Signale und Systeme. Analoge Signale und Systeme. Bachelorstudiengänge Nachrichtentechnik Telekommunikationsinformatik

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1 Sigl ud Sysm Alog Sigl ud Sysm Bchlorsudigäg Nchrichchik Tlkommuikiosiformik rof. Dr.-Ig. Is Rr Lizig, Aril 8

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3 Erklärug ds Auors Erklärug ds Auors Dr vorligd T rich sich Sud ds Sudiggs Tlkommmuikiosiformik. Dr Ihl folg dm Curriculum dr Fchhochschul Lizig i dr Fssug vom Juli 999. Zum Brbi diss Sudis gl di glich Afordrug di Vorbildug wi zur Aufhm ds Frsudiggs. Dr Eisz diss Sudis is ur sivoll i Vrbidug mi Tuori odr vrglichbr Vrslug, di vo uorisir Lhrvrworlich durchgführ wrd. Dr vorligd Sudi is usschlißlich zur Nuzug im Frsudium wickl. Ei Vrwdug drr Ar is ich bbsichig. Di Widrgb vo Gbruchsm, Hdlsm, Wrzich usw. i dism Sudi brchig uch oh bsodr Kzichug ich zu dr Ahm, dss solch Nm im Si dr Wrzich- ud Mrkschuzgsz ls fri zu brch wär ud dhr vo drm buz wrd dürf. Dr Ihl ds Sudis wurd sorgfälig rrbi. Doch übrhm Auor ud chisch Rdkio für di Richigki vo Agb ud Hiwis sowi für vull Druckfhlr ki Hfug.

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5 Eiliug Eiliug Di Sysmhori bhdl d brch Koml vo Nur- Erschiug riziill ch dm glich Grudschm, ws ürlich uf i wir Hbug dr Absrkiossuf, br uch uf i ußrordlich Vrihilichug ud Vrglichbrki dr Bschribug chischr, ökoomischr, hysiklischr rozss hiusläuf. [] Si is i Bsdil dr Kybrik, dr Bgrüdr Norbr Wir is. Dr Ggsd ud ds Zil dr Kybrik sid druf grich, i ihilich Bgriffswl ud Brchugswis vo rozss i d vrschids Brich zu schff ud Vrfhr zur Bschribug vo rozss ud Lösug komlizirr rozssufgb zu wickl. Di sysmhorisch Ausbildug is uf di Bfähigug dr Sudird grich, isbsodr lkrisch Sigl ud Sysm im Zi-, Bild- ud Frquzbrich zu lysir ud zu buril. Mi d Bschribugsmhod wird ih i Hdwrkszug zur Vrfügug gsll, ds si bfähig, ich ur di Erschiug dr Kommuikioschik zu ursuch, sodr uch Vorgäg drr Fchgbi, wi z.b. Iformios-, Mß- ud Rglugschik, bssr zu durchschu. D Simuliosrogrmm si Jhr mhr ud mhr zum owdig Wrkzug wrd ud di Vilschichigki disr Wrkzug zuimm, soll Frigki mi dm Umgg ds Simuliosrogrmms MATLAB rworb wrd, um rchisiv Aufgb mi ihm zu lös.

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7 Ihlsvrzichis - I - Ihlsvrzichis Eiliug I Ihlsvrzichis I Formlzich Hiwis zum Simuliosrogrmm MATLAB 3 Eiordug dr log Sigl ud Sysm 5. Eiliug...5. Eiilug dr Sigl Ausgwähl log Sigl Eigschf vo Sysm...4 Alog Sysm 9. Eiliug...9. Bschribug logr Sysm im Zibrich Diffrilglichug Bschribug logr Sysm im Zi- ud im Bildbrich Eiliug Llc-Trsformio Lösug vo Diffrilglichug mils Llc-Trsformio Übrrgugsfukio Drsllugsform dr Übrrgugsfukio Sysmrkio uf szill Tssigl Grudübrrgugsglidr Sbiliä Flug Bschribug vo Sysm im Frquzbrich Eiliug Frquzgg Frquzklii ud Orskurv Frquzgg vo Grudübrrgugsglidr Frquzgg bi zusmmgschl Übrrgugsglidr Alog Sigl Eiliug...77

8 - II - Alog Sigl ud Sysm 3. Skrldrsllug riodischr Sigl Eiliug Rll Form dr Fourir-Rih Amliudform dr Fourir-Rih Koml Form dr Fourir-Rih Zusmmhg zwisch d Drsllugsform dr Fourir-Rih Skrldrsllug ichriodischr Sigl Eiliug Fourir-Trsformio Fourir-Trsformio usgwählr Sigl Fourir-Drsllug vo Sysm Übrrgug vo Sigl us Sich dr Skrlbiflussug... 4 Ahg 9 Eiführug i MATLAB... 9 Eiliug... 9 Toolbo Simulik... 3 Commd Widow Edior/Dbuggr Zusmmsil vo Simulik ud Commd Widow bzw. Edior/Dbuggr Ausgwähl MATLAB-Bfhl... 5 MATLAB m-fils... 8 Bisil.8 ud Bisil Korrsodz dr Llc-Trsformio... 3 Korrsodzbll Fourir-Trsformio... 3 Übrrgugsfukio is bschl Oriosvrsärkrs ivrird Übrrgugsfukio is bschl Oriosvrsärkrs ichivrird Lösug 35 Lirurvrzichis 47

9 Formlzich - - Formlzich rg G hsgg rg X hsskrum rg X diskrs hsskrum δ Dirc-Imuls ε Eihissrug ϕ hsgg f Frquz F{...} Fourir-Trsformir F - {...} Fourir-Rückrsformir g Gwichsfukio G Frquzgg G Amliudgg G Übrrgugsfukio h Übrggsfukio K rooriol Übrrgugskos K I igrird Übrrgugskos K D diffrzird Übrrgugskos L{...} Llc-Trsformir L - {...} Llc-Rückrsformir Llc-Oror Zi τ Grulufzi T rioddur T i Zikos Vrzögrugszi T D Zikos Vorhlzi Krisfrquz, X Sigl, X Eiggssigl, X Ausggssigl X Frquzskrum X Amliudskrum X diskrs Frquzskrum X diskrs Amliudskrum

10 - - Alog Sigl ud Sysm

11 Hiwis zum Simuliosrogrmm MATLAB Hiwis zum Simuliosrogrmm MATLAB Aus dr Lhrihi Mhmik is Ih scho ds Comur-Algbrsysm Mhcd bk, ds für di Bhdlug vo Aufgbsllug uf d vrschids mhmisch Gbi wickl wurd. Dss dis ich ds izig mhmisch oriir rogrmm is, wird bk si. I disr Kursihi wird ds Simuliosrogrmm MATLAB vrwd. Es bsh us im Grudbusi, dr ds Lös mhmischr Aufgbsllug ursüz sowi us divrs, ufbud Tools, di für urschidlich Awdugsgbi wickl wurd ud di dfür owig mhmisch Mhod scho wdugsbzog brisll. Di Tools Simulik ud Siglrocssig wrd b MATLAB bi dr Lösug ir Vilzhl vo Aufgb hrgzog. Nb d zur CD miglifr Hdbüchr sid di Srhilf für Eisigr ch [3] ud di im Ahg brigsll Eiführug i MATLAB zu mfhl. Für di im Lhr mi MAT- LAB bsroch Bisil bfid sich im Ahg di zughörig rogrmm, so dß di Nchvollzihbrki gwährlis is sowi i Hilfsllug für di igsädig zu lösd Aufgb ggb wird.

12 - 4 - Alog Sigl ud Sysm

13 Eiordug dr log Sigl ud Sysm Eiordug dr log Sigl ud Sysm. Eiliug Di Übrrgug vo Nchrich bruh uf dr Vrrbiug vo Sigl i Übrrgugssysm. Dbi is ds Sigl dr hysiklisch Trägr dr Nchrich ud i dr Nchrich slbr sid Iformio igb. Übrrgugssysm bzw. Sysm llgmi sid i chisch, ökoomisch, biologisch ud sozil Brich zu fid; im wir wrd vor ll Dig chisch Übrrgugssysm bsroch. Dr Übrrgugswg ir Nchrich vo ir Qull bis zur Sk sz sich us d im Bild. drgsll Komo zusmm. Sörqull Nchrich- Aufh- m- Wdlr Sdr Übrrgugskl Emfägr Widr- gb- Wdlr Nchrich- Bild.: Nchrichk Di izl Komo sid Übrrgugssysm, di ufgrud ihrr szill Eigschf Sigl übrrg, wdl ud/odr vrrbi. Brch m z. B. di Tlfoi, so wird ds ursrüglich kusisch Sigl i i lkrischs gwdl ud umgkhr. Wirhi k ds Sigl uf dm Übrrgugswg gsör ud vrzrr wrd, d sid srchd Sysm zur Urdrückug vo Sörsigl ud Ezrrr owdig, um im Emfägr di Rückgwiug ds gsd Sigls mi ur grigfügig Fhlr zu gwährlis. Di Übrrgug, Wdlug ud Vrrbiug vo Sigl k mi log odr digil Sysm rfolg. Nimm m us dr Nchrichk

14 - 6 - Alog Sigl ud Sysm Bild. ur i Komo, so h m i Sysm mi im Ei- ud im Ausggssigl Bild.. Sysm Bild.: Alogs Sysm mi Ei- ud Ausggssigl Ei- ud Ausggssigl sid log Sigl, d.h. zu dm Ziuk is gu i Fukioswr vorhd. Ds Eiggssigl wird i Abhägigki vo Sysmigschf ud Sysmvrhl vrrbi. Ds im Bild. drgsll Sysm k vrschidrigs rlisir si, di Sigl kö hisichlich ihrr hysiklisch Bschribug bso vrschid si. Ei Sysmvri wär z.b. di Hizug is Rums; bi kosr Ergizufuhr Eiggssigl ir Hizugslg ädr sich llmählich di Rummrur Ausggssigl bis zu im bsimm Wr. Ei dr Sysmvri, di bi im srchd kos Eiggssigl ds ob drgsll Ausggssigl lifr, is i RC-Glid, uch ur dr Bzichug Tifss bk. Diss RC-Glid wird bi dr mhmisch Bschribug i dism Lhrbrif of ls Bisil hrgzog.. Eiilug dr Sigl Ei Sigl is di hysiklisch Drsllug ir Nchrich, ds hiß Trägr disr Nchrich, wobi di ubhägig Größ is Sigls zilich ud/odr örlich vrädrbr si k. I d folgd Brchug wrd usschlißlich zilich Ädrug is Sigls bsroch ud druf ufbud di skrl bzw. frquzmäßig Zusmmszug is Sigls. Di Rduzirug uf zilich Sigl läß immr och i groß Silrum, dshlb is s sivoll, i Eiilug dr Sigl vorzuhm, um di Klss dr Sigl, di ur dm Bgriff log zu vrsh sid, gur zu

15 Eiordug dr log Sigl ud Sysm chrkrisir. I d chfolgd Abschi wrd i Eiilug dr Sigl ud usgwähl log Sigl vorgsll. Nb dr Bschribug im Zibrich, dm Origilbrich, is di skrl Zrlgug vo Sigl i wslich Bschribugsvri, um di Frquzil is Sigls zu lysir. Di Drsllug ds Frquzskrums is Sigls rfolg im Frquzbrich ud bruh uf d bk Mhod dr Fourir-Rih ud ds Fourir-Igrls. Di Bschribug im Frquzbrich is i Szilfll dr Bschribug im so g Bildbrich. Auf dis bid Bschribugsmöglichki wird dillir im Kil dri iggg. Um scho us dr Schribwis ds Sigls di Bschribug im Zi-, Bildodr Frquzbrich rk zu kö, wrd folgd Vribrug groff. Im Zibrich wrd für di Sigl Klibuchsb vrwd ud di ubhägig Größ is di Zi, z.b., u, i. Im Bild- ud Frquzbrich vrwd m Großbuchsb, wobi di ubhägig Vribl, di Frquz f ud di Krisfrquz sid, z. B. X X ; X f. Di Eiilug dr Sigl wird hisichlich vrschidr Gsichsuk vorgomm. Ei Gsichsuk is di zilich Bsimmbrki ds Aufrs is Sigls. M urschid drmiisisch ud sochsisch Sigl. Drmiisischs Sigl: Ds Sigl is für d Ziuk iduig bsimmbr. Zur Bschribug diss Sigls wrd lyisch Ausdrück ud Algorihm vrwd. Sochsischs Sigl: Ds Sigl is zufällig. Bi dr Bschribug diss Sigls fid di Mil ud Mhod dr Whrschilichkisrchug Awdug. Ei drr Gsichsuk is di Vrfügbrki dr Iformiosrmr, dmi is di zilich Vrfügbrki ud di Vrfügbrki dr Fukioswr gmi. Hisichlich dr zilich Vrfügbrki urschid m zikoiuirlich ud zidiskr Sigl.

16 - 8 - Alog Sigl ud Sysm Zikoiuirlichs Sigl: Ds Sigl is zu dm blibig Ziuk dfiir. Zidiskrs Sigl: Ds Sigl is ur zu bsimm Ziuk dfiir. Ählich vrhäl s sich bi dr Vrfügbrki dr Fukioswr. Wrkoiuirlichs Sigl: Ds Sigl k d blibig Fukioswr hm. Wrdiskrs Sigl: Ds Sigl imm ur gz bsimm Fukioswr. Aus dis Urschidug dr Vrfügbrki dr Iformiosrmr lss sich vir Kombiio vo Sigl bli, di i Tbll. zusmmgfss sid. Tbll.: Eiilug dr Sigl ch dr Vrfügbrki dr Iformiosrmr zikoiuirlich zidiskr wrkoiuirlich logs Sigl zidiskrs Sigl kt A rigisdiskrs Sigl digils Sigl q q wrdiskr kt A

17 Eiordug dr log Sigl ud Sysm Di Sigl, uf wlch sich di folgd Abhdlug bzih, sid drmiisischr Nur ud s sid zi- ud wrkoiuirlich odr kurz log Sigl. Wi us Tbll. rsichlich, is i logs Sigl i Sigl, ds zu dm Ziuk dfiir is ud miss durch i Fukiosglichug mhmisch bschribbr is f..3 Ausgwähl log Sigl Bi dr Bschribug dr folgd Sigl wurd di usgwähl, di üblichrwis ls Tssigl für di och vorzuslld log Sysm vrwd wrd. Es hdl sich im wslich um solch Sigl, di rs vo im bsimm Ziuk zu wirk bgi. Dis schi zwr logisch zu si, bdu br für di mhmisch Bschribug, dss dis sückwis zu rfolg h bzw. für bsimm Sigl dis sückwis Bschribug durch ihr Bzichug imlizir wird. Eihissrug ε für > für < Dr Wr ε k udfiir blib odr mi ε/, ε odr ε fsglg wrd. Vrschobr Eihissrug ε für > für < Bild.3: Eihissrug ud vrschobr Eihissrug

18 - - Alog Sigl ud Sysm Rmfukio r für für < Rchckfukio für < rc sos ε ε Bild.4: Rmfukio ud Rchckfukio Dirc-Imuls Di Bzichug diss Sigls wurd zu Ehr ds Noblrisrägrs ul Adri Muric Dirc gwähl. Dr Dirc-Imuls, uch Dl-Fukio g, fäll us dm Rhm dr Ih bis dhi us dr Mhmik bk Fukiosdfiiio ud wird dhr vo sir Hdhbug fgs ugwöhlich si. Disr Dirc-Imuls h br i imms Bduug i dr Sysmhori, so dss uf ih ubdig iggg wrd muss, zuml r im wir Vrluf ss ud sädig gwd wird. Disr Imuls soll zuächs schulich rklär wrd. / Dirc-Imuls is dr Grzwr dr Rchckfukio für δ Bild.5 : Grzübrgg vo dr Rchckfukio zum Dirc-Imuls

19 Eiordug dr log Sigl ud Sysm - - Di Dimsio ds Dirc-Imulss srich gu dr rzirok Dimsio dr ubhägig Vribl, z.b. Dimsio ds Dirc-Imulss /Zi. M sll sich i Rchckfukio mi dr Höh / ud dr Bri vor. Di Fläch disr Fukio mi dr Absziss bräg gu is. Vrrigr m u bi glich blibdm Flächihl, so wird di Rchckfukio schmlr ud höhr. Läss m u gg ull srb, d wird di Bri dr Rchckfukio ifiisiml kli ud di Höh udlich, wobi vorusszugsgmäß di Fläch glich blib. Dis m d Dirc-Imuls δ. δ lim rc für für für < mi > Dr Dirc-Imuls δ is im hrkömmlich Fukiossi ich mhr zu rklär. Es isir ki iduig Zuordugsvorschrif, dshlb wird dr Dirc-Imuls δ ls vrllgmir Fukio odr Disribuio dfiir. D Bgriff Disribuio k m sich wi folg vrschulich: Es wird i sig Tsfukio f gwähl. Di Disribuio wird u ls rozss ufgfss, durch d us dr Tsfukio i bsimmr Fukioswr omm wird. δ f Führ m u folgd Orio us Bild.6 : Dirc-Imuls ud Tsfukio δ τ f τ dτ, d bld dr Dirc-Imuls δ us dr Tsfukio f dr Sll d Fukioswr dr Tsfukio f us. Dis Igrlbzihug wird uch ls Ausbldigschf ds Dirc-Imulss bzich. δ τ f τ dτ f llgmi δ τ f τ dτ f

20 - - Alog Sigl ud Sysm Brch m di szill Tsfukio f, d lifr di Igrlbzihug δ d d Flächihl ds Dirc-Imulss. Lig u i vrschobr Dirc- Imuls δ- V vor, so wird us dr Tsfukio f dr Sll V dr Fukioswr f V usgbld. Hrmoisch Schwigug Di Elmrform riodischr Sigl is di hrmoisch Schwigug. Si wird i rllr ud komlr Form drgsll. Bi dism Sigl wird dvo usggg, dss s vo - < < isir. Rll Form Acos ϕ Amliud Nullhswikl Krisfrquz πf π/t Bi dr grfisch Drsllug is zu bch, wlch Größ ls ubhägig Größ ufgfss wird. A ϕ π ο A ϕ T Bild.7: Hrmoisch Schwigug bi urschidlich ubhägig Größ

21 Eiordug dr log Sigl ud Sysm Wird vrwd, is di riod ss π ud di ubhägig Größ is mßihislos. Wird vrwd, bräg di riod T ud di ubhägig Größ h di Mßihi dr Zi. Di chfolgd Brchug bzih sich immr uf di Zi ls ubhägig Vribl. Koml Form Di rll Schwigug Acos. ϕ wird mhmisch forml us zwi koml Schwigug mi d Frquz > ud - < zusmmgsz. Bi Awdug dr Eulrsch Forml rgib sich cos cos cos si si Wd m dis Übrlgug uf di obig rll Schwigug Gl.., so wird di hrmoisch Schwigug di koml Form hb. A ϕ ϕ Im ϕ ϕ A A ϕ ϕ R Bild.8: Hrmoisch Schwigug ls Addiio zwir komlr Schwigug Aschulich usgdrück, wird di rll Schwigug durch zwi i dr Gußsch Zhlb gggsz umlufd Zigr drgsll, wobi di Zi di Vrädrlich is. Bi Addiio dr Zigr zu bsimm Ziuk rgib sich dr rsulird Zigr zu dism Ziuk. Dr rsulird

22 - 4 - Alog Sigl ud Sysm Zigr lig usschlißlich uf dr rll Achs, si Läg is dr Fukioswr dr rll Schwigug zum brch Ziuk..4 Eigschf vo Sysm Sysm di dr Siglübrrgug, -wdlug ud vrrbiug. Si kö vrschids Eigschf hb. Ur Brücksichigug dr Eigschf vo Sysm wrd vrschid Bschribugsmöglichki gwd, im Kil zwi wrd solch bsroch, di hir mi im vrrbr mhmisch Aufwd zu brch sid. Es wrd ur Sysm mi im Eigg ud im Ausgg brch. Sysm Bisil.: Schliß m d Eigg ds Sysms i idl Sugsqull ud lg i kos Glichsug fs, d ädr sich ds Ausggssigl bis s d Wr ds Eiggssigls rrich. Wird dr Wr dr glg Glichsug gädr, so ädr sich uch dr sioär Edwr ds Ausggssigls. Wird ds Ausggssigl im sioär Zusd i Abhägig Sischs Vrhl Es wird di Abhägigki zwisch im kos Eiggssigl ud dm Ausggssigl ch dm Abklig llr Übrggsvorgäg bschrib. Di sisch Klii sll ds sisch Vrhl odr ds Bhrrugsvrhl is Sysms grfisch dr. Ahd is RC-Glids wrd di vrschid Eigschf vrdulich. R u C u Bild.9: RC-Glid

23 Eiordug dr log Sigl ud Sysm ki ds Eiggssigls grfisch drgsll, h di Klii i lir Vrluf mi dm Asig vo is. U U Bild.: Sisch Klii is RC-Glids Dymischs Vrhl Es wird dr zilich Vrluf ds Ausggssigls bi ggbm Eiggssigl bschrib. Bisil.: A d Eigg ds RC-Glids wird i Sugssrug glg. u u U U u / RC U ε u U für Bild.: Ei- ud Ausggssigl ds RC-Glids Lir ud ichlir Sysm Für lir Sysm gil ds Übrlgrugs- bzw. Surosiiosrizi, d.h. di vo ubhägig Eiggssigl hrvorgruf Sysmwor übrlgr sich, s gil folgd Rlio f [ k k ] k f [ ] k f [ ].. Bisil.3: Zur Vrdulichug disr Glichug wrd mi dm RC-Glid zwi Vrsuch durchgführ.

24 - 6 - Alog Sigl ud Sysm.Vrsuch: Auf ds RC-Glid wrd chidr zwi Eiggssrüg ggb. Di bid Ausggssigl wrd ddir. u / RC U ε u U u / RC U ε u U u U U / RC.Vrsuch: Auf ds RC-Glid wird i Eiggssrug mi dr Höh U U ggb. u / RC U U ε u U U Bi bid Vrsuch rgb sich glich Sysmrkio. Es hdl sich um i lirs Sysm. Aus dr sisch Klii is dis bflls blsbr. Wis di sisch Klii d Vrluf ir Ursrugsgrd uf, lig i lirs Sysm vor. D disr Fll ur i Idlfll is, güg of i lirr Vrluf dr sisch Klii im irssird Arbisbrich. Nichlir Sysm rfüll dis Rlio Gl.. ich. Bisil.4:. Vrsuch:. Vrsuch Es is lich izush, dss bi dism Sysm bid Vrsuch zu urschidlich Sysmrkio führ. Ds Sysm is ichlir. Ziivri ud zivri Sysm Bwirk i Eiggssigl m Ausgg ds ziivri Sysms i Ausggssigl, so muss ds um di Zi sär iszd Eiggssigl ds srchd zivrschob Ausggssigl zur Folg hb.

25 Eiordug dr log Sigl ud Sysm f [ ] f [ ] Bi im zivri Sysm gil dis Bzihug ich, di Sysmrmr sid vo dr Zi bhägig. Bisil.5: Wirk uf ds RC-Glid i zilich vrschobs Eiggssigl, wird di Sysmrkio bflls vrschob rfolg. u u U U Bild.: Ziivris Sysm Kusls ud ichkusls Sysm Bi im kusl Sysm lig ur d i Ausggssigl vor, w i Eiggssigl lig. rkisch rlisirbr Sysm bsiz dis Eigschf. I d Bildr. ud. is dis Eigschf ds RC-Glid dulich zu rk. Sysm, di vor dr Sysmrrgug durch ds Eiggssigl i Sysmrkio zig, hiß ichkusl. Sbil ud isbil Sysm Ei Sysm wird ls sbil bzich, w uf ds bschräk Eiggssigl M < mi im bschräk Ausggssigl M < rgir wird. Dis wird ls BIBO-sbil bzich Boudd-Iu-Boudd- Ouu. Adrflls is ds Sysm isbil.

26 - 8 - Alog Sigl ud Sysm Bisil.6: sbils Sysm isbils Sysm Bild.3: Bschräks Eiggssigl, bschräks ud ubschräks Ausggssigl Im ächs Abschi wird sowohl ds sisch ls uch ds dymisch Vrhl vo Sysm bschrib. Dbi wrd solch Sysm brch, di lir, kusl ud ziivri sid. Üblich is di Bzichug LTI-Sysm lir d im-ivri. Di Sysmbschribug ichlirr ud zivrir Sysm is wslich ufwdigr ud i dism Rhm ich möglich. Di Frg dr Sbiliä bzw. Isbiliä is Sysms wird hd dr Sysmbschribug im Abschi.3.8 bhdl.

27 Alog Sigl Alog Sysm. Eiliug Im Abschi.4 wurd i Abgrzug vorgomm, mi wlch Sysm wir us hir bfss wrd. Dvo usghd wrd i dism Kil di Sysm i vrschid Brich brch, ds sid dr Zi-, dr Bild- ud dr Frquzbrich. Dr Zibrich lli würd für di Ursuchug dr Sysm zwr güg, br r rwis sich bi mch Brchug ls usgsroch uhdlich, so dss dr Bild- ud Frquzbrich hrvorrgd Hilfsmil sid. Jdr Brich für sich hb bsimm Bsodrhi dr Sysm hrus. Ei Bschäfigug mi ll dri Brich für di usrichd Durchdrigug dr Sysmbschribug is ubdig rfordrlich. Isbsodr im Zi- ud Bildbrich is s sivoll, ds Sysm of im Zusmmhg mi Sigl zu brch. Dbi wrd di vorgsll Elmrsigl brücksichig. Zibrich Diffrilglichug Flug X Sysm X Llc- Trsformio Bildbrich Übrrgugsfukio. Bschribug logr Sysm im Zibrich Diffrilglichug Dr Zibrich is dr Origilbrich. Di Diffrilglichug DGL, di Ih us dm Lhrgbi Mhmik bk is, sll di llgmi Sysmbschribug dr ud is di Bschribug ds Sysms im Origilbrich.

28 - - Alog Sigl ud Sysm D wir usschlißlich LTI-Sysm bhdl wrd, kö wir us bi dr Brchug dr DGL uf ihomog lir DGL mi kos Koffizi bschräk. Ei solch DGL lu. m... & bm... b & b Di Ordug bzw. dr Grd dr DGL wird durch di höchs Abliug ds Ausggssigls bsimm. Für rl Sysm gil m. Um mi disr Sysmbschribug rbi zu kö, sid folgd zwi Schri uszuführ:. Aufsll dr DGL Dis gschih bi d lkrisch Sysm übr ds Aufsll vo Msch- ud Kouksglichug. Dbi sid di ufgsll Glichug so miidr zu vrküf, dss i DGL sh, di ur ds bgli Ei- ud Ausggssigl ud di lkrisch Imdz, di sich i d Kos idrschlg, bihl.. Lös dr Diffrilglichug Ds Zil bim Lös ir DGL is, di Sysmrkio für i bsimms Eiggssigl ur Brücksichigug dr Koffizi ud dr Afgsbdigug zu rhl. Di Mhod zum Lös drrigr DGL sid Ih bflls us dr Mhmik bk. Es sid dri Lösugsschri bzurbi: Lösug dr homog DGL h, Fid ir rikulär Lösug dr ihomog DGL i, 3 Ermilug dr vollsädig Lösug dr ihomog DGL - vollsädig llgmi Lösug h i, - vollsädig szill Lösug s ur Brücksichigug dr Afgsbdigug. Di Lösug dr homog DGL sll di Eigbwgug ds Sysms dr ud di rikulär Lösug dr ihomog DGL is di vom Eiggssigl bhägig Lösug, uch rzwug Bwgug g. Mi dm folgd Bisil wird di Vorghswis dr Bschribug is Sysms mi ir DGL.Ordug ud dr Lösug dmosrir. Dbi wrd zur Lösug dr DGL di Ih bk Mhod Trug dr Vribl ud Vriio dr Kos gwd.

29 Alog Sigl - - Bisil.: u i R R U u C i C u u U ε Bild.: RC-Glid mi Eiggssigl. Aufsll dr DGL Di Mschglichug ud di Kouksglichug dr Schlug lu u u u,. R C u C u,. ic ir..3 Wirhi gl folgd Zusmmhäg duc ic C d,.4 u R i R R..5 Sz m di Gl..5 ud. i Glg.. u i R u R ud bch, dss di Sröm idisch sid Glg..3, d sh mi Gl..4 di gsuch DGL. du RC d u u bzw..6 RCu& u u

30 - - Alog Sigl ud Sysm. Lös dr Diffrilglichug Lösug dr homog DGL u h Di Lösug dr homog DGL rfolg übr di Mhod dr Trug dr Vribl. u du RC u d du h u l u RC K d RC K / RC Fid ir rikulär Lösug dr ihomog DGL u i Di rikulär Lösug wird übr di Vriio dr Kos rmil. Dzu wird dr Asz gmch: u u& i i K K& / RC / RC K RC / RC Disr Asz wird i di ihomog DGL.6 igsz ud für K di Fukio gsuch, für di dr gwähl Asz Lösug dr ihomog DGL wird. RC K& / RC K RC / RC K / RC u Zwi Trm dr lik Si hb sich uf, um K zu bsimm, is für ds och llgmi ggb Eiggssigl ds kokr izusz ud wirhi is i Trug dr Vribl vorzuhm. RCK& dk K / RC U U RC U O / RC / RC d für D irgdi rikulär Lösug gsuch wird, wähl m für di hir zuszd Igrioskos d Wr ull. Di rmil Fukio für K wird i d Asz igsz ud rgib i rikulär Lösug dr ihomog DGL. u i U

31 Alog Sigl Ermilug dr vollsädig Lösug dr ihomog DGL vollsädig llgmi Lösug u u u K h u / RC i U Um di szill Lösug zu rmil is di Kis dr Afgsbdigug owdig, dzu is och iml ds RC-Glid zu brch ud zu übrlg, ws zum Ziuk bim Alg is Sugssrugs m Ausgg ds Sysms ssir. Auf Grud dr hysiklisch Eigschf ds RC- Glids wird zu dism Ziuk ds Ausggssigl u ull si. Di Afgsbdigug u wird i di llgmi Lösug igsz ud di Kos K is bsimmbr. u K U K U Dmi lu di vollsädig szill Lösug u s / RC U für. Di grfisch Drsllug disr Sysmrkio zig ds ächs scho bk Bild. u U Bild.: Rkio ds RC-Glids bim Alg is Sugssrugs

32 - 4 - Alog Sigl ud Sysm Übugsufgb. u U C u R u u U ε Di Afgsbdigug bim Alg is Sugssrugs lu u U. Ermil Si di DGL! b Lös Si di DGL! c Sll Si di Sysmrkio grfisch dr!. R L u C u Ermil Si di DGL!.3 Bschribug logr Sysm im Zi- ud im Bildbrich.3. Eiliug Nch dr kurz Bhdlug dr Sysmbschribug mils Diffrilglichug im Zibrich, dm Origilbrich, soll u di Bschribug im Bildbrich vorgsll wrd. Aus dr Mhmik is Ih di Llc-

33 Alog Sigl Trsformio bk. Si bild di grudlgd Trsformio für di Bschribug im Bildbrich. Dr Voril dr Bschribug im Bildbrich komm isbsodr bi dr Sigl-Sysm-Vrküfug zum Trg. Si wrd Kiss übr ds Lös vo Diffrilglichug übr d Bildbrich rlg ud di Übrrgugsfukio klr, i dr DGL srchd Bschribug vo Sysm im Bildbrich. Wirhi wrd Ih Kiss drübr vrmil, wi di Bschribug im Bildbrich Aufschluss übr ds Sbiliäsvrhl vo Sysm gib. Alog Sigl ud Sysm im Zi- ud Bildbrich Isioär Vorgäg Eischlvorgäg Eiggssigl Ausggssigl Sysm Zibrich Sigl mi Usigki Dirc-Imuls Eihissrug DGL Sysmwor Gwichsfukio Übrggsfukio Llc-Igrl Diffriiossz Korrsodzbll Korrsodzbll Llc-Trsformio Rsidusz Übrrgugsfukio X G X Bildbrich Ursch Sysmbschribug Wirkug Bild.3: Zusmmhg zwisch Zi- ud Bildbrich.3. Llc-Trsformio Wrum is iglich b dr Bschribug im Zibrich i Bschribug im Bildbrich sivoll? Dis Frg kö m sich sll. Ei Awor lig im vorggg Abschi, schu m sich och iml d Rchwg zum Fid dr Lösug dr DGL ud bdk, dss dor ur i DGL. Ordug bhdl wurd, d dräg sich di Frg uf, gib s ich i ifchr Wg? Es gib d übr di Bschribug im Bildbrich. Abr, um dis Wg zu gh, sid ürlich widr lich Kiss owdig.

34 - 6 - Alog Sigl ud Sysm Di Id dr Llc-Trsformio wr folgd: Ursch Sysmbschribug Wirkug Es soll i symbolisch Mhod gfud wrd, di zur Brchug dr Wirkug is Sysms Ursch ud Sysmbschribug miidr vrküf. Wobi s sich um isioär Vorgäg hdl soll, lso um solch, di rs vo im bsimm Ziuk isir. Wirkug Sysmbschribug Ursch Hvisid fd i symbolisch Mhod durch Iuiio. Si Zigoss fd dis Mhod shr mysriös. Si Mhod fukioir zwr, br ihm fhl dr mhmisch Bwis. Dr Wissschfshisorikr Bll [] di Rkio uf Hvisids Mhod i Symbolisch Komödi i dri Ak..Ak: Völligr Usi.Ak: Trivil 3.Ak: Lg vor Hvisid bk Bk wr ds Llc-Igrl, 8 vo Llc wickl. Di mhmisch Bgrüdug ds Zusmmhgs zwisch dr symbolisch Mhod, uch Ororrchug, ud dm Llc-Igrl fd 937 Dosch. Dmi hil dis Bschribug Eizug i di chisch Wissschf. Es rfolg i Trsformio vom Zi- i d Bildbrich ud umgkhr ch bsimm Trsformiosrgl. Als ifchs Bisil für i Trsformio, di m uz, um sich ds Lb zu rlichr, si ds Logrihmir g. Durch ds Logrihmir wird z. B. us ir komlizir Mulilikio i ifch Addiio. Durch Elogrihmir Rückrsformio rhäl m ds gsuch Ergbis dr Mulilikio. Bi dr Llc-Trsformio k m sich ds ählich vorsll. Zibrich L{} X Trsformio L - {X} Rückrsformio Bildbrich X

35 Alog Sigl Im Bildbrich hiß di Vribl, i dr Lirur wird uch s vrwd; um Vrwchslug mi dr Mßihi dr Zi zu vrmid, vrwd wir. Di Vribl is koml. Es gil σ..7 Mhmisch wird dr Schvrhl, dss m ir Fukio i Fukio X zuord, durch di Schribwis usgdrück X, dis bdu, di Fukio ud X korrsodir miidr. Dr Wg vom Zi- i d Bildbrich ud umgkhr rfolg übr ds Llc- Igrl. M urschid zwisch dr isiig, uch klssisch, ud dr zwisiig Llc-Trsformio. d Eisiig Llc-Trsformio X LI { } II Zwisiig Llc-Trsformio X L { } d Eisir ds Llc-Igrl für midss i, C, so hiß Llc-rsformirbr. A disr Sll wrd wir uf di isiig Llc-Trsformio ähr igh, dzu müss di folgd Vorusszug rfüll si:. für < Eischlvorgäg bzw. isioär Vorgäg,. ds Llc-Igrl kovrgir. Ahd is ifch Bisils soll di Trsformio gzig wrd. Bisil.: Für d Eihissrug ε is di zughörig Bildfukio zu rmil. Ε L { ε } Ε ε d d [ lim ]

36 - 8 - Alog Sigl ud Sysm Bim Brch dr Lösug is dr Grzwr zu rmil, dzu is s vorilhf, di Fukio mi dm koml Argum lu Gl..7 ud bi Awdug dr Eulrsch Forml och iml ufzuschrib. lim lim σ lim σ cos si Führ m u di Grzwrbrchug durch, d sid di -Fukio mi rll Argum ud di goiomrisch Form ds koml Ausdrucks zu brch. Dr Rlil ud dr Imgiäril ds koml Ausdrucks schwk zwisch ud, di -Fukio kovrgir gg ull, w σ >. Dr Grzwr is dmi ull. Ds Llc-Igrl isir sogr für mhr ls i, dmi is di Fukio ε Llc-rsformirbr. Di Llc-Trsformir ds Eihissrugs lu somi: Ε ε / [ lim ] Wi m sih, is di Brchug ds Llc-Igrls mchbr, br mi iig Übrlgug vrbud. Um ich di gsm Ergi uf ds Lös vo Igrl zu vrwd, ds im Lhrgbi Mhmik usrichd ud dr richig Sll riir wird, h m für häufig ufrd Fukio di Llc-Trsformir brch ud si i Korrsodzbll zusmmgsll. Ei Korrsodzbll mi usgwähl Fukio fid Si im Ahg. Auf dis Korrsodz wrd sich di chfolgd Brchug bzih. Di Llc-Rückrsformio rfolg ch dm Igrl. c L X { X } π c d D di Auswrug ds Igrls shr ufwdig is, wrd wir us bi dr Rückrsformio uch uf di Korrsodzbll bzih. Nb d Korrsodz sid Rchrgl für ds Arbi im Bildbrich owdig, wichig Rchrgl sid i chfolgdr Tbll zusmmgsll.

37 Alog Sigl Tbll.: Rchrgl dr Llc-Trsformio Zibrich Bildbrich X Liriä ± X ± X Vrschibugssz Diffriossz Igriossz X & && M Flug * Grzwrsäz X X M X & X τ dτ X X lim lim X lim lim X X &... Übugsufgb.3 Ermil Si di Llc-Trsformir ds Dirc-Imulss δ mils Llc-Igrl ud vrglich Si d mi dr Korrsodzbll!.4 Ermil Si di Llc-Trsformir ds vrschob Dirc-Imulss δ- mi!.3.3 Lösug vo Diffrilglichug mils Llc-Trsformio Di chfolgd Drsllug zig schmisch zwi Wg, wi m DGL lös k. Dr rs Wg is dr dirk, dr im Abschi.. rläur wurd. Bim zwi Wg wird dr schibr Umwg übr d Bildbrich buz.

38 - 3 - Alog Sigl ud Sysm Zibrich DGL Eiggssigl Afgsbdigug dirkr Wg Sysmrkio Llc-Trsformio Korrsodzbll Rchrgl Korrsodzbll Rchrgl Llc- Rückrsformio Algbrisch Glichug Bildbrich Auflös ch dr Llc-rsformir Ausggsgröß Bild.4: Übrsich zum Lös vo DGL übr d Bildbrich Ahd ds u scho mhrfch vrwd RC-Glids soll di Lösug dr DGL übr d Bildbrich gzig wrd. Bisil.3: u R U u C u u U ε ud RCu& u u, u Bild.5: RC-Glid mi Eiggssigl Zurs wird di DGL vom Zi- i d Bildbrich mi Hilf dr Rchrgl Liriäs- ud Diffriiossz übrführ, d.h. si wird Llcrsformir.

39 Alog Sigl RC U L{ RCu& RCL{ u& u u } L{ u U } L{ u } L{ u U } } Awdug ds Liriässzs Awdug ds Diffriosszs Ur Brücksichigug dr Afgsbdigug rgib sich im Bildbrich di lgbrisch Glichug. RCU U U Dis is ch dr gsuch Größ, dm Ausggssigl, ufzulös. U U RC A disr Sll komm wir och iml uf di Id dr Llc- Trsformio zurück. Di Glichug, di hir sd is, gib d Zusmmhg zwisch Ursch, Sysmbschribug ud Wirkug widr. U U RC Wirkug Sysmbschribug Ursch Dr Ausdruck, dr für di Sysmbschribug sh, wird im ächs Abschi och gur rläur. Für ds Eiggssigl is u ds kokr vorggb Eiggssigl izusz ud di lgbrisch Glichug us dm Bildbrich i d Zibrich mi Hilf dr Korrsodzbll Korrsodz 6 zurückzursformir. L U L{ u } L{ U ε } U L{ ε } U U { U } U RC U u U L o RC / RC Di Sysmrkio rgb logischr Wis di scho bk Fukio. Vrglich m d Umfg ds Rchwgs mi dm ds dirk Wgs zum Lös vo DGL, so is dr Wg übr d Bildbrich vom Rchufwd brch ki Umwg.

40 - 3 - Alog Sigl ud Sysm Übugsufgb.5 Ermil Si di Sysmrkio ds RC-Glids bim Alg ir Rmfukio mi dm Asig U /! Di Afgsbdigug lu u. Sll Si Eiggs- ud Ausggssigl grfisch dr!.3.4 Übrrgugsfukio Wi im Zibrich, so gib s uch im Bildbrich i llgmi Sysmbschribug, di us dr Llc - Trsformio dr Diffrilglichug gwo wrd k. }... { }... { b b b L L m m & & Di Trsformio vom Zi- i d Bildbrich rfolg übr di Rchrgl Liriäs- ud Diffriiosszsz. Bi dr Ermilug dr Übrrgugsfukio gh m dvo us, dss ds Afgswrolyom isgsm ull is. Dmi rgib sich folgd Glichug im Bildbrich. X b X b X X X m m K K Zu bch is, dss di Vribl groß gschrib wrd. Dis Glichug wird drr umgform, dss uf dr lik Si X usgklmmr wird ud uf dr rch Si X. [ ] [ ] b b b X X m m K K m m m m m b b X b X b X X X M M K K K K Afgswrolyom

41 Alog Sigl Es wird dr Quoi X /X gbild ud disr Quoi wird ls Übrrgugsfukio G bzich. G G X X X X Llc Trsformir ds Ausggssigls Llc Trsformir ds Eiggssigls b m m K b b K.8 Lös m obig Glichug ch dr Ausggsgröß uf, d is och iml di Rlisirug dr Id dr Llc-Trsformio rkbr. X G X Wirkug Sysmbschribug Ursch Di Ermilug dr Übrrgugsfukio is Sysms k uf vrschid Wg rfolg. Is di DGL ds Sysms bk, k übr d Diffriiossz ur glichziigr Brücksichigug ds Wrs ull für ds Afgswrolyom di Übrrgugsfukio ufgsll wrd. M wd d Hvisid-Oror d d Lig i usr Fäll i lkrischs Nzwrk oh DGL vor, is z.b. übr Sugsilrrgl bi Vrwdug dr koml Widrsdsoror Z R, Z C, Z L di Übrrgugsfukio zu rmil. Dis Oror rgb sich wi folg: u Ri u i d C τ τ di u L d Bisil.4: U R I ; U I ; C U L I ; R Z R R Z C C Z L L U /C U Bild.6: RC-Glid mi Ororschribwis Für ds RC-Glid rgib sich di Übrrgugsfukio übr di DGL.

42 Alog Sigl ud Sysm L{ RCu RCU & U G U u U } L{ u U RC } Ud übr di Sugsilrrgl rhäl m. U G U U G U / C R / C RC Übugsufgb.6 Ermil Si für di folgd Sysm di Übrrgugsfukio! C u R u b u R L C u c C R u R C u d C R u L Trvrsärkr C u R V

43 Alog Sigl Drsllugsform dr Übrrgugsfukio Di Übrrgugsfukio k i vrschid Drsllugsform ggb wrd, d dr Drsllugsform gib Aufschluss übr bsimm Eigschf. Di bishr bhdl olyomdrsllug G X X b m m K b b K h ihr Nm wg dr Agb ds Zählrs ud ds Nrs durch olyom. Ei wir üblich Drsllugsform dr Übrrgugsfukio gwi m durch di Lirfkorzrlgug, dbi wrd di ol- ud Nullsll rmil. Di Azhl dr ol- ud Nullsll häg dirk mi dm Grd ds Nr- bzw. Zählrolyoms zusmm. Di folgd Form dr Übrrgugsfukio wird ls N-Drsllug G X X b m N N bzich. Di N-Drsllug wird guz, um im N-l di ol- ud Nullsll ds Sysms bzurg ud Aussg z.b. übr di Sbiliä ds Sysms rff zu kö. Dr N-l wird i dr - Eb drgsll, Bild.7, dbi wird uf dr Absziss dr Rlil vo, R{} σ, ud uf dr Ordi Im{} bgrg. dol ifch olsll kougir koml ifch Nullsll σ Bild.7: N-l Ei dri Drsllugsform dr Übrrgugsfukio is ählich dr N- Drsllug i Lirfkorzrlgug, us ihr k m di Zikos bls. Ds h d Voril, dss m Aussg übr di Schlligki is Sysms rff k. Dis Drsllugsform m ds

44 Alog Sigl ud Sysm Zikosmodll G X X b TD T TD... T... Di Übrrgugsfukio ds RC-Glids sih Bisil.4 is im Zikosmodll ggb, ds roduk RC is i Zikos. Di Drsllugsform sid iidr übrführbr. Zwisch rll ol- Nullsll ud Zikos bsh folgdr Zusmmhg: T Di Ni ; T Bisil.5: Für ds lkrisch Nzwrk soll di Übrrgugsfukio i ll dri Drsllugsform ggb wrd. Aus dm N-Modll is dr N-l drzusll. R L u C u Bild.8: RLC-Schwigkris Di Übrrgugsfukio us dr Sugsilrrgl rmil, U G U R / C L / C rgib ds olyommodll. U G U LC RC Für ds N-Modll sid di Null- ud olsll zu brch. Nullsll h di Übrrgugsfukio ich. D i olyom.grds im Nr vorlig, wrd sich gu zwi olsll rgb. Bi dr Brchug dr olsll is di qudrisch Glichug im Nr zu lös.

45 Alog Sigl LC LC RC R L LC R, ± L R 4L LC I Abhägigki vo dr Diskrimi wrd sich urschidlich Lösug rgb. Es sid dri Fäll zu urschid:. Fll R > zwi rll voidr vrschid Lösug 4 L LC R R R R ; ; L 4L LC L 4L LC U G U LC. Fll R 4 L LC zwi rll glich Lösug, ; R L U G U LC 3. Fll R < i r kougir komlr Lösug 4 L LC, R R α ± ± L LC 4L I dism Fll is s ich üblich, i Lirfkorzrlgug zusz. Di Übrrgugsfukio k i dr Form U G U LC RC

46 Alog Sigl ud Sysm gschrib wrd. Sll m u ll dri Fäll im N-l dr, lig di olsll i dm Fll i dr lik Hlbb ds N-ls, Bild.9 zig dis. R LC 4L 3.Fll.Fll -R/L σ.fll R LC 4L Bild.9: N-l ds RLC-Schwigkriss Di Drsllug im Zikosmodll is ur für d. ud. Fll sivoll. D s gu zwi olsll gib, wrd uch gu zwi Zikos vorhd si. Am. Fll wird di Umsllug zum Zikosmodll gzig. Klmmr m us dr Übrrgugsfukio di olsll us, d rgib sich. G G LC LC Für d Ausdruck LC rgib sich gu is. Brch m di Mßihi dr olsll, so is dr Khrwr dr Zi blsbr ud s wird i u Bzichug fsglg: T ; T Dmi rgb sich zwi osiiv Zikos ud di Übrrgugsfukio h für d. Fll di Form

47 Alog Sigl G T T ud für d. Fll folgd Form G. T Übugsufgb.7 Ermil Si d N-l für ds Sysm dr Aufgb.6, b ds RC-Glid, Bisil.4!.3.6 Sysmrkio uf szill Tssigl Bi dr Sysmlys rfolg durch ds Alg vo Tssigl i Sysmidifikio us dr Sysmrkio. Als Tssigl vrwd m d Dirc-Imuls, d Eihissrug ud di Rmfukio. Di Sysmrkio uf dis szill Sigl wrd gz kokr bzich, um us dr Bzichug d Rückschluss uf ds glg Eiggssigl zih zu kö. Eiggssigl: Dirc-Imuls Eihissrug Rmfukio Übrrgugsfukio Ausggssigl: Gwichsfukio Übrggsfukio Rmwor Übr di Dfiiio dr Übrrgugsfukio Gl..8 is dr Zusmmhg Eiggssigl, Übrrgugsfukio ud Ausggssigl ggb. G X X

48 - 4 - Alog Sigl ud Sysm Ds Ausggssigl im Zibrich rgib sich dmi: L { G X }.9 Für di dri ggb Tssigl wrd wils di Sysmrkio vorgsll ud dr Ermilug us Übrrgugsfukio ud Eiggssigl srchd dr Gl..9 ggb. Di Gwichsfukio g is di Sysmrkio uf d Dirc-Imuls. δ L{δ} G g g L - {G} Wird bi im Vrsuch uf i Sysm i Imuls ggb, so muss r ich zwgsläufig di Fläch is wi dr Dirc-Imuls hb, ud wirhi is z. B. bi im Sromimuls och i Mßihi vorhd. Dis Abwichug zum Dirc-Imuls wird i dr Kos A usgdrück. Di Gwiug dr Gwichsfukio is uf Grud dr Tsch, dss wir us ur mi lir Sysm bfss, durch i Normirug schll zu rhl. A δ L{ } A G A g g L - {A G}/A Di Übrggsfukio h is di Sysmrkio uf d Eihissrug. ε L{ε} / G h h L - {G/} Hir is bflls di Übrlgug zusll, w i rlr Srug, z. B. Sugssrug, ds Sysm glg wird. Dis Abwichug zum Eihissrug wird mi usgdrück. Wg dr Liriä dr brch Sysm is di Übrggsfukio durch Normirug zu brch. ε L{ } / G h h L G

49 Alog Sigl Di Rmwor is di Sysmrkio uf di Rmfukio. r L{r} / G L - {G/ } Wi bi d dr bid Tssigl is hir uch dr Fll is rl mßihibhf Eiggssigls zu brücksichig. Esrchd dr vorggg Übrlgug wird bi dism Eiggssigl bso vorggg. Mi m wird di Kos bzich, di di Mßihi ud d vo dr Rm r bwichd Asig bihl. m r m G L{ } m / m L G m Bisil.6: Wir komm widr uf ds RC-Glid zurück. Für diss Sysm soll di Sysmrkio rmil wrd, wobi di Tssigl Sugsfukio si soll. Nchidr wrd uf ds Sysm di im Bild drgsll Eiggssigl ggb. u U u U u u R C u U Bild.: RC-Glid mi dri vrschid Tssigl Es sid di Gwichsfukio, di Übrggsfukio ud di Rmfukio zu brch ud grfisch drzusll.

50 - 4 - Alog Sigl ud Sysm Gwichsfukio Ds Eiggssigl is i schmlr Imuls mi dr Fläch U ud k wi folg usgdrück wrd. u U δ Ds Ausggssigl ds RC-Glids läss sich bi dr u scho bk Übrrgugsfukio brch us: { } RC RC U u U RC L u U G L u / Um di Gwichsfukio zu rhl, is och uf di Fläch ds Imulss zu ormir. RC RC g / Übrggsfukio Ds Eiggssigl h di Höh U ud wird durch u U ε bschrib. Ds Ausggssigl ds RC-Glids rgib sich bi dism Eiggssigl zu: { } / RC U u U RC L u U G L u Di Übrggsfukio wird durch Normirug uf di Höh ds Eiggssrugs gwo. RC h /

51 Alog Sigl Rmwor Ds Eiggssigl is i Rmfukio mi dm Asig U / ud h di Fukiosglichug: U u r Bi dism Eiggssigl rgir ds RC-Glids mi dm Ausggssigl. u L u L U u { G U } U RC RC / RC RC Nch Normirug ds Ausggssigls uf d Asig ds Eiggssigls rgib sich di Rmwor: RC / RC RC g /RC u R C u h Bild.: RC-Glid mi dri vrschid Sysmrkio Es is och di Frg zu klär, wlchr Zusmmhg zwisch d dri Eiggssigl ud zwisch d dri Ausggssigl bsh. Gh m vo d Fukiosglichug dr Ausggssigl us, läss sich dis schll klär. Wird di Rmfukio ch dr Zi bgli, rgib sich di Übr-

52 Alog Sigl ud Sysm ggsfukio, wird dis widrum bgli, lig di Gwichsfukio vor, somi gil & h & g. Für di Eiggssigl gil di Bzihug & r & ε δ. Aschulich läss sich dis lich d Grf ds Bisils vrdulich. Übugsufgb.8 Vo im Sysm is di Übrggsfukio h / RC bk. Wi lu di Übrrgugsfukio ds Sysms?.9 Ermil Si di Übrggsfukio für ds lkrisch Nzwrk ud sll si dis grfisch dr! C u R R u. Für d RLC-Schwigkris, Bild 8, is di Übrggsfukio ur dr Bdigug R L LC 4 zu brch ud grfisch drzusll. b Simulir Si mi MATLAB/Simulik di Übrrgugsfukio ds RLC- Schwigkriss ur dr vorggb Bdigug ud lss Si di Gwichs-, Übrggsfukio ud Rmwor brch!

53 Alog Sigl Grudübrrgugsglidr Ei Übrrgugssysm wird durch di Übrrgugsfukio i olyomform drgsll. G b b b o... b m... m I Abhägigki ds Vorhdsis dr Absoluglidr im Zählr b ud im Nr kö folgd Vri ds Vrhls ufr: Tbll.: Grudvrhl vo Übrrgugsglidr -Vrhl I-Vrhl D-Vrhl, b, b, b Umwdlug ds olyommodlls i i Zikosmodll b TD TD... G T T... b TD TD... G T T... b TD TD... G T T... Übrrgugskos b K -rooriols Vrhl b K I I-igrirds Vrhl b K D D-diffrzirds Vrhl ki ol- ud ki Nullsll im Ursrug N-l i olsll im Ursrug i Nullsll im Ursrug σ σ

54 Alog Sigl ud Sysm Ei Übrrgugssysm k wdr - odr I- odr D-Vrhl ufwis, di Lirfkor im Zählr T D ud im Nr T kö glichziig ud mhrfch ur dr Bdigug m für di gsm Übrrgugsfukio ufr. Wobi b rll Lösug uch kougir koml, di mi T * bzich wrd, ufr kö. Bi dis Ail r riodisch Vorgäg uf. Fss m di Aussg i dr Tbll zusmm, so k gschrib wrd: -Glid T D -Glid I-Glid K K I TD TD... G T DT T K D... D-Glid T - ud T * - Glid Di Grudübrrgugsvrhl bzw. Grudübrrgugsglidr, I, D, T D, T, T * sid Miimlhssysm, d.h. dr hsgg ϕ sih Abschi.4. h brgsmäßig d klismöglich hsvrluf zum dzughörig Amliudgg G. Zusäzlich kö och Nichmiimlhssysm ufr. Si sid ddurch chrkrisir, dss Null- ud olsll im N-l symmrisch zur -Achs lig, wi s bim Allss dr Fll is. Wirhi sid di Nichmiimlhssysm ddurch gkzich, dss dr zu dis Glidr ghörd hsgg ϕ ss brgsmäßig größr is ls dr ds srchd Übrrgugsglids mi Miimlhsvrhl, ds d glich Amliudgg G ufwis. Ds is bim Toziglid Vrglich T -Glid ud -Glid ud ürlich uch bim Allss dr Fll. -Glid I- Glid G D- Glid K K I D D T DT T K D T D - Glid T T T... T... T Allss T - u. T * - Glid Tozi- Glid Di Zrlgug i dis Grudübrrgugsglidr h Voril für di Vorhrsg ds Vrhls ds Sysms im Zi- ud Frquzbrich.

55 Alog Sigl Tbll.3: Zivrhl vo Grudglidr -Vrhl I-Vrhl D-Vrhl Im Zibrich lifr di Kis übr -, I- ud D-Vrhl i Aussg übr ds Vrhl is Sysms für. h srb dm kos Wr K zu h sig sig mi dm Asig K I h gh gg Null h -T * h I h D D-T I-T D-T * -T K D-T -T I-T Dr Bidsrich zwisch d Kurzbzichug soll uf di mulilikiv Vrküfug zwisch d Übrrgugsglidr hiwis. Ds Vrzögrugsvrhl T bdu i vrzögrs Errich ds Edwrs bzw. Asigs, mhrr Vrzögrugsglidr vrlägr dis Vorgg wirhi. Ei T * -Glid sih Schwigkris brig och i Schwigigug hizu. Ds Vorhlglid T D wirk dm Vrzögrugsglid gg. Übugsufgb. Für ds RC-Glid is i Bsimmug ds Vrhls vorzuhm!. Ds Übrrgugssysm dr Aufgb. is bzüglich sis Vrhls zu lysir ud dr Edwr dr Übrggsfukio für bzuschäz!.3 Gb Si vom drgsll bschl Oriosvrsärkr di Übrrgugsfukio ud bsimm Si ds Vrhl ud di Übrggsfukio! Hiwis für di Brchug dr Übrrgugsfukio vo bschl idl Oriosvrsärkr sid dm Ahg bigfüg.

56 Alog Sigl ud Sysm C R u u.3.8 Sbiliä Dr Bgriff dr Sbiliä wurd bi d Eigschf dr Sysm scho kurz rläur. A disr Sll wird uf di Sbiliä dillirr iggg ud rläur, wi m di Sbiliä is Sysms rüf k. Zurs si och iml di Dfiiio dr Sbiliä g: Ei Sysm wird ls sbil bzich, w s uf ds bschräk Eiggssigl mi im bschräk Ausggssigl rgir. Dis wird ls BIBO-sbil bzich Boudd-Iu-Boudd-Ouu. Adrflls is ds Sysm isbil. Lig u i bschräks Eiggssigl m Sysm, d is dr Fk, ob ds Sysm i bschräks Ausggssigl lifr odr ich, usschlißlich vom Sysm bhägig. Di Sbiliä is i sysmimm Eigschf. Um zu klär, wi m sbils Vrhl rk, is Bzug zu hm uf di DGL. D u di Sbiliä i sysmimm Eigschf is ud ich vom Eiggssigl bhäg, güg di Brchug dr homog DGL. &... Di Lösug dr homog DGL lifr di Eigbwgug ds Sysms. Di Lösug dr homog DGL -r Ordug wird übr d Asz: h λ gfud. Dr Asz wird i di homog DGL igsz. λ λ λ... λ λ... λ λ λ Di chrkrisisch Glichug lu somi

57 Alog Sigl λ... λ.. Es wrd di λ i, di Eigwr, so fsglg, dss dr Asz Lösug dr DGL wird, d.h. ll Eigwr müss so gwähl wrd, um di lik Si obigr Glichug zu ull zu mch. Di gfud Eigwr lifr d, igsz i d Asz, di Lösug dr homog DGL. h i C i λi I dr Lösug r Kos C i uf, di sid owdigrwis izuführ, d s sich bi dr Lösug dr homog DGL iglich um i ubsimm Igrio hdl. Dr Aschulichki wg wrd für i Glichug.Ordug & & di Eigwr bsimm ud ihr Eifluss uf di Sbiliä diskuir. Bi ir DGL. Ordug h di chrkrisisch Glichug di Form λ λ λ λ Di Lösug dr chrkrisisch Glichug rfolg ch dm bk Lösugsvrfhr qudrischr Glichug. λ, ± 4 I Abhägigki vo dr Diskrimi rgb sich ri rll Lösug odr i r kougir komlr Lösug. Tr rll Lösug dr qudrisch Glichug λ, λ uf, d wird di Lösug dr homog DGL di Form hb:

58 - 5 - Alog Sigl ud Sysm λ λ h C C λ ; λ < λ ; λ > λ > ; λ < h h h Bild.: Möglich Eigbwgug bi rll Eigwr Gu rkbr is, dss ur bi giv Eigwr ds Sysm i bschräks Ausggssigl zig. Lig ur i osiivr Eigwr vor, is ds Ausggssigl ubgrz. Für ds Aufr is rs kougir komlr Eigwr λ, α ± rgib sich für di Lösug dr homog DGL ur Brücksichigug dr Eulrsch Forml: h α C cos C si α < α α > h h h Bild.3: Möglich Eigbwgug bi kougir koml Eigwr

59 Alog Sigl I dism Fll rgb sich ur d sbil Vorgäg, w di Rlil llr Eigwr giv sid. Fss m u di Übrlgug zusmm, so k für ds Sbiliäskririum hd dr Eigwr is Sysms formulir wrd: Ei Sysm is sbil, w ll Eigwr ds Sysms i giv Rlil hb. R{λ } < i für i Wis i Sysm midss i Eigwr bi Null odr mi osiivm Rlil uf, so is ds Sysm isbil. R{ λ } i für i [... ] H i Sysm Eigwr mi giv Rlil ud midss i Eigwr mi im Rlil vo ull, d rgb sich isbil Vorgäg. Di Sbiliäsbrchug hd dr DGL kö uch uf di srchd sysmbschribd Fukio im Bildbrich, di Übrrgugsfukio, übrführ wrd. Di Übrrgugsfukio b G m m K b b K, di im Abschi..4 us dr DGL bgli wurd, wis im Nr i olyom uf, wlchs di Form dr chrkrisisch Glichug. h. Somi srch di olsll i dr Übrrgugsfukio d Eigwr λ i ds Sysms Lösug dr chrkrisisch Glichug. Di Formulirug ds Sbiliäskririums hd dr olsll k wi folg usgdrück wrd: Ei Sysm is sbil, w ll olsll ds Sysms i dr lik Hlbb ds N-ls lig. Bfid sich midss i olsll uf dr imgiär Achs odr i dr rch Hlbb, d is ds Sysm isbil. Di -Achs is di Sbiliäsgrz. Im Bild is dr N-l mi usgwähl olsll drgsll. Nb dr Sbiliä is us dr Lg dr olsll dr quliiv Vrluf blsbr. Lig ll olsll is Sysms uf dr rll Achs, so rgb sich usschlißlich riodisch Vorgäg; bfid sich midss i olr u-

60 - 5 - Alog Sigl ud Sysm ßrhlb dr rll Achs, so r riodisch gdämf, ugdämf odr kosvorgäg uf. σ sbil Sbiliäsgrz isbil Bild.4: N-l mi Sbiliäsgbi ud chrkrisisch Eigvorgäg Übugsufgb.4 Wlchs Sbiliäsvrhl wird dr RLC-Schwigkris für di vrschids RLC-Kombiio ufwis?.5 Im Bild is i Wibrückoszillor drgsll. Es hdl sich dbi um i rückgkols Sysm. Dr Oszillor schwig durch ds Rusch dr kiv ud ssiv Bulm. Ds Rusch i dism rückgkol Sysm wird ls Sigl ufgfss ud mi U gsz. Ds Aufsll dr Übrrgugsfukio sh hir ich ls Aufgb, si is ggb mi. R G R K T R R K T R // R // C R C C Zur Vrifchug wird R R ud C C gsz. Ermil Si ur disr Ahm di u Übrrgugsfukio. Brch Si ds Vrhälis vo

61 Alog Sigl R K :R T, um sbil ud isbilvorgäg zu rzug. Wi lu ds Vrhälis R K :R T zur Erzugug ir sioär Schwigug, lso zur Argug vo sioär Oszillio. R 3 K RC RC G RT RK RC RC RT R C U C R R K U R T.3.9 Flug Di Flug is i Mhod, di sowohl im Zibrich ls uch im Bild/Frquzbrich vrwd wird. A disr Sll soll di Flug zur Brchug ds Ausggssigls us dm Eiggssigl ud ir Sysmbschribug guz wrd. Vo dr hmisch Asidlug wär dr Zibrich Abschi. rffdr, br zur Erläurug dr Flug sid di Kiss ds Llc-Igrls, lso dr Vrbidug zwisch Zi- ud Bildbrich, owdig. A d Bgi sll wir folgd Frg: Is s möglich, ds Ausggssigl is Übrrgugsglids für ds blibig igrirbr Eiggssigl zu brch, w usschlißlich di Gwichsfukio ds Sysms g bk is ud ki Trsformio übr d Bildbrich rfolg? Bk is dr Schvrhl: X G L{g} X

62 Alog Sigl ud Sysm X G X. Lig u ud g ls bk vor, so is im Mom och ubk, wi dis bid Zifukio zu vrküf sid, um ds Ausggssigl zu brch.? g Um di Bzihug zwisch d bid Fukio zu fid, grif wir och iml uf ds Llc-Igrl zurück L { f } F f d ud wd dis uf di Glichug.. X τ τ dτ G g v v dv X d Di lik Si k m zum Doligrl zusmmfss. v τ g v τ dvdτ d Für di Vribl dr lik Si führ m di Subsiuio v τ durch ud rhäl für ds ir Igrl di Igriosvribl v - τ dv d dv d. Di Igriosgrz für ds ir Igrl müss wg dr Subsiuio u brch wrd. v u u τ ; u vob ob Sz m di u Vribl ud di u Grz i, so rgib sich dr Ausdruck: τ

63 Alog Sigl g τ τ ddτ d τ Vrglich m bid Si dr Glichug, d kö m d Igrd dr rch Si glich dm ir Igrl dr lik Si sz, w di Diffril dr lik Si di umgkhr Rihfolg hä. Um diss Glichsz zu rmöglich, wrd di Diffril gusch ud glichziig sid für d Tusch di Igriosgrz zuss. Es müss di glich Igriosgbi bgdck wrd. Ir Igrio Tusch dr Igriosvribl τ kos., Igrio übr kos., Igrio übr τ vo u τ bis ob. vo τ u bis τ ob. Abdck glichr Igriosbrich τ τ Bild.5: Igriosbrich dr ir Igrio Äußr Igrio Tusch dr Igriosvribl kos., Igrio übr τ vo τ u bis τ ob Abdck glichr Igriosbrich τ kos., Igrio übr vo u bis ob τ τ Bild.6: Igriosbrich dr äußr Igrio Ur Bchug dr Igriosgrz lifr dr Tusch dr Igriosvribl di folgd Glichug:

64 Alog Sigl ud Sysm d d d g τ τ τ Bi dr ir Igrio is di -Fukio wi i Kos zu bhdl; lso k si uch us dr ir Igrio uch hrusgomm wrd Vrglich m u bid Si, d kö di gkzich Ausdrück glichgsz wrd ud m rhäl di zu Bgi gwüsch Vrküfug zwisch Eiggssigl ud Gwichsfukio, ds Flugsigrl. d g τ τ τ Di Vrküfug zwir Zifukio übr ds Flugsigrl wird durch folgd Schribwis usgdrück, g wird mi gfl. g d g * τ τ τ Ei Flug im Zibrich korrsodir mi ir Mulilikio im Bildbrich *g X G Es gil llgmi für Zifukio f f d f f d f f * τ τ τ τ τ τ ud wirhi gl ds Kommuiv-, Assoziiv- ud Disribuivgsz. Zur bssr Hdhbug ds Flugsigrls wird di ggb Schrifolg mfohl: d f f f f y * τ τ τ. Zivribl durch τ rsz f τ, f τ d d d g τ τ τ

65 Alog Sigl f τ dr Ordi sigl f -τ 3. f -τ ch rchs um vrschib f -τ Es is f -τ so zu vrschib, bis f -τ ud f τ bid ich ull sid. 4. f -τ ud f τ mulilizir ud übr τ igrir y 5. Schri 3 ud 4 solg widrhol bis ll gmism Fläch zwisch f -τ ud f τ brücksichig wurd, dis rgib d y Bisil.7: u R U u C u Bild.7: RC-Glid mi Rchckfukio ls Eiggssigl Für ds drgsll RC-Glid mi dr Gwichsfukio g RC / RC is ds Ausggssigl u für ds ggb Eiggssigl übr di Flug zu rmil. Di Lösug wird srchd dr Schrifolg brch.. Schri g /RC u U g τ RC τ τ τ / RC U für τ u τ sos. Schri g /RC τ g τ RC τ / RC

66 Alog Sigl ud Sysm 3. Schri g,u g τ RC o τ τ / RC 4. Schri Für ds Irvll < rgb sich gmism Fläch, g,u U /RC o τ di mi dm Flugsigrl zu brch sid. U U RC RC / RC τ / RC RC τ / RC U dτ RC U / RC / RC τ / RC dτ für < Mi wchsdm imm di Fläch zu. Dis k m sich gu durch di Vrschibug dr Gwichsfukio ch rchs vrdulich. u U 5. Schri All gmism Fläch zwisch bid Fukio sid zu bsimm, s is dshlb di Gwichsfukio wir ch rchs zu vrschib, so dss > im ächs Irvll brücksichig wird. g,u o τ

67 Alog Sigl Für dis zu brchd Fläch rgib sich lu Flugsigrl. U τ / RC / RC dτ U RC für > J wir m di Gwichsfukio ch rchs vrschib, um so klir wrd di gmism Fläch zwisch d bid Fukio. Für ds Irvll > h dr Fukiosvrluf lu obigr Fukiosglichug d im Bild drgsll Vrluf. u U Di bid Tilirvll sid u zur Ausggsfukio zusmmzufüg. Ds Ausggssigl ds RC-Glids lu bi ir Rchckfukio ls Eiggssigl u U U / RC / RC / RC für < > für Grfisch h di Ausggsfukio folgd Vrluf: u U Bild.8: Ausggssigl ds RC-Glids mi Rchckfukio ls Eiggssigl Zu bch is, dss sich für diss Eiggssigl m Sysmusgg i sückwis sigs Ausggssigl rgib. Übugsufgb.6 Auf i igrird wirkds Übrrgugssysm mi dr Gwichsfukio

68 - 6 - Alog Sigl ud Sysm g K I für wirk i Rchckfukio. X Ermil Si ds Ausggssigl ds Sysms bi Awdug ds Flugsigrls! b Simulir Si i MATLAB/Simulik ds igrird Übrrgugssysm mi dr srchd Übrrgugsfukio ud dm ggb Eiggssigl. Lss Si ds Ausggssigl brch! c Di Rchckfukio wirk um di Zi sär uf ds Sysm, sll Si für dis Fll ds Ausggssigl grfisch dr..4 Bschribug vo Sysm im Frquzbrich.4. Eiliug I d vorggg Ausführug wurd dulich, dss m Bschribug im Zi- ud Bildbrich vorhm k ud dss bsimm Effk ur i im Brich sichbr wrd. Wirhi wurd uch dulich, dss m bi bsimm Brchug di bid Brich ich losglös voidr sh k. Für di Bschribug im Frquzbrich gil Ählichs. Bsird uf dr Bschribug im Bildbrich läss sich di Bschribug im Frquzbrich bli ud dmi di frquzmäßig Biflussug dr Sigl durch di Sysmchrkrisik. Dis frquzmäßig Biflussug ds Sigls is d widrum dr Vrformug dr Zifukio rkbr, sih Bild.9. Hir soll ds Simuliosrogrmm MATLAB ufwdig Rchorio übrhm ud dmi Ihr Frigki bim Umgg mi dm Simuliosrogrmm fsig.

69 Alog Sigl Alog Sigl ud Sysm im Zi- ud Frquzbrich Sioär Vorgäg igschwugr Zusd Eiggssigl Ausggssigl Sysm Zibrich rll hrmoisch Schwigug rll hrmoisch Schwigug Frquzbrich Frquzgg G G Drsllug ls Orskurv Frquzklii Amliudgg hsgg Grulufzi X G X Bild.9: Zusmmhg zwisch Zi- ud Frquzbrich.4. Frquzgg Um d Frquzgg is lir Sysms zu rmil, wird i siusförmigs Eiggssigl mi kosr Amliud ud kosr Krisfrquz brch. Ds zughörig Ausggssigl is im igschwug Zusd bflls i Siusschwigug mi glichr Krisfrquz, di Amliud ud hs ds Ausggssigls k sich ggübr dm Eiggssigl i Abhägigki vo dr Krisfrquz gädr hb. G Bild.: Biflussug ds Eiggssigls i Amliud ud hs durch ds Sysm

70 - 6 - Alog Sigl ud Sysm Führ m für ds < dis Vrsuch durch ud sll m ls Quoi di Amliud ds Ausggssigls zur Amliud ds Eiggssigls i Abhägigki dr Krisfrquz dr, d rhäl m d Amliudgg ds Sysms. Dr hsgg ds Sysms rgib sich us dr hsvrschibug zwisch Ausggssigl ud Eiggssigl. Amliud- ud hsgg zusmm sll d Frquzgg ds Sysms dr. Di Frquzggglichug is us dr Übrrgugsfukio blibr. b b b X X G m m K K Bkrmß sz sich dr Llc-Oror us σ zusmm. Is ds Frquzvrhl is Sysms gsuch, d wird vom Llc- Oror ur dr frquzbhägig Ail vrwd. Di Frquzggglichug rgib sich us dr Übrrgugsfukio für. b b b X X G m m K K Di Frquzggglichug is wi di Übrrgugsfukio i Fukio mi koml Argum. Um sich ds Frquzvrhl bildlich zu vrschulich, wird di Frquzggglichug umgform, d Drsllug bi d koml Zhl srchd, ud i gig Koordisysm grfisch drgsll. Ei Umformug dr Frquzggglichug is di rihmisch Form, di m durch kougir komls Erwir rhäl. { } { } Im R G G G Ei wir shr häufig vrwd Form is di Eoilform ds Frquzggs { } { } { } { } G G G G G G G G G G R Im ; rg Im R rg rg mi dm Amliudgg { } { } Im R G G G

71 Alog Sigl ud dm hsgg ϕ rg G. Bbräuchlich für d Amliudgg is uch di logrihmisch Agb i db dzibl. db lg G. Wichig Wr sid: G /,5,, db lg G -3,dB -6,dB -db -4dB Dr hsgg widrsigl di hsvrzrrug, di i Sysm uf i Sigl usüb. Lig i lirr hsgg ud kosr Amliudgg vor, d würd ds Sigl durch ds Sysm ur zilich vrschob wrd, ds Sigl is ki Vrformug urworf. Bi im ichlir hsgg r Vrzrrug uf. Ei Mß für di Liriä dr hs is di Grulufzi d τ rg G. d.4.3 Frquzklii ud Orskurv Für di grfisch Drsllug ds Frquzggs wird di Orskurv ud di Frquzklii vrwd. Di Orskurv sll di Frquzggglichug i dr Gußsch Zhlb mi dr Krisfrquz ls rmr dr. Bisil.8: Für ds bk RC-Glid mi dr Übrrgugsfukio G RC is di Orskurv drzusll.

72 Alog Sigl ud Sysm Zurs is di Frquzggglichug ds Sysms zugb ud für di Drsllug i dr Gußsch Zhlb umzuform. Hir wurd di rihmisch Form gwähl. G RC G RC RC RC Di Krisfrquz is di ubhägig Vribl ud wird im Brich < gädr. Tdzill is scho bzush, dss i dism Brich dr Rlil ss osiiv ud dr Imgiäril ss giv si wrd. Für is dr Imgiäril ull ud für srb sowohl Rl- ls uch Imgiäril gg ull, d. h. di Orskurv bgi uf dr rll Achs, vrläuf im IV. Qudr dr Gußsch Zhlb ud d im Ursrug. Im{G} ϕ R{G} G Bild.: Orskurv ds RC-Glids Di Orskurv häl di Iformio übr Amliud- ud hsgg i Abhägigki dr Krisfrquz. Dr i di Orskurv bi ir bsimm Frquz glg Zigr h i Läg, di dm Amliudvrhälis vo Ausggs- zu Eiggssigl bi disr Frquz srich, ud i Auslkug, di di hsvrschibug zwisch Ausggs- ud Eiggssigl bi disr Frquz usdrück. Frquzklii FKL G G rg G Amliudklii AKL hsklii KL G odr ϕ rgg db lg G bim Boddigrmm

73 Alog Sigl I dr Frquzklii wrd di bid Iformio Amliudvrhälis ud hsvrschibug durch zwi vo dr Krisfrquz bhägig Fukio fsghl. Di Frquzklii wird i im lir Koordisysm odr im ifch logrihmischm drgsll, d.h. di Achs dr ubhägig Größ, dr Krisfrquz, wird logrihmisch i Dkd uril. Dis Drsllug h z. B. d Voril, dss m groß Frquzbrich bdck ud dr Amliudgg gu durch Grd roimir wrd k. Di ifch logrihmisch Drsllug wird uch ls Boddigrmm bzich, w glichziig dr logrihmir Amliudgg Gl.. ud dr hsgg ggb wrd. Bisil.9: Am RC-Glid wird ds Boddigrmm rläur. Di Übrrgugsfukio ds Sysms wird i di Eoilform umgwdl. G RC G RC rg G mi rgg RC Für d hsgg is och zu klär, i wlch Brich di hsvrschibug lig. Aus dr Orskurv is rkbr, dss di hsvrschibug zwisch 9... lig; dmi is dr Hubrich dr Tgsfukio broff ud s is gil di Umkhrfukio ϕ rgg rc RC. Di Frquzklii im Boddigrmm sz sich zusmm us dr Amliudklii lg G / db lg lg RC RC ud dr hsklii ϕ rc RC..3 Für di Drsllug dr Amliudklii soll di Wrbll i Hilfsllug si. Tbll.4: Brchug dr Amliudklii ds RC-Glids - /RC - /RC /RC /RC /RC lg G /db , - -4