f Z (z) = 0 sonst = 1

Transkript

1 Lösungsvorschläge zu Blatt 8) Da das Teilchen sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegt und zufällig gestoppt wird und da Z und Z + kπ, k Z, das gleiche X liefern, kann Z als eine auf [ π, π] gleichverteilte ZV angesehen und X = cos Z gesetzt werden. Die Verteilungsdichte von Z ist somit (vergl. 5a) mit a = π und b = π): { 1/(π) für π z π f Z (z) = 0 sonst a) Verteilungsfunktion von X: 1 x 1 : F (x) := P (X x) = P (cos Z x) = P (cos Z < x) = P (cos Z < x), da Z eine stetige ZV und cos eine gerade Funktion ist (cos( α) = cos α). Da nun arccos eine streng monoton fallende Funktion ist, x in ihrem Definitionsbereich liegt und arccos(cos α) = α für 0 α π gilt, kann man weiter folgern: F (x) = P ( Z > arccos x) = 1 P ( Z arccos x) = 1 P ( arccos x Z arccos x) ( ) = 1 Intervallänge von [ arccos x, arccos x] Intervallänge von [ π, π] = 1 arccos x = 1 arccos x. π π Dabei wurde für ( ) benutzt, dass [ arccos x, arccos x] [ π, π] und dass Z in [ π, π] gleichverteilt ist. Da die Verteilungsfunktion monoton wachsend ist, gilt schließlich: x < 1 0 F (x) F ( 1) = 1 (arccos( 1))/π = 1 π/π = 0 F (x) = 0. x > +1 1 F (x) F (1) = 1 (arccos 1)/π = 1 0/π = 1 F (x) = 1. b) f(x) = F (x) = 0 für x < 1 1 π 1 1 x für 1 < x < 1 0 für x > 1 f(x) kann in endlich vielen Stellen x (also z.b. in ±1) undefiniert bleiben oder willkürlich definiert werden (z.b. f(±1) := 0). Es bleibt dann zu beweisen, was aber hier nicht durchgeführt werden soll: F (x) = x f(t)dt f.a. x c) E(X) = E(cos Z) = cos z f Z (z)dz = 1 π π cos z π dz = 1 π [sin z]π π = 0

2 d) V (X) = E(X ) (E(X)) = E(cos Z) 0 = π π (cos z) dz = 1 π π [ z + = 1 4π sin z π π ] π π 1 + cos z dz = π 4π = 1. 9) X sei der Gewinn bei Entscheidung A und Y der Gewinn bei Entscheidung B. a) E(X) = ( 1) 0.0 = 1.55, E(X ) = ( 1) 0.0 = 4.075, V (X) = E(X ) (E(X)) = = 1.675, (X) := V (X) = = 1.9, E(Y ) = ( ) 0.30 =.1, E(Y ) = ( ) 0.30 = 1.3, V (Y ) = E(Y ) (E(Y )) = = 7.89, (Y ) := V (Y ) = 7.89 =.8, b) Wenn eine Unternehmensleitung nur auf den erwarteten Gewinn achtet, wird sie sich für Alternative B entscheiden. Dies ist aber mit einem großen Risiko verbunden; denn es sollten auch Abweichungen von dem erwarteten Gewinn berücksichtigt werden, und dies lässt sich grob mit dem Intervallen [E(X) (X), E(X) + (X)] = [ , ] = [0.6,.84], [E(Y ) (Y ), E(Y ) + (Y )] = [.1.8,.1 +.8] = [ 0.7, 4.9] erreichen. Bei Alternative B reicht dieses Intervall in den negativen Bereich und bei Alternative A nicht. Andererseits ist 4.9 deutlich größer als.84. eine risikofreudige Unternehmensleitung wird sich wohl für Alternative B, eine sehr vorsichtige für Alternative A entscheiden. 10)Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit P ( X E(X) (X)) = P (E(X) (X) X E(X) + (X)) für einige ZV aus den vorherigen Aufgaben. zu 4 b) E(X) = 0 und aus p 1/ folgt: (X) = p 1. Für p = 0 ist X keine echte ZV und damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit = 1. p = 1/ : P (E(X) (X) X E(X) + (X)) = P ( 1 X 1) = 1, da X nur Werte zwischen ( 1)und (+1) annimmt. 0 < p < 1/ : P (E(X) (X) X E(X) + (X)) = P ( p X p) = P (X = 0) = 1 p. (P ( X E(X) (X)) kann also sehr klein werden.) Dabei wurde benutzt, dass 1 < p < 0 und 0 < p < 1 ist und X nur ganzzahlige Werte annimmt. zu 5 a) (X) = (b a)/( 3) und damit > 0 und < (b a)/, und E(X) = (b + a)/.

3 Daraus folgt: E(X) (X) > b + a b a = a und E(X) + (X) < b + a + b a = b. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhalten wir somit, da X eine stetige ZV ist und da das Intergrationsintervall [a, b] ist: E(X)+(X) E(X) (X) dx b a = 1 b a [x]e(x)+(x) E(X) (X) = (X) b a = 1 = zu 5 b) (X) =. Da der Integrand eine gerade Funktion ist und über ein symmetrisches Intervall integriert wird, erhalten wir für die gesuchte Wahrscheinlichkeit: P (0 X 0 + ) = 0.5 e x dx = 0 e x dx = 1 e = ) Bedingungen, damit das Modell des Bernoulli-Experiment exakt anwendbar ist: Zufällige Auswahl aus den wahlberechtigten Einwohnern der Stadt m.z., d.h. es können Personen mehrfach befragt werden. Erfolg : Befragte Person ist für Partei A, Wahrscheinlichkeit: p = 0.45 X:= Anzahl der Resultate für A bei den 50 Befragungen X ist binominalverteilt mit p = 0.45, ( q = 0.55), n = 50 44% von 50 : 46% von 50 : 3 P ( X 3) = P (X = ) + P (X = 3) ( ) ( ) = = ) Annahme: Kreditnehmer verhalten sich unabhängig voneinander. Das Prüfen der 000 Kreditnehmer ist dann ein Bernoulli-Experiment. Erfolg : Kreditnehmer zahlt nicht, Wahrscheinlichkeit: p = Fehlschlag : Kreditnehmer zahlt, Wahrscheinlichkeit: q = Die Zufallsvariable X:= Anzahl der Kreditnehmer, die nicht zahlen ist binominalverteilt mit n = 000, p = 0.001, q = ( ) 000 P (X = k) = k k k P (X > ) = 1 P (X ) 3

4 P (X ) = P (X = k) = k=0 = ( 000 k k=0 [ = P (X > ) = 0.33 ) ( ) k ] Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als von 000 Kreditnehmern nicht zahlen, ist also ) X:= Zahl der an einem Schalter in einer Minute ankommenden Kunden Man erwartet durchschnittlich 3 Kunden pro Minute: E(X) = 3 Poisson-Verteilung mit λ = E(X) = 3 a) Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Kunde in einer Minute ankommt: P (X 1) = P (X = 0) + P (X = 1) ( ) 3 = e 3 0 0! + 31 = 4 e 3 = ! b) Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 5 Kunde in einer Minute ankommen: P (X 5) = 1 P (X < 5) = 1 P (X 4) 4 = 1 e 3 3 k k! = k=0 Für die Ermittlung der der Funktionswerte der Verteilungsfunktion Φ der Standard Normalverteilung benutzen wir die bereitgestellte Tabelle. Da X eine stetige ZV ist, können wir immer < durch und > durch ersetzen und umgekehrt. Es wird hauptsäcchlich Satz angewendet. 16) ( ) 4 3 P (X < 4) = P (X 4) = Φ = Φ(0.5) = P (X 4) = 1 P (X < 4) = ( ) ( ) P ( X 1) = Φ Φ = Φ( 1) Φ(.5) = 1 Φ(1) (1 Φ(.5)) = Φ(.5) Φ(1) = = Da 3 = µ und.5 = 1.5 bzw. = 1 ist, können wir Satz c)v) anwenden: P ( X 3.5) = Φ(1.5) 1 = =

5 P ( X 3 ) = 1 P ( X 3 ) = 1 (Φ(1) 1) = = Bei g) können wir Satz c)v) nicht anwenden, da 5 nicht der Erwartungswert von X ist, aber Satz b) und c)iii): P ( X 5.5) = 1 P ( X 5 <.5) = 1 P ( X 5.5) = 1 P (5.5 X 5+.5) ( ) ( ) = 1 Φ +Φ = 1 Φ(.5)+1 Φ(0.5) = = Weg: Direkte Anwend. der N(0, 1)-Verteilung: Y := X 3 X = Y + 3 N(0, 1)-vert. P (X 4) = P (Y + 3 4) = P (Y 0.5) = Φ(0.5) = ) Die Zufallsvariable X:= Brenndauer einer Glühbirne in Stunden ist näherungsweise N(1300, 150)-verteilt. a) P (X < 1100) ( ) Φ 150 Φ( 1.333) = 1 Φ(1.333) Da wir nun in der Tabelle nicht finden, wenden wir eine schon in der Statistik I im Zusammenhang mit kumulierten Häufigkeiten benutzte Formel zur linearen Interpolation an: Φ(x) Φ(x 1 ) + x x 1 x x 1 ( Φ(x ) Φ(x 1 ) ) x 1 x x Für die benachbarten Argumente erhalten wir aus der Tabelle: Φ(1.33) = Φ(1.34) = Somit liefert die Interpolationsformel mit x 1 := 1.33, x := 1.34 und x = 1.333: Φ(1.333) ( ) =

6 Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhalten wir somit: P (X < 1100) b) P (X > 1400) ( ) Φ Φ(0.667) ( ( ) ) 1 Φ(0.66) + Φ(0.67) Φ(0.66) ( = ) ( ) = = c) P (1000 X 1500) ( ) ( ) Φ Φ Φ(1.333) Φ( ) a) ( ) = ) a) X N(µ, )-verteilt, µ =?, =? ( ) 51 µ! P (X < 51) = P (X 51) = Φ = ( Wir suche in Tabelle x = 51 µ ) mit Φ(x) = Dieser Wert kommt als Funktionswert in der Tabelle nicht vor, da < 0.5 ist. Ausweg: Φ( x) = 1 Φ(x) = = Die Tabelle liefert dann: Dies formen wir noch etwas um: x = 51 µ =.0 µ 51 =.0 (1) ( ) 590 µ! P (X > 590) = P (X 590) = 1 Φ =

7 Bezeichnen wir (590 µ)/ mit y, so suchen wir also einen Wert y mit Φ(y) = = Die Tabelle liefert dann: 590 µ Dies formen wir noch etwas um: =: y = 1.05 Dies in (1) eingesetzt liefert: 590 µ = 1.05 () (1) + () : (590 51) = ( ) = 4 µ = = = 576 b) X N(µ, )-verteilt, µ =?, = 5, d.h. = 15 ( ) 00 µ! P (X > 00) = 1 Φ = Die Tabelle liefert dann: Φ(z) = = µ =: z = µ = µ = 161 ( ) ( ) P (140 X 170) = Φ Φ = Φ(0.6) ( 1 Φ(1.4) ) = ( ) = ) X sei N(10, 0.0)-verteilt. a) Da 10 = µ und 0.03 = 1.5 ist, können wir Satz c)v) anwenden: P ( X ) = Φ(1.5) 1 = =

8 Es sind also 13.36% Ausschuss zu erwarten. b) P (10 C X 10 + C) = P ( X 10 C) ( ) C = Φ 1 =! ( ) C Φ = C Die Tabelle liefert: 0.0 = 1.96 C =