~n - f =- (R' - r/)2,

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1 44 7. By fitting the submatrices Y n m together we can now obtn a solution to the matrix equation Bs Y= YBT where Bs and BT are the rational canonical forms of the matrices S and T respectively. Suppose then that W - S W = Bs and that Z- T Z=BT. t follows that X = W Y Z - is a solution to the matrix equation SX=XT. The solution to the problem has now been given. Mathematics. - Eine obere Grenze für das isoperimetrische Defizit einer ebenen Kurve. Von O. BOTTEMA. (Communicated by Prof. W. VAN DER WOUDE.) (Communicated at the meeting of April 9, 1933). st p der Umfang, (der Flächeninhalt einer ebenen Kurve, 50 besteht die Ungleichung ~ - f =:'::: O 4n - -, wobei das Gleichheitszeichen nur für den Kreis gilt. Schon vor längerer Zeit hat F. BERNSTEN ) eine Verschärfung dieser isoperimetrischen Ungleichung gegeben, wobei im rechten Glied statt der Null eine Zahl steht, welche positiv ausfällt für jede Kurve, welche kein Kreis ist. Eine weitere Verschärfung ist das Ziel einer Reihe von Arbeiten von BONNESEN ) gewesen. Sein Hauptresultat ist dabei die Ungleichung P4- - ;;z { =- (R - r), wo R den Radius des kleinsten die Kurve enthaltenden Kreises, r den Radius des grössten der Kurve einschreibbaren Kreises bedeutet. Darüber hinaus hat BONNESEN gezeigt ~n - f =- (R' - r/), ) F. BERNSTEN, Math. Ann. 60 (1905), S ) Vgl. i. B. : Math. Ann, 8. (191), S. 16 ; Math. Ann. 9\ (19.), S. 5 ; Acta Math 8 (196), p. 13.

2 443 WO R' und r' die Radien des kleinsten konzentrischen Kreisringes sind. welcher die Kurve in sieh schliesst. Das Gleichheitszeiehen gilt dab ei immer nur für den Kreis. Daneben hat man auch gewisse obere Grenzen für den Ausdruck ~n - f (welchen wir mit BONNESEN als isoperimetrisches Defizit der Kurve be~ zeiehnen) ableiten können. So bewies KUBOTA ) für Eikurven die Ungleichung: l?~ - f -= ~ d 'n - n. wo d den Durchmesser der Kurve bedeudet. während F AV ARD ) Beziehung ~n - f -==- n R' (R' - r'j die abgeleitet hat. Wir beweisen den folgenden Satz : Hat eine Eikurve mit dem Umfang p und dem Flächeninhalt f in jedem Punkt einen Krümmungsradius und sind el und e dessen obere. bzw. untere Grenze, so ist wobei das Gleichheitszeichen nur gilt für den Kreis. Wir betrachten zwei ebene konvexe Polygone. A A An und B B Bn wo die Seiten A A i+ und Bi Bi+ gleiehsinnig parallel sind. Der durch A A An festgelegte Umlaufsinn sei der positive. Mit den zwei konvexen Bereiehen A und B können wir die lineare Schar C (1) = (1-1) A + 1 B bilden. Dabei verstehen wir unter C (1) ein Polygon Cl C C n wo C ein auf der Geraden A Bi liegender Punkt ist. soda ss C Ai : C Bi = (1-1) : 1. Die Seite C C + liegt offenbar auf einer Geraden. welche mit Ai Ai+ und Bi Bi + parellel ist. Hat Ai die Koordinaten Xi' Y i Bi die Koordinaten x;. y;. dann hat Ci die Koordinaten ~ ' = (1-1) X + 1 x; ) KUBOTA. Science Rep. of the Töhoku mp. Univ. 13 (193); The T6hoku Matb. J. Vol. H (195). pg. 60. ) FAVARD. Matematisk Tidsskrift B (199). pg. 6.

3 444 Die Flächeninhalte der Polygone A und B sind bzw.: n F =t (Xi Yi+-X+ Yi) Für den lnhalt von C erhält man wo den von BRUNN und MNKOWSKl) herrührenden gemischten Flächeninhalt der beiden Bereiche bedeutet. Für diesen letzteren gilt bekanntlich die fundamentale Ungleichung wo das Gleichheitszeichen nur gilt, wenn die zwei Bereiche homothptisch sind. Diese Ungleichung sàgt aus, dass der lnhalt F (À) nicht für jeden Wert von À positiv ist. Wenn man mit der hier angewandten Methode ei ne untere Grenze für das isoperimetrische Defizit herleiten will. so hat man wie es von BLASCHKE ) und im wesentlichen auch von BONNESEN getan ist, verschiedene Werte von À anzugeben, wobei F (À) == 0 ist. Wir suchen dagegen nach solchen Werten von J" wobei F (l) =- ausfällt. Es ist klar, dass für 0 :::; À::S; 1 der Wert F (À) positiv ist; C (À) ist dann nämlich ein konvexes Polygon dessen Seiten mit den übereinstimmenden von A und B gleiehsinnig parallel sind. Wenn die Längel" der Seiten A Ai+ und Bi Bi+ mit und a'i bezeichnet werden, so findet man für die Länge von Cl C i+ : wenn man für die Verbindungsgerade von C und C i+ die Richtung Ai Ai+ als die positive wählt. Es gibt also immer solche Werte von À, wobei a;' == 0 ist; er geht daraus eb en die Möglichkeit hervor, dass F (J.) negativ wird. Anderseits ist aber gewiss F (À) :=:: 0, wenn für jeden Wert von i a;' =- 0 ist. Wählt man aber J, so, dass für jeden Wert von i die Zahl a;' negativ ausfällt, dann ist das Polygon C (À) ein solches, dessen Seiten sämtlich mit denen von A und B ungleichsinnig parallel sind. C (l) ist dann aber wieder ein konvexes Polygon, wobei der Umlaufsinn Cl C C n der positive ist, d.h. wir haben abermals F (l) =- O. ) MNKOWSK. Volumen und Oberfläche, Ges. Abh. 11, S. 30. ) BLASCHKE, Hamb. Abh. (19), S. 06.

4 445 also wo Wir setzen À- t l. F(.l.) =). f(t). Mit Ausnahme des Wertes Je = O. wo F()') den positiven Wert F hat. sind Fund f gleichzeitig > O. = 0 und < o. Wenn 0 < ). ::s; 1 dann ist t ::S; O. Die Form f(t) ist also positiv für negative Werte von t. Weiter ist f(t) =- O. wenn (i = n) also wenn und wenn t ~ 1 und gleichzeitig t -=::: ~ - :-:>-- al t =- 1 un d 91 eic h zei tig t -- ~ f (t) ist aber auch =- O. wenn also wenn und auch wenn 1 =- t =- a 'i - - (i = n) Wir haben also d.h. f(t) ~ 0 l-=:::t ~ ~, wenn t -= a-, - al, f(t) =- 0 wenn t =- ~ (i = n) - al (i = n) f (t) =- 0 wenn t -= min. ~ B, 1 f(t) =- 0 wenn t - max. ~.

5 446 Die Differenz der Nullstellen von f(t) ist ~ die folgende Ungleichung erhalten haben: F [,, l -= 1 at. a, F 1 - P P = - max. - - mm. - 4 a, a, J V F; - P F sodass wir Dabei sind und a; übereinstimmende Seiten der Polygone A und B. Diese Seiten verhalten sich aber wie die Radien ei und e; der Kreise. welche bzw. die Seiten Ai- Ai. Ai Ai+. Ai+ Ai+ und Bi- Bi. Bi Bi+. Bi+ Bi+ an der nnenseite des Polygons berühren. Wir haben also p [,, J ~ 1 (!i. P ei - P P =- max. - -mm.- 4 ei ei WO (!i und e; die Radien übereinstimmender Berührungskreise der Poly~ gone sind. Wenn in den Ungleichungen das Gleichheitszeichen gilt. so ist dabei notwendig f (max. ~ ') =0 d.h. also dass das Polygon C (J,) den Flächeninhalt Null hat. wenn À so gewählt wird. dass eine Seite null ist. und die anderen nicht negativ sind. Für diesen Wert von À. sind also die Seiten sämtlich nul!. Für jeden andren Wert von À sind sie also entweder sämtlich positiv oder negativ. Die Funktion f(t) hat also nur eine Nullstelle. d.h. P~ - P P = 0 und die Polygone sind homothetisch. Wir können nun die abgeleitete Ungleichung auf beliebige konvexe Kurven übertragen. indem wir sie anwenden auf eine Reihe den Kurven umschriebener Polygone mit wachsender Seitenzah!. Die Werte ei und e; nähern sich dabei den Radien der Krümmungskreise in übereinstimmenden Punkten der Kurven. d.h. in Punkten mit gleichsinnig parallellen Tangenten. Wenden wir die Ungleichung an in dem Fall. dass die Kurve A der Einheitskreis ist. dann wird P bekanntlich gleich t p wo p der Umfang von Bist. P wird n. die Zahlen e werden sämtlich 1. Schreiben wir f statt P und deuten wir max. r/ mit el. min. e' mit e an. so er~ halten wir wobei das Gleichheitszeichen nur gilt. wenn die Kurve ein Kreis ist.