CONTROLLING. Das Ausübungsverhalten der Kunden bei impliziten Optionen im Darlehensbereich. Statistische Kennziffern (N gültig: )

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1 408 Stefan Bill, Christian Sievi Das Ausübungsverhalten der Kunden bei impliziten Optionen im Darlehensbereich Ein wichtiger Bestandteil für Kalkulation und Disposition von impliziten Optionen in Kreditinstituten ist das Ausübungsverhalten der Kunden, das sich von klassischen Kapitalmarktoptionen nachhaltig unterscheidet. Der folgende Beitrag stellt die Ergebnisse aus einer empirischen Analyse von Sondertilgungen vor nachdem in den B.Bl. 1/2001 bereits die theoretischen Resultate aus der Sparkassen-Datawarehouse-Studie veröffentlicht worden sind. An den Kapitalmärkten werden unterschiedlichste Zinsoptionen gehandelt, die von den Optionsinhabern zu Absicherungs- bzw. Spekulationszwecken gekauft werden. Die Option wird dann und nur dann ausgeübt, wenn sie im Geld ist, d. h. die Ausübung für den Optionsinhaber vorteilhaft ist. Eine Ausübung aus dem Geld ist dabei nicht sinnvoll. Verhält sich ein Kunde in diesem Sinne rational, soll von einer optionalen Ausübung gesprochen werden. >Grundüberlegung Stefan Bill ist verantwortlich für das Themengebiet Treasury bei der IZB Soft, München. Dr. Christian Sievi ist freiberuflicher Wirtschaftsmathematiker und bei der Gillardon financial software GmbH für konzeptionelle Fragen und den Seminarbereich zuständig. Statistische Kennziffern (N gültig: ) Ursprungsdarlehensbetrag Sondertilgungsbetrag SoTi als Vielfaches der Regelrate SoTi in % des Restkapitals abzgl. Zins der RLZ abzgl. 1-Jahres-Zins abzgl. 10-Jahres-Zins Nehmen wir ein Beispiel. Ein Kunde hat eine Zinsoption (long call) für ein zehnjähriges Underlying mit einer Basis von 5 %, einem Ausübungspreis von 100 % und einer Laufzeit von einem Monat gekauft. Sofern der zehnjährige Zins zum Verfalltag unter 5 % liegt, ist der Kurs des Underlyings über 100 %, die Option befindet sich im Geld. Der Optionsinhaber kann das Underlying zum Kurs von 100 % (Strikepreis) kaufen oder erhält eine Ausgleichszahlung in Höhe der Differenz zwischen dem Kurs des Underlyings und dem Strikepreis. Sofern der Zinssatz über 5 % liegt, verfügt das Underlying über einen Kurs unter 100 %. Für den Optionsinhaber bedeutet dies, dass er das Underlying am Kapitalmarkt zu günstigeren Konditionen bekommt als durch die Ausübung der Option. Er lässt die Option verfallen. Im Bereich der impliziten Optionen ist aber genau dieses Verhalten nicht zwangsläufig. Für den Fall, dass der Kunde die Sondertilgung unabhängig von der aktuellen Zinssituation ausübt, wird dies als statistisches Ausübungsverhalten bezeichnet. >Ein Beispiel Ein Kunde hat ein Darlehen in Höhe von DM mit einem Zinssatz von 5 %, einer zehnjährigen Zinsfestbindung und ein jährliches Sondertilgungsrecht in Höhe von DM. Im Jahr 1 steigt nun der Zinssatz auf 6 % 1. Der Kunde verfügt über keine weiteren Geldanlagen, so dass die Zinserträge nicht versteuert werden müssen. Das bedeutet, dass der Kunde sein Geld zu einem höheren Zinssatz anlegen könnte, als im Vergleich dazu die Sondertilgung zu leisten und 5 % Zinsen aus dem Sondertilgungsbetrag zu sparen. Ein statistischer Kunde leistet zu diesem Zeitpunkt in gleicher Weise seine Sondertilgung, wie wenn der Zinssatz auf 4 % sinkt und die Sondertilgung für ihn vorteilhaft ist. Im Bereich der impliziten Optionen kann nicht davon ausgegangen werden, dass Kunden, deren Sondertilgungsrecht im Geld ist und dieses nicht ausnutzen, automatisch statistische Ausüber sind, die in jeder Situation die Sondertilgung unabhängig von der Zinssituation leisten. Vielmehr muss davon ausgegangen werden, dass verschiedene Kunden unterschiedlich sensibel auf die Zinsänderung reagieren. Dazu müssen zwei Fälle unterschieden werden. Mittelwert Minimum Maximum Perzentile 5 Perzentile , , , , , ,50 0, , , ,58 50,28 0,00 637,58 0,80 184,62 53,51 0,00 100,00 2,02 100,00 1,69-5,93 8,06-0,81 4,70 2,41-4,22 8,06 0,42 4,97 0,70-5,93 6,35-1,41 3,40 Schaden 4 958, , ,41-889, ,17 Restlaufzeit 3,87 0,18 18,88 0,39 9,46 Abb. 1 B.Bl. 9/2001 Fall 1 Der Kunde verfügt über freie Liquidität, die er entweder in der Sondertilgung oder in einer alternativen Anlage verwenden kann. Der rein statistische Kunde nutzt die Sondertilgung immer vollständig durch die vorhandene freie Liquidität aus. Der rein optionale Kunde leistet die Sondertilgung nur dann, wenn er für eine Alternativanlage nach Steuern einen geringeren Zins erhält. Das reale Verhalten der Kunden wird durch diese Zweiteilung nicht adäquat abgebildet. Vielmehr müssen Ausübeschwellen beachtet werden, denn der statistische Kunde leistet die Sondertilgung so lange, bis er für die Alternativanlage (nach Steuern) einen um x- Prozentpunkte höheren Zins bekommt. Sobald diese Schwelle überschritten ist, verhält sich der Kunde optional. Ein Beispiel macht das deutlich. Der Darlehenszins sei 6 %. Bei einer Ausübeschwelle von 2 % übt der Kunde die Sondertilgung so lange aus, bis der Anlagezins 8 % erreicht hat. Liegt der Anlagezins über 8 %, wird eine Alternativanlage gewählt. Fall 2 Der Kunde verfügt über keine freie Liquidität, so dass die Sondertilgung einer Umschuldung des Sondertilgungsbetrags zu neuen Konditionen entspricht. Dies ist insofern von Bedeutung, da eine Umschuldung für den Kunden wesentlich mehr Bemühungen erfordert (neue Ver-

2 Betriebswir tschaftliche Blätter 409 tragsverhandlungen, Notarkosten etc.) als die Tilgung aus freien Mitteln. Eine Umschuldung lohnt sich also nur dann, wenn der Vorteil der Umschuldung größer ist als die entstandenen Kosten, d. h. die tatsächlichen Kosten und Mühen des Kunden. Der folgende Fall veranschaulicht dies. Der Darlehenszins sei 6 %. Bei einer Ausübschwelle von 1,5 % wird die Umschuldung nur dann durchgeführt, wenn der neue Darlehenszins unter 4,5 % liegt 2. Verteilung der Sondertilgung Ausübeschwellen Demnach kann ein rein statistischer Kunde als optionaler Kunde mit einer unendlichen Ausübeschwelle beschrieben werden. In der Praxis wird weder ein rein optionaler noch ein rein statistischer Kunde zu beobachten sein. Vielmehr besitzen die Kunden unterschiedliche Ausübeschwellen, deren Verteilung in einem Modell skizziert werden müssen. Damit ist auch der Fall abgedeckt, dass der selbe Kunde mehrere Ausübeschwellen besitzt, die die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten für die optionalen Ausübungen definieren. >Datenerhebung Datengrundlage Bei der Datenerhebung besteht das Hauptproblem darin, dass derzeit keine Möglichkeit besteht, die eingeräumten Sondertilgungsrechte im Konto zu erfassen und über die operativen Systeme auszuwerten. Nur eine manuelle Erfassung in einem Stand-Alone-System (Access oder Excel) ist derzeit realisierbar. Damit sind im ersten Schritt nur Neuabschlüsse im laufenden Geschäftsprozess erfassbar. Für eine statistische Erhebung und Ursachenanalyse ist aber ein repräsentativer Bestand mit Altdaten erforderlich. Eine Möglichkeit zur Nacherhebung dieser Optionsrechte stellt das vollständige oder stichprobenartige Aktenstudium im Kreditbereich dar. Wegen des damit verbundenen exorbitanten Aufwands wurde dieses Vorgehen zunächst nicht weiter verfolgt. Für die Untersuchung wurde daher eine indirekte Vorgehensweise gewählt. Als Datengrundlage dienen wohnwirtschaftliche Darlehen. Mit Hilfe einer Datenbankabfrage wurden alle Sondertilgungen ermittelt, wobei die Ursache für die Sondertilgung nicht direkt bekannt ist. Von den verbleibenden Datensätzen wurden die eliminiert, für die ein Vorfälligkeitsentgelt berechnet wurde. Dahinter steht die Vermutung, dass für alle nicht vereinbarten Kündigungen Vorfälligkeitsentschädigung in Rechnung gestellt wurde. Damit sind Sondertilgungen ausgeschlossen, bei denen im Vertrag kein oder ein unzureichendes Sondertilgungsrecht vereinbart war, die Bank definitiv einen Schaden hatte und ihn den Kunden in Rechnung gestellt hatte. Im untersuchten Datenbereich verbleiben damit nicht vereinbarte Sondertilgungen, bei denen die Bank keinen Schaden hatte bzw. aus Kulanzgründen auf einen Ersatz des Schadens verzichtet wurde. Letztere sind für die Untersuchung problematisch, können aber mit den vorhandenen Methoden nicht bereinigt werden. Abb. 2 B.Bl. 9/2001 Verteilung der Sondertilgung als Vielfaches der Regelrate Abb. 3 B.Bl. 9/2001 Verteilung der Sondertilgung in % des Restkapitals Ein Analysezeitraum über einen kompletten Zinszyklus wäre wünschenswert, um Aussagen über den Einfluss der Zinsänderung auf die Optionsausübung geben zu können. Aus technischen Gründen konnte jedoch lediglich ein Zeitraum von maximal zwölf Monaten ausgewertet werden. Dennoch wurden aussagekräftige Resultate erzielt. >Untersuchungsprogramm Aus den Basisdaten wurden folgende Felder errechnet: Restzinsbindung des Darlehens (in Jahren gerundet) Diese Information ist notwendig, um die vergleichbare Rendite Abb. 4 B.Bl. 9/2001

3 410 Verteilung abzüglich Restlaufzeit Verteilung abzüglich 1-Jahres-Zins Abb. 5 B.Bl. 9/2001 Abb. 6 B.Bl. 9/2001 für die selbe Restlaufzeit zu ermitteln. Ferner ist die Größe zur näherungsweisen Berechnung des Schadens/Nutzens bei Sondertilgung erforderlich. Pfandbriefrendite zum Zeitpunkt der Sondertilgung für die Restzinsbindungsdauer Diese Größe wird für einen Vergleich mit dem Darlehenszins benötigt. 1-Jahres-Zins (Pfandbriefkurve) zum Zeitpunkt der Sondertilgung Bei der Verwendung freier Mittel orientiert sich der Kunde eventuell nicht an der Restlaufzeit, sondern am Anlagezins für kurzfristige Gelder. 10-Jahres-Zins (Pfandbriefkurve) zum Zeitpunkt der Sondertilgung Bei einer Umschuldung orientiert sich der Kunde vermutlich nicht an der Restlaufzeit, sondern an der Kondition für zehnjährige Darlehen. Diese Kondition geht aus der Pfandbriefkurve zuzüglich einer Marge hervor. abzüglich Zinssatz der Restlaufzeit zum Zeitpunkt der Sondertilgung Mit dieser Größe soll aus Kundensicht dargestellt werden, ob bei frei verfügbarer Liquidität die Sondertilgung oder die Anlage des Gelds bis zum Zinsbindungsende des Darlehens vorteilhaft ist. Je größer die Differenz ist, um so günstiger ist es, die Sondertilgung auszunutzen. Eine negative Differenz bedeutet, dass die Sondertilgung geleistet wurde, obwohl bei einer Alternativanlage bis zum Zinsbindungsende ein höherer Zins erzielbar gewesen wäre. Dabei bleibt allerdings die persönliche Steuersituation des Kunden unberücksichtigt. Für den Kunden lohnt sich die Alternativanlage nur dann, wenn der Zinsvorteil auch nach Berücksichtigung des persönlichen Steuersatzes noch gilt (Guthabenzinsen über den Freibetrag sind zu versteuern, Schuldzinsen können bei eigengenutzten Objekten nicht abgezogen werden). abzüglich 1-Jahres-Zins zum Zeitpunkt der Sondertilgung: Die Motivation für ein solches Verhalten ist analog dem vorherigen Punkt zu se- Verteilung abzüglich 10-Jahres-Zins Verteilung Schaden Abb. 7 B.Bl. 9/2001 Abb. 8 B.Bl. 9/2001

4 Betriebswir tschaftliche Blätter 411 Korrelationen SoTi als Vielfaches der Regelrate SoTi in % des Restkapitals abzgl. Zins der RLZ abzgl. 1-Jahres-Zins abzgl. 10-Jahres-Zins SoTi als Vielfaches der Regelrate hen. Der Kunde präferiert dabei als Alternative zur Sondertilgung die kurzfristige Liquiditätsanlage. abzüglich 10-Jahres-Zins zum Zeitpunkt der Sondertilgung Die Begründung dafür ist analog dem vorherigen Punkt zu sehen. Ein Kunde mit freier Liquidität und langfristigem Anlagehorizont wird (unter Beachtung der Ausübeschwellen) die Sondertilgung wahrnehmen, wenn der aktuelle 10-Jahres-Zins unter dem Darlehenszins liegt. Eine Kunde ohne freie Liquidität 1,000 *0,593 *0,593 *0,121 0,035 0,241 0,043 0,154 abzgl. Zins der RLZ *0,121 1,000 *0,259 *0,259 *0,137 *0,143 abzgl. 1- Jahres-Zins 0,035 0,241 *0,137 1,000 *0,913 *0,913 *0,915. abzgl Jahres-Zins. 0,043. 0,154. *0,143.. *0, ,000 *0,984.. *0,984 1,000. Abb. 9 * Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikant. B.Bl. 9/2001. wird bei dieser Situation das Sondertilgungsrecht tendenziell zum Zweck der Umschuldung nutzen. Sondertilgung als Vielfaches der Ratenhöhe Dieser Wert dient zum einen als Indikator für die Kapitaldienstfähigkeit des Kunden. Es ist zu vermuten, dass Kunden, die zum Beispiel mehrere Monatsraten als Sondertilgung erbringen, auch in der Lage sind, höhere Regelraten zu bezahlen. Zum anderen dient die Größe als Merkmal für die Herkunft der Sondertilgung. Sobald eine Jahresrate überschritten wird, ist zu vermuten, dass die Sondertilgung nicht aus dem laufenden Einkommen bestritten wird. Sondertilgung in Prozent des Restkapitals Der Wert drückt aus, ob es sich bei der Leistung eher um eine Sondertilgung oder eine Vollablösung handelt. Schaden/Nutzen der Sondertilgung Diese Größe gibt den Schaden/Nutzen der Sondertilgung aus Sicht der Sparkasse an. Da nur Fälle selektiert wurden, für die kein Vorfälligkeitsentgelt verlangt wurde, bleibt dieser Schaden/Nutzen ungeschmälert bei der Sparkasse. Vereinfacht wurde der Schaden anhand der Formel (Sondertilgung x Restlaufzeit x (Zinsdifferenz Konto zu Zins der Restlaufzeit)/100) errechnet, da für eine exakte Berechnung weitere notwendige Informationen fehlten. >Ergebnisse der Auswertung Ausübungsverhalten Wie Abbildung 1 zeigt, erfolgten im Referenzzeitraum rund Sondertilgungen, für die keine Zahlung von Vorfälligkeitsentgelt festgestellt werden konnte. Die Sondertilgung lag bei rund DM, was bei monatlicher Zahlung der Regelrate zirka einer vierfachen Jahresannuität entspricht. Die zum Teil sehr hohen Werte (Sondertilgung als Vielfaches der Regelrate) sind durch endfällige Darlehen zu begründen, die einen niedrigen Darlehenszins beispielsweise durch ein hohes Disagio ausweisen. Die Sondertilgung entsprach rund 55 % der Statistische Kennzahlen der beiden Klassen Klasse SoTi in % des Restkapitals Ursprungsdarlehensbetrag Sondertilgungsbetrag SoTi als Vielfaches der Regelrate SoTi in % des Restkapitals abzgl. Zins der RLZ abzgl. 1- Jahres-Zins abzgl. 10- Jahres-Zins Schaden Rest-. laufzeit. 1 N Gültig Mittelwert , ,44 90,98 97,20 2,14 2,62 0, ,47 3,02. Minimum 5 000,00 5,00 0,01 70,00-2,17-1,41-3, ,59 0,18. Maximum , ,96 637,58 100,00 8,06 8,06 6, ,41 18,88. Perzentile , ,80 5,47 79,65-0,40 0,51-1, ,28 0,34. Perzentile , ,32 204,46 100,00 5,11 5,29 3, ,12 8,56. 2 N Gültig Mittelwert , ,44 19,21 20,17 1,35 2,25 0, ,28 4,51. Minimum ,00 0,05 0,00 0,00-5,93-4,22-5, ,50 0,18. Maximum , ,00 252,05 68,00 6,67 7,13 5, ,02 18,86. Perzentile ,00 626,50 0,42 0,76-0,96 0,36-1,46-705,32 0,67. Perzentile , ,00 74,14 55,90 4,36 4,64 3, ,75 9,64. Abb. 10 B.Bl. 9/2001.

5 412 Verteilung Restkapital vor Sondertilgung Verteilung Restkapital vor Sondertilgung Abb. 11 B.Bl. 9/2001 Abb. 1 2 B.Bl. 9/2001 Restschuld. Dabei lag die Option im Vergleich zur Restlaufzeit rund 1,70 %-Punkte, im Vergleich zur 10-Jahres-Kondition 0,7 %- Punkte im Geld. Das heißt, die Kunden haben im Durchschnitt einen Vorteil von 0,7 %- Punkten erzielt. Dies entspricht einem durchschnittlichen Schaden je Sondertilgung von rund DM. Auffallend bei diesen beiden Werten ist die Spannweite zwischen dem niedrigsten und höchsten Wert bzw. die Streuung der Werte, die auch aus den Zahlen für die Perzentile abgelesen werden kann. Dabei lässt sich erkennen, dass auch Sondertilgungen geleistet werden, obwohl aus Kundensicht eine Geldanlage zumindest ohne Steuern rentabler gewesen wäre. Dies ist aus einer negativen Differenz zwischen dem Kontound dem Alternativzins bzw. aus einem negativen Schaden erkennbar. Die ausgewählten Histogramme zeigen die Verteilung der einzelnen Merkmale, wobei hier nur auf die auffälligen Ausprägungen eingegangen wird. Abbildung 2 dokumentiert, dass mehr als die Hälfte der Sondertilgungen unter DM liegen. Der hohe Mittelwert, der um das Vierfache höher ist als der Modus, resultiert aus wenigen, aber sehr hohen Sondertilgungen, die als Ausreißer zu werten sind. Die Grafiken der Sondertilgung (Abb. 2 und 3) als Vielfaches der Regelrate und in Prozent des Restkapitals machen deutlich, dass bei diesen Merkmalen keine Normalverteilung, sondern eine starke Linksschiefe bzw. Rechtsschiefe vorliegt. Rund 35 % der Sondertilgungen bewegen sich im Bereich einer Jahresrate, mehr als 50 % im Bereich zweier Jahresraten. Im Hinblick auf das Restkapital ist als häufigster Intervall mit rund 35 % der Fälle die Vollablösung zu beobachten. Auffällig ist, dass mit Ausnahme des ersten Intervalls die aufgetretenen Häufigkeiten kontinuierlich bis zur Vollablösung zurückgehen. Die Verteilung lässt vermuten, dass sich zwei Gruppen mit unterschiedlichen Intentionen bilden lassen, nämlich von Kunden, die eine Sondertilgung innerhalb eines überschaubaren Rahmens, Verteilung Restlaufzeit Verteilung Restlaufzeit Abb. 13 B.Bl. 9/2001 Abb. 1 4 B.Bl. 9/2001

6 Betriebswir tschaftliche Blätter 413 Verteilung Sondertilgung in % des Restkapitals Verteilung Sondertilgung in % des Restkapitals Abb. 1 5 B.Bl. 9/2001 Abb. 16 B.Bl. 9/2001 beispielsweise in zwei Jahresraten leisten, um beispielsweise schnell schuldenfrei zu sein, Kunden, die das Darlehen vollständig auflösen, um gegebenenfalls zu günstigeren Konditionen umzuschulden. Wie die Histogramme in Abbildung 5 bis 8 zeigen, sind die Differenzen zwischen dem Darlehenszins und dem Zins der Restlaufzeit, des 1-Jahres-Zinses und des 10-Jahres-Zinses am ehesten normalverteilt. Im Vergleich zur Restlaufzeit ist die Option ohne Berücksichtigung der Marge zum Zeitpunkt der Ausübung mit durchschnittlich 1,7 %-Punkten im Geld. Diese Aussage ist nach der Kapitalherkunft zu differenzieren. Für den Kunden, der den Sondertilgungsbetrag umschuldet, ist der Vorteil der Sondertilgung 1,7 %-Punkte abzüglich der prozentualen Marge, die das Kreditinstitut bei der Umschuldung vereinnahmt. Beispiel: Der Darlehenszins liegt bei 6 %, der aktuelle Pfandbriefsatz bei 4,3 %. In der Statistik beträgt der Vorteil 1,7 %-Punkte. Der tatsächliche Vorteil für den Kunden beziffert sich jedoch nur auf 1,7 %-Punkte abzüglich der Marge für das neue Darlehen. Das bedeutet, dass der Kunde bei einer angenommenen Marge von 0,75 %-Punkte erst ab einer Größenordnung von +0,75 %-Punkte für die ausgewiesene Differenz einen Vorteil erlangt. Diesem Sachverhalt wird in den Grafiken mit der rechten gestrichelten Linie Rechnung getragen. Für den liquiden Kunden, der eine Verwendung für das freie Kapital sucht, ist die Sondertilgung um 1,7 %-Punkte zuzüglich der Marge, die das Kreditinstitut für die Vermögensanlage vereinnahmt, vorteilhaft. Beispiel: Der Darlehenszins liegt bei 6 %, der aktuelle Pfandbriefsatz bei 4,3 %. In der Statistik beträgt der Vorteil +1,7 %- Punkte. Der tatsächliche Vorteil für den Kunden beträgt jedoch 1,7 %-Punkte plus der Marge für die Alternativanlage. Das be- Verteilung abzüglich Zins Restlaufzeit Verteilung abzüglich Zins Restlaufzeit Abb. 17 B.Bl. 9/2001 Abb. 1 8 B.Bl. 9/2001

7 414 Verteilung abzüglich 1-Jahres-Zins Verteilung abzüglich 1-Jahres-Zins Abb. 1 9 B.Bl. 9/2001 Abb. 2 0 B.Bl. 9/2001 deutet, dass der Kunde bei einer angenommenen Marge von 0,5 %-Punkte schon ab einer Grenze von -0,5 %-Punkte für die ausgewiesene Differenz einen Vorteil erlangt. Diesem Sachverhalt wird in den Grafiken mit der linken gestrichelten Linie Rechnung getragen. Einflussfaktoren der Sondertilgungshöhe Interessant ist die Frage, ob generell ein Zusammenhang besteht zwischen einer Sondertilgung und der Tatsache, ob sie für den Kunden von Vorteil ist oder nicht. Dieses Verhältnis kann mit der Korrelationsanalyse untersucht werden (s. Abb. 9). Die Untersuchung zeigt, dass sich die Sondertilgung sowohl als Vielfaches der Regelrate als auch in % des Restkapitals und die Differenz zwischen Darlehenszins und Pfandbriefzins nur schwach bis nicht korreliert sind. Das bedeutet, dass aus der vorliegenden Datengrundlage nicht festgestellt werden kann, dass die Kunden Sondertilgungen dann häufiger ausnützen, wenn sie für diese aus betriebswirtschaftlichen Gründen von Vorteil sind. >Ausübungsverhalten Cluster Ziel einer Clusteranalyse 3 ist es, Gruppen von Fällen so zu finden, dass das Verhalten der Kunden innerhalb der Kundengruppe möglichst homogen ist und zwischen den Gruppen möglichst große Unterschiede auftreten. Für die Clusteranalyse wurden folgende Merkmale berücksichtigt: abzüglich Zins über die Restlaufzeit, abzüglich 1-Jahres-Zins zum Zeitpunkt der Sondertilgung, abzüglich 10-Jahres-Zins zum Zeitpunkt der Sondertilgung, Sondertilgung als Vielfaches der Ratenhöhe, Sondertilgung in % des Restkapitals. Dabei stellt sich heraus, dass das einzig relevante Merkmal die Sondertilgung in % des Restkapitals zur Clusterbildung darstellt. Verteilung abzüglich 10-Jahres-Zins Verteilung abzüglich 10-Jahres-Zins Abb. 21 B.Bl. 9/2001 Abb. 22 B.Bl. 9/2001

8 Betriebswir tschaftliche Blätter 415 Als optimale Klassenanzahl wurden zwei festgestellt. Die weiteren statistischen Untersuchungen werden nach diesen Klassen differenziert (s. Abb. 10). Bei Betrachtung der beiden Klassen lassen sich aufgrund der deskriptiven Auswertung die folgende Aussagen treffen. Die Klassen lassen sich in erster Linie nach der Sondertilgungshöhe in Abhängigkeit vom Restkapital unterscheiden. Dabei stellt sich die Klasse 1 mit einer Sondertilgung in Höhe von durchschnittlich 97 % des Restkapitals als Vollablöser dar, die Klasse 2 mit rund 20 % als klassische Sondertilger. Unterschiede lassen sich auch in der Restzinsbindungsdauer feststellen. Während die Klasse 1 nur mehr eine Zinsbindung von durchschnittlich 3 Jahren aufweist, verfügt Klasse 2 noch über eine Zinsbindung von 4,5 Jahren. Darüber hinaus zeigt die Auswertung ( abzüglich den Pfandbriefzinsen), dass bei der Klasse 1 die Ausübeschwelle wesentlich höher ist als bei der Klasse 2. Dafür kann es zwei Gründe geben. Zum einen könnte es sein, dass sich eine Vollablösung aufgrund von Kosten etc. erst dann rentiert, wenn die Option weit im Geld ist. Zum anderen könnte dies auf einen höheren Anteil statistischer Ausübungen in der Klasse 2 sprechen, die auch ausüben, wenn die Option aus dem Geld ist. In diesem Zusammenhang werden die Histogramme der einzelnen Auswertungen nochmals gegenübergestellt. Da die Histogramme die Klassen nur beschreiben, jedoch keine Aussage darüber machen, ob die Klassenunterschiede signifikant sind, erfolgt im Anschluss ein Signifikanztest. Die Auswertung (s. Abb. 11 und 12) zeigt, dass die Darlehen, die in den Bereich der Vollablöser fallen, im Durchschnitt eine um 20 % geringere Restschuld aufweisen als bei den Sondertilgern. Aus dem Histogramm ist zudem erkennbar, dass insbesondere der Anteil der Restschuld bis DM in Klasse 1 sehr viel stärker vertreten ist als in Klasse 2. Nachdem die Tilgung in Klasse 1 im Durchschnitt wesentlich später erfolgt (3 Jahre vor Zinsbindungsende) als in Klasse 2 (4,5 Jahre vor Zinsbindungsende), ist das geringere Restkapital in Klasse 1 schlüssig erklärbar. Im Bereich der Vollablöser (s. Abb. 13) ist die Sondertilgung um so höher, je kürzer die Restlaufzeit ist. Für die Sondertilger (s. Abb. 14) können zwei Gruppen gebildet werden, innerhalb derer die Häufigkeit der Sondertilgung nahezu gleichverteilt ist, der Restlaufzeitenbereich 1 bis 5 Jahre, Restlaufzeitenbereich 6 bis 10 Jahre. Dies kann dadurch erklärt werden, dass bis vor einigen Jahren innerhalb der untersuchten Sparkassen die Festzinsbindungsdauer von 10 Jahren aufgrund fehlender eigener Passivprodukte in dieser Laufzeit sehr restriktiv behandelt und fast ausschließlich fünfjährige Zinsbindungen verkauft wurden. Auf die Grafik übersetzt bedeutet dies, dass im Bereich 1 bis 5 Jahre alle fünf- und zehnjährigen Zinsbindungen enthalten sind, im Bereich 6 bis 10 Jahre nurmehr die zehnjährigen. Die annähernde Gleichverteilung der beiden Gruppen innerhalb der Klasse 2 lässt vermuten, dass sich die Kunden größtenteils statistisch verhalten und damit die Sondertilgung unabhängig von der aktuellen Zinssituation leisten. Eine überschneidungsfreie Trennung der Gruppen lässt sich anhand des Kriteriums Sondertilgung in % des Restkapitals erreichen (s. Abb. 15 und 16). Die Trennung liegt bei 70 % des Restkapitals. Die Abbildungen 16 bis 21 zeigen, dass die Sondertilgung für die Vollablöser weitaus vorteilhafter (im Geld) sein muss als für die Sondertilger. Bei den Vollablösern ist der Anteil derjenigen, für die sich die Sondertilgung im Vergleich zum jeweiligen Zins nicht lohnt, deutlich kleiner als bei den Sondertilgern. Dies ist zum einen am Mittelwert des Zinsvorteils, zum anderen an der Lage der skizzierten Trennlinien in den Diagrammen erkennbar. Ein erstaunlicher Effekt lässt sich zum Zeitpunkt der Sondertilgung erkennen (s. Abb. 23 und 24). Bei beiden Gruppen erfolgen mehr Sondertilgungen in den Monaten Dezember bis Mai. Dieser Effekt ist bei den Sondertilgern aber wesentlich deutlicher. Ein möglicher Grund für den Zeitpunkt einer eventuellen Sondertilgung könnte die Zahlung von Weihnachtsgeld, Erfolgsprämie oder auch der Eigenheimzulage darstellen. Ein deutlicher Unterschied zwischen den beiden Klassen lässt sich auch darin feststellen, wie viele Regelraten die Sondertilgung darstellt (s. Abb. 25 und 26). Während die Klasse der Vollablöser im Schnitt 7,5 Jahresraten für die Ablösung aufwendet, umfasst die Sondertilgung lediglich 1,5 Jahresraten. Signifikanz der Aussagen Anhand der deskriptiven Statistik und der Häufigkeitsverteilungen kann nun aber keine Aussage darüber getroffen werden, ob sich die beiden Klassen hinsichtlich der Merkmale signifikant unterscheiden. Daher wurde ein Kolmogorov-Smirnov-Signifikanztest durchgeführt. Dabei stellte sich heraus, dass sich die beiden Klassen bei allen vorher dargestellten Merkmalen hochsignifikant unterscheiden. Die Sinnhaftigkeit dieser Klassenbildung wird dadurch nochmals bestätigt. Korrelation der Merkmale Auch nach der Gruppenbildung lassen sich keine hochkorrelierten Zusammenhänge zwischen abzüglich der dargestellten Pfandbriefsätze einerseits und der Sondertilgung andererseits feststellen. Die Anzeige Finanzkolloquium

9 416 Verteilung Monat der Sondertilgung Verteilung Monat der Sondertilgung Abb. 23 B.Bl. 9/2001 Abb. 2 4 B.Bl. 9/2001 Ergebnisse der Korrelationsanalyse der nicht klassifizierten Merkmale gelten damit auch nach der Klassifizierung. >Zusammenfassung Die Untersuchung zeigt, dass sich zwei Gruppen von Kunden bilden lassen, die gewährte Sondertilgungsrechte nutzen. Die erste Gruppe, die hier VolIablöser genannt worden ist, leistet sehr hohe Sondertilgungen. In der Regel wird die gesamte Restschuld zurückgeführt. In dieser Gruppe wird überwiegend auf den rechnerischen Vorteil aus der Sondertilgung geachtet. Derartige Optionsrechte müssen entsprechend mit den Methoden der Optionspreistheorie bewertet werden. Allerdings lassen sich konkrete Ausübeschwellen nur schwer bestimmen. Die zweite Gruppe, die wir als Sondertilger bezeichnet haben, weist deutliche Kennzeichen des statistischen Ausübungsverhaltens auf. Bei geeigneter Produktgestaltung und Einschränkung des Sondertilgungsrechts auf ein bestimmtes Vielfaches der Rate oder einen Maximalanteil des Ursprungskapitals (Beispiel 5 %) kann dieses Ausübungsrecht statistisch kalkuliert werden. Zu weiteren Aussagen ist das statistische Material noch nicht umfangreich genug. Die Untersuchungsperiode fiel überwiegend in eine Phase sinkender Zinsen. Deshalb muss das Verhalten der Kunden bei einem Zinstrend nach oben ergänzend untersucht werden. Zusätzlich gilt es, nicht nur das Ausübungsverhalten ex post zu untersuchen, sondern auch die Kunden ex ante nach ihren Intentionen zu fragen, wenn sie ein Recht zur Sondertilgung wünschen. Ohne diese beiden Komponenten wird die Parametrisierung in jedem Modell erfolglos bleiben. 1 Auf die relevante Art und Laufzeit der Alternativanlage wird zu einem späterem Zeitpunkt eingegangen. 2 Welche Zinsbindungsdauer für das Darlehen relevant sein kann, wird an späterer Stelle erläutert. 3 Für die Clusteranalyse wurde das Verfahren Average-Linkage (zwischen den Gruppen) mit einer euklidischen Distanzmatrix als geeignetstes Verfahren verwendet. Verteilung Sondertilgung als Vielfaches der Regelrate Verteilung Sondertilgung als Vielfaches der Regelrate Abb. 25 B.Bl. 9/2001 Abb. 2 6 B.Bl. 9/2001