Schriftliche Vordiplomprüfung Physik Wiederholungsprüfung

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1 Schriftliche Vordiplomprüfung Physik Wiederholungsprüfung Prof. T. Esslinger (Dated: Mittwoch, 5. Februar 4, 9: Uhr) Aufgaben I. IONEN IN EINER FALLE Eine Falle für elektrisch geladene Ionen wird durch ein elektrisches Potential der Form U(x) = C x beschrieben. Das Potential übt eine einschliessende Kraft auf die Ionen der Ladung q aus, wobei C eine Konstante ist, die die Stärke des Potentials charakterisiert. 1. Berechnen Sie die Schwingungsfrequenz für ein Ion der Masse m in diesem Potential.. Zwei Ionen mit gleicher Ladung q befinden sich in dieser Falle. Wie gross ist ihr Abstand d voneinander im Gleichgewicht? II. FEDERWAAGE Ein Metzger benutzt eine Federwaage, um Fleischportionen abzuwiegen. Die Feder hat eine Federkonstante von k = 4 N/m und eine g schwere Waagschale an ihrem Ende. Der Metzger lässt ein. kg schweres Steak aus einer Höhe von 4 cm in die Waagschale fallen, welches mit der Waagschale einen inelastischen Stoss macht. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9.8 m/s. 1. Wie gross ist die Geschwindigkeit von Steak und Waagschale unmittelbar nach dem Auftreffen?. Wie gross ist die Frequenz der resultierenden Schwingung? 3. Wie gross ist die maximale Auslenkung der Waage? III. JOJO Ein Jojo besteht aus grossen und einer kleinen Holzscheibe (Dichte ρ) der Dicke l und mit Radien R 1 und R. Der (masselose) Faden hat eine Länge L. 1. Berechne die Trägheitsmomente der Scheiben und des gesamten Jojos.. Wie gross ist die Kreisfrequenz ω des Jojos, wenn der Faden zur Hälfte abgerollt ist? 3. Der Schwerpunkt des Jojos bewegt sich mit der Geschwindigkeit v nach unten. Wäre ein Körper im freien Fall schneller oder langsamer? Ohne Rechnung mit Begründung! IV. SCHMIEDE Ein Schmied bringt ein Stück Eisen zum Glühen (T E = 1 C, M E = 1 kg, Molmasse m = 56 g/mol, Dichte ρ = 8 g/cm 3, linearer Wärmeausdehnungskoeffizient α = K 1, Gaskonstante R = 8.31 J/(mol K)). 1. Berechnen Sie die Wärmekapazität des Eisenblocks.

2 R 1 R l. Zum Abkühlen wirft er es in einen Wassertrog mit 1 l Wasser (T W = C, Wärmekapazität von Wasser C W = 4. kj/(kg K)), der von seiner Umgebung thermisch isoliert ist. Wie gross ist die Endtemperatur von Wasser und Eisen? 3. Berechnen Sie die Volumenänderung des Eisenblocks beim Abkühlen. V. SPULE IM MAGNETFELD Eine Magnetspule mit Radius r und Masse m befindet sich im inhomogenen Magnetfeld eines Stabmagneten. Der Winkel zwischen den Magnetfeldlinien am Ort der Spule und der Spulenebene ist α. Durch die Spule fliesst ein Strom I und der Betrag des Magnetfelds am Ort der Spule ist B. 1. Berechne die Kraft, die auf die Spule wirkt.. Durch die Spule fliesst ein Wechselstrom mit Kreisfrequenz ω: I(t) = I cos(ωt). Dadurch oszilliert die Spule im Magnetfeld. Stelle die Bewegungsgleichung für die Spule auf. (Hinweis: betrachte den Fall kleiner Auslenkung, so dass α konstant bleibt.) Gravitation soll vernachlässigt werden. 3. Löse die Bewegungsgleichung. Die Spule sei bei t = in Ruhe (d.h. ż(t = ) = ) an der Position z. 4. Berechne die Änderung des magnetischen Flusses Φ durch die Spule in Folge der Auslenkung in z-richtung. Lösungen VI. IONEN IN EINER FALLE 1. Ein harmonischer Oszillator mit Kreisfrequenz ω hat das Potential (1 Punkt) und das Ion in der Falle eine potentielle Energie (1 Punkt) Somit ergibt sich (.5 Punkt) V (x) = m ω x, (1) V (x) = q C x. () ω = Cq m. (3)

3 3 z α N S Die Oszillationsfrequenz ist (.5 Punkte) ν = ω π (4). (Symmetrieargument: 1 Punkt, jede Formel 1 Punkt) Aus Symmetriegründen müssen die beiden Ionen jeweils den gleichen Abstand d/ vom Fallenzentrum besitzen. Wir betrachten die Kraft auf eines der beiden Ionen. Die Kraft hat zwei Beiträge Im Gleichgewicht muss die Kraft Null sein: Somit folgt F = qc d d = q 1 4πɛ d. (5) F =. (6) ( ) 1/3 q. (7) 4πɛ C VII. FEDERWAAGE 1. (jede Formel 1 Punkt) Bei einem inelastischen Stoss zweier Körper gilt: und somit folgt: m 1 v 1 + m v = (m 1 + m )v (8) v = m 1v 1 + m v m 1 + m = m 1v 1 m 1 + m, (9) weil die Waage anfäglich in Ruhe ist. Die Geschwindigkeit des Steaks beträgt und somit ergibt sich (.5 Punkte) v 1 = gt v 1 = gh (1) v =.6 m/s. (11)

4 . (1 Punkt) Die Gesamtmasse der schwingenden Objekte beträgt und die Frequenz der Schwingung ω = m = m 1 + m (1) k m = 1.9 s 1 = π Hz (13) 3. (jede Gleichung.5 Punkte) Steak und Waagschale besitzt kinetische Energie und potentielle Energie im Gravitationsfeld und die potentielle Energie der Schwingung beträgt E Steak = E kin + E pot = m v + mgx (14) E F eder = k x (15) Somit ergibt sich die maximale Auslenkung der Feder, wenn alle kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt worden ist: m v + mgx = k x (16) x = mg k ± m g k + m k v (17) x = 7 cm (18) 4 VIII. JOJO 1. (jede Gleichung.5 Punkte) Das Trägheitsmoment einer Scheibe mit Dichte ρ und Radius R beträgt I = r dm = ρ r dv. (19) Hier ist dv = πrldr und somit I = πlρ Das gesamte Drehmoment des Jojos bezüglich seiner Symmetrieachse beträgt R I gesamt = πlρ r 3 dr = πlρ R4 () ( R R 4 ). (1 Punkt pro Gleichung) Beim Jojo wird potentielle Energie in Rotationsenergie und kinetische Energie der Translationsbewegung umgesetzt: Mit folgt: (1) E pot = E kin + E rot () mgh = m v + I gesamt ω (3) v = ωr und m = πl ( R 1 + R ) ρ (4) ω = mgh m R + Igesamt Somit ergibt sich für h = L/ (.5 Punkte): gl ω = R + 1 R1 4+R4 R1 +R = gh R + 1 R1 4+R4 R1 +R (5) (6)

5 3. (1 Punkt) Ein Körper im freien Fall ist schneller, weil die potentielle Energie nur in kinetische Energie des Schwerpunkts, nicht aber in Rotationsenergie umgewandelt wird. 5 IX. SCHMIED (Pro Gleichung 1 Punkt) 1. Die Wärmekapazität von Metallen beträgt 3R pro Mol (7) Damit ergibt sich: C E = 3RM E /m = 444 J K 1 (8). Damit Wasser und Eisen die gleiche Endtemperatur erreichen, muss das Eisen Wärmeenergie an das Wasser abgeben. Die abgegebene Wärmemenge des Eisens ist gleich der aufgenommenen des Wasser. Somit folgt 3. Das Volumen des Eisenblocks beträgt und der Volumenausdehnungskoeffizient beträgt Somit ergibt sich eine Volumenänderung C W M W (T end T W ) = C E M E (T E T end ) (9) T end = C EM E T E + C W M W T W C E M E + C W M W = 33 K(= 3 C) (3) V = M ρ = 15 cm3 (31) γ = 3α = K 1 (3) V = γ(t end T E ) V = 4.4 cm 3 (33) (das - ist für die Lösung der Aufgabe wichtig oder es muss im Text gesagt werden, dass sich das Volumen verkleinert.) X. SPULE IM MAGNETFELD 1. Die Kraft die stromführendes Leiterelement dl im Magnetfeld B erfährt, lautet (1 Punkt): df = I dl B (34) (Für die Angabe der Lorentzkraft (F = qv B) statt der oberen Formel gibt es.5 Punkte, falls eine Erklärung zur Beziehung zwischen Geschwindigkeit v und Strom I vorliegt). Aus Symmetriegründen folgt (.5 Punkte) Für die z-komponente ergibt sich mit dl = r dθ (1 Punkt) F z = I π F x = und F y =. (35) dθ rb cos(α) = πibr cos(α) (36)

6 6. Die Bewegungsgleichung lautet (1 Punkt) m z = F z (t) bzw. m z = πi Br cos(α) cos(ωt) (37) 3. Die Bewegungsgleichung wird integriert durch Separation der Variablen: zunächst ersetzen wir ż = v und erhalten (1 Punkt) v(t) Im zweiten Schritt ergibt sich (1 Punkt) z(t) dz = πi Br cos(α) mω z(t) z = πi Br cos(α) mω dv = πi Br cos(α) m v(t) = πi Br cos(α) mω t t cos(ωt )dt (38) sin(ωt) (39) sin(ωt )dt (4) cos(ωt) + πi Br cos(α) mω = πi Br cos(α) mω (1 cos(ωt)) (41) 4. Der magnetische Fluss durch die Spule lautet (.5 Punkte) B Φ = da (4) Wenn die Spule ihre Höhe um einen Betrag z nach unten (oben) verändert bedeutet dies, dass sie mehr (weniger) magentische Feldlinien einschliesst und sich damit der magnetische Fluss durch die Spule verändert. Wird die Spule abgesenkt, so schliesst sie alle Feldlinien ein, die an ihrer Ruheposition einen Abstand r = z/ tan(α) ausserhalb ihres Radius lagen (.5 Punkte). Die Änderung des magnetischen Flusses entspricht somit der Fluss durch den Kreisring mit Aussenradius r + r und Innenradius r (.5 Punkte): Φ Φ = B cos(α)π ( (r + r) r ) (43)