Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas. Kevin Schellkes und Christian Hendricks

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1 Kevin Schellkes und Christian Hendricks

2 Inhalt Der herkömmliche Ansatz zur Simulation logarithmischer Renditen Ansatz zur Simulation mit Copulas Test und Vergleich der beiden Verfahren Fazit

3 Korrelationsansatz Geometrische Brownsche Bewegung für 1,, Aktien im Zeitraum 0 und Wiener Prozess ~0,

4 Korrelationsansatz Geometrische Brownsche Bewegung für 1,, Aktien im Zeitraum 0 und Wiener Prozess ~0, Mit festen Parametern

5 Korrelationsansatz Analytische Lösung

6 Korrelationsansatz Analytische Lösung Darstellung der logarithmischen Rendite

7 Korrelationsansatz Analytische Lösung in Matrixschreibweise =: α =: - Aktienkurs einzelner Aktien zum Zeitpunkt t unabhängig voneinander - Entspricht nicht den Beobachtungen in der Realität!

8 Korrelationsansatz Abhängigkeitsstruktur mit Kovarianzmatrix

9 Korrelationsansatz Zufallsvariable um logarithmische Renditen zu simulieren mit wobei ~ α, α α,

10 Korrelationsansatz Erst Cholesky-Zerlegung von führt zum Ziel : α ~ α, bzw. ~ α,

11 Korrelationsansatz Erst Cholesky-Zerlegung von führt zum Ziel : α ~ α, bzw. ~ α, wird mittels mit ~,! simuliert

12 Korrelationsansatz Ziel: Portfoliowert in K Tagen simulieren 1) Transformation der Tagesrenditen auf K-Tagesrenditen 2) Ermittlung der Simulationsparameter α und

13 Korrelationsansatz Zu 1) sei γ # $ die l-te Tagesrendite der Aktie i und X die Beobachtungsmatrix X :=

14 Korrelationsansatz Bsp.: Sei K=3 % := &

15 Korrelationsansatz Zu 2) -Parameter & ist die Kovarianzmatrix von & -Parameter α &

16 Korrelationsansatz Monte-Carlo-Algorithmus

17 Inhalt Der herkömmliche Ansatz zur Simulation logarithmischer Renditen Ansatz zur Simulation mit Copulas Test und Vergleich der beiden Verfahren Fazit

18 Können wirklich alle Abhängigkeiten durch die Korrelation erfasst werden?

19 Gleiche Korrelation Gleiche Randverteilungen Aber unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen

20 Gauß-Copula - mit multivariater Normalverteilung der Dimension mit Korrelationsmatrix ' - univariate Standardnormalverteilung ɸ

21 Gauß-Copula Dichte

22 t-copula - mit multivariater t-verteilung der Dimension mit Korrelationsmatrix ' und ν Freiheitsgraden - univariate t-verteilung mit ν Freiheitsgraden

23 t-copula Dichte

24

25 Numerische Tests Tailabhängigkeit

26 Numerische Tests Bei Gauß-Copula gilt - Für Korrelation * +1 ist λ - λ. 0 - Extreme Ausprägungen treten unabhängig voneinander auf Bei t-copula gilt - Für Korrelation >-1 ist λ - /0und λ. /0 - Extreme Ausprägungen treten tendenziell abhängig voneinander auf

27

28 Mit Hilfe des Satzes von Sklar kann die Simulation der Renditen aufgeteilt werden 0 12,, ,, ,, ,, ,,7 0 12,, ,,6 13 7

29

30 Es gilt 8~0, denn: -9~6 und 9 # ~6 # mit stetiger, monotonwachsender Randverteilung -: # ~;0,1

31 - Für 6 und 6 # <5 ɸ <5 folgt die Gauß-Copula - Für 6 00 und 6 # <5 = <5 folgt die t-copula

32

33 X erfüllt die gewünschte Verteilung, denn:

34 Praktische Anwendung von Algorithmus 3: 1) Ermittlung der Randverteilungen 2) Wie werden die Copulaparameter ermittelt?

35 Zu 1)

36 Für die Randverteilungen einzelner Beobachtungen kann ausgenutzt werden, dass

37

38 Wir erhalten dadurch eine Matrix ; mit ; #,> 6 #,? 7 #,>

39

40 Bei praktischer Anwendung von Algorithmus 3 bleibt noch ein Problem offen: - wie erfolgt die Auswertung von 6 # <5 8 #?

41 Wir kennen nur die Auswertung der Randverteilungen an den einzelnen Beobachtungen 7 #,> 6 # 7 #,> bzw. 6 # #,> 7 #,> i.a. gilt 6 # <5 8 # *7 #,> für alle j

42 Ist die Anzahl der Datensätze groß genug Randverteilung fast kontinuierlich

43 Zu 2) Copula-Parameterschätzung Maximum-Likelihood-Methode: Idee: Wähle denjenigen Parameter, der auf Grund der gemachten Beobachtungen am plausibelsten erscheint

44 Fasse dazu Beobachtungen als identisch verteilte und stochastisch unabhängige Zufallsvariablen auf mit c als Dichte der Copula

45 Randverteilungsparameter bereits implizit geschätzt Monotonie Logarithmus und Maximum von logarithmierter Dichte an gleicher Stelle Log-Maximum-Likelihoodfunktion

46 Einsetzen der beobachteten Werte Pseudo-Log-Maximum-Likelihoodfunktion

47 Praktische Anwendung bei Gauß-Copula - Maximum des Likelihoodschätzers für Parameter P

48

49 Praktische Anwendung bei t-copula - Parameter P über Beziehung zum Kendall schen Rangkorrelationskoeffizient τ 'B sin F G H ; - Freiheitsgrade ν mittels Log-Likelihoodschätzers max = $7,ν,'B)

50

51

52 Inhalt Der herkömmliche Ansatz zur Simulation logarithmischer Renditen Ansatz zur Simulation mit Copulas Test und Vergleich der beiden Verfahren Fazit

53 Numerische Tests In der Praxis ist VaR oft interessanter als PF-Wert Um ihn berechnen zu können, wird aus den einzelnen Simulationsausgängen LM > für N1,,O die Dichte approximiert

54 Numerische Tests Testportfolio mit Daten vom Unternehmen Dt. Telekom AG 25 % RWE AG 25 % BMW AG 25 % Infineon AG 25 % bis Portfoliogewicht

55 Numerische Tests Dichte und VaR bei Simulationen mit t-copula für α0.99

56 Numerische Tests VaR bei Simulationen

57 Numerische Tests Welcher Ansatz erzielt die besseren Ergebnisse? Backtest:

58 Numerische Tests Gauß- oder t-copula? Nach Ergebnissen von Herrn Deuß bildet die t- Copula die Abhängigkeitstruktur besser ab Worauf könnte dies zurückzuführen sein?

59 Numerische Tests Untersuchung der Tail-Abhängigkeit für Aktien in unserem PF

60 Numerische Tests Tailabhängigkeitsschätzer für log-renditen der Dt. Telekom AG und RWE AG

61 Fazit Standardkorrelationansatz bildet nicht die komplette Abhängigkeitsstruktur ab Standardkorrelationsansatz unterschätzt das Risiko Copulaansatz erfasst die Abhängigkeiten besser t Copula im Markt mit Tailabhängigkeit besser geeignet als Gauß-Copula

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