Informationslogik. Theorie und Übungen. Robert-Bosch-Schule Ulm. Version 1.0

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1 Informationslogik Theorie und Übungen Robert-Bosch-Schule Ulm Version.0 7. September 205

2 Inhaltsverzeichnis: Dieses Skript soll als Nachschlagewerk und als Übungsbuch dienen. Dieses Skript ist aus eigenen Unterrichtsaufschrieben und Übungen sowie aus den unten aufgeführten Quellen entstanden: Handreichung Informationslogik von Thomas Isele (Ettlingen) Arbeitsheft Digitaltechnik Lothar Thies (Ulm) Version Beschreibung / Änderung Datum.0 Erste Veröffentlichung Sie können die aktuelle Version dieses Skriptes und die Übungsdateien von meinem Schul-Blog herunterladen: https://jlifka.wordpress.com/ Für Anmerkungen, Verbesserungsvorschläge und Fehlerhinweise bin ich dankbar. Jürgen Lifka RBS_Informationslogik 0.docx 2 Version.0

3 Inhaltsverzeichnis: Inhaltsverzeichnis: Inhaltsverzeichnis: Einführung / Begriffe Werte Begriffe Strom, Spannung, Widerstand Logische Verknüpfungen Negation (NOT, Nicht,...) UND (AND) Funktion ODER (OR) Funktion Nicht-UND (NAND) Funktion Nicht-ODER (NOR) Funktion EXklusivODER (XOR) NichteXklusivODER (NXOR) Rechenregeln Verknüpfung mit Konstanten Regeln für zwei und mehr Variablen Verknüpfung mit einer Variablen A Funktionstabellen Anzahl der Kombinationen X in den Eingangsspalten Disjunktive Normalform (DNF) Multiplexer, Demultiplexer KV-Tafeln Vereinfachung mit KV-Diagrammen Mintermmethode Don t care Positions Zahlensysteme Umrechnung: Dezimal Dual Umrechnung: Dual Dezimal Umrechnung: Hexadezimal Dual Umrechnung: Dual Hexadezimal Codes BCD- Codes / 4-Bit Codes Dual- Code ( Code) Exzeß-3- Code (Stibitz-Code) Aiken- Code (242-Code) Gray- Code Johnson- Code Codewandler Codierer Decodierer Codewandler Dezimal / BCD - Codierer BCD / Dezimal - Codierer BCD / 7- Segment - Codewandler Speicher Speicherübersicht RS-FLIP-Flop (NOR-Latch) !RS-FLIP-Flop (NAND-Latch) Taktzustandsgesteuerte Flip-Flops RBS_Informationslogik 0.docx 3 Version.0

4 Inhaltsverzeichnis:.5 Taktzustandsgesteuertes D-Flip-Flop Taktflankengesteuertes Flip-Flop Zwei-Speicher-Flip-Flop Zähler Einführung Bit-Dualzähler, vorwärts Bit-Dualzähler, rückwärts BCD-codierter-Asynchronzähler (Dezimalzähler) Probleme beim Asynchronzähler Frequenzteiler Synchronzähler Bit Synchronzähler, rückwärts BCD-codierter-Synchronzähler (Dezimalzähler) Synchrone Zähler mit Abel Entwicklungsmodelle Zusammenfassung Synchronzähler Schieberegister RBS_Informationslogik 0.docx 4 Version.0

5 Einführung / Begriffe 2 Einführung / Begriffe Die Schaltalgebra ist die Lehre von der Verknüpfung mehrerer Eingangsvariablen (E, E2,..) mit oft nur einer Ausgangsvariablen (A). A = f(e,e2,..) Dabei können alle Variablen nur zwei Zustände ( 0 oder ) annehmen (Binäres Signal) Merke: Jede Variable kann nur den Wert 0 oder annehmen! 2. Werte Den binären Signalen mit den Werten 0 bzw. können je nach Definition verschiedenen Bedeutungen zugemessen werden (s. Tabelle). Wichtig ist dabei, dass sich verschiedene Betrachter auf eine einheitliche Bedeutung einigen. Beispiel: Wenn man einer Schalterstellung die Werte 0 und zuordnen will, muss geklärt werden, ob 0 dem offenen oder dem geschlossenen Schalter entspricht! 2.2 Begriffe Schaltalgebra (auch boolesche Algebra) Schaltfunktionen (logische Funktionen) KV-Tafeln (Karnaugh und Veitch) Gatter (Verknüpfungsbausteine) Schaltnetze (kombinatorische Schaltung) Schaltwerke Binärer Wert 0 Schalterstellung offen Geschlossen Spannung Tief (0V) Hoch (5V) Aussage falsch wahr Liefert die mathematischen Grundlagen der Digitaltechnik. Sie beschreibt das Verhalten von Funktionen mit binären Variablen Diese Gleichungen dienen der mathematischen Beschreibung digitaler Schaltungen Grafisches Hilfsmittel, das zur Minimierung von Schaltfunktionen benutzt wird und nach den Erfindern benannt wurde Digitaler Schaltkreis, in dem eine logische Verknüpfung zwischen Ein- und Ausgangssignal stattfindet. Schaltungen, die kein Speicherverhalten aufweisen (abgesehen von Laufzeiteffekten zeigen diese Schaltungen kein Zeitverhalten). Schaltungen mit Speichern (Zeitverhalten) RBS_Informationslogik 0.docx 5 Version.0

6 Strom, Spannung, Widerstand 3 Strom, Spannung, Widerstand dünnes Rohr großer Widerstand dickes Rohr kleiner Widerstand RBS_Informationslogik 0.docx 6 Version.0

7 Logische Verknüpfungen 4 Logische Verknüpfungen Zunächst werden Schaltnetze besprochen (also Schaltungen ohne Speicherfunktion)! zu jedem Zeitpunkt besteht ein eindeutiger Zusammenhang zwischen Eingangsvariablen und Ausgangsgrößen. 4. Negation (NOT, Nicht,...) Anmerkung: Die Negation ist die Umkehrung des binären Wertes vom Eingang zum Ausgang. Leider sind die Schreibweisen für logische Verknüpfungen sehr unterschiedlich. Der Grund ist in der Tatsache zu suchen, dass in der Vergangenheit keine Rücksicht auf die Tastatursymbole genommen wurde und z.t. seltene Sonderzeichen benutzt wurden. Funktionstabelle (Wahrheitstabelle) Gleichung: Schaltzeichen: US-Schaltzeichen: E A 0 0 A E A ist gleich nicht E Anwendungsbeispiel: Gefriertruhe RBS_Informationslogik 0.docx 7 Version.0

8 Logische Verknüpfungen 4.2 UND (AND) Funktion Funktionstabelle (Wahrheitstabelle) Die Konjunktion kann man durch eine Reihenschaltung von zwei Kontakten (Schließern) veranschaulichen! Nur wenn beide (alle) Schalter geschlossen sind, leuchtet eine in Reihe geschaltete Lampe! Gleichung: B A X X A B X ist gleich A und B Schaltzeichen: US-Schaltzeichen Anwendungsbeispiel: Stanzmaschine RBS_Informationslogik 0.docx 8 Version.0

9 Logische Verknüpfungen 4.3 ODER (OR) Funktion Funktionstabelle (Wahrheitstabelle) Die Disjunktion kann man durch eine Parallelschaltung von zwei Kontakten (Schließern) veranschaulichen! Wenn einer der beiden (oder beide) Schalter geschlossen sind, leuchtet eine in Reihe geschaltete Lampe! Gleichung: B A X X A B X ist gleich A oder B Schaltzeichen: US-Schaltzeichen: Anwendungsbeispiel: Auto-Innenbeleuchtung RBS_Informationslogik 0.docx 9 Version.0

10 Logische Verknüpfungen 4.4 Nicht-UND (NAND) Funktion Hierbei handelt es sich um eine aus AND und NOT abgeleitete Funktion. Funktionstabelle (Wahrheitstabelle) B A X Die Vorstellung einer Reihenschaltung führt in diesem Fall nicht zum Ziel es sei denn, man negiert das Ergebnis über ein Relais mit Öffner: Gleichung: X A B X ist gleich A und B nicht Schaltzeichen: US-Schaltzeichen: Übung: Zeichnen Sie ein NAND-Gatter mit 3 Eingängen aus den Einzelbausteinen AND (nur 2 Eingänge) und NOT Weisen Sie mit Hilfe einer Funktionstabelle nach, dass folgende Funktionsgleichung stimmt: X A B A B Stellen Sie die Gleichung aus der vorangegangenen Aufgabe mit Schaltsymbolen dar RBS_Informationslogik 0.docx 0 Version.0

11 Logische Verknüpfungen 4.5 Nicht-ODER (NOR) Funktion Hierbei handelt es sich ebenfalls um eine aus OR und NOT abgeleitete Funktion. Funktionstabelle (Wahrheitstabelle) B A X Gleichung: X A B Die Vorstellung einer Parallelschaltung führt in diesem Fall nicht zum Ziel es sei denn, man negiert das Ergebnis über ein Relais mit Öffner: Schaltzeichen: X ist gleich A oder B nicht US-Schaltzeichen Übung: Formulieren Sie einen Satz, der die NOR-Funktion mit möglichst wenigen Worten eindeutig beschreibt Weisen Sie mit Hilfe einer Funktionstabelle nach, dass folgende Funktionsgleichung stimmt: X A B A B Stellen Sie die Gleichung aus der vorangegangenen Aufgabe mit Schaltsymbolen dar. RBS_Informationslogik 0.docx Version.0

12 Logische Verknüpfungen 4.6 EXklusivODER (XOR) Die Antivalenz kann man durch eine Kombination aus Parallelschaltung und Reihenschaltung von zwei Kontakten (Schließern) veranschaulichen! Wenn nur einer der beiden (nicht beide) Schalter geschlossen sind, leuchtet eine in Reihe geschaltete Lampe! Funktionstabelle (Wahrheitstabelle) B A X Gleichung: X (A B) (A B) X ist gleich A nicht und B oder A und B nicht Schaltzeichen: US-Schaltzeichen Übung: Die o.a. Formulierung für die Antivalenz bezieht sich auf zwei Eingänge (..einer der beiden..). Bei Gattern mit mehreren Eingängen hilft folgender Satz: Nur wenn unterschiedliche Signale anliegen, liegt am Ausgang eine Geben Sie die Funktionstabelle für ein XOR mit 3 Eingängen an! Mit Hilfe eines XOR-Gatters (2 Eingänge) kann man eine Funktionsgleichung (den Wert einer Variablen) nach Bedarf negieren. Zeigen Sie anhand einer Funktionstabelle, wie diese Negation funktioniert! RBS_Informationslogik 0.docx 2 Version.0

13 Logische Verknüpfungen 4.7 NichteXklusivODER (NXOR) Die Äquivalenz kann man durch eine Kombination aus Parallelschaltung und Reihenschaltung von zwei Kontakten (Schließern) veranschaulichen! Nur wenn beide Schalter gleich sind, (beide offen oder beide geschlossen) leuchtet eine in Reihe geschaltete Lampe! Funktionstabelle (Wahrheitstabelle) B A X Gleichung: X (A B) (A B) X ist gleich A und B oder A nicht und B nicht Schaltzeichen: US-Schaltzeichen: Übung: Kann mit NXOR ebenso negieren wie mit einem XOR? Interpretieren Sie folgende Funktionstabelle finden Sie heraus, welche Bedeutung der Eintrag x in den Eingangsspalten der Tabelle hat. RBS_Informationslogik 0.docx 3 Version.0

14 Rechenregeln 5 Rechenregeln 5. Verknüpfung mit Konstanten AND OR 0 & 0 = 0 0 # 0 = 0 0 & = 0 0 # = & 0 = 0 # 0 = & = # = NOT!0 =! = Verknüpfung mit einer Variablen A AND OR 0 & A = 0 0 # A = A & A = A # A = A & A = A A # A = A!A & A = 0!A # A = NOT!!A = A 5.2 Regeln für zwei und mehr Variablen Vertauschbarkeit (Kommutatives Gesetz) A & B & C = A & C & B = C & A & B =... A # B # C = A # C # B = C # A # B =... Die Rechenregeln sind zur äquivalenten Umformung von Funktionsgleich- (die Reihenfolge ist beliebig!) ungen wichtig und notwendig. Sie Übung: stimmen nicht in allen Fällen mit der normalen Algebra überein Wie kann ein Negationsgatter, an dessen Eingang eine 0 (nichts, null Volt) liegt, am Ausgang den Wert (z.b. 5V) liefern? Vergleichen Sie die Vertauschbarkeit mit der normalen Algebra. RBS_Informationslogik 0.docx 4 Version.0

15 Rechenregeln Vereinigung (Assoziatives Gesetz) Größen, die durch gleiche Operation verknüpft sind können durch Klammern beliebig zusammengefasst werden A & (B & C) = (A & C) & B = C & A & B =... A # (B # C) = (A # C) # B = C # A # B =... Verteilung, Auflösung (Distributives Gesetz) Eine gemeinsame Variable kann ausgeklammert werden (sowohl bei AND als auch bei OR) Absorptionsgesetze A & (B # C) = (A & B) # (A & C) A # (B & C) = (A # B) & (A # C) Wenn keine Klammern gesetzt sind, gilt: AND vor OR A # A & B = A A & (A # B) = A A & (!A # B) = A & B A #!A & B = A # B (A & B) # (A &!B) = A (A # B) & (A #!B) = A Übung: Beweisen Sie die Absorptionsgesetze durch entsprechende Funktionstabellen: RBS_Informationslogik 0.docx 5 Version.0

16 Rechenregeln Negationsregel (de Morgan) Eine NAND-Verknüpfung kann durch eine OR-Verknüpfung ersetzt werden, wenn alle Eingänge negiert werden.!(a & B & C) =!A #!B #!C!(A # B # C) =!A &!B &!C Dasselbe gilt entsprechend für NOR Priorität (Reihenfolge der Verknüpfungen)) Sind keine Klammern gesetzt gilt folgende Reihenfolge:. Negation (NOT) 2. Konjunktion (AND) 3. Disjunktion (OR) Übung: Jede beliebige Funktionsgleichung kann unter ausschließlicher Verwendung von NAND- Gattern realisiert werden! Formen Sie die folgende Gleichung so um, dass nur noch NAND- Verknüpfungen vorkommen. Q =!A&B&!C #!A&!B&C # A&B&C und zeichnen Sie die Schaltung. RBS_Informationslogik 0.docx 6 Version.0

17 Funktionstabellen 6 Funktionstabellen 6. Anzahl der Kombinationen Eine Funktionstabelle berücksichtigt alle möglichen Kombinationen der Eingangsvariablen und enthält in den entsprechenden Spalten für die Ausgänge die zugehörigen Werte der Ausgangsvariablen. n Eingangsgrößen ergeben 2 n mögliche Eingangskombinationen 6.2 X in den Eingangsspalten Nicht immer müssen alle möglichen Zeilen notiert werden. Für den Fall, dass der Wert einer Eingangsvariablen das Verhalten des Ausgangs unabhängig von den anderen Variablen bestimmt, können die entsprechenden Zeilen zusammengefasst werden. Nr. C B A Y n = 2 3 = 8 mögliche Eingangskombinationen Nr. C B A Y 0,,2,3 0 x x Übung: Erstellen Sie Funktionstabellen für 2 bzw. 4 Eingangsvariablen und wählen Sie den Wert des Ausgangs Y so, dass bei einer geraden Anzahl von Einsen in der entsprechenden Zeile eine in der Ausgangsspalte steht und andernfalls eine 0. RBS_Informationslogik 0.docx 7 Version.0

18 Funktionstabellen 6.3 Disjunktive Normalform (DNF) Die Funktionstabelle liefert den Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgrößen. Für die Ermittlung der zugehörigen Schaltung stehen mehrere Verfahren zur Verfügung in diesem Skript wird nur auf die sog. Disjunktive Normalform (DNF) eingegangen! Bei dieser Methode werden die Wertekombinationen der Wertetabelle aufgesucht, die eine am Ausgang ergeben. Bsp: Nr. C B A Y !A&!B&!C I A&B&!C II A&!B&C III 6 0!A&B&C IV 7 0 Y = I # II # III # IV Y =!A&!B&!C # A&B&!C # A&!B&C #!A&B&C Jede dieser Kombinationen schreibt man als AND-Verknüpfung aller zugehörigen Eingangsvariablen (A,B,C,...) und zwar so, dass bei einer die Variable direkt und bei einer 0 die Variable negiert genommen wird. Jede binäre Funktion kann als Disjunktion von den Mintermen angegeben werden, für welche die Funktion den Wert annimmt. Alle diese Konjunktionen werden disjunktiv (OR) Übung: miteinander verknüpft. Zeichnen Sie die Schaltung zur o.a. Funktionstabelle (Funktionsgleichung) und testen Sie die Schaltung mit Hilfe eines Simulationsprogramms oder von Testvektoren. Erstellen Sie die vollständige Funktionstabelle zu folgender DNF und kennzeichnen Sie in einer separaten Spalte die einzelnen Minterme (I, II, III, IV..): Z = I # II # III # IV =!A &!B & C #!A & B &!C # A &!B &!C # A & B & C. RBS_Informationslogik 0.docx 8 Version.0

19 Funktionstabellen Die Steuerung der Befüllung eines Froschteiches mit zwei Pumpen soll entwickelt werden. Pumpe Pumpe 2 Sensor C Sensor B Sensor A Die Sensoren liefern Signal wenn das Wasser sie erreicht bzw. 0 Signal, wenn kein Wasser am Sensor ist. Befindet sich der Wasserstand unterhalb des Sensors A, dann müssen beide Pumpen laufen. Befindet sich der Wasserstand zwischen den Sensoren A und B darf nur Pumpe laufen. Befindet sich der Wasserstand zwischen den Sensoren B und C darf nur Pumpe 2 laufen. Erreicht der Wasserstand den Sensor C oder höher darf keine der Pumpen in Betrieb sein. Funktionstabelle: Nr C B A P P Disjunktive Normalform: Schaltung: RBS_Informationslogik 0.docx 9 Version.0

20 Funktionstabellen 6.4 Multiplexer, Demultiplexer RBS_Informationslogik 0.docx 20 Version.0

21 KV-Tafeln 7 KV-Tafeln KV-Tafeln sind Funktionstabellen, die matrixförmig so aufgebaut sind, dass zwei horizontale bzw. vertikal benachbarte Felder sich nur im Wert einer Variablen unterscheiden. Die Kennzeichnung der einzelnen Plätze erfolgt durch Angabe der Variablen außerhalb der Tafel. Der Inhalt des Platzes (0, oder X) stellt den Funktionswert der Ausgangsgröße der betreffenden Kombination dar. Für jede Ausgangsvariable ist ein getrenntes Diagramm erforderlich wobei die Kennzeichnung des entsprechenden Ausgangs in der linken oberen Ecke erfolgt. Nr. B A X X0 0 X 2 0 X2 3 X3 Nr. B A X B A X 0 0!A&!B 0 A&!B 0!A&B A&B X A!A B X3!B X X2 X0 X A!A B 0!B 0 X A!A B A&B!A&B!B A&!B!A&!B Unterschiedliche Darstellungen der Feldinhalte in einem Diagramm für 2 Variable Die KV-Diagramme für beliebig viele Variablen lassen sich aus dem KV-Diagramm für zwei Variable entwickeln. Nach jedem Aufklappen eines Diagrammfensters" wird eine neue Variable mit ihrem Elementarblock sichtbar, während die Innenflügel" der Fenster die vorhandenen Blöcke auf die notwendige doppelte Größe erweitern. Auf diese Art und Weise können wir KV- Diagramme für beliebig viele Variable entfalten. Grundsätzlich gelten alle Seitenlinien paarweise als randbenachbart. Naturgemäß sinkt mit zunehmender Zahl der Variablen die Übersicht über die möglichen Blockbildungen, zumal ab fünf Variablen selbst die Elementarblöcke auseinanderfallen. RBS_Informationslogik 0.docx 2 Version.0

22 KV-Tafeln RBS_Informationslogik 0.docx 22 Version.0

23 KV-Tafeln 7. Vereinfachung mit KV- Diagrammen Die Vereinfachung geht von benachbarten Plätzen aus. Benachbart sind alle Felder, die sich nur im Wert einer Variablen unterscheiden. Beispiele: X A!A B!B AB!C ABC!C C!C X A!A B!B AB!C!AB!C In diesem Bild sind in einem KV-Diagramm für 3 Variable alle Nachbarn durch Pfeile gekennzeichnet X A!A B!B!C C!C da in KV-Diagrammen (im Gegensatz zu Funktionstabellen) die Nachbarn offensichtlich sind, lässt sich eine mögliche Minimierung leicht erkennen denn: wenn sich zwei Minterme in einer DNF in nur einer Variablen unterscheiden, kann die betreffende Variable gestrichen werden!!c C!C Geben Sie zu nachstehendem Diagramm die Funktionstabelle an. Bitte notieren Sie zunächst alle möglichen Eingangskombinationen in der gewohnten (aufsteigenden) Form und tragen Sie dann die Werte für den Ausgang ein. Z A!A B!B !C C!C!D D!D RBS_Informationslogik 0.docx 23 Version.0

24 KV-Tafeln Erstellen Sie nun eine weitere Tabelle, in der die Eingangskombinationen so nebeneinander stehen, dass sie sich in nur einer Variablen unterscheiden (für den Fall, dass dabei mehrere Möglichkeiten vorkommen, können Sie einzelne Zeilen auch mehrfach notieren. Nr. D C B A Z Nr. D C B A Z 0 Z A!A 0 0 0!D 0 B D !B 0 0!D 0 0!C C!C 0 Nachbarn: 0-2, 2-3, 3-, RBS_Informationslogik 0.docx 24 Version.0

25 KV-Tafeln 7.2 Mintermmethode Beispiele: X A Bei der Mintermmethode wird von den en in der Funktionstabelle ausgegangen. Es können 2er- 4er- 8er- und 6er Felder zusammengefasst werden. B C X = BC #!B!C #!A!B Bei einem 2er Block entfällt eine Variable. Bei einem 4er Block entfallen zwei Variable. Bei einem 8er Block entfallen drei Variable. Drei benachbarte Plätze werden als zwei 2er Blöcke aufgefasst (5er- 6er- 7er-... entsprechend). Die Ergebnisse der Vereinfachungen werden disjunktiv verknüpft. X B A D C X = A!B!D # C #!AB Übung: Geben Sie die Funktionsgleichung zu nebenstehendem KV-Diagramm an und zeichnen Sie die Schaltung X B A 0 0 C Geben Sie die minimale Funktionsgleichung zu nebenstehendem KV-Diagramm an und zeichnen Sie die Schaltung Q B A D C 0 RBS_Informationslogik 0.docx 25 Version.0

26 KV-Tafeln 7.3 Don t care Positions Nicht immer sind alle möglichen Kombinationen einer Funktionstabelle eindeutig festgelegt. Wenn man davon ausgehen kann, dass die Zeilen (Kombinationen) einer Funktionstabelle, die nicht angegeben sind bzw. nicht sinnvoll sind, beliebig belegt werden können, lassen sich Funktionsgleichungen besser vereinfachen. Beispiel einer unvollständigen Funktionstabelle: Nr. C B A Y Für die Minimierung können diese Xen nun frei (sinnvoll) gewählt werden: Y = A!B #!AC Im KV-Diagramm wurden die fehlenden Kombinationen durch Xen ersetzt. Y A!A B!B !C C!C 6 4 X X 0 Y A!A B!B !C C!C X=0 X= Übung: Hätte man sich bezüglich der o.a. Funktionstabelle bei der Wahl der Xen auch anders entscheiden können Begründen Sie Ihre Antwort. RBS_Informationslogik 0.docx 26 Version.0

27 KV-Tafeln Füllstandsmesser: RBS_Informationslogik 0.docx 27 Version.0

28 Zahlensysteme 8 Zahlensysteme Die Anzahl der Zeichen (Zeichenvorrat) und das Bildungsgesetz (Codierung) bestimmen ein Zahlensystem. Das übliche dezimale Zahlensystem basiert auf 0 unterschiedlichen Zeichen (Ziffern 0...9) man spricht von der Basis 0 und hat folgendes Bildungsgesetz: N n i0 i a i 0 Beispiel einer Dezimalzahl: 93 = a 2 *0 2 + a * 0 + a 0 * 0 0 = * * * 0 0 = * * * eine mehrstellige Dezimalzahl ist die abgekürzte Schreibweise für eine Summe von Produkten aus Ziffern und dem zugehörigen Stellenwert. Dualzahlen haben nur 2 unterschiedliche Zeichen (0, ) die Basis ist 2: N n i0 a i 2 i Beispiel einer Dualzahl: 0 = a 2 *2 2 + a * 2 + a 0 * 2 0 = * * 2 + * 2 0 = *4 + 0 * 2 + * Das Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem) unterscheidet 6 verschiedne Zeichen (0,, 2,...9, A, B, C, D, E, F) die Basis ist 6: N n i0 a i 6 Zur eindeutigen Identifizierung ist es (bei der Verwendung unterschiedlicher Zahlensysteme) notwendig, dass diese gekennzeichnet werden! i A0 = a 2 *6 2 + a * 6 + a 0 * 6 0 = A* * 6 + * 6 0 = A* * 6 + * = (0)* * 6 + * Natürlich könnte man für unterschiedliche Zahlensysteme völlig neue Zeichen kreieren dies dürfte aber den Einsatz solcher Zahlensysteme erheblich behindern! 00b (Dualzahl binär) 00d (Dezimalzahl dezimal) 00h (Hexadezimalzahl hex..) RBS_Informationslogik 0.docx 28 Version.0

29 Zahlensysteme 8. Umrechnung: Dezimal Dual Teile die Dezimalzahl durch 2 Notiere den Rest ( 0 oder ) Setze die Division fort bis als Ergebnis 0 auftritt Beispiel: 00d :2 = 505 Rest :2 = 252 Rest 252 :2 = 26 Rest 0 26 :2 = 63 Rest 0 63 :2 = 3 Rest 3 :2 = 5 Rest 5 :2 = 7 Rest 7 :2 = 3 Rest 3 :2 = Rest :2 = 0 Rest Die entsprechende Dualzahl wird von unten nach oben gelesen! 00d = 000b 8.2 Umrechnung: Dual Dezimal Bestimme den Stellenwert jeder Addiere diese Werte Beispiel: 000b Beispiel: 000b = 00 0* 2 = 0 + = * 2 = 2 + = 3 0 3* 2 = = 6 0 6* 2 = = 2 2* 2 = 24 + = * 2 = = b = 50d RBS_Informationslogik 0.docx 29 Version.0

30 Zahlensysteme 8.3 Umrechnung: Hexadezimal Dual Reserviere für jede Ziffer der Hex- Zahl eine 4er Gruppen Beispiel: 00 h h = b Übersetze jede Ziffer in eine 4- stellige Dualzahl Beispiel 2: A9B h A 9 B A9B h = b 8.4 Umrechnung: Dual Hexadezimal Teile die Dualzahl von rechts in 4er Gruppen Beispiel: b b = 00 h Übersetze jede Gruppe in eine Hexzahl Beispiel 2: b E b = 2E57 h RBS_Informationslogik 0.docx 30 Version.0

31 Codes 9 Codes Unter codieren versteht man das Zuordnen bestimmter Muster zu Zahlen und Ziffern. Im Folgenden werden wir uns nur mit der binären Codierung (Muster aus 0-en und -en ) von Zahlen beschäftigen! Bei den binären Codes werden jedem Zeichen (einer mehrstelligen Zahl) bestimmte Kombinationen von 0 und zugeordnet. Man kann unterscheiden in Anforderungen an Codes. Dekadische Codes 2. nichtdekadische Codes 3. Codes zur Messwerterfassung Möglichst wenige Stellen Fester Stellenwert (Gewicht jeder Stelle) Vermeiden von Null- und Einsworten (0000 bzw. ) Einfache Komplementbildung Einfaches Entwicklungsschema (Umrechnung) Code: Codieren: Eindeutige Zuordnung der Elemente (Zeichen) eines endlichen Zeichenvorrates zu denjenigen eines zweiten Zeichenvorrates nach einer bestimmten Vorschrift. verschlüsseln Nachrichten von einer Form in eine andere umwandeln. In der Digitaltechnik werden alle zu verarbeitenden Daten mit Hilfe von Kombinationen (Wörter) der Binärzeichen 0" und " dargestellt. Binärcode Im Prinzip ist die Zuordnung der einzelnen Zeichen zu den Wörtern des Binärcodes beliebig. Numerische Codes: Zeichen bestehen nur aus Zahlen, z. B. Dualcode Alphanumerische Codes: Zeichen bestehen aus Ziffern, Buchstaben, Sonderzeichen z. B. ASCII-Code Anforderungen an einen Code: optimale Lösung des Problems geringer Speicherplatzbedarf Fehlererkennung, -Korrektur einfach zu realisieren Bei numerischen Codes kann entweder: jede Dezimalzahl für sich verschlüsselt werden. oder: Dualcode (bei großen Zahlen unwirtschaftlich) jede Dezimalziffer für sich verschlüsselt werden. --> BCD-Codes (Binary-Coded-Decimal-Codes) (vorteilhaft in der Rechentechnik) Mit 3 Bit sind 2 3 = 8 Zeichen darstellbar. Für die Codierung einer Dekade (Ziffern ) sind also mindestens 4 Bit (= Tetrade) notwendig. RBS_Informationslogik 0.docx 3 Version.0

32 Codes RBS_Informationslogik 0.docx 32 Version.0

33 Codes 9. BCD- Codes / 4-Bit Codes (Binär Codierte Dezimalzahl) Bei der Codierung von Dezimalzahlen genügen 4 Bits (Bit ˆ binary Digit ˆ Binärzeichen) pro Stelle: Mit 4 Bits ergeben sich 6 Kombinationsmöglichkeiten da das Dezimalsystem aber nur 0 Zeichen unterscheidet, bleiben 4 Kombinationen ungenutzt. Diese Kombinationen werden als Pseudotetraden bezeichnet. Nr. Kombination zunächst ist es gleichgültig, welche Kombination man welcher dezimalen Ziffer zuordnet es gibt allerdings Argumente für bestimmte Zwecke! Mit 4 Bit lassen sich 2 4 = 6 Tetraden bilden; davon müssen 0 Tetraden für die Dezimalziffern ausgewählt werden. Nicht benutzte Tetraden heißen PSEUDO-Tetraden (PT) Die Möglichkeiten der Auswahl sind außerordentlich groß. In der Praxis haben sich nur wenige Codes als geeignet erwiesen. RBS_Informationslogik 0.docx 33 Version.0

34 Codes 9.2 Dual- Code ( Code) Die einfachste (einprägsamste) Codierung ist der 842-BCD- Code Aufsteigend von der Kombination bis zur Kombination 0 werden die Ziffern 0..9 zugeordnet. Eigenschaften: eine einfache Umrechnung (Stellenwert ˆ Gewicht der Stelle) wenige Stellen (für die und 9 00 sind 4 Bits erforderlich.) es tritt das Nullwort (0000) auf. Ziffer 2 3 =8 2 2 =4 2 =2 2 0 = Zeichen Pseudo- Tretraden 9.3 Exzeß-3- Code (Stibitz-Code) Man erhält das Bitmuster, in dem man zum Bitmuster des Dualcodes die duale 3 (00) addiert. Eigenschaften: Fester Stellenwert (aber schwieriger zu berechnen) Keine Null- und Eins- Worte Einfaches Komplement Ziffer 2 3 =8 2 2 =4-2 =2 negiert -2 0 = negiert Zeichen Pseudo- Tretraden RBS_Informationslogik 0.docx 34 Version.0

35 Codes 9.4 Aiken- Code (242-Code) Man erhält das Bitmuster, in dem man das Gewicht des höchsten (4.) Bits nicht mit 8 sondern mit 2 festlegt. Dadurch nutzt der Aiken- Code die ersten und die letzten 5 Kombinationen des Dualsystems. Eigenschaften: Ziffer Fester Stellenwert Komplement möglich Null- und Eins- Worte treten auf! Zeichen Pseudotetraden 9.5 Gray- Code Den Graycode findet man sowohl dekadisch (Codierung der Ziffern 0..9) als auch nicht dekadisch. Da sich benachbarte Wörter immer in nur einer Stelle unterscheiden (einschrittig), eignet sich dieser Code besonders zur Positionsbestimmung (allg. Messwerterfassung) Eigenschaften: Keine Gewichtung Wenn es sich um eine nichtdekadische Codierung handelt, hat dieser Code keine Pseudotetraden und ist zyklisch (d.h. beim Übergang von der letzen zur ersten Stelle ändert sich ebenfalls nur ein Bit Anwendung in der Steuerungstechnik (weniger in der Numerik) Keine Gewichtung Ziffer D C B A A B 0 C 0 0 D 0 E 0 0 F RBS_Informationslogik 0.docx 35 Version.0

36 Codes 9.6 Johnson- Code Dieser (ebenfalls einschrittige) Code ist besonders leicht zu entwickeln benötig allerdings mehr Stellen. Eigenschaften: Keine Gewichtung Einschrittig Zyklisch Einfaches Entwicklungsgesetz Anwendung in der Steuerungstechnik (weniger in der Numerik) Keine Gewichtung Ziffer E D C B A RBS_Informationslogik 0.docx 36 Version.0

37 Codewandler 0 Codewandler Unter einem Codewandler versteht man eine Schaltung, die einen Code in einen anderen umsetzt. 0. Codierer Codierer sind eine spezielle Form der Codewandler - sie verschlüsseln Dezimalziffern binär. Blockschaltbild: Eingänge (0) Codierer Ausgänge 0 2 : 9 Dezimal BCD (8-4-2-) A () B (2) C (4) D (8) U N A 9 B 7 C 6 D 4 Dieser TTL-Baustein reagiert auf die 0 und gibt an den Ausgängen 0 aus! 0.2 Decodierer Decodierer (Decoder) sind Schaltungen, die binär verschlüsselte Informationen in anzeigengerechte Werte umsetzen. Blockschaltbild Eingänge (4) Decoder Ausgänge A () B (2) C (4) D (8) BCD (8-4-2-) Dezimal U A B C 6 5 D N Das Schaltzeichen eines TTL- IC s aus EWB. Die Ausgänge sind lowaktiv die Eingänge reagieren auf die Pseudotetraden werden unterdrückt RBS_Informationslogik 0.docx 37 Version.0

38 Eingänge (Code XX) Ausgänge (Code YY) Codewandler 0.3 Codewandler Die Funktion eines Codewandlers lässt sich am Besten in Form einer Funktionstabelle beschreiben auf der linken Seite die Eingangsspalten und auf der rechten Seite die Ausgänge Blockschaltbild Codewandler X3 X2 X X0 Y4 Y3 Y2 Y Y Dezimal / BCD - Codierer RBS_Informationslogik 0.docx 38 Version.0

39 Eingänge (Dualcode) Ausgänge (7-Segment-Code) Codewandler 0.5 BCD / Dezimal - Codierer Schaltfunktion: DNF 0.6 BCD / 7- Segment - Codewandler Auf den folgenden Seiten wird die Entwicklung eines Codewandlers gezeigt, der einen 842-BCD-Code so umwandelt, dass an einer 7-Segmentanzeige die entsprechende Dezimalziffer leuchtet. Blockschaltbild f e a g b c Funktionstabelle: D C B A a b c d e f g Pseudotetraden 0 0 (don t care Positions) d RBS_Informationslogik 0.docx 39 Version.0

40 Eingänge Ausgänge Eingänge Ausgänge Speicher Speicher Bisher wurde davon ausgegangen, dass der Zustand der Ausgänge einer Schaltung zu jedem Zeitpunkt nur von den Werten der Eingänge abhängt. Laufzeiteffekte wurde dabei nicht erwähnt. Eine Rückführung der Ausgangswerte an die Eingänge der Schaltung wurde auch nicht untersucht. Schaltnetze: Schaltungen, die kein Speicherverhalten und abgesehen von kurzen Verzögerungen keine Laufzeiteffekte aufweisen (rein kombinatorische Schaltungen) Im Folgenden sollen Schaltungen besprochen werden, bei denen das Zeitverhalten berücksichtigt werden und Rückwirkung (Rückkopplung) der Ausgänge auf die Eingänge zulässig sind. Schaltwerke: Schaltungen, die Speicher enthalten und Rückkopplung zulassen. Funktionstabellen dieser Schaltungen berücksichtigen den momentanen und den folgenden Zustand. Rückführung Flip-Flop FF s sind Bauelemente mit sprunghaftem Übertragungsverhalten und werden daher auch als Kippstufen bezeichnet. Man unterscheidet grundsätzlich nach: Beispiel: Stabilität Statisch / dynamisch Triggerung SR_FF S R Q ~Q Dieses SR-FF hat 2 Ausgänge wobei ~Q immer!q entspricht (mit Ausnahme des nicht zulässigen Zustandes: S=R=) Flip-Flops haben zwei stabile Zustände, die sich nur dann ändern, wenn die entsprechende Bedingungen erfüllt sind (Vorbereitungseingänge und Triggerung) Statische FF s werten nicht das dynamische Verhalten des Triggersignals (Takt) aus sondern den Zustand ( 0 oder ) Dynamische FF s werden durch einen Übergang (negative oder positive Taktflanke) getriggert -- nicht der Zustand -- sondern die Zustandsänderung ist entscheidend! Unter Triggerung versteht man das Auslösen des Kippvorgangs. Diese Auslösekriterien können bei FF s sehr unterschiedliche sein und sind bestimmend für die Namensgebung (den Einsatz) dieser Kippstufen RBS_Informationslogik 0.docx 40 Version.0

41 Speicher. Speicherübersicht Grundsätzlich ist es gleichgültig, welchen speziellen Speicher man einsetzt entscheidend sind nur die grundsätzlichen Eigenschaften: Flipflopübersicht: Dynamisch oder statisch Mono-, bi-, oder astabil Die Architektur programmierbarer Logikbausteine stellt in der Regel nur D-FF s oder D- Latches zur Verfügung andere Speicher werden emuliert..2 RS-FLIP-Flop (NOR-Latch) RBS_Informationslogik 0.docx 4 Version.0

42 Speicher.3!RS-FLIP-Flop (NAND-Latch) RBS_Informationslogik 0.docx 42 Version.0

43 Speicher.4 Taktzustandsgesteuerte Flip-Flops RBS_Informationslogik 0.docx 43 Version.0

44 Speicher.5 Taktzustandsgesteuertes D-Flip-Flop RBS_Informationslogik 0.docx 44 Version.0

45 Speicher.6 Taktflankengesteuertes Flip-Flop RBS_Informationslogik 0.docx 45 Version.0

46 Speicher RBS_Informationslogik 0.docx 46 Version.0

47 Speicher RBS_Informationslogik 0.docx 47 Version.0

48 Speicher.7 Zwei-Speicher-Flip-Flop RBS_Informationslogik 0.docx 48 Version.0

49 Zähler 2 Zähler 2. Einführung RBS_Informationslogik 0.docx 49 Version.0

50 Zähler Bit-Dualzähler, vorwärts RBS_Informationslogik 0.docx 50 Version.0

51 Zähler Bit-Dualzähler, rückwärts RBS_Informationslogik 0.docx 5 Version.0

52 Zähler 2.4 BCD-codierter-Asynchronzähler (Dezimalzähler) RBS_Informationslogik 0.docx 52 Version.0

53 Zähler 2.5 Probleme beim Asynchronzähler RBS_Informationslogik 0.docx 53 Version.0

54 Zähler 2.6 Frequenzteiler RBS_Informationslogik 0.docx 54 Version.0

55 Zähler 2.7 Synchronzähler RBS_Informationslogik 0.docx 55 Version.0

56 Zähler Bit Synchronzähler, rückwärts RBS_Informationslogik 0.docx 56 Version.0

57 Zähler 2.9 BCD-codierter-Synchronzähler (Dezimalzähler) RBS_Informationslogik 0.docx 57 Version.0

58 Zähler RBS_Informationslogik 0.docx 58 Version.0

59 Zähler RBS_Informationslogik 0.docx 59 Version.0

60 Zähler RBS_Informationslogik 0.docx 60 Version.0

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62 Zähler RBS_Informationslogik 0.docx 62 Version.0

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64 Zähler 2.0 Synchrone Zähler mit Abel Ein Flipflop kann zwei stabile Zustände annehmen wenn man Schaltungen entwerfen soll, die mehrere Zustände haben, muss man zwangsläufig die Anzahl der Flipflops anpassen: Genau wie bei den Dualzahlen existieren bei n Flipflops 2 n Kombinationen also maximal 2 n Zustände. wenn man mit 2 Flipflops auskommen will, muss man die einzelnen Zustände entsprechend codieren: S0 ˆ Q0 = 0 und Q = 0; S ˆ Q0 = 0 und Q = ; S2 ˆ Q0 = und Q = 0; S3 ˆ Q0 = und Q = ; Im ersten Schritt soll eine Schaltung mit 4 Zuständen entworfen werden, wobei der Wechsel von einem Zustand zum folgenden einfach durch eine Taktflanke ausgelöst wird. Übung: Folgende Tabelle beschreibt den Zustand der Flipflops vor- und nach einer Taktflanke. Bestimmen Sie daraus, wie die Eingänge vorbereitet werden müssen (D0 bzw. D) damit der gewünschte Übergang mit der Taktflanke erfolgt. n n+ Vorbereitung Q Q0 Q Q0 D D Wdhlg. Beim Einsatz von D-FF sind die Vorbereitungseingänge immer entsprechend dem Folgezustand zu wählen Damit ergeben sich folgende Gleichungen: D0 =!Q0 D = Q0 &!Q #!Q0 & Q ˆ XOR. RBS_Informationslogik 0.docx 64 Version.0

65 Zähler X Q0 VCC J 2.5 V SET D Q ~Q X5 2.5 V RESET 5V Key = T D_FF_POSSR R 0 V kohm EOR2 U5 = D Q SET Q X3 2.5 V ~Q RESET D_FF_POSSR Wenn man die Ausgänge gewichtet (Q0 = 2 0 = und Q = 2 = 2) kann diese Schaltung als ein 2-Bit-Binärzähler aufgefasst werden (da er 4 unterschiedliche Zustände hat, spricht man auch von einem Modulo 4 Zähler) Q Q Dez X Q0 U 2.5 V SET VCC J D Q ~Q RESET 5V Key = T R 0 V kohm D_FF_POSSR EOR2 U5 Q SET DCD_HEX = D Q ~Q RESET D_FF_POSSR RBS_Informationslogik 0.docx 65 Version.0

66 Zähler 2. Entwicklungsmodelle Im vorangegangenen Beispiel wurde ein Zähler mit folgender Zählweise entwickelt: dabei handel es sich um 4 unterschiedliche Zustände, die man mit 4 Flipflops erreichen kann! Tatsächlich kamen aber 4 Flipflops zur Anwendung Takt C Q0 Q Q2 Q3 Die Ursache liegt in der Codierung der Zustände! Anstatt ein Schaltwerk zu entwickeln, dessen Speicher zugleich die Ausgänge liefern, hätte man auch weniger Speicher einsetzen und ein Schaltnetz nachschalten können! Takt C Q0 Q Y0 Y Y2 Y3 Übung: Beschreiben Sie in zwei getrennten Funktionstabellen für Schaltwerk und Schaltnetz den Zähler ( ) aus der vorangegangenen Aufgabe. Schaltwerk für 4 Zustände n n+ Q Q0 Q Q Schaltnetz für die Ausgabe Zustände Q Q0 Y3 Y2 Y Y ˆ ˆ ˆ ˆ 2 Man kann die beiden Tabellen auf zusammenfassen. RBS_Informationslogik 0.docx 66 Version.0

67 Zähler 2.2 Zusammenfassung Synchronzähler Zählschaltungen werden mit dynamischen Flipflops aufgebaut. Grundsätzlich besteht ein solches Schaltwerk aus folgenden Komponenten: Sind alle Takteingänge parallel geschaltet, handelt es sich um ein synchrones Schaltwerk. Speicher 2 m n m ˆ Anzahl der Flipflops n ˆ Anzahl der erforderlichen Zustände Im Zusammenhang mit Programmierbarer Logik sind D-Flipflops zu favorisieren da diese hardwaremäßig implementiert sind währen andere Speichertypen emuliert werden müssen. Vorbereitungslogik für die Speicher Schaltnetz mit externen (X 0...X n )- und internen (Q 0... Q n ) Eingängen. Ausgangslogik (optional) - sinnvoll bei komplexer Ausgangskodierung Übung: Oft können Steuerungsprobleme durch spezielle Zähler gelöst werden (Ablaufsteuerungen) in diesem Fall wird nach der notwendigen Anzahl der Zustände geforscht und - dann ein Zähler entworfen, der diese Zustände liefert (evt. Bereits richtig codiert oder mit zusätzlicher Ausgangslogik). Ein Beispiel für eine solche Steuerung ist eine Ampelschaltung. Folgendes Impulsdiagramm soll die Ampelphasen darstellen entwerfen (Funktionstabelle, Zustandsdiagramm, Minimierung und Test) Sie die notwendige Steuerung (mit einem Verfahren Ihrer Wahl). Takt Rot Gelb Grün RBS_Informationslogik 0.docx 67 Version.0

68 Zähler Übung: Zähler mit 7-Segment-Anzeige S0 a S3 S f g b S2 e c d Siebensegmentanzeige Gegeben ist ein synchrones Schaltwerk. Die obige Abbildung stellt das Zustandsdiagramm des Schaltwerks dar. Aufgabe. Welches Ereignis löst einen Zustandsübergang aus?.2 Wie viele Speicher werden zur Realisierung benötigt? Aufgabe 2 In den einzelnen Zuständen soll auf einer Siebensegmentanzeige (high-aktiv) die Nummer des entsprechenden Zustandes dargestellt werden (siehe Abbildung) 2. Erstellen Sie die Funktionstabelle. 2.2 Geben Sie die disjunktive Normalform für Segment d an. 2.3 Minimieren Sie Ihre Lösung in 2.2 mit Hilfe der Schaltalgebra und geben Sie den Lösungsweg an. Aufgabe 3 Das Schaltwerk in Aufgabe wird nun als Zähler betrachtet und so erweitert, dass es von 0 bis 7 zählt. 3. Skizieren Sie das Zustandsdiagramm 3.2 Wie viele Speicher werden minimal zur Realisierung benötigt? Begründen Sie Ihre Antwort und zeichnen Sie ein Blockschaltbild mit Siebensegmentanzeige. 3.3 Alternativ könnten Sie das System auch mit 7 Speicherelementen lösen. Beschreiben Sie auf dieser Grundlage eine optimale Zustandscodierung und zeichnen Sie das zugehörige Blockschaltbild. 3.4 Beurteilen Sie die Lösungen von 3.2 und 3.3 in Bezug auf das Startverhalten. RBS_Informationslogik 0.docx 68 Version.0

69 Zähler Übung: Rundumlicht BA0R Betriebs_Art_0_Rechts Eine LED leuchtet. Drehrichtung rechts BAR Zwei LEDs leuchten Drehrichtung rechts BA2R -2 LED(s) leuchtet(n) Drehrichtung rechts L L2 L4 L3. Zustandsdiagramm - Zustandskodierung.. Skizzieren Sie das Zustandsdiagramm für die Betriebsart BA0R und geben Sie in Tabellenform eine Zustandskodierung so an, dass möglichst wenige Speicher benötigt werden..2. Für die Betriebsart BAR ist eine Zustandkodierung gesucht, die es ermöglicht, die Ausgänge (L, L2, L3 L4) der Speicher direkt zur Ansteuerung der LED s zu verwenden. Beschreiben Sie die Codierung in Tabellenform.3. Wie viele Speicher sind mindestens notwendig, wenn man die Betriebsart BA2R realisieren will? Begründen Sie Ihre Antwort!.4. Zeichnen Sie ein Zustandsdiagramm für BA2R und erweitern Sie es so, dass ein Steuersignal U die Drehrichtung des Rundumlichtes steuern kann. (U = rechts; U = 0 links) 2 Umschaltlogik (BA0R BAR) 2. Gehen Sie davon aus, dass für die Zustandskodierung von B0R bzw. BR zwei Speicher mit den Ausgängen Q0 und Q verwendet werden. Ein Eingangsgröße S soll zwischen den beiden Betriebsarten umschalten. (S = 0 BA0R; S = BAR). Erstellen Sie die Funktionstabelle, die den Zusammenhang zwischen den Eingängen (S, Q0 und Q) und den Ausgängen (L... L4) beschreibt. 2.2 Geben Sie die DNF für den Ausgang L an. 2.3 Zeichnen Sie ein Blockschaltbild für die Steuerung zu Synchrones Schaltwerk Für die Betriebsart BA2R soll ein synchrones Schaltwerk entworfen werden, dessen Speicher (QL... QL4) direkt das Bitmuster der Leuchtdioden erzeugen. 3. Beschreiben Sie den Unterschied zwischen Schaltwerk und Schaltnetz. 3.2 Erstellen Sie die Zustandstabelle für das synchrone Schaltwerk. 3.3 Für die Funktion der Schaltung ist es entscheidend, dass dynamische Flipflops zum Einsatz kommen! Erläutern Sie diese Aussage. RBS_Informationslogik 0.docx 69 Version.0

70 Schieberegister 3 Schieberegister RBS_Informationslogik 0.docx 70 Version.0

71 Schieberegister RBS_Informationslogik 0.docx 7 Version.0

72 Schieberegister RBS_Informationslogik 0.docx 72 Version.0

73 Schieberegister RBS_Informationslogik 0.docx 73 Version.0

74 Schieberegister RBS_Informationslogik 0.docx 74 Version.0

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