mit 0 z 0 b 1 und 0 ẑ b n 1 1. Nach Induktionsannahme besitzt ẑ eine Darstellung der Länge n 1 zur Basis b. Damit ist

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1 mit 0 z 0 b 1 und 0 ẑ b n 1 1. Nach Induktionsannahme besitzt ẑ eine Darstellung ẑ = ẑ n 2 b n ẑ 1 b 1 + ẑ 0 b 0 der Länge n 1 zur Basis b. Damit ist z = (ẑ n 2 b n ẑ 1 b 1 + ẑ 0 b 0 ) b + z 0 = ẑ n 2 b n ẑ 1 b 2 + ẑ 0 b 1 + z 0 b 0 eine Basis-b-Darstellung der Länge n für z. Besitzt z zwei solche Darstellungen, z = z n 1 b n z 1 b 1 + z 0 b 0 = z n 1 bn z 1 b1 + z 0 b0, so muss Division durch b denselben Rest ergeben, also z 0 = z 0. Damit müssen auch die Quotienten und z z 0 b z z 0 b = z n 1 b n z 2 b 1 + z 1 b 0 = z n 1 bn z 2 b1 + z 1 b0 33

2 übereinstimmen. Wegen 0 z z 0 b b n 1 1 ist nach Induktionsannahme die Basis-b-Darstellung dieser Zahl eindeutig, also z 1 = z 1, z 2 = z 2,..., z n 1 = z n 1. Damit ist auch die Darstellung von z eindeutig. Führende Nullen werden manchmal nicht notiert. Bei Bedarf wird die Basis tiefgestellt, z.b Der Beweis liefert auch eine Methode zur Bestimmung der Basis-b-Darstellung von z: Rest der Division z/b ist die Ziffer z 0. Übrige Ziffern aus der Basis-b-Darstellung des ganzzahligen Anteils von z/b. ( Rekursion) 16 Beispiel: Bestimme Basis-8-Darstellung von z = ( fünftausend vierhundert sieben ) = , also z 0 = = , also z 1 = 3 34

3 3. 84 = , also z 2 = = , also z 3 = = , also z 4 = = , also z 5 = (nur noch Nullen) Damit: = Praktisch relevante Basen: b = 10 (Dezimaldarstellung) im Alltag übliche Darstellung mit den Ziffern 0,..., 9: b = 2 (Binär-/Dualdarstellung) in Rechnern dominierende Repräsentation mit den Ziffern 0 und 1: b = 16 (Hexadezimaldarstellung) leichter lesbare Alternative zur Binärdarstellung mit den Ziffern 0,..., 9, A (= 10), B, C, D, E, F (= 15): 151F 16 b = 8 (Oktaldarstellung) Alternative zur Binärdarstellung mit den Ziffern 0,..., 7:

4 17 Bemerkung: Die Hexadezimal-/Oktaldarstellung erhält man aus der Binärdarstellung, indem man von hinten her jeweils 4 bzw. 3 Binärziffern zu einer Hexadezimal-/Oktalziffer zusammenfasst = 151F = (Bei Bedarf sind in der Binärdarstellung führende Nullen zu ergänzen.) Umgekehrt ergibt jede Hexadezimal-/Oktalziffer 4 bzw. 3 Ziffern in der Binärdarstellung. Der weitaus größte Teil der Rechnung in Computern erfolgt im Binärsystem. Ältere IBM-Rechner verwenden intern Hexadezimaldarstellung. In kaufmännischen Anwendungen wird oft dezimal gerechnet dann meist in BCD-Darstellung (binary coded decimals), d.h. jede Dezimalziffer wird mit 4 Binärziffern dargestellt: b= BCD 36

5 3.2.4 Rechnen in anderen Basen Ziffernweise Addition und Multiplikation wie in der Grundschule Übertrag zur links benachbarten Ziffer, wenn Zwischenergebnis b. Multiplikation in Basis 2 ist besonders einfach, da das kleine Einmaleins trivial ist: Beispiele: a) Addition in Basis 2 [ = ] Übertrag b) Multiplikation in Basis 2 [ = ]

6 3.2.5 Binärdarstellung negativer Zahlen Problem: Vorzeichen muss irgendwie dargestellt werden. Explizite Speicherung des Vorzeichens: Vorzeichen kann mit einer zusätzlichen Binärziffer dargestellt werden (z.b. + durch 0, - durch 1 oder umgekehrt), also bei insgesamt 8 bit b= b= Leicht zu verstehen Arithmetik mit negativen Zahlen wird aufwändiger (Fallunterscheidung positiv / negativ ) Zwei Darstellungen für die Null: + 0 b= und 0 b= Mit n bit darstellbare Zahlen: (2 n 1 1),..., +2 n

7 Einerkomplementdarstellung: Bei negativen Zahlen wird jedes bit invertiert (0 1), also bei insgesamt 8 bit b= b= = Zwei Darstellungen für die Null: + 0 b= und 0 b= Mit n bit darstellbare Zahlen: (2 n 1 1),..., +2 n 1 1 Arithmetik mit negativen Zahlen wird relativ einfach (siehe folgendes Beispiel 19 und Bemerkung 20). 19 Beispiel: Addition von b= = und b= : Dies ist gerade die Darstellung von b= Addition von b= und b= = : 39

8 Weglassen der (neu hinzugekommenen) führenden 1 ergibt b= statt 13. Addition von b= und b= : Weglassen der (neu hinzugekommenen) führenden 1 ergibt = b= statt 61. Systematik? 20 Bemerkung: Invertierung einer binären Ziffer z k bedeutet Ersetzen durch 1 z k. Also: Ist 0 z 2 n 1 1 mit n-stelliger Binärdarstellung z = 0 2 n 1 + z n 2 2 n z z 0 2 0, so besitzt z die Darstellung z = 1 2 n 1 + (1 z n 2 ) 2 n (1 z 1 ) (1 z 0 )

9 = (2 n n ) (z n 2 2 n z z ) = 2 n 1 z {2 n 1,..., 2 n 1}. Addiert man die Einerkomplement-Darstellungen einer positiven Zahl x und einer negativen Zahl y wie gewöhnliche Binärzahlen, so erhält man die Binärdarstellung von x + y + 2 n 1. Für x + y 0 ist x + y + 2 n 1 gerade die Einerkomplementdarstellung des korrekten Resultats x + y. Für x+y > 0 ist x+y+2 n 1 2 n und enthält damit eine führende Eins an Position n. Lässt man diese weg, so erhält man x + y 1( 0), also ein um 1 zu kleines Ergebnis. Addiert man die Einerkomplemente zweier Zahlen x, y 0 mit (2 n 1 1) x + y ( 0) d.h. die Summe ist im Einerkomplement darstellbar, so erhält man (2 n 1 + x) + (2 n 1 + y) = 2 n + (x + y + 2 n 1) 1. Diese Binärzahl hat eine führende Eins an Position n. Lässt man sie weg, so erhält man (x+y+2 n 1) 1, also wieder ein um 1 zu kleines Ergebnis (die korrekte Einerkomplement-Darstellung ist x + y + 2 n 1). Frage: Kann man die um 1 zu kleinen Ergebnisse berichtigen? 41

10 Zweierkomplementdarstellung: Bei negativen Zahlen wird jedes bit invertiert und anschließend 1 addiert, also bei insgesamt 8 bit b= = = Eindeutige Darstellung für die Null: 0 b= = = (neue führende Eins) b= +0 Mit n bit darstellbare Zahlen: 2 n 1,..., +2 n 1 1 Bei der Arithmetik kein Unterschied zwischen positiven und negativen Zahlen (siehe folgendes Beispiel 21). 21 Beispiel: Addition von b= = und b= :

11 Dies ist gerade die Darstellung von b= Addition von b= und b= = : Weglassen der (neu hinzugekommenen) führenden 1 ergibt b= Addition von b= und b= : Weglassen der (neu hinzugekommenen) führenden 1 ergibt = b= In allen Fällen richtiges Ergebnis! 22 Bemerkung: Die Darstellung einer negativen Zahl x mit 2 n 1 x < 0 mit n Ziffern im Zweierkomplement ist identisch mit der gewöhnlichen Binärdarstellung der positiven Zahl x + 2 n. 43

12 23 Bemerkung: Die Darstellung einer Zahl im Zweierkomplement mit m n Ziffern erhält man aus der mit n Ziffern dadurch, dass man die vorderen m n Plätze alle mit dem (bisher) führenden bit auffüllt. 44

13 3.2.6 Überlauf Wir gehen davon aus, dass die Zahlen im Zweierkomplement dargestellt werden. 24 Beispiel: Addition von b= und b= bei insgesamt 8 Binärstellen: Dies ist die Darstellung von (= ). Zweierkomplement-Addition von b= und b= : Dies ist die Darstellung von (= ). Ursache: Ergebnis liegt außerhalb des darstellbaren Zahlenbereichs 2 n 1,..., 2 n

14 25 Definition: Das Überschreiten des Bereichs darstellbarer Zahlen wird als Überlauf (overflow) bezeichnet. Bei ganzen Zahlen führt ein Überlauf meist (z.b. im Zweierkomplement) zu einem sog. wrap-around, d.h. bei n-stelliger Darstellung ist das Resultat um 2 n zu groß oder zu klein. 26 Satz: Tritt kein Überlauf ein, so ist das Ergebnis der üblichen Addition der n-stelligen Zweierkomplement-Darstellungen zweier Zahlen die Darstellung des Ergebnisses im Zweierkomplement. Dabei ist eine evtl. durch Übertrag neu auftretende Eins an Position n zu vernachlässigen. Beweis: Sei z = x + y. Es ist 2 n 1 x, y 2 n 1 1. Weil kein Überlauf eintritt, ist auch 2 n 1 z 2 n 1 1. Fall 1: x 0, y 0. Dann wird sowieso normal gerechnet. Fall 2: x < 0, y 0, z 0. Dann wird x dargestellt durch 2 n + x, die Addition der Darstellungen ergibt 2 n + x + y = 2 n + z mit z 0. Also ist durch Übertrag eine führende Eins an Position n aufgetreten, die vernachlässigt wird. Man hat statt 2 n + z also z, die Zweierkomplement-Darstellung von z 0. 46

15 Fall 3: x < 0, y 0, z < 0. Wieder wird x dargestellt durch 2 n + x, die Addition der Darstellungen ergibt 2 n + x + y = 2 n + z mit z < 0. Dies ist die Zweierkomplement-Darstellung der negativen Zahl z. Fall 4: x < 0, y < 0. Dann wird x dargestellt durch 2 n + x, y durch 2 n + y. Die Addition der Darstellungen ergibt 2 n+1 + x + y = 2 n + 2 n + z. Weil Überlauf ausgeschlossen wurde, ist 2 n 1 z < 1 und damit 2 n 1 2 n + z < 2 n 1. In 2 n + (2 n + z) steht also eine führende Eins an Position n, die vernachlässigt wird. Man erhält deshalb statt 2 n + (2 n + z) die Zahl 2 n + z, die Zweierkomplement-Darstellung von z < Bemerkung: Bei der Steuerung der Ariane 5 wurde die gemessene horizontale Geschwindigkeit in eine 16-stellige (ganze) Binärzahl umgewandelt. Da das Ergebnis aber größer war als = 32767, ergab sich ein Überlauf, der letztlich die Selbstzerstörung der Rakete und des Satelliten zur Folge hatte. Schaden: ca. 500 Millionen $. 47

16 3.2.7 Ganzzahl-Arithmetik und Shifts Ausgangspunkt: Zahlen sind mit n Zifferen im Zweierkomplement dargestellt. z = z n 1 2 n z n p 2 n p + z n p 1 2 n p z z b= z n 1... z {z n p z } n p 1... z 1 z {z } 0 p n p Multiplikation von z mit einer Zweierpotenz 2 p ergibt 2 p z = z n 1 2 n 1+p + + z n p 2 n + z n p+1 2 n z 0 2 p p b= z n p+1... z 1 z {z } 0 0. {z.. 0 } n p p Die Ziffern z n,..., z n p fallen weg. War eine davon 1, so ist ein Überlauf eingetreten. 28 Korollar: Tritt kein Überlauf ein, so entspricht die Multiplikation einer nichtnegativen Binärzahl z mit einer Zweierpotenz 2 p dem Verschieben der Ziffern um p Positionen nach links und Auffüllen mit p Nullen von rechts. Die ersten p Ziffern von z fallen weg. 48

17 Ist z negativ, so ist die Zweierkomplement-Darstellung von z identisch mit der Binärdarstellung der positiven Zahl z+2 n. Verschieben der Ziffern um p nach links und Auffüllen mit p Nullen von rechts liefert daher die Binärdarstellung von 2 p (z+2 n ) = 2 p z+2 n+p, also die Darstellung von 2 p z im Zweierkomplement mit n + p Ziffern. Also: Sind die Ziffern z n p,..., z n alle 1 und lässt man sie nun weg, so erhält man nach Bem.23 die Zweierkomplement- Darstellung von 2 p z mit n Ziffern. Sind die Ziffern z n p,..., z p nicht alle gleich 1, so ist 2 p z < 2 n 1, d.h. es ist ein Überlauf eingetreten. 29 Korollar: Korollar 28 gilt auch für die Multiplikation einer (im Zweierkomplement dargstellten) negativen Zahl mit einer Zweierpotenz. 30 Definition: Das Verschieben der bits um p Positionen nach links (rechts) mit Auffüllen durch Nullen heißt bitweiser (Links-/Rechts-) Shift um p Positionen. 49

18 Division einer nicht-negativen n-stelligen ganzen Zahl z = z n 1 2 n z p 2 p + z p 1 2 p z z b= z n 1... z {z } p z p 1... z 1 z {z } 0 n p p durch eine Zweierpotenz 2 p ergibt z/2 p = z n 1 2 n 1 p + + z p 2 0, Rest: z p 1 2 p z b= 0. {z.. 0 } z n 1... z p+1 z {z } p p n p, Rest: z p 1... z 0 31 Korollar: Die Division einer nichtnegativen Binärzahl z durch eine Zweierpotenz 2 p entspricht dem Verschieben der Ziffern um p Positionen nach rechts und Auffüllen mit p Nullen von links. Die letzten p Ziffern von z ergeben den Rest bei der Division. 50

19 32 Bemerkung: Bei der Division einer negativen Binärzahl z im Zweierkomplement durch eine Zweierpotenz 2 p erhält man den in {0,..., 2 p 1} liegenden Rest aus den letzten p Ziffern von z, den ganzzahligen Anteil von z/2 p durch Verschieben der Ziffern um p Positionen nach rechts und Auffüllen mit p Einsen von links. (ohne Beweis) 33 Definition: Das Verschieben der bits um p Positionen nach rechts mit Auffüllen durch das bisherige höchstwertige bit heißt arithmetischer (Rechts-) Shift um p Positionen. 51

20 34 Beispiele: Die Zahl z = besitzt die 16-stellige Binärdarstellung z b= , im Zweierkomplement ist z b= z = b= ( z) = b= z/2 3 = b= , Rest 7 10 b= 111 ( z)/2 3 = b= , Rest 1 10 b= 001 (Es ist z = ( 139) 8 + 1). 52

21 3.2.8 Fixkomma-Darstellung nicht-ganzer Zahlen 35 Definition: Bei Fixkomma-Zahlen (fixed point numbers) wird die Basis-b-Darstellung um eine feste Anzahl von Nachkommastellen erweitert: z = z n 1 b n z 0 b 0 + z 1 b z m b m =: z n 1... z 0.z 1... z m Darstellbare Zahlen (bei Zweierkomplement-Darstellung zur Basis b = 2): 2 n 1, 2 n m,..., 2 n 1 2 m mit konstantem Abstand 2 m. Rechnen mit Fixkomma-Zahlen: So wie mit (n + m)-stelligen ganzen Zahlen, aber Multiplikation und Division erfordern weitere Maßnahmen (siehe nachfolgende Beispiele 36). 53

22 36 Beispiele: a) Kaufmännische Rechnung mit Euro und Cent: 6 623, ,76 230, ,77 b) Insgesamt 8-stellige (5+ 3) Zweierkomplement-Addition von b= und 43 4 b= = : Dies ist gerade die Darstellung des korrekten Ergebnisses c) Dezimale Multiplikation von = 4321/100 mit = 1234/100 bei m = 2 Nachkommastellen: Das Ergebnis /10000 = ist bei m = 2 nicht exakt darstellbar und muss auf eine darstellbare Zahl (z.b ) gerundet werden. 54

23 d) Dezimale Division von 1.50 = 150/100 durch 1.10 = 110/100 bei m = 2: / = Das exakte Ergebnis = hat eine unendliche Dezimaldarstellung und muss gerundet werden (z.b. auf 1.36). 37 Bemerkungen: a) Addition und Subtraktion von Fixkommazahlen liefern stets das exakte Ergebnis (sofern kein Überlauf auftritt), Multiplikation und Division sind i. Allg. mit Rundungsfehlern behaftet. 55

24 b) Die Anhäufung von Rundungsfehlern in einem Fixkomma- Zähler für die Zeit war verantwortlich dafür, dass am im Golfkrieg eine Scud-Rakete von einer Patriot- Abwehrrakete verfehlt wurde (28 Tote) Uhr der Patriot liefert Zeit seit Einschalten in Zehntelsekunden Umrechnung in Sekunden mit 23 binären Nachkommastellen erforderte Rundung der Zahl 1 10 b= mit einem Rundungsfehler von ca Jede Zehntelsekunde wird dieser Wert zum Zähler addiert Nach 100 Stunden Dauerbetrieb erhöhte sich dadurch der Fehler im Zeitzähler auf In 0.34 Sekunden fliegt eine Scud ca. 600 m und kann so den vom Patriot-System überwachten Bereich verlassen 56

25 3.2.9 Gleitkomma-Darstellung nichtganzer Zahlen Gleitkomma-Zahlen (floating-point numbers) besitzen die Form z = ±(z 0 + z 1 b z 1 m b 1 m ) b e =: ±z 0.z 1... z 1 m b e mit z k {0,... b 1} und e min e e max. Dabei heißt z 0.z 1... z 1 m der Signifikand (früher meist Mantisse) und e der Exponent der Zahl z. b heißt die Basis, m die Signifikandenlänge (oder Mantissenlänge) und {e min,..., e max } der Exponentenbereich der Gleitkomma-Darstellung. 38 Beispiel: b = 10, m = 3, e min = 3, e max = = = , d.h. die Darstellung ist i. Allg. nicht eindeutig = = (= ) ist nicht darstellbar ist ebenfalls nicht (exakt) darstellbar und muss (z.b. auf ) gerundet werden. 39 Definition: Eine Gleitkomma-Zahl ±z 0.z 1... z 1 m b e heißt normalisiert, wenn z 0 0. Eine Gleitkomma-Zahl z 0 mit z 0 = 0 heißt denormalisiert. 57

26 40 Beispiel: b = 2, m = 3, e min = 2, e max = 1 Normalisierte Zahlen: ± = ±0.25 ± = ± ± = ±0.375 ± = ± ± = ±0.5 ± = ±0.625 ± = ±0.75 ± = ±0.875 ± = ±1 ± = ±1.25 ± = ±1.5 ± = ±1.75 ± = ±2 ± = ±2.5 ± = ±3 ± = ±3.5 9 >= >; 9 >= >; 9 >= >; 9 >= >; Abstand 2 4 = Abstand 2 3 = Abstand 2 2 = 0.25 Abstand 2 1 = 0.5 Denormalisierte Zahlen: Null: 0 ± = ± ± = ±0.125 ± = ± >= >; Abstand 2 4 =

27 Für festes b, m, e min, e max gibt es nur endlich viele Gleitkomma-Zahlen nahezu alle reellen (sogar rationalen) Zahlen müssen auf eine Gleitkomma-Zahl gerundet werden. Die normalisierte Gleitkomma-Darstellung einer Zahl ist, wenn sie überhaupt existiert, eindeutig. Die Addition von Gleitkomma-Zahlen erfolgt i. Allg. in mehreren Schritten (hier für b = 10 und m = 4 am Beispiel von x = b= und y = b= ): 1) Exponentenabgleich: Damit die Signifikanden addiert werden können, müssen die Exponenten übereinstimmen: y = ) Addition der Signifikanden: ) Normalisierung und Rundung des Ergebnisses: x + y = Im Gegensatz zur Fixkomma-Darstellung treten i. Allg. auch bei Addition und Subtraktion Rundungsfehler auf. 59

28 I. Allg. sind wesentlich kleinere und wesentlich größere Zahlen darstellbar als bei Fixkomma. Größte darstellbare Zahl: z 0 =... = z 1 m = b 1, e = e max z max = 1 1 «b emax+1 b e max+1 b m Kleinste positive normalisierte Zahl: z 0 = 1, z 1 =... = z 1 m = 0, e = e min z N min = be min Kleinste positive Zahl: z 0 =... z 2 m = 0, z 1 m = 1, e = e min z min = b e min +1 m Mehrere Darstellungen für die Null möglich: 0 = ± b e für e min e e max. Keine dieser Darstellungen ist normalisiert. Literatur: David Goldberg: What every computer scientist should know about floating-point arithmetic. ACM Computing Surveys 23(1), March 1991, pp

29 Der IEEE-Standard Es gibt eigentlich zwei IEEE-Standards zu Gleitkomma-Formaten: IEEE: IEEE standard for binary floating-point arithmetic. Technical Report IEEE Std , The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc., New York, für binäre Arithmetik IEEE: IEEE standard for radix-independent floating-point arithmetic. Technical Report IEEE Std , The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc., New York, für Basen 2 und 10 Wir werden im Folgenden hauptsächlich den Standard 754 betrachten. Er legt einheitliche Formate für die Codierung von binären Gleitkomma-Zahlen fest: Vorzeichen Exponentenfeld Nachkommastellen Vorzeichen: Explizite Speicherung des Vorzeichens im vordersten bit (0 b= +, 1 b= ) Exponentenfeld enthält den verschobenen ( biased ) Exponenten e e min + 1 > 0. (Dadurch entsprechen kleinere Exponenten kleineren positiven Zahlen.) Nachkommastellenfeld enthält den Signifikanden mit hidden bit- Trick: Bei (de)normalisierten Gleitkomma-Zahlen ist immer z 0 = 1 (z 0 = 0), muss also nicht abgespeichert werden. Für Signifikandenlänge m werden also nur m 1 bit benötigt. 61

30 Der IEEE-Standard sieht vier Genauigkeiten vor: single, singleextended, double und double-extended. 41 Bemerkung: Alle heutigen Prozessoren unterstützen zumindest die IEEE single- und double-formate. Zahlenbereich: single double Länge des Vorzeichenfelds 1 1 e min e max Länge des Exponentenfelds 8 11 Signifikandenlänge m Gesamtlänge in bit single double z max ( ) 2128 ( ) z N min z min ε Dabei ist ε der Abstand von 1 zur nächstgrößeren Zahl: ε = min{z : z Gleitkomma-Zahl, z > 1} 1 Dies bedeutet: Runden auf eine Gleitkomma-Zahl ergibt bei single precision i. Allg. einen Fehler in der 7-ten, bei double precision in der 16-ten Dezimalstelle. 62

31 Neben normalisierten und denormalisierten Zahlen (wie in Abschnitt 3.2.9) sieht der IEEE-Standard für jede Genauigkeit noch Null mit Vorzeichen zusätzliche spezielle Werte ( und NaN) vor. Sinn dieser Werte ist es, möglichst viel Information über die bisherige Rechnung zu retten, wenn nicht mehr darstellbare Zahlen auftreten. Unendlich (± ): Dieser Wert entsteht, wenn das Ergebnis einer Rechenoperation betragsmäßig größer als z max wird (Überlauf), z.b. bei single precision ( ) ( ) + ( ) ( ) Null mit Vorzeichen (signed zero): Entsteht etwa, wenn das Ergebnis einer Rechenoperation betragsmäßig kleiner als z min wird (Unterlauf), z.b. bei single precision ( )/( ) +0 1/(+ ) 0 NaN ( not a number ): Entsteht, wenn eine Operation kein klar definiertes Ergebnis liefert, z.b. 2 NaN ±0/(±0) NaN (+ ) (+ ) NaN NaN ± z NaN 63

32 Klassifikation der Zahlen mittels Exponent: Exponent Nachkommastellen dargestellte Zahl normalisierte Zahlen: e min e e max z 1... z 1 m ±1.z 1... z 1 m 2 e denormalisierte Zahlen: e min 1 z 1... z 1 m 0 ±0.z 1... z 1 m 2 e min Null: e min 1 z 1... z 1 m = 0 ±0 spezielle Werte: e max + 1 z 1... z 1 m = 0 ± e max + 1 z 1... z 1 m 0 NaN 64