Diskrete Strukturen Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Gruppen)

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1 WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Gruppen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Algebraische Strukturen Grundlagen Gruppen Endliche Körper 2

3 Eigenschaften von Gruppen: Satz: Sei S, eine Gruppe. Dann gilt: (1) S enthält genau ein neutrales Element e. (2) Jedes a S hat genau ein inverses Element, bezeichnet als a 1. (3) (Involutionsgesetz): Für alle a S: a = a 1 1. (4) (Kürzungsregel): Für alle a, b, c S: wenn a c = b c, dann a = b; wenn c a = c b, dann a = b. 3

4 Eigenschaften von Gruppen: (5) (Eindeutige Lösung linearer Gleichungen): Für alle a, x, b S: wenn a x = b, dann x = a 1 b; wenn x a = b, dann x = b a 1. (6) (Injektivität von ): Für alle a, b, c S: a b, gdw. a c b c; a b, gdw. c a c b. (7) (Surjektivität von ): Für alle a, b S: es gibt x S: a x = b; es gibt y S: y a = b. 4

5 Eigenschaften von Gruppen: Beweis: (1) Beweis der Eindeutigkeit von e: Seien e 1, e 2 neutrale Elemente. Dann gilt e 1 = e 1 e 2 = e 2. (2) Beweis der Eindeutigkeit von a 1 : Seien i 1, i 2 inverse Elemente von a. i 1 = i 1 e = i 1 a i 2 = i 1 a i 2 = e i 2 = i 2. 5

6 Eigenschaften von Gruppen Beweis (Fort.): (3) Beweis von a = a 1 1 : a 1 1 =: b = b e = b (a 1 a) = b a 1 a = e a = a. (4) Beweis von a c = b c a = b: b = b c c 1 = b c c 1 = a c c 1 = a (c c 1 ) = a. 6

7 Ordnung eines Gruppenelements: Definition: Sei S, eine Gruppe und sei a S. Wir definieren: a 0 e, n 1: a n a a n 1 = a n 1 a, n 1: a n a 1 n. Man bezeichnet a n auch als die n-te Potenz des Elements a. 7

8 Ordnung eines Gruppenelements: Definition: Sei S, eine Gruppe mit neutralem Element e und sei a S. Die Ordnung ord(a) von a ist die kleinste Zahl r N, sodass a r = e. Falls kein solches r existiert, dann ist ord(a) =. 8

9 Ordnung eines Gruppenelements: Beispiele: Z, + : ord(1) =. Z 12, + 12 : a ord(a) Z 7 {0}, 7 : a ord(a)

10 Ordnung eines Gruppenelements: Satz: Sei S, eine endliche Gruppe. Dann hat auch jedes Element in S endliche Ordnung. Beweis: Sei a S beliebig. Mindestens zwei von a 0,, a S sind gleich (Schubfachprinzip). Wähle 0 j < k S mit a j = a k und k minimal. Durch Multiplikation mit a j erhält man a 0 = a k j. Aus der Minimalität von k folgt j = 0 (sonst nehme man k = k 1, j = j 1), d.h. e = a k. Aus der Minimalität von k folgt ord(a) = k. 10

11 Untergruppen: Definition: Ist S, eine Gruppe und S S, so heißt S, Untergruppe von S,, wenn sie selbst eine Gruppe ist. Beispiele: Z, + ist Untergruppe von Q, +. 0,2,4, + 6 ist Untergruppe von Z 6, + 6. Z n, + n ist nicht Untergruppe zu Z, +, da sich die Operationen unterscheiden. 11

12 Untergruppen: Lemma: Sei G eine Gruppe und sei H eine Untergruppe von G. Die neutralen Elemente von G und H sind identisch. Beweis: Seien e H und e G die neutralen Elemente von H und G. Dann gilt e H e H = e H = e G e H und daraus folgt (Kürzungsregel) e H = e G. 12

13 Untergruppen: Satz: Seien S 1, und S 2, Untergruppen von S,. Dann ist auch S 1 S 2, eine Untergruppe von S,. Beweis: Aus dem vorigen Lemma folgt e S 1 und e S 2 und damit gilt e S 1 S 2. Sei a S 1 S 2. Aus der Eindeutigkeit von a 1 in S, folgt, dass a 1 auch das inverse Element von a in S 1, und S 2, ist. Es gilt also a 1 S 1 und a 1 S 2 und damit a 1 S 1 S 2. 13

14 Untergruppen: Satz: Sei S, eine endliche Gruppe und a S. Dann ist a 0, a 1,, a ord a 1, eine Untergruppe von S,. Beweis: Folgt sofort aus a 0 = a ord(a) = e. 14

15 Nebenklassen: Definition: Sei H = T, eine Untergruppe von G = S, und sei b S. Dann heißt T b: = c b c T =: H b eine rechte Nebenklasse von H in G und b T: = b c c T =: b H eine linke Nebenklasse von H in G (engl. coset). Der Index ind G (H) von H in G ist die Anzahl von verschiedenen linken Nebenklassen von H in G. 15

16 Nebenklassen: Beispiel: H = 0,3,6,9, + 12 bildet eine Untergruppe von Z 12, + 12 mit drei verschiedenen Nebenklassen: 0 H = 3 H = 6 H = 9 H = {0,3,6,9}, 1 H = 4 H = 7 H = 10 H = {1,4,7,10}, 2 H = 5 H = 8 H = 11 H = {2,5,8,11}. 16

17 Nebenklassen: Satz: Sei H Untergruppe von G. Dann bildet die Menge der rechten (linken) Nebenklassen von H eine Partition (Zerlegung in disjunkte Teilmengen) von G. Beweis: Zuerst zeigen wir H h = H für alle h H. H h H, weil H abgeschlossen bzgl. ist. Sei nun h H beliebig. Es gilt h h 1 H und daher h = h h 1 h = h h 1 h H h. 17

18 Nebenklassen: Beweis (Fort.): Wir zeigen nun: G a G H a. Folgt aus e H. Wenn H a H b, dann H a = H b: Aus H a H b folgt, dass es h 1, h 2 H gibt mit h 1 a = h 2 b. Dann: H b = H h 2 1 h 1 a = H a. 18

19 Nebenklassen: Satz (Lagrange): Sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe von G. Es gilt: (1) Alle Nebenklassen von H in G haben gleich viele Elemente. (2) G = ind G (H) H. (3) H teilt G. Korollar: Sei G eine endliche Gruppe und sei a ein Element von G. Es gilt: ord a teilt G. 19

20 Nebenklassen: Beweis: (1) Aus der Injektivität von folgt H a = H für alle a G. (2) Folgt aus (1) sowie dem letzten Satz. (3) Folgt aus (2). 20

21 Multiplikative Gruppen modulo n: Z 4 {0}, 4 und Z 9 {0}, 9 sind keine Gruppen (2 bzw. 3 haben kein inverses Element. Sei Z n die Menge der Zahlen i {1,, n 1}, die teilerfremd zu n sind: Z 4 = {1,3}, Z 5 = {1,2,3,4}, Z 9 = 1,2,4,5,7,8. Wir zeigen, dass Z n, n immer eine Gruppe ist. Man nennt sie die multiplikative Gruppe modulo n. Wir brauchen einen Exkurs über größte gemeinsame Teiler. 21

22 Größter gemeinsamer Teiler: Definition: Seien x, y N. Der größte gemeinsame Teiler ggt(x, y) von x und y ist die größte natürliche Zahl, die sowohl x als auch y teilt. Mit y x ( y teilt x ) bezeichnen wir, dass x mod y = 0 ist. Fakt: x und y sind teilerfremd gdw. ggt x, y = 1. 22

23 Größter gemeinsamer Teiler: Satz: Seien x, y N mit x y. (1) Wenn (y mod x) = 0, dann ggt x, y = x. (2) Wenn (y mod x) > 0, dann ggt x, y = ggt y mod x, x. 23

24 Größter gemeinsamer Teiler: Beweis: (1) Klar. (2) Es gilt y = y mod x + y x x. Daraus folgt für alle z N: (z x und z y) gdw. (z x und z (y mod x)). (Zur Erinnerung: z x bedeutet z teilt x.) Damit haben (x, y) und (x, y mod x) dieselben gemeinsamen Teiler, und so insbesondere ggt x, y = ggt y mod x, x. 24

25 Größter gemeinsamer Teiler: Der Satz führt zum Euklidischen Algorithmus zur Berechnung vom ggt zweier Zahlen: Procedure ggt (x, y N mit x y) if (y mod x) = 0 then return x; else return ggt(y mod x, x); (Euklid von Alexandria, ca v. Chr.) 25

26 Größter gemeinsamer Teiler: Satz: Seien x, y N. Es gibt a, b Z mit ggt x, y = ax + by. Beweis: Durch Induktion über max{x, y}. Basis: max x, y = 1. Dann x = 1 = y und ggt x, y = 1 = 1 x + 0 y. Schritt: max{x, y} > 1. O.B.d.A. sei x y. Wir betrachten zwei Fälle. Fall 1: (y mod x) = 0. Dann ggt x, y = x = 1 x + 0 y. 26

27 Größter gemeinsamer Teiler: Fall 2: y mod x > 0. In diesem Fall gelten x < y und ggt(x, y) = ggt(y mod x, x). Wir haben max x, y mod x = x < y max x, y. Nach Induktionsannahme gibt es a, b Z mit ggt x, y = ggt y mod x, x = a y mod x + b x. Mit y mod x = y ggt(x, y) = a (y y x x erhalten wir = (b y x x) + b x y x a ) x + a y. 27

28 Größter gemeinsamer Teiler: Der Beweis des Satzes führt zu einem Algorithmus für die Berechnung der Zahlen a und b, dem erweiterten Euklidischen Algorithmus: Procedure erwggt(x, y N mit x y) if (y mod x) = 0 then return (1, 0); else a, b erwggt(y mod x,x); a, b (b y x a, a ); return (a, b); 28

29 Größter gemeinsamer Teiler: Beispiel mit x = 45, y = 63: ggt 45,63 9 = = = ggt(18,45) 9 = = = ggt 9,18 9 = = 9 29

30 Multiplikative Gruppen modulo n: Satz: Z n, n ist eine Gruppe für alle n 1. Beweis: Wir zeigen, dass jedes x Z n ein inverses Element hat. Sei x Z n beliebig. Es gilt ggt(x, n) = 1. Der erwggt berechnet a, b Z mit ax + bn = 1. Es gilt also a n x + n b n n = 1. Aus b n n = 0 folgt a n x = 1. Wähle x 1 a mod n. 30

31 Multiplikative Gruppen modulo n: Korollar: Sei φ n = Z n. Ist n Primzahl, dann gilt φ(n) = n 1. 31

32 Zyklische Gruppen: Definition: Eine Gruppe S, heißt zyklisch, wenn es ein a S gibt, sodass S = {a i i Z}. Ein Element a mit S = {a i i Z} nennt man erzeugendes Element der Gruppe. Beispiele: Z, + und Z n, + n sind zyklisch. Aufgabe: Erzeugendes Element? 32

33 Zyklische Gruppen: Definition: Ein Isomorphismus zwischen zwei Gruppen S 1, 1 und S 2, 2 ist eine Bijektion f: S 1 S 2 mit f a 1 b = f a 2 f(b) für alle a, b S 1. Zwei Gruppen sind isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Beispiel: Die Bijektion 0,, 3 {1,, 4} mit 0 1, 1 2, 2 4, 3 3 ist ein Isomorphismus zwischen Z 4, + 4 und Z 5 {0}, 5. 33

34 Zyklische Gruppen: Satz: Sei G = S, eine zyklische Gruppe. (1) Ist S unendlich, dann ist G isomorph zu Z, +. (2) Ist S endlich, dann ist G isomorph zu Z S, + S. Beweis: (1) Sei G zyklisch und unendlich. Es existiert a S mit S = {a i i Z}. Wir zeigen: Die Abbildung f: Z S definiert durch f i = a i ist ein Isomorphismus zwischen G und Z, + : 34

35 Zyklische Gruppen: Beweis (Fort.): f ist surjektiv: Folgt aus der Definition einer zyklischen Gruppe. f ist injektiv: Wäre f nicht injektiv, dann gäbe es i, j mit i > j und a i = a j. Dann wäre a i j = e und somit S a 0,, a i j 1, im Widerspruch zur Annahme, dass S unendlich ist. i, j Z : f i + j = f i f j : Es gilt: f i + j = a i+j = a i a j = f i f j. 35

36 Zyklische Gruppen: Beweis (Fort.): (2) Sei G zyklisch und endlich mit G = m. Analog zu (1): Es existiert a S mit S = {a 0, a 1,, a m 1 }. Beweisskizze: Die Abbildung f: {0,1,, m 1} S definiert durch f i = a i ist ein Isomorphismus zwischen G und Z m, + m. Details analog zu (1). 36

37 Symmetrische Gruppen: Definition: Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung einer endlichen Menge auf sich selbst. Sei U n die Menge aller Permutationen 1,, n {1,, n}. Die symmetrische Gruppe für n Elemente ist die Gruppe S n = U n,, wobei die Komposition von Abbildungen bezeichnet. 37

38 Für n = 3 enthält S 3 sechs verschieden Permutationen: (1)(2)(3) (1)(23) (12)(3) (13)(2) (123) (132) (1)(2)(3) (1)(2)(3) (1)(23) (12)(3) (13)(2) (123) (132) (1)(23) (1)(23) (1)(2)(3) (132) (123) (13)(2) (12)(3) (12)(3) (13)(2) (123) (132) 38

39 Praktische Anwendungen in der Informatik: Lineare Modelle Lineare Gleichungssysteme Zahlreiche Varianten des Euklidischen Algorithmus Rechnen mit Booleschen Werten und Operationen Basis von Verschlüsselungsverfahren 39