Zähler = 0 setzen: Extremwerte: E1(- 4,73-7,46) und E2 (- 1,27-0,54) Wertetabelle: x f(x) -8-7,5-8 Pol 0-0,5 0 0,75 1,6 2,5 Lücke
13 Schulze-Delitzsch-Schule Fachoberschule - Wirtschaft und Verwaltung Klassenarbeit Mathematik Arbeit 2 MUSTERLÖSUNG Seite 4
14 Schulze-Delitzsch-Schule Fachoberschule - Wirtschaft und Verwaltung Klassenarbeit Mathematik Arbeit 3 Themen: Ökonomische Funktionen Funktionen aufstellen nach Bedingungen Datei: Bsp _FOS12 _3.Arbeit _Ökonom+FktnAufstell _Bork bork@sds-wiesbaden.de
15 Schulze-Delitzsch-Schule Fachoberschule - Wirtschaft und Verwaltung Klassenarbeit Mathematik Arbeit 3 MUSTERLÖSUNG Seite 1 Datei: Bsp _FOS12 _3.Arbeit _Ökonom+FktnAufstell _Bork bork@sds-wiesbaden.de
16 Schulze-Delitzsch-Schule Fachoberschule - Wirtschaft und Verwaltung Klassenarbeit Mathematik Arbeit 3 MUSTERLÖSUNG Seite 2 Datei: Bsp _FOS12 _3.Arbeit _Ökonom+FktnAufstell _Bork bork@sds-wiesbaden.de
17 SCHULZE-DELITZSCH-SCHULE Klausur FOS Mathematik Thema: Ökonomische Funktionen Arbeit 3 Thema: Ökonomische Funktionen Insgesamt 50 Punkte Zeit: 90 Minuten Aufgabe 1 ( 8 Punkte) Ein Unternehmen produziert zu folgenden Kosten K(x) = x 3 12x x Bestimmen Sie die kurz- und die langfristige Preisuntergrenze! Aufgabe 2 ( 6 Punkte) Ein Monopolist erzielt bei einem Preis von 100 einen Umsatz von Durch eine Preiserhöhung um 30 % steigt der Umsatz um 17%. Wie lautet die lineare Preisabsatzfunktion? Aufgabe 3 ( 8 Punkte) Auf einem Markt mit vollständiger Konkurrenz beträgt der Marktpreis Wie hoch ist der maximale Gewinn eines Unternehmens, wenn das Produkt zu folgenden Kosten hergestellt wird: K(x) = 0,5x 3 45x x ? Aufgabe 4 ( Punkte) Ein Alleinanbieter produziert zu folgenden Kosten: K(x)= 0,2x 3-4,9x 2 +49,2x +9,6 Die Nachfrage verhält sich gemäß der Preisabsatzfunktion p(x)= -2,5x +50 a) Wo liegt die Sättigungsmenge für das Produkt? b) Bestimmen den ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich! c) Wie hoch ist der maximale Erlös? d) Wie hoch ist der maximale Gewinn? e) Welchen Preis muss der Monopolist verlangen, um den maximalen Gewinn zu erzielen? Aufgabe 5 ( 4+3 Punkte) Ein Monopolist produziert mit den Kosten K(x) = 3 / 4 x + 3 und erzielt Erlöse nach E(x) = ½ x x a) Bestimmen Sie Gewinnschwelle und Gewinngrenze! b) Skizzieren Sie die Funktionen E(x), K(x) und G(x)! Aufgabe 6 ( Punkte) Ein Unternehmen produziert mit fixen Kosten in Höhe von und variablen Kosten in Höhe von Der Marktpreis liegt bei Die Kapazitätsgrenze liegt bei 500 Stück. a) Bestimmen Sie Gewinnschwelle und Gewinngrenze! b) Wie hoch ist der maximale Erlös? c) Wie hoch ist der maximale Gewinn? Viel Erfolg! Datei: Bsp _FOS12 _3.Arbeit _ÖkonomFktn _Eckert _ü1 eckert@sds-wiesbaden.de
18 SCHULZE-DELITZSCH-SCHULE Klausur FOS Mathematik Arbeit 3 MUSTERLÖSUNG Seite 1 Datei: Bsp _FOS12 _3.Arbeit _ÖkonomFktn _Eckert _ü1 eckert@sds-wiesbaden.de
19 SCHULZE-DELITZSCH-SCHULE Klausur FOS Mathematik Arbeit 3 MUSTERLÖSUNG Seite 2 Datei: Bsp _FOS12 _3.Arbeit _ÖkonomFktn _Eckert _ü1 eckert@sds-wiesbaden.de
20 SCHULZE-DELITZSCH-SCHULE Klausur FOS Mathematik Arbeit 3 MUSTERLÖSUNG Seite 3 Datei: Bsp _FOS12 _3.Arbeit _ÖkonomFktn _Eckert _ü1 eckert@sds-wiesbaden.de
21 Themen: Integralrechnung Arbeit 4 Aufgabe 1: Folgende Funktion ist gegeben: a.) Geben Sie für diese Funktion die Polynomdarstellung an. b.) Bestimmen Sie die Nullstellen und berechnen Sie die Fläche. Als Integrationsgrenzen verwenden Sie die Nullstellen der Funktion. c.) Bestimmen Sie die Tangentengleichung bei x = -1. Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Fläche zwischen den Funktionen: Geben Sie die Schnittstellen an. Aufgabe 3: Ein Werkstück hat folgende Form und Abmessungen: 2 parabelförmig a. Berechne die Fläche des Werkstückes. (alle Angaben in cm) b. Berechne das Volumen des Werkstückes, wenn die Materialstärke 10 mm beträgt. Datei: Bsp _FOS12 _4.Arbeit _Integralrechn _Glatzer glatzer@sds-wiesbaden.de
22 Arbeit 4 MUSTERLÖSUNG Seite 1 Datei: Bsp _FOS12 _4.Arbeit _Integralrechn _Glatzer glatzer@sds-wiesbaden.de
23 Arbeit 4 MUSTERLÖSUNG Seite 2 Datei: Bsp _FOS12 _4.Arbeit _Integralrechn _Glatzer glatzer@sds-wiesbaden.de
24 Arbeit 4 MUSTERLÖSUNG Seite 3 Datei: Bsp _FOS12 _4.Arbeit _Integralrechn _Glatzer glatzer@sds-wiesbaden.de
25 Arbeit 4 MUSTERLÖSUNG Seite 4 Datei: Bsp _FOS12 _4.Arbeit _Integralrechn _Glatzer glatzer@sds-wiesbaden.de
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