Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Transkript

1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Bitte unbedingt beachten: Lösungsvorschläge zur Klausur am a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses allein, und insbesondere die Anwendung von Rechnerprogrammen gilt nicht als Lösung. c) Zugelassene Hilfsmittel: Werden für die künftigen Klausuren neu festgelegt. d) Zahlenrechnungen sind mit einer Genauigkeit von mindestens 2 Stellen nach dem Dezimalpunkt durchzuführen. Aufgabe a) Bei einem Ratensparvertrag werden vom Januar 2 bis zum Dezember 2 an jedem Monatsersten 5 Euro eingezahlt. Es wird ein nomineller Jahreszinssatz von 6% vereinbart. Über welchen Betrag kann am verfügt werden, wenn die Zinsen i) am Ende jeden Monats gutgeschrieben werden? ii) am Ende jeden Jahres gutgeschrieben werden? b) Ein Kredit in Höhe von Euro soll mit festen jährlichen Beträgen A zurückgezahlt werden, und zwar jeweils am Ende des Jahres. Der Zinssatz betrage %. Wie groß muß A sein, damit der Kredit nach 3 Jahren vollständig abgezahlt ist? c) In eine Anlage, die zwei Jahre lang betrieben wird, werden Euro am Anfang des ersten Jahres investiert. In den beiden Jahren werden Einzahlungsüberschüsse in Höhe von jeweils 6 Euro erzielt, die jeweils am Jahresende dem Betrieb zufließen. Wie hoch ist der interne Zinssatz (d.h. der Zinsatz unter dem ein Kreditszinssatz unbedingt bleiben muß)? a) i) Bei monatlicher Zinsgutschrift kann man vollständig mit Monaten (wobei die Monate von 2 mit eingeschlossen sind) statt mit Jahren als Zeitabschnitte rechnen: ( ) 6 Zinsfaktor: q 2 := + =.5, Zahl der Monate: 2 = 2. 2 Es wird am Anfang des Monats eingezahlt, also vorschüssige Zahlung. Endkapital: M E q 2 q2 q 2 = =

2 2 ii) Es werden auch die Zinsen für die Teilabschnitte berechnet, aber nicht am Ende des Monats, sondern erst am Ende des Jahres gutgeschrieben. Da es sich um vorschüssige Zahlungen handelt, ist die Formel am Ende von Abschnitt 2.2 anzuwenden, und daher erhalten wir als Endkapital mit dem (Jahres )Zinsfaktor q := + 6/: M E (2 +.65p) q q = 5 ( ).6.6 b) Es wird ein konstanter Betrag (Annuität) zurückgezahlt: A = = = c) Mit E :=-investierte Summe= 4 und den Einzahlungüberschüssen E k = 6 3, k =, 2 erhalten wir, daß die Voraussetzungen von Satz 2.3., nämlich E <, E k für k =, 2, E + E + E 2 = 2 3 >, erfüllt sind und damit ein eindeutig bestimmter interner Zinssatz p existiert. Bestimmung des internen Zinssatzes: 2 v(ρ)(kapitalwert) = E k ρ k = 3 ( + 6ρ + 6ρ 2 ) =! k= liefert die Lösungen ρ = =.88 und ρ 2 =.5.38 <. Da ρ (, ) sein muß, ist nur die erste Lösung zu verwenden, und wir erhalten q = /.88 =.3 und damit p = 3(%). Aufgabe 2 a) Prüfen Sie, ob die nachstehenden Folgen konvergent sind und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert: a n := n3 2n 2 n 3 + 6n, b n := b) Eine Folge (c n ) sei rekursiv definiert durch n2 + n + 2. c := 5, c n+ := c2 n + 5, n IN, wobei offensichtlich alle Folgenglieder > sind. i) Bestimmen Sie den Grenzwert g der Folge unter der Annahme, daß die Folge konvergent ist (was in Teil iv) zu zeigen ist). ii) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung x x g, wobei g der in Teil i) bestimmte Grenzwert ist.

3 3 iii) Zeigen Sie, daß für alle n IN gilt: c n g. iv) Zeigen Sie, daß die Folge (c n ) monoton fallend und damit wegen iii) konvergent ist. a) a n := n3 2n 2 n 3 + 6n = n3 2/n n 3 + 6/n 2 /n = für n. 3 + Damit ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert. n2 + b n := = n n + 2 n + /n 2 + 2/n + + = für n. Damit ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert. Es wurden die Grenzwertrechenregeln und die Stetigkeit der Quadratwurzel angewendet. b) i) Nach den Grenzwertrechenregeln folgt aus der Rekursionsformel unter der Annahme, daß die Folge konvergent ist: c 2 n + 5 g = lim c n+ = lim = g g 2 = g g 2 = 5. n n 2g Da alle Folgenglieder > sind, ist auch g, und damit gilt g = 5. ii) Die Ungleichung ist nur für x erklärt. Da nun x 2 für alle reellen x gilt, ist (x 2 + 5) 5 > und damit (x 2 + 5)/(2x) < < g = 5 für x <. Damit ist die Ungleichung für alle x < nicht erfüllt. Für x > erhalten wir: x x 5 (x 2 + 5) 2x 5 (x 2 2x 5 + 5) = (x 5) 2 Da die letzte Ungleichung offensichtlich für alle reellen x gültig ist, ist (, ) die gesuchte Lösungsmenge. iii) c := 5 g = 5. Für alle übrigen Folgenglieder folgt aus c n > und aus Teil ii): c n+ := c2 n + 5 g = 5. iv) Wegen c n > für alle n IN folgt aus Teil iii) c n+ c n = c2 n + 5 2c2 n = 5 c2 n 5 5 = für alle n IN, und damit ist (c n ) monoton fallend. Aufgabe 3

4 4 a) Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion f(x) := x 3 + 3x 2 22x + 2 monoton wachsend, und die Intervalle, in denen sie monoton fallend ist? (Dabei soll jedes x zu mindestens einem der Intervalle gehören.) b) Ein Monopol sieht sich einer Nachfrage N(p) = 2 p 3 gegenüber, auf die es seine Produktion genau einstellen will, d.h. die produzierte Menge ist q = N(p). Die Kostenfunktion sei und damit gilt. + q für q 2, K(q) :=.2 + q für 2 < q N(p) für.5 p < K(N(p)) =. + N(p) für p <, Prüfen Sie, ob es einen Preis p gibt, für den der Gewinn g(p) := p N(p) K(N(p)) maximal wird, und bestimmen Sie gegebenenfalls diesen Preis. a) f (x) := 3x 2 + 6x 22 existiert auf ganz IR und hat als einzige Nullstellen x = 5 3/3 = 3.89 und x 2 = + 5 3/3 =.89 und hat damit in den Intervallen I := (, 3.89), I 2 := ( 3.89,.89) und I 3 := (.89, ) einheitliches Vorzeichen, und zwar ist f > auf I und auf I 3 wegen f ( ) = 28 > und f () = 338 > und f < auf I 2 wegen f () = 22 < (Punktprobe). Damit ist f auf (, 3.89] und auf [.89, ) monoton wachsend und auf [ 3.89,.89] monoton fallend, wobei die Grenzen mit eingeschlossen sind, da nur f bzw.f auf den Intervallen verlangt wird. (Es gilt u.a. aus Stetigkeitsgründen sogar strenge Monotonie.) b) g(p) = 2 p 2 ( p 3 ) für.5 p < (. + 2 p 3 ) für p <, g (p) = 4 p 3 6 p 4 für.5 p < + 6 p 4 für < p <, = p 4 ( 4p + 6) für p [.5, ) \ {}.5 [.5, ) \ {} ist somit die einzige Nullstelle der Ableitung. (Wir konnten hier die Ableitungsformel vereinfachen; i.a. muß überprüft werden, ob die ermittelten Stellen in dem passenden Bereich sind.) Wir bilden dann Funktionswerte und z.t. Grenzwerte an dieser Nullstelle der Ableitung, an der Randstelle.5 und an der Nahtstelle, bei der die Ableitung mindestens nicht direkt nach den Ableitungsregeln bestimmbar ist:

5 5 g(.5) = =.2, g(.5) = g(.5+) = = 8.2, g() = g(+) = 2. 2 =.. Außerdem müssen wir noch weitere Grenzwerte berücksichtigen: g( ) = =.2, g( ) = lim p (2 p 2. 2 p 3 ) =. =.. Der größte dieser gesammelten Funktionswerte und Grenzwerte ist offenbar.2 und wird an der Stelle p =.5 als Funktionswert (und nicht nur als Grenzwert) angenommen und nur dort. Damit ist p =.5 der eindeutig bestimmte Preis, bei dem der Gewinn maximal wird. Aufgabe 4 a) An welcher Stelle besitzt der Graph der Funktion eine waagerechte Tangentialebene? f(x, y) := 3x 2 2xy + 3x 4y b) Im IR 3 seien die Vektoren a :=, a 2 :=, a 3 := gegeben. i) Prüfen Sie, ob die Vektoren linear unabhängig oder linear abhängig sind. ii) Stellen Sie den Vektor 4 x := als Linearkombination der drei Vektoren a,a 2,a 3 dar. iii) Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Vektoren a und a 2, den Flächeninhalt des von a und a 2 aufgespannten Parallelogramms und das Volumen des von den drei Vektoren a,a 2,a 3 aufgespannten Spats. a) Die ersten partiellen Ableitungen der Funktion f(x, y) := 3x 2 2xy+3x 4y sind überall stetig, und somit besitzt der Graph von f eine waagerechte Tandentialebene, wenn beide ersten partiellen Ableitungen = sind: f x (x, y) = 6x 2y + 3 =! f y (x, y) = 2x 4 =!.

6 6 Die zweite Gleichung ergibt x = 2; dies in die erste Gleichung eingesetzt ergibt 6 ( 2) 2y + 3! = und damit y = 4.5 Somit besitzt der Graph von f an der Stelle ( 2, 4.5) eine waagerechte Tangentialebene und nur dort. b) i) λ a +λ 2 a 2 +λ 3 a 3 = λ +λ 2 +λ 3 = λ + λ 2 λ 2 + λ 3 λ λ 3! = = λ + λ 2 = λ 2 + λ 3 = λ λ 3 = λ = λ 2 = λ 3 = λ Es muß also 2λ = sein und damit folgt λ k = für k =, 2, 3. Die drei Vektoren sind somit linear unabhängig. ii) x := 4! = α + α 2 + α 3 = α + α 2 α 2 + α 3 α α 3 α + α 2 = 4 α 2 + α 3 = α α 3 = α = α 3 = α 2 = 4 α Es muß also 2α = 4 sein und damit folgt α 2 = α = 2 und für α 3 = α = 2. Die verlangte Linearkombination ist also: x = 2a + 2a 2 2a 3. iii) Für den Winkel ϕ(! [, π]) zwischen den Vektoren a und a 2 gilt cosϕ = a a 2 a a 2 = + + ( ) ( ) = 2 2 =.5 Damit erhalten wir: ϕ = arccos.5 = π/3 Für den Flächeninhalt F des von a und a 2 aufgespannten Parallelogramms erhalten wir F = a a 2 = = ( ) ( ) = = 2 + ( ) 2 + 2, also F = 3 =.73. Das eben berechnete Vektorprodukt können wir bei der Berechnung des Spatproduktes und damit bei der Berechnung des Volumens V des von den drei Vektoren a,a 2,a 3 aufgespannten Spats verwenden: V = (a a 2 ) a 3 = = + ( ) + ( ) = 2 = 2.