Beurteilende Statistik

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1 Beurteilende Statistik SIGNIFIKANZ UND HYPOTHESENTESTS HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 1

2 HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 2

3 HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 3

4 Gliederung 1. Stochastik: Wahrscheinlichkeitsrechnung & Statistik 2. Verteilung und Standardabweichung 3. Testen von Hypothesen das Prinzip 4. Fehler 1. und 2. Art 5. Signifikanztest 6. Alternativtest HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 4

5 Stochastik: Wahrscheinlichkeitsrechnung & Statistik Beschreibende (Deskriptive) Statistik hat das Ziel empirische Daten durch Tabellen, Kenngrößen und Grafiken darzustellen und zu ordnen Wahrscheinlichkeitsrechnung untersucht Zufallsgeschehen in stochastischen Modellen (unendliche Prozesse durch Gesetz der großen Zahlen) schwierig auf endliche Grundgesamtheit zu beziehen Beurteilende Statistik versucht von der beschreibenden Statistik auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Grundgesamtheit zu schließen (umgekehrte Fragestellung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung) HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 5

6 Stochastisches Modell vs. Realität Eine ideale Münze wird 100 [1000] Mal geworfen. Sei X die Anzahl von Zahl. a) Berechnen Sie den Erwartungswert. E(X) = 50 E(X) = 500 a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Erwartungswertes und beurteilen Sie das Ergebnis.??? Kann damit eine Münze ideal sein??? P(X = 50) 7,96 %??? Das sind nur 8 %??? P(X = 500) 2,52 %??? Hier sogar nur 2,5%??? HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 6

7 HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 7

8 Das kann meinetwegen noch von 47 bis 53 ideal sein. P(47 X 53) 51,6 % HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 8

9 Wenn es von 45 bis 55 geht, ist es auch noch in Ordnung. P(45 X 55) 72,9 % HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 9

10 Es ist zu 96,5 % wahrscheinlich, dass von 40 bis 60 Mal Zahl fällt. P(40 X 60) 96,5 % HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 10

11 Stochastisches Modell vs. Realität Eine ideale Münze wird 100 [1000] Mal geworfen. Sei X die Anzahl von Zahl. a) Berechnen Sie den Erwartungswert. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Erwartungswertes und beurteilen Sie das Ergebnis.??? Kann damit eine Münze ideal sein?????? Das sind nur 7,96%?????? Hier sogar nur 2,5%??? Lösung sind kumulative Wahrscheinlichkeiten Wenn eine Münze 100 Mal geworfen wird, fällt zwischen 40 und 60 Mal Zahl HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 11

12 Aussagewert der Standardabweichung Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert für σ 3 trifft die Standardabweichung keine gute Aussage es sollte gelten: σ > 3 (Laplace-Bedingung) k σ Intervalle: 68,2 % μ 95,5 % Quelle: ng#/media/file:standard_deviation_diagram.svg HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 12

13 Hypothesentests das Prinzip Hypothese (grch. υποθεσις = Unterstellung) bestehen aus Signifikanztests (lat. significare = bedeuten, anzeigen) Alternativtests (lat. alter = ande(r/s)) Die Ausgangsvermutung bzw. einleitende Behauptung heißt Nullhypothese. Symbolisch: H 0 Für H 0 gibt es einen Ablehnungsbereich A, ҧ in dem die Stichprobenergebnisse enthalten sind, für die H 0 verworfen/abgelehnt wird. Der restliche Bereich heißt Annahmebereich A. Unter einem Test versteht man eine Entscheidungsvorschrift zur Auswertung von Stichprobenergebnissen, aufgrund deren eine Nullhypothese entweder abgelehnt oder nicht abgelehnt wird HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 13

14 Beispiele von Hypothesentests Soziologie Frauen verdienen weniger als Männer Frauen und Männer haben unterschiedliche Einkommen Psychologie Singles sind gewaltbereiter der Nationalstolz von Ostdeutschen ist höher Medizin es werden mehr Jungen geboren als Mädchen Babys werden zu 0,15% intersexuell geboren Journalismus die XYZ Partei bekommt mehr Wählerstimmen (einseitiger Signifikanztest) (zweiseitiger Signifikanztest) (einseitiger Signifikanztest) (einseitiger Signifikanztest) (einseitiger Signifikanztest) (zweiseitiger Signifikanztest) (einseitiger Signifikanztest) HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 14

15 Wer von Ihnen hat in der letzten Woche ein gedrucktes Buch gelesen? HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 15

16 Bücher lesen Der Beweis dieser These ist nicht möglich, weil wir dafür alle Jugendlichen der Welt für einen festen Zeitpunkt untersuchen müssten. Die JIM-Studie (Jugend Informationen Multimedia) hat 1200 Jugendliche befragt und daraus Aussagen formuliert. Eine Aussage ist: 38 % der Jugendlichen lesen pro Woche ein Buch. These: Durch soziale Medien, E-Books, Netflix etc. ist das Leseverhalten von Printmedien geringer geworden. Frage: Ab wann gilt so eine These? Gesucht ist ein Gütekriterium. Aufgabe: Geben Sie für eine Stichprobe von Jugendlichen an, bis zu welcher Anzahl von lesenden Jugendlichen diese These für Sie glaubwürdig wäre? HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 16

17 Bücher lesen Der Beweis dieser These ist nicht möglich, weil wir dafür alle Jugendlichen der Welt für einen festen Zeitpunkt untersuchen müssten. Die JIM-Studie (Jugend Informationen Multimedia) hat 1200 Jugendliche befragt und daraus Aussagen formuliert. Eine Aussage ist: 38 % der Jugendlichen lesen pro Woche ein Buch. These: Durch soziale Medien, E-Books, Netflix etc. ist das Leseverhalten von Printmedien geringer geworden. Frage: Ab wann gilt so eine These? Gesucht ist ein Gütekriterium. Aufgabe: Geben Sie für eine Stichprobe von Jugendlichen an, bis zu welcher Anzahl von lesenden Jugendlichen diese These für Sie glaubwürdig wäre? HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 17

18 Signifikanztests Für Signifikanztests ist die Irrtumswahrscheinlichkeit relevant, die den Ablehnungsbereich bildet. In Abhängigkeit vom Ablehnungsbereich, der einer Binomialverteilung zugrunde liegt hat der Signifikanztest einen Fehler 1. Art (nächste Folie) auf Signifikanzniveau α. Gilt 0,01 α < 0,05 spricht man von einem signifikanten Test (Test mit signifikanten Ergebnis). Gilt 0,001 α < 0,01 spricht man von einem hochsignifikanten Test. Gilt α < 0,001 spricht man von einem höchstsignifikanten Test. Die Zahl 1-α heißt Vertrauensintervall (oder Güte) des Tests und gibt die Größe des Annahmebereiches an HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 18

19 Fehler bei der Testung von Hypothesen Es können 2 Fehler auftreten: In der Grundgesamtheit gilt: Wegen der Stichprobe wird H 0 ist wahr H 0 ist falsch H 0 abgelehnt Entscheidung falsch (Fehler 1. Art α) Entscheidung richtig H 0 nicht abgelehnt Entscheidung richtig Entscheidung falsch (Fehler 2. Art β) HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 19

20 Signifikanztests Verwerfung Im Annahmebereich Interessiert mich nicht, weil ich dafür keine Kriterien habe, falls H 0 falsch ist. entweder alles O.K. und ich verwerfe oder α ist so klein, dass ich Rest verwerfen kann HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 20

21 Linksseitiger Signifikanztest B 115;0,6 0,6 < 0,6 0, Person hört die Musik des Popstars HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 21

22 Linksseitiger Signifikanztest B 115;0,6 P X 60 0,0537 > 0,05 P X 59 0,0361 < 0,05 Entscheidung: 49 ҧ A Ablehnungsbereich: ҧ A = 0; 1; ; 59 Annahmebereich: A = {60; 61; ; 115} Die Aussagen der Mitschüler von Lars widerlegen die Behauptung der Jugendzeitschrift auf einem signifikanten Niveau HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 22

23 Ablehnungsbereich Annahmebereich HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 23

24 Rechtsseitiger Signifikanztest B 100;0,05 0,05 > 0,05 0,1 100 Anzahl der Ausschussteile HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 24

25 Rechtsseitiger Signifikanztest B 100;0,05 P X 8 0,128 > 0,1 P X 9 0,0631 < 0,1 Ablehnungsbereich: ҧ A = 9; 10; ; 100 Annahmebereich: A = {0; 1; ; 8} Entscheidung: 7 A Die Aussagen wird aufgrund der Stichprobe nicht verworfen. Er sollte die Maschine trotzdem kaufen HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 25

26 Annahmebereich Ablehnungsbereich HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 26

27 Zweiseitiger Signifikanztest Ablehnungsbereich teilt sich in linken und rechten Ablehnungsbereich auf. B 100;0,5 = 0,5 0,5, also p < 0,5 oder p > 0,5 0, Anzahl der schwarzen Karten HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 27

28 Zweiseitiger Signifikanztest Ablehnungsbereich teilt sich in linken und rechten Ablehnungsbereich auf. B 100;0,05 P X 40 0,0284 > 0,025 P X 39 0,0176 < 0,025 P X 60 0,0283 > 0,025 P X 61 0,0176 < 0,025 Ablehnungsbereich: Annahmebereich: A = {40; 41; ; 60} ҧ A = 0; 1; ; 39 oder {61; 62; ; 100} Entscheidung: 37 Oliver kann Simones Aussage nicht zustimmen. ҧ A HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 28

29 Ablehnungsbereich Annahmebereich Ablehnungsbereich HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 29

30 Fehler bei der Testung von Hypothesen Es können 2 Fehler auftreten: In der Grundgesamtheit gilt: Wegen der Stichprobe wird H 0 ist wahr H 0 ist falsch H 0 abgelehnt Entscheidung falsch (Fehler 1. Art α) Entscheidung richtig H 0 nicht abgelehnt Entscheidung richtig Entscheidung falsch (Fehler 2. Art β) HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 30

31 Alternativtests Für Alternativtests existiert zu H 0 eine zweite Hypothese Gegenhypothese (mit einer anderen Wahrscheinlichkeit p 1 für die Wahrscheinlichkeitsverteilung) sozusagen eine Alternative, H 1. Wenn H 0 angenommen wird, obwohl H 1 zutrifft (weil H 0 falsch ist), begeht man einen Fehler 2. Art β. Das heißt der Fehler 2. Art wird bestimmt, indem man die Wahrscheinlichkeit des Annahmebereiches von H 0 mit der Wahrscheinlichkeit p 1 berechnet HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 31

32 LB S. 350 f HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 32

33 Alternativtests Für Alternativtests existiert eine zweite Hypothese Gegenhypothese (mit einer anderen Wahrscheinlichkeit für die Wahrscheinlichkeitsverteilung) sozusagen eine Alternative, H 1. Wenn man den Ablehnungsbereich dieser Gegenhypothese annimmt, erhält man den Fehler 2. Art β. Damit gibt er die Wahrscheinlichkeit an, mit der H 0 nicht verworfen wird, in Wirklichkeit jedoch H 1 eintritt. α 3,55 % β 32,31 % α β HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 33

34 Fragen? Vielen Dank für die Aufmerksamkeit und nun eine gute Arbeitsphase HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 34

35 Kontakt Universität Leipzig Fakultät für Mathematik und Informatik Mathematisches Institut Abteilung Didaktik M. Ed. Holger Wuschke Augustusplatz Leipzig HOLGER WUSCHKE BEURTEILENDE STATISTIK 35