Biometrieübung 10 Lineare Regression. 2. Abhängigkeit der Körpergröße von der Schuhgröße bei Männern
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- Pia Amsel
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1 Biometrieübung 10 (lineare Regression) - Aufgabe Biometrieübung 10 Lineare Regression Aufgabe 1. Düngungsversuch In einem Düngeversuch mit k=9 Düngungsstufen x i erhielt man Erträge y i. Im (X, Y)- Koordinatensystem zeigt sich, daß die Vermutung des linearen Verlaufs berechtigt ist. Wertetabelle zum Düngungsversuch i x i 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 y i 22,0 17,5 27,0 23,0 25,0 22,5 33,0 26,0 35,0 Berechnen Sie Mittelwerte und Standardabweichungen beider Variablen, den linearen Regressionskoeffizienten, die Regressionskonstante (Durchgang durch die y-achse), die Signifikanz der Regression (F-Test, Standardfehler der Regression, Bestimmtheitsmaß) und geschätzte Erträge nach der Regressionsfunktion. 2. Abhängigkeit der Körpergröße von der Schuhgröße bei Männern (Quelle: Rasch, Einführung in die Biostatistik, 1983, S. 195) 14 zufällig ausgewählte Männer gaben folgende Schuhgrößen und Körperhöhen (cm) an: Schuhgröße(x) Körpergröße (y) 42, , , , , , , , , , ,0 173 file:///c /wolle/web/aufgaben/aufg10.html (1 von 2) [ :58:07]
2 Biometrieübung 10 (lineare Regression) - Aufgabe 40, , ,0 184 Berechnen Sie Mittelwerte und Standardabweichung beider Variablen, den linearen Regressionskoeffizienten, die Regressionskonstante und die Signifikanz der Regression. Letzte Änderung: Kontakt: Wolfgang Stümer file:///c /wolle/web/aufgaben/aufg10.html (2 von 2) [ :58:07]
3 Biometrieübung 10 (lineare Regression) - Lösung Biometrieübung 10 Lineare Regression Lösung 1. Düngungsversuch Mittelwert 4,500 25,667 Standardabweichung 1,369 5,483 Regressionskoeffizient: b = 2,967 Regressionskonstante: a = 12,317 Regressionsgerade: y = 12, ,967x x y F-Test: H 0 : H A : i x i (geschätzte Erträge) 1 2,5 19, ,0 21, ,5 22, ,0 24, ,5 25, ,0 27, ,5 28, ,0 30, ,5 31,600 Freiheitsgrade (FG) Quadratsummen (SQ) Mittlere Quadratsumme (MQ) Prüfgröße ( ) Regression 1 132, ,017 8,518 Residue (Rest) 7 108,483 15,498 Gesamt 8 240,500 file:///c /wolle/web/loesung/loes10.html (1 von 3) [ :58:17]
4 Biometrieübung 10 (lineare Regression) - Lösung F 0,05;1;7 = 5,591 Da = 8,518 > F 0,05;1;7 = 5,591 wird H 0 abgelehnt, d.h. die Regressionsbeziehung ist gerechtfertigt. Standardfehler der Regression: s 2 y,x = 15,498 Bestimmtheitsmaß: r 2 = 0, Abhängigkeit der Körpergröße von der Schuhgröße bei Männern Mittelwert 42,36 178,21 Standardabweichung 1,84 6,09 Regressionskoeffizient: b = 3,02 Regressionskonstante: a = 50,39 Regressionsgerade: y = 50,39 + 3,02x x i Schuhgröße x i Körpergröße y i Geschätzte Körpergröße y 1 42,0 175,0 177, ,0 188,0 186, ,5 178,0 178, ,5 189,0 187, ,0 182,0 180, ,0 169,0 168, ,0 182,0 177, ,0 171,0 174, ,5 175,0 175, ,5 179,0 178, ,0 173,0 177, ,0 174,0 171, ,0 176,0 177, ,0 184,0 186,19 F-Test: H 0 : file:///c /wolle/web/loesung/loes10.html (2 von 3) [ :58:17]
5 Biometrieübung 10 (lineare Regression) - Lösung H A : Freiheitsgrade (FG) Quadratsummen (SQ) Mittlere Quadratsumme (MQ) Prüfgröße Regression 1 402,66 402,66 60,63 Residue (Rest) 12 79,70 6,64 Gesamt ,36 F 0,05;1;7 = 4,75 ( ) Da = 60,63 > F 0,05;1;7 = 4,75 wird H 0 abgelehnt, d.h. die Regressionsbeziehung ist gerechtfertigt. Letzte Änderung: Kontakt: Wolfgang Stümer file:///c /wolle/web/loesung/loes10.html (3 von 3) [ :58:17]
6 Biometrieübung 10 (lineare Regression) - Formeln Biometrieübung 10 Lineare Regression Formeln Inhalt Einfache, lineare Regression Tabelle der Signifikanzschranken der F-Verteilung für P=0,05 Tabelle der Signifikanzschranken der F-Verteilung für P=0,01 Einfache, lineare Regression einfachste funktionale Beziehung zwischen 2 Merkmalen = einfache, lineare Regression y i = + ß x i und ß sind Populationsparameter Gleichung = Gleichung für Gerade = Schnittpunkt der Linie mit Y-Achse ß = Steigung der Geraden Die Beziehung wird durch eine Linie beschreiben. Frage: Wie findet man die Linie, die die Daten am besten "ausgleicht"? Lösung: Durch die Methode der kleinsten Quadrate. jeder Wert x hat entsprechenden Wert y auf der Geraden y = beobachteter Wert = Wert auf der Geraden (geschätzt) => beobachteter Datenpunkt (x i, y i ) Punkt auf Regressionslinie = (x i, ) Kriterium der kleinsten Quadrate betrachtet die Abweichung jedes Punktes von der Linie, i.e. y i - beste Anpassung: kleinster Wert der Summe der Abweichungen für alle Punkte y i und n = Anzahl Datenpunkte file:///c /wolle/web/formeln/form10.html (1 von 4) [ :58:21]
7 Biometrieübung 10 (lineare Regression) - Formeln und ß der Population nur dann zu berechnen, wenn alle Populationswerte vorliegen => und ß der Population auf Basis der n Beobachtungen schätzen Regressionskoeffizient b wird zuerst berechnet y-achsendurchgang unendliche Anzahl Geraden mit identischer Steigung spezielle Gerade bestimmt durch Steigung und ein Punktepaar x / y auf der Geraden per Konvention der Punkt gewählt, an dem die Y-Achse durchschnitten wird => dort, wo x = 0 = Y - Achsendurchgang es kann mathematisch gezeigt werden, daß der Punkt in Geradengleichung substituiert wird, folgt immer auf der Ausgleichsgeraden liegt, falls damit folgt Schätzung von Werten für y falls a und b bekannt, kann für jeden x -Wert der entsprechende y -Wert bestimmt werden falls Gerade gezeichnet werden soll: 2 Extreme nehmen Schätzung von y nur für Bereich zulässig, für den Daten vorhanden sind Voraussetzungen der Regressionsanalyse Linearität der Koeffizienten falls Variable x i nicht in linearer Form vorliegt, durch Transformation linearisieren (falls möglich) evtl. nichtlineare Regression anwenden file:///c /wolle/web/formeln/form10.html (2 von 4) [ :58:21]
8 Biometrieübung 10 (lineare Regression) - Formeln y i - Werte für jeden Wert von x müssen normalverteilt sein Varianzen der y i -Werte müssen über den gesamten Merkmalsbereich homogen sein Signifikanz der Regression können Regressionsgerade herleiten und b bestimmen b 0 folgt daraus ß 0? Hypothese bilden H 0 : ß = 0 H A : ß 0 falls Schluß, das angemessene Wahrscheinlichkeit, daß kalkuliertes b aus Population mit ß = 0 kommt, wird H 0 nicht verworfen zuerst gesamte Variabilität der abhängigen Variablen kalkulieren dann Variabilität, die daher stammt, daß Regressionsbeziehung existiert: = SQ Regression SQ reg = SQ ges nur, falls alle Punkte auf der Regressionsgeraden liegen falls Abweichungen von Regressionsgeraden (= wahrscheinlicher Fall) => Reststreuung/ Fehlerstreuung Art SQ FG MQ F Gesamt n-1 Regression 1* SQ/1 file:///c /wolle/web/formeln/form10.html (3 von 4) [ :58:21]
9 Biometrieübung 10 (lineare Regression) - Formeln Residual n-2 SQ/(n-2) * Anzahl Parameter, die geschätzt werden, -1, hier α und ß = 2 1 = 1 F wird mit verglichen falls F > => H 0 : ß = 0 verwerfen => d.h. Regressionsbeziehung gerechtfertigt MQ res wird oft auch als Standardfehler der Regression oder Standardfehler der Schätzung mit s 2 y,x bezeichnet => Varianz von y nachdem die Abhängig von y von x in Betracht gezogen wurde der Anteil der Gesamtstreuung von y, der durch die Beziehung von y und x definiert wird, = Bestimtheitsmaß r 2 r 2 = SQ reg / SQ ges Letzte Änderung: Kontakt: Wolfgang Stümer file:///c /wolle/web/formeln/form10.html (4 von 4) [ :58:21]
10 Biometrieübung 10 (Lineare Regression) - Tabelle F-Verteilung P=0,05 Biometrieübung 10 Lineare Regression Tabelle der Signifikanzschranken der F-Verteilung für = 0,05 für verschiedene m 1 und m 2. m 2 FG 2 m 1 (FG 1 ) ,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40 19,41 19,42 19,43 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,48 19,49 19,49 19, ,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,71 8,69 8,66 8,64 8,62 8,59 8,58 8,56 8,55 8,54 8, ,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,87 5,84 5,80 5,77 5,75 5,72 5,70 5,68 5,66 5,65 5, ,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,64 4,60 4,56 4,53 4,50 4,46 4,44 4,42 4,41 4,39 4, ,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,96 3,92 3,87 3,84 3,81 3,77 3,75 3,73 3,71 3,69 3, ,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,53 3,49 3,44 3,41 3,38 3,34 3,32 3,29 3,27 3,25 3, ,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,24 3,20 3,15 3,12 3,08 3,04 3,02 2,99 2,97 2,95 2, ,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,03 2,99 2,94 2,90 2,86 2,83 2,80 2,77 2,76 2,73 2, ,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,86 2,83 2,77 2,74 2,70 2,66 2,64 2,60 2,59 2,56 2, ,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,74 2,70 2,65 2,61 2,57 2,53 2,51 2,47 2,46 2,43 2, ,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,64 2,60 2,54 2,51 2,47 2,43 2,40 2,37 2,35 2,32 2, ,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,55 2,51 2,46 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2, ,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,48 2,44 2,39 2,35 2,31 2,27 2,24 2,21 2,19 2,16 2, ,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,42 2,38 2,33 2,29 2,25 2,20 2,18 2,14 2,12 2,10 2, ,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,37 2,33 2,28 2,24 2,19 2,15 2,12 2,09 2,07 2,04 2, ,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,33 2,29 2,23 2,19 2,15 2,10 2,08 2,04 2,02 1,99 1, ,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,29 2,25 2,19 2,15 2,11 2,06 2,04 2,00 1,98 1,95 1, ,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,26 2,21 2,16 2,11 2,07 2,03 2,00 1,96 1,94 1,91 1, ,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,22 2,18 2,12 2,08 2,04 1,99 1,97 1,93 1,91 1,88 1, ,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,28 2,25 2,20 2,16 2,10 2,05 2,01 1,96 1,94 1,90 1,88 1,84 1, ,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26 2,23 2,17 2,13 2,07 2,03 1,98 1,94 1,91 1,87 1,85 1,82 1, ,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,24 2,20 2,15 2,11 2,05 2,01 1,96 1,91 1,88 1,84 1,82 1,79 1, ,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,22 2,18 2,13 2,09 2,03 1,98 1,94 1,89 1,86 1,82 1,80 1,77 1, ,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,20 2,16 2,11 2,07 2,01 1,96 1,92 1,87 1,84 1,80 1,78 1,75 1, ,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,18 2,15 2,09 2,05 1,99 1,95 1,90 1,85 1,82 1,78 1,76 1,73 1, ,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,17 2,13 2,08 2,04 1,97 1,93 1,88 1,84 1,81 1,76 1,74 1,71 1, ,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,15 2,12 2,06 2,02 1,96 1,91 1,87 1,82 1,79 1,75 1,73 1,69 1, ,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,14 2,10 2,05 2,01 1,94 1,90 1,85 1,81 1,77 1,73 1,71 1,67 1, ,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13 2,09 2,04 1,99 1,93 1,89 1,84 1,79 1,76 1,72 1,70 1,66 1, ,15 3,29 2,90 2,67 2,51 2,40 2,31 2,24 2,19 2,14 2,10 2,07 2,01 1,97 1,91 1,86 1,82 1,77 1,74 1,69 1,67 1,63 1, ,13 3,28 2,88 2,65 2,49 2,38 2,29 2,23 2,17 2,12 2,08 2,05 1,99 1,95 1,89 1,84 1,80 1,75 1,71 1,67 1,65 1,61 1, ,11 3,26 2,87 2,63 2,48 2,36 2,28 2,21 2,15 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 1,87 1,82 1,78 1,73 1,69 1,65 1,62 1,59 1, ,10 3,24 2,85 2,62 2,46 2,35 2,26 2,19 2,14 2,09 2,05 2,02 1,96 1,92 1,85 1,81 1,76 1,71 1,68 1,63 1,61 1,57 1, ,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,00 1,95 1,90 1,84 1,79 1,74 1,69 1,66 1,61 1,59 1,55 1, ,07 3,22 2,83 2,59 2,44 2,32 2,24 2,17 2,11 2,06 2,03 1,99 1,94 1,89 1,83 1,78 1,73 1,68 1,65 1,60 1,57 1,53 1, ,06 3,21 2,82 2,58 2,43 2,31 2,23 2,16 2,10 2,05 2,01 1,98 1,92 1,88 1,81 1,77 1,72 1,67 1,63 1,59 1,56 1,52 1, ,05 3,20 2,81 2,57 2,42 2,30 2,22 2,15 2,09 2,04 2,00 1,97 1,91 1,87 1,80 1,76 1,71 1,65 1,62 1,57 1,55 1,51 1, ,04 3,19 2,80 2,57 2,41 2,29 2,21 2,14 2,08 2,03 1,99 1,96 1,90 1,86 1,79 1,75 1,70 1,64 1,61 1,56 1,54 1,49 1, ,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,99 1,95 1,89 1,85 1,78 1,74 1,69 1,63 1,60 1,55 1,52 1,48 1, ,02 3,16 2,77 2,54 2,38 2,27 2,18 2,11 2,06 2,01 1,97 1,93 1,88 1,83 1,76 1,72 1,67 1,61 1,58 1,53 1,50 1,46 1, ,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,95 1,92 1,86 1,82 1,75 1,70 1,65 1,59 1,56 1,51 1,48 1,44 1, ,99 3,14 2,75 2,51 2,36 2,24 2,15 2,08 2,03 1,98 1,94 1,90 1,85 1,80 1,73 1,69 1,63 1,58 1,54 1,49 1,46 1,42 1, ,98 3,13 2,74 2,50 2,35 2,23 2,14 2,07 2,02 1,97 1,93 1,89 1,84 1,79 1,72 1,67 1,62 1,57 1,53 1,48 1,45 1,40 1, ,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,13 2,06 2,00 1,95 1,91 1,88 1,82 1,77 1,70 1,65 1,60 1,54 1,51 1,45 1,43 1,38 1, ,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,89 1,85 1,79 1,75 1,68 1,63 1,57 1,52 1,48 1,42 1,39 1,34 1, file:///c /wolle/web/formeln/form10_1.html (1 von 2) [ :58:29]
11 Biometrieübung 10 (Lineare Regression) - Tabelle F-Verteilung P=0, ,92 3,07 2,68 2,44 2,29 2,17 2,08 2,01 1,96 1,91 1,87 1,83 1,77 1,73 1,66 1,60 1,55 1,49 1,45 1,40 1,36 1,31 1, ,90 3,06 2,66 2,43 2,27 2,16 2,07 2,00 1,94 1,89 1,85 1,82 1,76 1,71 1,64 1,59 1,54 1,48 1,44 1,38 1,34 1,29 1, ,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,98 1,93 1,88 1,84 1,80 1,74 1,69 1,62 1,57 1,52 1,46 1,41 1,35 1,32 1,26 1, ,86 3,02 2,63 2,39 2,24 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,81 1,78 1,72 1,67 1,60 1,54 1,49 1,42 1,38 1,32 1,28 1,22 1, ,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,80 1,76 1,70 1,65 1,58 1,53 1,47 1,41 1,36 1,30 1,26 1,19 1, zurück Letzte Änderung: Kontakt: Wolfgang Stümer file:///c /wolle/web/formeln/form10_1.html (2 von 2) [ :58:29]
12 Biometrieübung 10 (Lineare Regression) - Tabelle F-Verteilung P=0,01 Biometrieübung 10 Lineare Regression Tabelle der Signifikanzschranken der F-Verteilung für = 0,01 für verschiedene m 1 und m 2. m 2 FG 2 m 1 (FG 1 ) ,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,41 99,42 99,43 99,44 99,45 99,46 99,47 99,48 99,48 99,48 99,49 99,49 99, ,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05 26,92 26,83 26,69 26,60 26,50 26,41 26,35 26,28 26,24 26,18 26, ,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,25 14,15 14,02 13,93 13,84 13,75 13,69 13,61 13,58 13,52 13, ,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,96 9,89 9,77 9,68 9,55 9,47 9,38 9,29 9,24 9,17 9,13 9,08 9, ,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,60 7,52 7,40 7,31 7,23 7,14 7,09 7,02 6,99 6,93 6, ,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,36 6,28 6,16 6,07 5,99 5,91 5,86 5,79 5,75 5,70 5, ,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,56 5,48 5,36 5,28 5,20 5,12 5,07 5,00 4,96 4,91 4, ,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 5,01 4,92 4,81 4,73 4,65 4,57 4,52 4,45 4,41 4,36 4, ,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,60 4,52 4,41 4,33 4,25 4,17 4,12 4,05 4,01 3,96 3, ,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,29 4,21 4,10 4,02 3,94 3,86 3,81 3,74 3,71 3,66 3, ,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,05 3,97 3,86 3,78 3,70 3,62 3,57 3,50 3,47 3,41 3, ,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 3,86 3,78 3,66 3,59 3,51 3,43 3,38 3,31 3,27 3,22 3, ,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 3,70 3,62 3,51 3,43 3,35 3,27 3,22 3,15 3,11 3,06 3, ,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,56 3,49 3,37 3,29 3,21 3,13 3,08 3,01 2,98 2,92 2, ,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,62 3,55 3,45 3,37 3,26 3,18 3,10 3,02 2,97 2,90 2,86 2,81 2, ,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,46 3,35 3,27 3,16 3,08 3,00 2,92 2,87 2,80 2,76 2,71 2, ,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,43 3,37 3,27 3,19 3,08 3,00 2,92 2,84 2,78 2,71 2,68 2,62 2, ,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,36 3,30 3,19 3,12 3,00 2,92 2,84 2,76 2,71 2,64 2,60 2,55 2, ,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,13 3,05 2,94 2,86 2,78 2,69 2,64 2,57 2,54 2,48 2, ,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,24 3,17 3,07 2,99 2,88 2,80 2,72 2,64 2,58 2,51 2,48 2,42 2, ,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,18 3,12 3,02 2,94 2,83 2,75 2,67 2,58 2,53 2,46 2,42 2,36 2, ,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,14 3,07 2,97 2,89 2,78 2,70 2,62 2,54 2,48 2,41 2,37 2,32 2, ,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,09 3,03 2,93 2,85 2,74 2,66 2,58 2,49 2,44 2,37 2,33 2,27 2, ,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 3,06 2,99 2,89 2,81 2,70 2,62 2,54 2,45 2,40 2,33 2,29 2,23 2, ,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 3,02 2,96 2,86 2,78 2,66 2,58 2,50 2,42 2,36 2,29 2,25 2,19 2, ,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,99 2,93 2,82 2,75 2,63 2,55 2,47 2,38 2,33 2,26 2,22 2,16 2, ,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,96 2,90 2,79 2,72 2,60 2,52 2,44 2,35 2,30 2,23 2,19 2,13 2, ,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,93 2,87 2,77 2,69 2,57 2,49 2,41 2,33 2,27 2,20 2,16 2,10 2, ,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,74 2,66 2,55 2,47 2,39 2,30 2,25 2,17 2,13 2,07 2, ,50 5,34 4,46 3,97 3,65 3,43 3,26 3,13 3,02 2,93 2,86 2,80 2,70 2,62 2,50 2,42 2,34 2,25 2,20 2,12 2,08 2,02 1, ,44 5,29 4,42 3,93 3,61 3,39 3,22 3,09 2,98 2,89 2,82 2,76 2,66 2,58 2,46 2,38 2,30 2,21 2,16 2,08 2,04 1,98 1, ,40 5,25 4,38 3,89 3,57 3,35 3,18 3,05 2,95 2,86 2,79 2,72 2,62 2,54 2,43 2,35 2,26 2,18 2,12 2,04 2,00 1,94 1, ,35 5,21 4,34 3,86 3,54 3,32 3,15 3,02 2,92 2,83 2,75 2,69 2,59 2,51 2,40 2,32 2,23 2,14 2,09 2,01 1,97 1,90 1, ,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,56 2,48 2,37 2,29 2,20 2,11 2,06 1,98 1,94 1,87 1, ,28 5,15 4,29 3,80 3,49 3,27 3,10 2,97 2,86 2,78 2,70 2,64 2,54 2,46 2,34 2,26 2,18 2,09 2,03 1,95 1,91 1,85 1, ,25 5,12 4,26 3,78 3,47 3,24 3,08 2,95 2,84 2,75 2,68 2,62 2,52 2,44 2,32 2,24 2,15 2,07 2,01 1,93 1,89 1,82 1, ,22 5,10 4,24 3,76 3,44 3,22 3,06 2,93 2,82 2,73 2,66 2,60 2,50 2,42 2,30 2,22 2,13 2,04 1,99 1,91 1,86 1,80 1, ,19 5,08 4,22 3,74 3,43 3,20 3,04 2,91 2,80 2,71 2,64 2,58 2,48 2,40 2,28 2,20 2,12 2,02 1,97 1,89 1,84 1,78 1, ,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,63 2,56 2,46 2,38 2,27 2,18 2,10 2,01 1,95 1,87 1,82 1,76 1, ,12 5,01 4,16 3,68 3,37 3,15 2,98 2,85 2,75 2,66 2,59 2,53 2,42 2,34 2,23 2,15 2,06 1,97 1,91 1,83 1,78 1,71 1, ,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,56 2,50 2,39 2,31 2,20 2,12 2,03 1,94 1,88 1,79 1,75 1,68 1, ,04 4,95 4,10 3,62 3,31 3,09 2,93 2,80 2,69 2,61 2,53 2,47 2,37 2,29 2,17 2,09 2,00 1,91 1,85 1,77 1,72 1,65 1, ,01 4,92 4,07 3,60 3,29 3,07 2,91 2,78 2,67 2,59 2,51 2,45 2,35 2,27 2,15 2,07 1,98 1,89 1,83 1,74 1,70 1,62 1, ,96 4,88 4,04 3,56 3,26 3,04 2,87 2,74 2,64 2,55 2,48 2,42 2,31 2,23 2,12 2,03 1,94 1,85 1,79 1,70 1,65 1,58 1, ,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,43 2,37 2,27 2,19 2,07 1,98 1,89 1,80 1,74 1,65 1,60 1,52 1, file:///c /wolle/web/formeln/form10_2.html (1 von 2) [ :58:39]
13 Biometrieübung 10 (Lineare Regression) - Tabelle F-Verteilung P=0, ,84 4,78 3,94 3,47 3,17 2,95 2,79 2,66 2,55 2,47 2,39 2,33 2,23 2,15 2,03 1,94 1,85 1,76 1,69 1,60 1,55 1,47 1, ,81 4,75 3,91 3,45 3,14 2,92 2,76 2,63 2,53 2,44 2,37 2,31 2,20 2,12 2,00 1,92 1,83 1,73 1,66 1,57 1,52 1,43 1, ,76 4,71 3,88 3,41 3,11 2,89 2,73 2,60 2,50 2,41 2,34 2,27 2,17 2,09 1,97 1,89 1,79 1,69 1,63 1,53 1,48 1,39 1, ,70 4,66 3,83 3,37 3,06 2,85 2,68 2,56 2,45 2,37 2,29 2,23 2,13 2,05 1,92 1,84 1,75 1,64 1,58 1,48 1,42 1,32 1, ,66 4,63 3,80 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,10 2,02 1,90 1,81 1,72 1,61 1,54 1,44 1,38 1,28 1, zurück Letzte Änderung: Kontakt: Wolfgang Stümer file:///c /wolle/web/formeln/form10_2.html (2 von 2) [ :58:39]
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