GDT - Grundlagen der Digitaltechnik

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1 GDT - Grundlagen der Digialechnik Kap - Organisaion und Planung Einordnung im Sudienplan Die Einordnung der Veransalung Grundlagen der Digialechnik riche sich nach den akuellen Prüfungsordnung für den Sudiengang Elekroechnik an der Universiä Siegen In aller Regel wird die Veransalung im Semeser (Winersemeser) des Grundsudiums angeboen Zuordnung der Veransalungseile Die Zuordnung von Vorlesung und Übung und Prakikum zu Winersemeser (WS) und Sommersemeser (SS) orienier sich an folgender Tabelle Semeser Akronym Vorlesung Übung Prakikum 2 mal pro Woche in die Vorlesung opional WS GDT 9 Min inegrier Ar und Durchführung der Fachprüfung Die Fachprüfungen für die Veransalung Grundlagen der Digialechnik bedienen sich der Prüfungsform zweisündige Klausur für die Kombinaion Vorlesung mi inegrierer Übung für das Winersemeser Der Prüfungszeiraum lieg dann meis im März des akuellen Jahres Die folgende Tabelle zeig den Zusammenhang zwischen Veransalung, Semeserwochensunden, Prüfungsform, erreichbaren Leisungspunken (LP) und der Dauer des jeweiligen Veransalungseils Veransalungseil Semeserwochensunden Prüfungsform Leisungspunke Dauer in Semesern GDT 4 K2 6 /

2 GDT - Grundlagen der Digialechnik Lehrziele Vor dem Jahreswechsel Woche im Vorlesung und Übungen Semeser Einführung und Organisaion, Compuer, Digialisierung, Codierung BOOLEsche Algebra, Axiome und Geseze, Schalalgebra Wereabellen, Polynome 2 KV-Diagramme, vollsändige Syseme, Effeke, Aufgaben für 3 Woche Äuivalene Ausdrücke, Schalsymbole und Funkionen, Rechenregeln 3 Minimierung, KV-Diagramm Bündelminimierung, Quine/McClusky 4 Beispiel zur Bündelminimierung und Vergleich mi Einzelminimierung Schalwerke, Schalwerks-Analyse, asynchrones RS-FF Zusandsgeseuere FFs, JK-FF und D-FF Schalwerks-Synhese, Anseuergleichungen Zähler-Beispiel Komplexiä, Bauseine, DEC MUX, PLA Nach dem Jahreswechsel OpW+SW, RT-Sprache und Darsellung 2 3 Seuerformen, Einfaches OpW, up-sw Beispiel Erweierung von OpW+SW zum Prozessorkern Befehlsabarbeiung, CISC/RISC, Pipeline 2/2

3 GDT - Grundlagen der Digialechnik Kap 2 - Grundlagen Ein Compuer is eine Funkionseinhei zur Verarbeiung von Daen, nämlich zur Durchführung mahemaischer, umformender, überragender und speichernder Operaionen Zeichen sind Elemene zur Darsellung von Informaion aus einer vereinbaren endlichen Menge von verschiedenen Elemenen, dem Zeichenvorra Aufgrund der erläueren Eigenschafen von Compuern is deren Schniselle zur realen Wel durch zwei Umsezungen gekennzeichne, nämlich, ersens durch eine Digialisierung und zweiens durch eine Binärcodierung BOOLEsche Algebra Eine Boolesche Algebra wird wie andere dedukive mahemaische Syseme definier durch eine Menge von Elemenen, eine Menge von Operaionen und eine Anzahl von unbewiesenen Axiomen Die Axiome eines derarigen mahemaischen Sysems bilden die Grundlage, um Säze und Eigenschafen abzuleien Definiion Zweisellige Operaion Durch eine zweisellige Operaion " " (Punk) bezüglich einer Menge M wird jedem geordneen Paar (a, b) mi a, b aus M, ein eindeuig besimmes Elemen c = a b aus M zugeordne Definiion 2 Assoziaiv Eine zweisellige Operaion " " wird bezüglich einer Menge M als assoziaiv bezeichne, wenn gil: ( a b) c = a ( b c) mi a, b, c M Definiion 3: Kommuaiv Eine zweisellige Operaion " " wird bezüglich einer Menge M als kommuaiv bezeichne, wenn gil: a b = b a mi a, b, c M /

4 GDT - Grundlagen der Digialechnik Definiion 4 Disribuiv Seien " " (Punk) und "+" (Kreuz) zwei zweisellige Operaionen auf einer Menge M Dann wird " " als disribuiv über "+" bezeichne, wenn gil: a ( b + c) = ( a b) + ( a c) mi a, b, c M Definiion 5 Neurales Elemen Eine Menge M besiz ein neurales Elemen bezüglich einer zweiselligen Operaion " " wenn es ein Elemen e M gib mi der Eigenschaf: e a = a e = a mi a M Definiion 6 Inverses Elemen Zu einer Menge M, die bezüglich einer zweiselligen Operaion " " ein neurales Elemen e besiz, gib es ein inverses Elemen, wenn für jedes a M ein b M exisier, so dass gil: a b = e mi a, b M Eine häufig benuze formale Definiion der Booleschen Algebra sellen die Huningon'schen Axiome dar Definiion 7 Huningon'sche Axiome Eine Menge von Elemenen B zusammen mi zwei zweiselligen Operaionen " " und "+" is dann eine Boolesche Algebra, wenn die folgenden Axiome gelen: I a) Die Menge B is abgeschlossen bezüglich der Operaion " " I b) Die Menge B is abgeschlossen bezüglich der Operaion "+" IIa) Es gib ein neurales Elemen bezüglich "+", so dass a + = a für jedes a gil IIb) Es gib ein neurales Elemen bezüglich " ", so dass a = a für jedes a gil IIIa) Die Operaion "+" is kommuaiv, a + b = b + a IIIb) Die Operaion " " is kommuaiv, a b = b a IVa) "+" is disribuiv über " ": a + ( b c) = ( a + b) ( a + c) IVb) " " is disribuiv über "+": a ( b + c) = ( a b) + ( a c) V) Falls die beiden neuralen Elemene "" und "" exisieren und eindeuig sind, dann gib es für jedes Elemen a ein Elemen a (Komplemen) mi: a + a = und a a = VI) Es gib mindesens zwei Elemene x und y in B für die x y gil 2/2

5 GDT - Grundlagen der Digialechnik Saz : Idempoenzgeseze Für jedes Elemen a einer Booleschen Algebra B gil: a a = a und a + a = a Beweis: a + a = ( a + a) Axiom IIb = ( a + a) ( a + a) Axiom V = a + ( a a) Axiom IVa = a + Axiom V = a Axiom IIa Durch Verauschen der Operaionen "+" gegen " " und den Konsanen "" und "" läss sich der Beweis für a a = a völlig analog führen Saz 2: Operaionen mi neuralen Elemenen Für jedes Elemen a einer Booleschen Algebra B gil: a += und a = Beweis: a + = ( a + ) Axiom IIb = ( a + a) ( a + ) Axiom V = a + ( a ) Axiom IVa = a + a Axiom IIb = Axiom V Durch Verauschen der Operaionen "+" gegen " " und den Konsanen "" und "" läss sich der Beweis für a = völlig analog führen Saz 3: Absorpionsgeseze Für jedes Elemen a einer Booleschen Algebra B gil: a + ( a b) = a und a ( a + b) = a Beweis: a + ( a b) = ( a ) + ( a b) Axiom IIb = a ( + b) Axiom IVb = a ( b +) Axiom IIIa = a Saz 2 = a Axiom IIb Durch Verauschen der Operaionen "+" gegen " " und den Konsanen "" und "" läss sich der Beweis für a ( a + b) = a völlig analog führen 3/3

6 GDT - Grundlagen der Digialechnik Saz 4: De Morgan'sche Geseze Für alle a und b aus B gil: ( a b) = a + b und ( a + b) = a b Beweis: ( a b) ( a + b ) = ( a b a) + ( a b b ) Axiom IV, V = ( b ) + ( a ) = + = Säze, 2 ( a b) + ( a + b ) = ( a + b + a) ( a + b + b) Axiome IV, V = ( b + ) ( a + ) = + = Säze, 2 Nach Axiom V, nachdem a + a = und a a = gil, muss uner Voraussezung der Eindeuigkei von a die Gleichung ( a b) = a + b gelen, denn nur so lassen sich die beiden Gleichungen erfüllen Durch Verauschen der Operaionen "+" gegen " " und den Konsanen "" und "" läss sich der Beweis für ( a + b) = a b völlig analog führen Saz 5: Dualiäs-Prinzip Jede Aussage oder gülige algebraische Beziehung, die aus den Axiomen einer Booleschen Algebra ableibar is, bleib gülig, wenn die Operaionen "+" und " " und die neuralen Elemene "" und "" gleichzeiig verausch werden 4/4

7 GDT - Grundlagen der Digialechnik Schalalgebra Eingeführ 934 von Claude Shannon zur Beschreibung von bi-sabilen Elemenen x a x y b a y b Reihenschalung -> Konjunkion (UND-Verknüpfung) Parallelschalung -> Disjunkion (ODER-Verknüpfung) Schalersellung Reihenschalung UND Parallelschalung ODER x y x und y a b x oder y a + b offen offen offen offen offen geschlossen offen geschlossen geschlossen offen offen geschlossen geschlossen geschlossen geschlossen geschlossen Der ses geöffnee Schaler wird mi und der ses geschlossene Schaler mi bezeichne Definiion 8 Eine Schalalgebra is eine Boolesche Algebra mi einer binären Trägermenge B = {,}, den Operaionen " " (Konjunkion, UND-Verknüpfung) "+" (Disjunkion, ODER-Verknüpfung) und "-" (Negaion, NICHT-Verknüpfung) und den beiden neuralen Elemenen "" und "" Für die Darsellung der Verknüpfungen der Schalalgebra sind sogenanne Schalsymbole üblich a Inverer a a b UND a b a b ODER a + b Gängige Signalfluss-Richungen (von den Eingängen zu den Ausgängen) sind von links nach rechs oder von oben nach unen 5/5

8 GDT - Grundlagen der Digialechnik BOOLEsche Funkionen f = ( a + b ) c + b + abc + mi a, b und c Elemene einer Booleschen Algebra Auswerung der Ausdrücke: Zuers die Komplemenbildung (Negaion) und danach die Konjunkion (UND-Verknüpfung) Abkürzende Darsellungsweise Definiion 9 Eine n-sellige Schalfunkion is definier als Abbildung f n n : B B, f ( x, x2, Kxn ) = y mi ( x, x2, Kxn ) B, y B Aus dieser Definiion lassen sich besimme Eigenschafen von Schalfunkionen ableien: { } n Für ein gegebenes n umfaß eine Schalfunkion f genau 2 n Elemene, da B n =, gil und somi alle Kombinaionen von und für x,x 2,Kx n aufreen können Die Anzahl der möglichen n-selligen Schalfunkionen ensprich der Anzahl möglicher Abbildungen einer 2 n -elemenigen Menge auf eine 2-elemenige Menge, dh 2 (2 n ) 6/6

9 GDT - Grundlagen der Digialechnik Darsellung durch Wereabellen Index Eingangsvariable Ausgangsvariable i x n x n 2 x 2 x x y = f (x n, x n 2,, x n, x, x ) f (,,,,,) f (,,,,,) 2 f (,,,,,) 3 f (,,,,,) 4 f (,,,,,) 5 f (,,,,,) n 2 2 f (,,,,,) n 2 f (,,,,,) 7/7

10 GDT - Grundlagen der Digialechnik Polynomdarsellung Gegeben seien n Variable x, x, K, x n und die Konsanen und Mi diesen läss sich ein Polynom P wie folg definieren: die Variablen x x, K und die Konsanen sind Polynome,, x n sind P und P 2 Polynome, dann auch P + P 2 und P P 2 is P ein Polynom, dann auch P Offensichlich definier auf diese Weise jedes Polynom von n Variablen eine n-sellige Schalfunkion y : B n B Beispiel P = (x + x ) (x + x ) und P 2 = (x x ) + (x x ), dann läss sich durch Umformung von P zeigen, dass dami dieselbe Schalfunkion beschrieben wird wie mi P 2 P = ( x + x) ( x + x) = x { x + x x + x x + x { x = x x + x x = P 2 = = Merke: Es kann also jedem Polynom eindeuig eine Schalfunkion zugeordne werden, wohingegen eine besimme Schalfunkion durch unerschiedliche Polynome dargesell werden kann Hinweis: Berache man ein zu einer Schalfunkion gehörendes Polynom als Grundlage für deren Realisierung, so gewinn die Wahl des Polynoms Bedeuung im Hinblick auf Aufwand, Anzahl der Sufen, Gaeryp, Laufzei usw 8/8

11 GDT - Grundlagen der Digialechnik Diagrammdarsellung EWVeich und MKarnaugh Ziel -> Vereinfachung von Schalfunkionen anschaulich machen KV-Diagramme zweidimensionale Anordnung von Feldern a b c Kombinaionen von a, b, c, als Dualzahlen x 2 x x Bereiche für die nich negieren Variablen größere Anzahl an Variabeln -> Aneinanderreihen bzw Spiegeln a b c 4 b 2 a c c d /9

12 GDT - Grundlagen der Digialechnik Vollsändige Syseme von Operaionen In der Schalalgebra wird eine Menge von Operaionen als vollsändiges Sysem (funkional vollsändige Menge) bezeichne, wenn sich jede Schalfunkion uner ausschließlicher Verwendung von Elemenen dieser Menge ausdrücken läss Menge { +,, } De Morgan'schen Geseze funkional vollsändig Menge { +, } und {, } funkional vollsändig NAND-Funkion (UND-NICHT, Sheffer-Funkion) y = a b = a b NOR-Funkion (ODER-NICHT, Pierce-Funkion) y = a b = a + b Unerwünsche Effeke digialer Schalungen Laufzei U e U e Inverer U a U a "" "" Saische oder dynamische Harzards /

13 GDT - Grundlagen der Digialechnik Kap 3 - Schalneze (SN) Definiion Ein Schalnez (kombinaorische Schalung) is eine Anordnung, deren Were an den Ausgängen zu irgendeinem Zeipunk nur von den Weren an den Eingängen zu diesem Zeipunk abhängen keine Rückführungen Beschreibung und Enwurfsmehodik Menge von Schalfunkionen e, e, 2, Eingangsvariable ( K e n ) Ausgangsfunkione ( a, a 2, K, a m ) F = { f, f, 2, } Funkionsbündel, K f m e e 2 e n F a a 2 a m a a a a 2 i m = = = = f f f f 2 i ( e, e2, K, en ) ( e, e, K, e ) ( e, e, K, e ) m MM MM n n ( e, e, K, e ) n /

14 GDT - Grundlagen der Digialechnik Sieben Schrie der SN-Synhese Spezifikaion Aufgabensellung Formale Beschreibung Enwurf zb Schalfunkionen Opimierung I Minimierung Umformung für Realisierung Opimierung II Laufzeien ec Verifikaion Simulaion 2/2

15 GDT - Grundlagen der Digialechnik Näherung der Kosenfunkion Kosen proporional zur verbrauchen Chipfläche Anzahl der Eingangsvariablen pro Verknüpfung plus die Anzahl der Verknüpfungen Huningon'sche Axiome Idempoenzgeseze + Definiion des Komplemens Mehrfachverwendung von Disjunkionen oder Konjunkionen Beispiel: y = ab cd + ab cd + abcd + abcd + abcd + ab cd + abcd + ab cd + ab cd = ( a + a) b cd + abc ( d + d ) + ab c ( d + d ) + ab ( c + c) d + ( a + a) bcd = = = b cd + ab d + bcd + ab c + abc = b cd + ab d + bcd + a ( b + b ) c 23 = b cd + ab d + bcd + ac = = = = KV-Diagramm b a y: d c 3/3

16 GDT - Grundlagen der Digialechnik Index Minerme Terme erser Ordnung, a b c d, a b c d a b c, 8 a b c d, a b c d b c d, 3 a b c d, a b cd a b d 8, ab c d,ab cd ab d 3, a bcd,ab cd b cd 6, 4 abcd, abcd bcd, 4 ab cd,abcd acd, ab cd,abcd ab c, 4 ab cd,abcd acd 4, 5 abcd,abcd abc, 5 ab cd,abcd acd y = b c d + a bd + bcd + acd + acd y = b c d + a bd + bcd + ac Primerm essenieller Primerm 4/4

17 GDT - Grundlagen der Digialechnik Quine / Mc Clusky abellenorienierer Ansaz Aufsellen der disjunkiven Normalform 2 Ordnen der Minerme nach der Anzahl negierer Variabler 3 Einragen der Minerme in eine Tabelle 4 Eineilen der Minerme in Gruppen mi gleicher Anzahl negierer Variabler 5 Vergleich der Minerme in benachbaren Gruppen 6 Verkürzen der Minerme, die sich in einer Variablen unerscheiden 7 Durchführung desselben Verfahrens für die Terme erser Ordnung, zweier Ordnung usw 8 Markieren der Primerme i a b c d y ngr P, , Nuller Ordnung i a b c d y ngr P, - A,8 - B,3 - C 8, - D 3, - E 6,4 - F, - 4,5,4 -,5,5-4,5 - Erser Ordnung i a b c d y ngr P,, - - G 4,5,4, - -,5 Zweier Ordnung Minerme A B C D E F G 5/5

18 GDT - Grundlagen der Digialechnik Überdeckungsfunkion ü( y) = ( A + B) ( A + C) ( B + D) ( C + E) F ( D + G) ( E + G) ( F + G) G = ( A + B) ( A + C) ( B + D) ( C + E) F G = ( A + AC + AB + BC) ( BC + BE + CD + DE) F G = ( A + BC) ( BC + BE + CD + DE) F G = ( ABC + ABE + ACD + ADE + BC + BCE + BCD + BCDE) F G = ABEFG + ACDFG + ADEFG + BCFG ü ( y) = BCFG y = bcd + abd + bcd + ac Umformung von Schalfunkionen Die Umformung einer Funkion ha zum Ziel, eine möglichs gue Anpassung an eine angesrebe Realisierung zu erreichen Beispiel: y = abc + a bc + a b c y = abc + a bc + a b c y = ( abc) ( a bc ) ( a b c) Gegeben Gesuch Modifikaion an Variablen an dem Ergebnis Sufe 2 Sufe in Klammer einzeln ausdrücken NOR NOR -- negieren -- konjunkive UND NOR negieren Form NAND NAND negieren -- negieren NAND UND negieren NOR NOR negieren -- negieren disjunkive ODER NAND negieren Form NAND NAND -- negieren -- NOR ODER negieren /6

19 GDT - Grundlagen der Digialechnik Kap 4 - Schalwerke (SW) Speicherelemene (sogenanne Zusandsvariable) Einwirkungen speichern und zu einem späeren Zeipunk wieder zur Verfügung sellen Schalwerke oder seuenielle Schalungen Beschreibung Zusände - zurückliegende Einwirkungen von Eingangsvariablen mi k Speicherpläzen ergeben sich l = 2 k Elemene { z z, K, z, K, z }, z B k {, } k Z =, i l i = Ausgangsverhalens a ( z, e ) z Z = F, Zusandsübergangsverhalen z = G z + (, e ), z Z, z Z + τ τ k Speicherpläze m Ausgänge n Eingänge f i : B k+n B m, ensprechend gil g j : B k +n B k, i m j k /3

20 GDT - Grundlagen der Digialechnik k 2 Speicherelemene k 2 z 2 k G 2 k +τ z e 2 n F 2 m a Auomaen-heoreische Sich und F: E Z A, Fe, ( z)= a G:E Z Z, Ge, ( z)= z MEALY-Auoma allgemeiner Fall (siehe oben) MOORE-Auoma Einschränkung Fz ( ) = a Übergangsabelle Index e z z +τ a i e n,, e, e z k,, z, z z k,, z, z a m,, a, a,,,,,,,,,,,, 2 +n,,,,,, 2/3

21 GDT - Grundlagen der Digialechnik Übergangsgraphen z * z e a Schalwerks-Analyse Rückkopplungsfrei * ( z e) a = F, * ( e) z = G z, Das bedeue für eine einzelne aufgerenne Rückkopplung e * z Schalnez z a * ( z e) zi = gi, 3/3

22 GDT - Grundlagen der Digialechnik Anleiung zur Schalwerks-Analyse Sechs Schrie der SW-Analyse Woran erkenn man eine Rückkopplung? Verbindung des Ausgangs eines beliebigen Gaers der Schalung mi einem seiner Eingänge Alle diese Verbindungen, die pariell andere Verbindungssrukuren durchlaufen, werden als weiere Rückkopplungen gekennzeichne Dieses Verfahren wiederhol sich für alle Gaer einer Schalung Markieren aller Rückkopplungen Aufrennen aller Rückkopplungen Aufsellen der Funkionsabelle Was sind sabile Zusände? Sabile Zusände sind gekennzeichne durch die gleiche Belegung der Variablen z i und z i * Insabile Übergangszusände sind gekennzeichne durch eine unerschiedliche Belegung der Variablen z i und z i * Diese Übergangszusände reen nur kurzzeiig auf und vollziehen weiere Zusandswechsel bei unveränderer Belegung der primären Eingänge bis zum Wechsel in einen sabilen Zusand Ergib sich kein Wechsel in einen sabilen Zusand, so is die Schalung für diese Eingangsbelegung insabil - sie oszillier Zuordnung eines Zusandskringels zu jedem sabilen Zusand Jede Zeile der Übergangsabelle ergib einen Zusandsübergang Markieren der sabilen Zusände Ersellen des Zusandsdiagramms Inerpreaion des Diagramms Vergleich des ersellen Zusandsübergangsdiagramms mi einzelnen Diagrammen oder besimmen Gruppierungen bereis bekanner Schalwerke Beache: Durch die Zusammenfassung besimmer Gruppen von Zusänden zu einem nichinverieren Eingangssignal und umgekehr wird der Übergang von asynchronen zu synchronen Schalungen vollzogen indem dieses Eingangssignal als Tak inerpreier wird 4/3

23 GDT - Grundlagen der Digialechnik Elemenare Schalwerke asynchron Tak synchrones Schalverhalen Takzusandsseuerung Takflankenseuerung Schalwerk zur Speicherung einer binären Variable r s p Forderungen: Speicherung Das Schalwerk muss mindesens zwei sabile Zusände haben, um die binäre Variable speichern zu können 2 Einschreiben Das Schalwerk muss eine definiere Einsellung seiner Zusände durch die Eingangssignale gesaen 3 Auslesen Der Speicherinhal muss in negierer und nichnegierer Form an den Ausgängen des Schalwerks zur Verfügung sehen 5/3

24 Schalwerks-Analyse GDT - Grundlagen der Digialechnik r * s p p = s + = r + ( s + ) = r ( s + ) = r p i r s * p Bemerkungen Forderung : Speichern - Wer der Variablen = Forderung : Speichern - Wer der Variablen = 2 Forderung 2: Einschreiben 3 Wer der Variablen = 4 Wer der Variablen = 5 Forderung 2: Einschreiben 6 Versoß gegen Forderung 3: Auslesen 7 Ausgangsvariable in negierer und nich-neg Form r = s = darf nich aufreen darf! r s Bemerkung / Speichern (je nach vorherigem Wer der Variablen) Sezen Rücksezen - nich zulässig! 6/3

25 GDT - Grundlagen der Digialechnik Flipflop -> Speicherglieder mi zwei sabilen Zusänden s = r = r =, s = r =, s = s = r = asynchrones Schalwerk Darsellung des RS-Flipflop: s r Beache: Die Verauschung von s und r im Vergleich zur analysieren Originalschalung aus zwei NOR-Gaern! 7/3

26 GDT - Grundlagen der Digialechnik Zusandsgeseueres RS-Flipflop = s' + r' = st + rt * s T r s' r' Übergangsgleichung und Schalbild T r s Bemerkung / / / / Speichern (je nach vorherigem Wer der Variablen) / Speichern Sezen Rücksezen - nich zulässig! freischalende Funkion (eingegrauer Bereich im Impulsdiagramm) des Taksignals T τ r s 8/3

27 GDT - Grundlagen der Digialechnik Zwei-Zusandsgeseueres RS-FF s r s' r' s'' r'' T T τ r s negaiv flankengeseueres RS-Flipflop s r 9/3

28 GDT - Grundlagen der Digialechnik +τ = s + r Normierung der Periodendauer τ auf + = s + r r s + Bemerkung Speichern Sezen Rücksezen - nich zulässig! JK- und D-FF Bei r = s = -> Wechsel des Zusandes j k s' r' s'' r'' T + = j + k j k + Bemerkung Speichern Rücksezen Sezen Wechseln (Toggle) j k /3

29 GDT - Grundlagen der Digialechnik D-Flipflop D j D k + = D D + Bemerkung Zum nächsen auslösenden Ereignis (Takflanke) wird der Wer am D-Eingang des Flipflops an seinen Ausgang übernommen wenn T von nach n = sons = D + n D n D n = D + n /3

30 GDT - Grundlagen der Digialechnik Schalwerk-Synhese Verbal formuliere Problemsellung Zuordnung einzelner Variabler zu Ein- und Ausgangsgrößen Anzahl erforderlicher Zusände Zusandscodierung Beispiel i Zusand Zusandsvariable z z 3 z 2 Speicherglied für jede Zusandsvariable Beschalung der Eingänge der Speicherelemene Hinweis: Tak- und Zählimpulse dürfen dabei nich berücksichig werden, da sie nur auslösende Funkion haben Were der Anseuergleichungen aus Funkionsabelle KV-Diagramm Tabelle zur Umsezung von Übergangs- zu Anseuergleichungen + Im KV-Diagramm für wird im FF-Typ RS-FF JK-FF Bereich i i Bereich X X ersez durch: X X X s i i Man erhäl dann das KV-Diagramm zur Besimmung der Anseuergleichung für: X X X r i X X X X j i X X X X k i D-FF X X D i 2/3

31 GDT - Grundlagen der Digialechnik Beispiel: Zähler z z z 2 z 3 z 4 z + + z2 z3 z4 z + KV-Diagramme der Zusandsvariable: + + KV-Diagramme der RS-FF-Eingänge: s r s X r X s s = = r r = = 3/3

32 Kap 5 - Bauseine Bisher: logische Funkionen binäre Variable GDT - Grundlagen der Digialechnik Nich geeigne für komplexere digiale Syseme: Anzahl der Zusände bzw Variablen zu groß, Rechenzei für Minimierung und Zusandszuweisung wächs sark an Übersich über den Enwurf nimm ab Modularisierung hierarchische Srukurierung Bereisellung von Moduln Decoder Muliplexer Lesespeicher (ROM) programmierbare logische Anordnungen (PLA) Gründe für den Einsaz von Bauseinen: Die Annahme, dass eine klassisch minimiere Funkion (wenige Gaer und Variablen) eine opimale Lösung darsell, besiz keine uneingeschränke Güligkei mehr Die Minimierung der Anzahl exerner Anschlüsse und Verbindungen ri sa dessen in den Vordergrund Solange sich die Anzahl der Chips und Verbindungen nich änder, spiel die Anzahl der benöigen Gaer keine wesenliche Rolle mehr, sofern diese auf den gewählen Chips vorhanden sind Daraus ergib sich das folgende Vorgehen beim Enwurf komplexer digialer Syseme: Prüfen, ob ein Bausein mi der (den) zu realisierenden Funkion(en) auf dem Mark erhällich is Wenn das nich der Fall is, dann prüfen, ob eine Aufeilung in erhälliche MSI bzw LSI Funkionen möglich is Wenn auch das nich möglich is, dann Benuzung einer Sandardechnik für den Enwurf von Schalnezen uner Ausnuzung der allgemeinen Eigenschafen der in der Einleiung genannen Konzepe /

33 GDT - Grundlagen der Digialechnik Decoder / Demuliplexer Minerm-Schalnez n Eingänge n maximal 2 Ausgänge M M a M 2 M 3 b M 4 c M 5 M 6 M 7 Index a b c M 7 M 6 M 5 M 4 M 3 M 2 M M /2

34 GDT - Grundlagen der Digialechnik Zusäzlicher enable-eingang E E e 2 e y y y 2 y 3 x x e e 2 y y y 2 E (enable) y 3 y e e 2 2 x 4 Decoder y y y 2 y 3 E x 4 Demuliplexer y y 2 y 3 E (enable) S S 2 (selec) Demuliplexer s 2 s y y y 2 y 3 E E E E 3/3

35 GDT - Grundlagen der Digialechnik Muliplexer Muliplexing Eingänge 2 n 2 m Ausgänge Muliplexer Demuliplexer C C C 2 a C 3 S S C S S a C E i ngä nge C C 2 C 3 a A u s g a n g C C 2 C 3 S S S e ue re ingä nge 4/4

36 GDT - Grundlagen der Digialechnik ROM Feslegung der Verbindungen -> Programmierung e 4 e 3 e 2 5 x 32 Decoder 2 e e 3 CS (Chip selec) a a a 7 Lesespeichers als Speicher für binäre Informaionen Wor Adress-Eingänge 32x8-ROM -> Lesespeicher mi 32 Wore zu 8 Bi und 5 Adressleiungen => 2 5 = 32 5/5

37 GDT - Grundlagen der Digialechnik PLA Programmierbare logische Anordnung größere Anzahl redundaner Eingangskombinaionen nx k Verbindungen k m m Verbindungen n-eingänge n x k Verbindungen UND Gaer k x m Verbindungen ODER Gaer m-ausgänge n die Anzahl der Eingänge, k die Anzahl der UND-Gaer und m die Anzahl der ODER-Gaer bzw Ausgänge, 2 ( n k) von den Eingängen zu den UND-Gaern k m von den UND- zu den ODER-Gaern und 2 m von den ODER-Gaern zu den Ausgängen Beispiel Realisierung von 8 Funkionen in Abhängigkei von 6 Eingangsvariablen mi benöigen 48 Konjunkionen (UND-Gaern) Realisierungsform Formel Anzahl der progr Verbindungen PLA 2 n k + k m + 2 m = 936 ROM 2 n m = Hinweis: Zu dem im folgenden behandelen einfachen Beispiel is feszusellen, dass die angewendeen Mehoden der Größe des Beispiels angemessen sind, dass jedoch bei realisischen Anwendungen die einzelnen Schrie rechnerunersüz erfolgen sollen 6/6

38 GDT - Grundlagen der Digialechnik PLA-PROGRAMMIERUNG Beispiel Volladdierer Index Eingänge Ausgänge x c s c y i i Realisierung des Komplemens der Überragsfunkion ci drei Koppelerme, 2 und 4 PLA: 5 UND-Terme und 2 ODER-Terme i i c i Feslegung der Programmierabelle: Eine Spale mi den Indizes der zu realisierenden Terme 2 Eine Spale mi den Belegungen für die Eingänge der UND-Terme, mi folgenden Einrägen: eine für durch verbundene nich-negiere Variable eine für durch verbundene negiere Variable einen Srich für Variable, die nich in diesem UND-Term aufreen 3 Eine Spale für die Belegungen der Ausgänge mi folgenden Einrägen: einer für UND-Terme, die in der zugehörigen Funkion aufreen, und einem Srich für UND-Terme, die in der zugehörigen Funkion nich aufreen In dieser Spale is auch die Informaion über die Ausgangsverbindungen enhalen Übersrichene Ausgangsvariablen sind zu negieren Minerm Eingänge Ausgänge Index x i y i c i s i c i /7

39 GDT - Grundlagen der Digialechnik Schalung des Volladdierer-PLAs c i- x i y i s i c i Regiser parallel ladbare Speicherzellen Eingänge ld Tak Regiser A Ausgänge Beispiel zur Realisierung einer einzigen Speicherzelle + ld a i a i e i Funkion Speichern Laden e i ld selec 2x MUX D a i 8/8

40 GDT - Grundlagen der Digialechnik Kap 6 - Sysem-Enwurf mi Bauseinen Enwurf größerer digialer Syseme Modularisierung hierarchische Srukurierung Spezifikaion Regiserransfersprachen - RTL (Hardware-Beschreibungssprachen) ähnlich einer höheren Programmiersprache Im einzelnen wird ein Sysem beschrieben durch: Eine Menge von Regisern und ihre Funkion im Sysem 2 Die Binärinformaion, die in den Regisern gespeicher wird 3 Die Operaionen, die mi dieser Informaion ausgeführ werden 4 Die Seuerfunkionen, die Operaionen bzw Operaionsfolgen auslösen Regisers Binärinformaion Operaionen oder Mikrooperaionen Seuerfunkionen Maschinenbefehle SW Seuerwerk Mikrobefehle oder Seuervariable Bedingungen oder Sausvariable Daen OpW Operaionswerk Daen /

41 GDT - Grundlagen der Digialechnik Regiser-Transfers SAR -> Speicheadreßregiser BR -> Befehlsregiser declare regiser A(8) 7 A oder A 7 A 6 A 5 A 4 A 3 A 2 A A declare regiser SDR(2), BZ(6) SDR 5 BZ Einfache und bedinge Transfers Transferoperaor ( ) A B Bedingungen -> Seuerfunkionen Schalung: X T : A B B X T Lade A 2/2

42 GDT - Grundlagen der Digialechnik Bus-Transfers Verbindung mehrere Quellen und Senken Bussysem Regiser A Regiser B Regiser C x MUX 2 3 DEC Regiser D Q Q Quellregiser- Auswahl Zielregiser- Auswahl Z Z 3/3

43 GDT - Grundlagen der Digialechnik Speicherransfers Speicher-Adress-Regiser (SAR) Speicher-Daen-Regiser (SDR) Lesevorgang (L) bzgl der Speicher-Einhei (SE) L : SDR SE[ SAR] Schreibvorgang S : SE[ SAR] SDR SA R SE S L SDR Verarbeiende Transfers arihmeische Operaionen, zb A A plus B (Addiion) A A (Dekremen ) logische Operaionen, zb A A (Negaion ) A A + B (Disjunkion ) 4/4

44 GDT - Grundlagen der Digialechnik Seuerformen -aus-n-seuerung D S Exerne Eingänge E E 2 E m LOGIK D S STEUER- Seuervariable Tak D S n FF pro Zusand! PLA-Seuerung Exerne Eingänge E E 2 E m PLA S S S n Seuervariable Zusandsregiser 5/5

45 GDT - Grundlagen der Digialechnik Mikroprogramm-Seuerung Exerne Eingänge E E 2 E m Adressregiser S S S n A dressgeneraionslogik Mikroprogrammspeicher Seuervariable Adressinformaion Enwurf digialer Syseme am Beispiel Spezifikaion der Aufgabe Feslegung einer Hardwaresrukur Enwurf eines Algorihmus Feslegung der Elemenaroperaionen Enwurf der Seuerung 6/6

46 GDT - Grundlagen der Digialechnik Aufgabensellung Zwei vorzeichenbehafee Fespunkzahlen sind zu addieren, wobei negaive Zahlen mi Vorzeichen und Berag dargesell sind Die Zahlen sind von gleicher Länge Das Ergebnis soll in Form einer vorzeichenbehafeen Fespunkzahl vorliegen Konfiguraionsfeslegung Zwei Regiser X und Y mi je einem Flipflop für die Vorzeichen V x, V y und einem Überlauf-Bi C plus arihmeisch logische Einhei (ALU) Seuerwerk Beginn einer Operaion: X, V x und Y, V y sind geladen und die exernen Eingänge add bzw sub geben an, welche Operaion ausgeführ wird Ende der Operaion: Ergebnis in X, V x und die Seuervariable end zeig an, dass die Operaion beende is Blockschalbild der Konfiguraionsfeslegung exerne Eingänge und Bedingungen Seuereinhei Seuervariable Regiser Y V y ALU C Regiser X V x 7/7

47 GDT - Grundlagen der Digialechnik Algorihmenenwurf Ablaufdiagramm Beispiel: Addiere +5 dez und -3 dez V x : X: +5 V y : Y: -3 X: C: X Addiion Y: C: X : C: X X: C: Summe V x : X: C: +2 z An fa n g s z us a n d e n d = s ub = a d d = z V y V y Ne in Vx = Vy? J a z 4 X X + Y + C c n z 2 X X + Y z 3 C c n N e in C =? J a X X z 6 C z 5 X X + V x V x z 7 8/8

48 GDT - Grundlagen der Digialechnik Feslegung der Elemenaroperaionen r y a a a 2 a 3 r c Regiser Y V y ALU c n C L L Regiser X V x r x Seuerung ALU a 3 a 2 a a Operaion Bemerkungen X X keine Operaion X X add Y Addiere X und Y X X Y Subrahiere Y von X X X Negiere X X X add Inkremeniere X Mi r c wird C auf gesez r x und r y bilden das Komplemen in V x und V y L dien zur Seuerung des Ladevorgangs für das Regiser X und das Flipflop C 9/9

49 GDT - Grundlagen der Digialechnik Blockschalbild des Seuerwerk a d d s u b e n d a 3 a 2 V x V y C S e ue r - lo g ik a a L r x r y r c Enwurf der Seuerung Zuordnung von Zusänden zu den einzelnen Mikrooperaionen (funcion boxes) add = s ub = Z 6 Z 7 C = a dd = Z s ub = Z Z 5 Z 4 Z 2 Z 3 C = Vx Vy V x = Vy Merke: Um Missversändnissen vorzubeugen - es gib unerschiedliche richige Umsezungen von Ablaufdiagrammen /

50 GDT - Grundlagen der Digialechnik end a 3 a 2 a a L r x r y r c z : Anfangszus an d z : V y V y z 2 : keineoperaion z 3 : X X + Y, C L c n z 4 : X X + Y +, C L c n z 5 : C z6 : X X z7 : X X +, V x V x Realisierung mi der -aus-n-seuerung D-Flipflops z z z z z z z z = add = sub = z = z = z ( Vx Vy ) ( V / V ) x = add = = C C sub z z y + z z z z z 3 + L z 5 + z 7 end = z a 3 = z 6 a 2 = z 4 + z 6 a = z 3 a = z 4 + z 7 L = z 3 + z 4 + z 6 + z 7 r x = z 7 r y = z r c = z 5 /

51 GDT - Grundlagen der Digialechnik Realisierung als Mikroprogrammseuerung Beispiel zu klein für eine Mikroprogrammseuerung Mikroprogrammspeicher mi einer Kapaziä von ach Woren Adress-Forschalung: In Abhängigkei von add bzw sub muss eine exerne Adresse gelesen werden können Die seuenielle Abfolge von Adressen muss geseuer werden können Es müssen abhängig von den Variablen V x,v y (Vorzeichen) und C (Überlauf) unerschiedliche Adressen angeseuer werden können Worlänge für ein Mikroseuerwor 4 Bi ersen 9 enhalen Seuervariable für Mikrooperaionen Bi -2 Folgeadresse f 2, f, f Bi 3 und 4 für die Seuerung des Mikroprogramm-Speicheradress-Regisers (MAR) uner Berücksichigung von V und C über einen Muliplexer x,v y Bi 3 Bi 4 Funkion MAR MAR + MAR ROM ( MAR) 2 [ ] MAR ROM ( MAR) [ 2] if V x Vy MAR MAR + if V x = V y ) [ 2], MAR ROM ( MAR if C = MAR MAR + if C = Den Inhal des Mikroseuereils erhäl man aus dem Ablaufdiagramm bzw Übergangsgraphen Im vorliegenden Fall war dieser Teil bereis enworfen worden (für die FF pro Zusand-Mehode) 2/2

52 GDT - Grundlagen der Digialechnik Der Adresseil is bereis in der symbolischen Noaion des Mikroprogramms enhalen und muss lediglich binär codier werden, wobei die IF THEN Saemens (analog zu den bedingen Regiser-Transfers) durch den Auswahleil implemenier werden ROM- Adresse Mikroinsrukion Bemerkung if ( sub = ) hen ( goo ), Sar Addiion, Subrakion oder if add = hen goo 2, keine Operaion ( ) ( ) ( add + sub = ) hen ( goo ) if V y V y sub =, Anfang Subrakion 2 if ( V V ) hen ( goo 4) x add =, Anfang Addiion y 3 X X + Y, C c, ( goo ) Beräge addieren, ferig 4 X X + Y +, C c, n n Addiion des Komplemens if ( C = ) hen ( goo 6) 5 C, ( goo ) ferig, wenn C = 6 X X C =, Komplemen von X 7 X X +, V V, ( goo ) ferig x x Binär codieres Mikroprogramm im ROM Ausgänge des Mikroprogramm-Speichers (ROM) ROM end a 3 a 2 a a L r x r y r c f 2 f f s s Adresse Ro markiere Felder bedeuen die Feslegung eines Don'-Care-Terms (X) zu Warum? 3/3

53 GDT - Grundlagen der Digialechnik Blockschalbild der Mikroprogramm-Seuerung M U X l a d e n A d r e ß - R e g i s e r e r h ö h e n R O M 8 x e n d a 3 a 2 a a L r x r y r c f 2 f f s s M U X 2 3 V x V y C D a e n OpW D a e n 4/4

54 GDT - Grundlagen der Digialechnik Kap 7 - Vollsändiger Prozessor Die Addiion folgender Funkionseinheien ergib einen lauffähigen Prozessor: Speichereinhei für die Befehle (ROM) und Daen (RAM) Befehlsregiser (IR) und Befehls-Decoder Ein- und Ausgabe-Einhei Prozessor Abarbeiung von Maschinenbefehlen Adress-, Daen- und Konrollsignale Adressen Daen µp-sw IR Befehle Befehls-Decoder Seuersignale a b d Ausgabe SAR e OpW PC EMUX c f g Eingabe SE (RAM) Daen SE (ROM) Befehle a Exerne Adresse des µp-sws b MUXA-, MUXB- und DEC- Anseuerung des OpWs c Konsane oder Adresse (im Maschinenbefehl enhalen) d ALU-Selec e Saus (C, Z, N) f Daen der Eingabe (IN) g Daen aus dem Daenspeicher (LW /6

55 GDT - Grundlagen der Digialechnik Vollsändiges Operaionswerk sieben Regiser (R bis R 4, SAR und PC) ALU (realisier ua Transfer, Addiion und Subrakion, biweise logische Verknüpfungen und Schiebeoperaionen) drei Sausbis (C: Carry Flag, Z: Zero Flag, N: Negaive Flag), zwei n-fach 8x-Muliplexern und einem 3x7-Decoder Saus ALU-Selec Ausgabe OpW ROM-Adresse RAM-Adresse Eingabe Selec für MUX A, MUX B und DEC 3 x 7 DEC Ld, Inc PC 7 6 SAR 5 R4 4 R3 3 R2 2 R R n-fach 8 x MUX A n-fach 8 x MUX B ALU C Z N A B Befehlszähler-Regiser (PC - Programm Couner) Speicher-Adressregiser (SAR) Daenwege zwischen den Regisern und der Arihmeisch-Logischen-Einhei (ALU) 2/6

56 GDT - Grundlagen der Digialechnik Befehls-Forma, -Decoder und -Phasen Es werden im einfachsen Fall drei Gruppen von Maschinenbefehlen unerschieden: Arihmeische und logische Befehle (ALU-Operaionen) Transfer-Befehle (Laden und Speichern) Sprung-Befehle (Verzweigungen) ADC - Add wih carry RT-Operaion: R d = R r add R s add C Synax: ADC R d, R r, R s 6 Bi-Opcode d d d r r r s s s Saus-Bis: N: Se if MSB of he resul is se; cleared oherwise Z: Se if he resul is, cleared oherwise C: Se if here was carry from he MSB of he resul; cleared oherwise ST - Sore from regiser o daa space RT-Operaion: RAM[SAR] = R r Synax: ST R r 6 Bi-Opcode r r r Saus-Bis unchanged BREQ - Branch if Eual RT-Operaion: if (Z = ) hen PC = PC +k +, else PC = PC + Synax: BREQ k mi: 52 k Bi-Opcode k k k k k k k k k k Saus-Bis unchanged 3/6

57 GDT - Grundlagen der Digialechnik Befehls-Decoder Befehls-Regiser (IR) Befehls- Decoder (SN) MUX A, B und DEC (OpW) exerne Adresse (µp-sw) Offse-Adresse k (EMUX) Befehls-Phasen IF - Maschinenbefehl aus dem Befehlsspeicher ins IR laden PC SE (ROM) Befehle 2 ID - Dekodieren des Maschinenbefehls Befehls-Decoder IR 3 EX - Ausführen des Maschinenbefehls SAR OpW PC 4 MEM - Zugriffe auf den Daenspeicher SE (RAM) Daen 5 WB - Daen oder Ergebnisse in den Regiserfile zurückschreiben IF ID EX MEM WB IF 2 ID 2 EX 2 MEM 2 WB 2 IF ID EX MEM WB IF 2 ID 2 EX 2 MEM 2 WB 2 Pipeline-Berieb 4/6

58 GDT - Grundlagen der Digialechnik Mikroprogramm-Seuerwerk mi Unerprogrammen Funkionen: Adress-Inkremen (nächser Befehl) Laden einer inernen Adresse (Sprung) Laden/Inkremen in Abhängigkei von Sausvariablen Laden einer exernen Adresse (Zuordnung von Maschinenbefehl und µp) Unerprogrammsprung und Rücksprung (Einsparen von µp-speicher) zusäzliche Speichereinhei (SE und SEAR) Beispiel ohne zusäzliche SE: 28 Speicherpläze (Zusände) 2 3 mi zusäzlicher SE: 2 Speicherpläze (Zusände) 2 Ablauf des Aufrufs von Mikroprogramm #3 PUSH: POP: SE[SEAR] <- MAR+ (Schreiben) SEAR <- SEAR+ (Inkremen) SEAR <- SEAR- (Dekremen) MAR <- SE[SEAR] (Lesen) Folgende Tabelle beschreib die Funkion des Adress-Muliplexers am Eingang des Mikroprogramm-Adressregisers (MAR) vom ROM S Saus- MUX S RT-Anweisungen bezüglich MAR Bemerkungen MAR <- MAR + Inkremen der Adresse MAR <- ROM[MAR] inerne Adresse (ROM) MAR <- SE[SEAR] Rücksprung-Adresse MAR <- Decoder exerne Adresse 5/6

59 GDT - Grundlagen der Digialechnik Die Funkionen eines Seuerwerks zur Realisierung von beliebigen Zusandsdiagrammen erhalen hier drei Einschränkungen: nur MOORE-Auomaen Sprung / Inkremen-Adressierung Verzweigungen nur in Abhängigkei einer Saus-Variable pro Zusand Blockdiagramm des Mikroprogramm-Seuerwerks mi Unerprogrammen Saus (C, Z, N) Exerne Adresse SW Saus-MUX S S 3 2 Adress-MUX MAR SE SEAR µp- Adresse INC Mikroprogramm-Speicher (ROM) Cnrl für PUSH+POP Seuer-Variable Das SW seuer mi seinen Seuervariablen das Laden des Befehlsregisers (IR - Insrucion regiser), die Ein- und Ausgabe, die Speichereinheien (SE) für Befehle und Daen, den Muliplexer (EMUX) vor der Eingabe des vollsändigen Operaionswerks (OpW) und naürlich die Operaionen der ALU innerhalb des Operaionswerks 6/6