Vorbereitung: Pendel. Marcel Köpke Gruppe

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1 Vorbereitung: Pendel Marcel Köpke Gruppe

2 Inhaltsverzeichnis 1 Augabe Physikalisches Pendel Reversionspendel Aufgabe 7.1 Fadenpendel groÿe Auslenkungen Aufgabe gleiche Schwingungsdauer gekoppelte Pendel Schwebung

3 1 Augabe Physikalisches Pendel Zum Verständnis des physikalischen Pendels sei zuerst einmal das mathematische Pendel beschrieben: (Quelle: Abbildung 1.1: mathematisches Pendel Die Abbildung 1.1 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines mathematischen Pendels. Dabei ist die Aufhängung des Massenpunkts über die gesamte Länge l masselos. Wenn m die Masse des Massenpunkts (gelb), ϕ die Auslenkung und g die Erdbeschleunigung bezeichnet dann folgt: F tan = mg sin ϕ wobei F tan die Rückstellkraft des Pendels ist. F rad wird durch die Aufhängung kompensiert. Die Rückstellkraft bewirkt ein Drehmoment: M = l F tan = mgl sin ϕ Stellt man nun die Bewegungsgleichung auf so folgt: Θ ϕ = M wobei Θ das Trägheitsmoment des Pendels ist. Der Massenpunkt selbst besitzt kein Trägheitsmoment für Drehungen um seinen Schwerpunkt. Da die Drehung aber um eine 3

4 aus dem Schwerpunkt verschobene Achse stattndet folgt: Θ = ml Damit folgt dann schlussendlich: ml ϕ + mgl sin ϕ = 0 ϕ + g l sin ϕ = 0 Für kleine Winkel folgt mit sin ϕ ϕ: ϕ + g l ϕ = 0 Dies ist die Bewegungsgleichung eines harmonisches Oszillators. Damit folgt g ω 0 = l l T = π g Kommen wir nun zum physikalischen Pendel: (Quelle: Abbildung 1.: physikalisches Pendel Das physikalische Pendel besteht aus einem ausgedehnen Körper, welcher an einem Punkt A aufgehängt ist, sodass er um diesen schwingen kann. Die Kräfte greifen am Schwerpunkt S an, welcher um eine Strecke l von der Aufhängung entfernt ist. Damit folgt dann analog zum mathematsichen Pendel ein rückstellendes Drehmoment: M = mgl sin ϕ 4

5 Der Körper besitzt nun jedoch ein eigenes Trägheitsmoment für Drehungen um seinen Schwerpunkt. Im Versuch kommt ein zylinderförmiger Körper zum Einsatz: Θ K = 1 1 m (L + 3R ) wobei R den Zylinderradius und L die Länge des Zylinders bezeichnet. Damit gilt natürlich L = l wenn der Zylinder an einem Ende aufgehängt wird. Die Drehung erfolgt hier also ebenfalls um eine verschobene Achse. Daher gilt für das resultierende Trägheitsmoment: Damit folgt für die Bewegungsgleichung: Θ = Θ K + ml Θ = 4 3 ml mr ϕ + mgl Θ sin ϕ = 0 bzw. für kleine Winkel: ϕ + mgl Θ ϕ = 0 Man deniert nun die reduzierte Pendellänge folgendermaÿen: l r = Θ [ = l ( 4 ml R ] 4 l ) Damit wird die Bewegungsgleichung zu: ϕ + g l r ϕ = 0 Man erhält also die Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels mit Länge l r. Dies ermöglicht es den ausgedehnten Körper wie ein idealisiertes Punktteilchen mit Masse m zu beschreiben. Anders ausgedrückt: Der ausgedehnte Körper verhält sich ähnlich wie ein Punktteilchen derselben Masse, welches jedoch an einem masselosen Faden der Länge l r aufgehängt ist. Für die Kreisfrequenz und die Periodendauer folgt analog: ω 0 = g lr T = π g = l ( R 4 lr g = π l ) l ( g R l ) 5

6 bzw. mit Bezug auf die Zylinderlänge L: g g ω 0 = = lr L ( R lr T = π g = π L ) L ( g Nun soll untersucht werden, ob sich die Schwingungsdauer ändert, falls man eine zusätzliche Masse m z im Abstand l r anbringt. Wir nehmen diese Masse als punktförmig an. Damit verschiebt sich der Schwerpunkt: Auch ändert sich das Trägheitsmoment zu: Damit wird die reduzierte Pendellänge zu: l = ml + m zl r m + m z R L ) Θ = Θ + m z lr = 4 3 ml mr + m z l ( R 4 l ) l r = Θ (m + m z ) l = Θ ml + m z l r 4 3 = ml mr + m z l ( ml + m z l ( R 4 ) l = l ( R 4 l ) = l r R l ) Die reduzierte Pendellänge ändert sich also nicht. Damit ändert sich auch T = π lrg nicht! 1. Reversionspendel Das Reversionspendel besteht hier aus einem physikalischen Pendel mit einstellbaren Aufhängungspunkten. Man soll nun die reduzierte Pendellänge l r bestimmen. Sie ist genau diejenige Länge, die dem Abstand der Aufhängungspunkte entspricht, wenn das Pendel an jedem der Punkte die gleiche Schwingungsdauer zeigt. Damit folgt dann für die Erdbeschleunigung: g = 4π l r T Hierbei ist jedoch zu beachten, dass während der Messung die Amplituden nicht zu groÿ gewählt werden, da sonst die oben benutzte Näherung für kleine Winkel nicht mehr gültig ist! 6

7 Aufgabe.1 Fadenpendel Das Fadenpendel besteht aus einem dünnen Faden der Länge l, an dem ein kugelförmiger Körper der Masse m aufgehängt wird. Dabei werden m und l so gewählt, dass das Trägheitsmoment und die Masse des Fadens vernachlässigbar wird (groÿe Masse m, langer Faden l). Für das Trägheitsmoment gilt dann: Damit folgt für die reduzierte Pendellänge: Θ = Θ Kugel + m(r + l) l r = = 5 mr + m(r + l) Für die Erdbeschleunigung folgt dann wieder:. groÿe Auslenkungen = 7 5 mr + ml + mrl 7 Θ m(l + r) = 5 r + l + rl l + r g = 4π l 7 r T = 4π 5 mr + ml + mrl T (l + r) Für groÿe Auslenkungen gilt die oben benutzte Nährung sin ϕ = ϕ nicht mehr. Damit ist folgende Bewegungsgleichung zu lösen: ϕ + g l r sin ϕ = 0 Tut man dies, so folgt für die Periodendauer: T = π lr g (1 + (1 ) sin ϕ 0 + (1 3 4 ) sin 4 ϕ 0 + ( ) sin 6 ϕ ) wobei ϕ 0 die maximale Amplitude der Schwingung ist. Aufgrund von Dämpfung ist zu erwarten, dass die maximale Amplitude eine Funktion der Zeit sein wird (ϕ 0 ˆϕ e γt ). Damit ist auch die Schwingungsdauer stark abhängig von der Zeit! Hier sind also starke Abweichungen von der Theorie zu erwarten. 7

8 3 Aufgabe gleiche Schwingungsdauer Hier sollen zwei Pendel synchronisiert werden, d.h. die Schwinungsdauer beider Pendel soll gleich sein. Dazu stellt man ein Pendel konstant ein und variiert beim zweiten den Abstand L z zwischen Drehpunkt und Scheibenmittelpunkt bis die beiden Periodendauern übereinstimmen. 3. gekoppelte Pendel In diesem Versuch werden gekoppelte Schwingungen untersucht. Dazu wird eine Feder im jeweils gleichen Abstand l zu den Drehpunkten an den Pendeln befestigt. Die Dierentialgleichungen für die Schwingung lauten dann: ẍ 1 + ω 0x 1 = Ω(x 1 x ) ẍ + ω0x = Ω(x x 1 ) wobei x i die Auslenkungen aus der Ruhelage sind und ω 0 = mgl Θ, Ω = Dl Θ (D Federkonstante, L Schwerpunktabstand vom Drehpunkt) ist. Addiert man beide Gleichungen bzw. subtrahiert man sie voneinander so folgt: d dt (x 1 x ) + (ω 0 + Ω)(x 1 x ) = 0 d dt (x 1 + x ) + ω 0(x 1 + x ) = 0 Führt man nun neue Koordinaten y 1 = x 1 x und y = x 1 + x ein so folgt: ÿ 1 + ω 1y 1 = 0 ÿ + ω y = 0 mit ω 1 = ω 0 + Ω ω = ω 0 Dies sind wieder Dierentialgleichungen des harmonischen Oszillators. Durch Superposition der beiden Fundamentallösungen y 1 und y kann jede beliebige Schwingungsform 8

9 der gekoppelten Pendel realisiert werden. Für y 1 schwingen die Pendel gegenphasig, für y in Phase. Nur die gegenphasige Schwingung hängt also von der zwischen den Pendeln angebrachten Feder ab. Im Versuch werden die Schwingungsdauern T geg und T gl gemessen und die Kopplungslänge l varriiert. Es ist zu erwarten, dass dabei T gl konstant bleibt und T geg variiert. Auÿerdem sollte T 0 = T gl gelten. Zudem folgt natürlich dann auch: bzw: mgl Θ Θ = mgl T gl 4π D = Θ l ( π T geg = 4π T gl Dl Θ = π Tgeg π Tgl π T gl ) = mgl l ( T gl Tgeg 1) Weiterhin soll D auch noch durch andere Messmethoden bestimmt werden: statisch: Man hängt verschieden Massen m an die Feder und misst die Auslenkung x: D = mg x dynamisch: Man benutzt die Feder als Federpendel mit der Eigenfreuquenz ω 0 = m D : D = 4π m T 3.3 Schwebung Schwebungen sind Schwingungszustände, deren zeitlicher Maximalamplitudenverlauf ϕ 0 (t) periodisch ist. Sie kommen duch Überlagerung von Schwingungen mit verschiedener Frequenz zustande. Die Lösungen der Bewegungsgleichungen kann man mit dem Additionstheorem der trigonometrischen Funktionen umschreiben zu: ω0 x 1 = A cos + Ω ω 0 ω0 t cos + Ω + ω 0 t ω0 x = A sin + Ω ω 0 ω0 t sin + Ω + ω 0 t 9

10 Man deniert nun: Damit folgt dann: ω mod = ω osz = ω 0 + Ω ω 0 ω0 + Ω + ω 0 T mod = T glt geg T gl T geg T osz = T glt geg T gl + T geg 10