1 Logarithmische Skalierung

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1 Stephan Peter Wirtschaftsingenieurwesen WS 5/6 Mathematik Serie 3 Zinsrechnung Kaufmännisches Rechnen Da sind diese zwei Typen, die eine Lastwagenladung Wassermelonen zu einem Dollar das Stück gekauft haben und sie dann am anderen Ende der Stadt für einen Dollar das Stück verkaufen. Am Ende haben sie nichts verdient, und der eine Typ sagt: Wir hätten einen größeren Laster nehmen sollen! (Aus: Simon Singh, Homers letzter Satz, Hanser Verlag) Logarithmische Skalierung Aufgabe Zeichnen Sie in das nebenstehende Diagramm eine zweite (logarithmisch skalierte (Basis 2)) vertikale Achse und den dazugehörigen Graphen ein. Aufgabe 2 Fertigen Sie zu Aufgabe 6 von Serie 2 ein Diagramm zur Darstellung der Entwicklung der Rattenpopulation für die ersten 20 Jahre an (mit logarithmisch skalierter vertikaler Achse für die Anzahl der Tiere (Basis: 0)). 2 Fakultät & Binomialkoeffizient Aufgabe 3 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Kürzen und Zusammenfassen: a) n(n )! e) n! 2n! n! b) (n + 2)! f) n (n 2)! c) n! (n )! g) (n )! + n! + d) (2n)! n! (2n)! h) (2(n + ))!

2 Aufgabe 4 Berechnen Sie: 6 a) 2 b) 6 4 c) 5 3 d) 49 3 e) f) n n Aufgabe 5 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke durch Kürzen und Zusammenfassen: a) (n + 2)! n(n )! b) (n )! c) 500! 499! 499! Aufgabe 6 Stellen Sie die Formeln nach den angegebenen Größen um: a) E pot = mg(h 2 h ) nach h R R b) C = 4πK R R nach R c) I = I 0 e t T nach t U d) E = r ln( r 2 r ) nach r 2 e) a b c = a c+ (a, b > 0) nach c f) E = rq qn q (q > 0, q ) nach n 3 Textaufgaben Aufgabe 7 Für die vierstellige Matrikelnummer eines jeden Studenten müssen zur Speicherung auf dem persönlichen elektronischen Studentenausweis mindestens wieviel Bit zur Verfügung stehen? Aufgabe 8 Ein Händler bietet an: Für eine Stereoanlage für 980 Eu erhält der Kunde bei Barzahlung 2,5% Rabatt (Preisnachlass). Wie hoch ist der Barzahlungspreis? Aufgabe 9 Der Preis für ein Kilogramm eines gerösteten Edelkaffees lag vor zwei Jahren bei 5 Euro, verteuerte sich im vorletzten Jahr um 4% und fiel im letzten Jahr wieder um 4%. a) Was kostet das Kilo heute? b) Würde das Kilo heute dasselbe kosten, wenn es sich zuerst (d.h. im vorletzten Jahr) um 4% verbilligt hätte, und dann um 4% verteuert hätte? 2

3 Aufgabe 0 Während einer Klassenarbeit wird eine Information von Schüler zu Schüler weiter gegeben. Erfahrungsgemäß wird bei der Weitergabe die Information in 20% der Fälle verfälscht.. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der letzte Schüler der Klasse (8 Schüler) die Information richtig erhält? 2. Nach der wievielten Weitergabe sinkt die Wahrscheinlichkeit für eine unverfälschte Information unter 30%? Aufgabe Stellen Sie die in der Vorlesung vorgestellte Zinseszins-Formel K n = K 0 ( + i) n () zur Berechnung des Endkapitals bei einfacher jährlicher Verzinsung um nach dem Startkapital K 0, dem Zinssatz i, der Laufzeit n. Aufgabe 2 Ein Anfangskapital von 0000e wird mit Zinseszins angelegt. a) Welches Endkapital ergibt sich nach 5 Jahren bei 2,5% Zinsen? b) Welches Kapital hätte man unter obigen Bedingungen anlegen müssen, um ein Endkapital von 5000e zu erhalten? c) Rund wie viele Jahre muss das Anfangskapital von e bei einem Zinssatz von 2,5% angelegt werden, um einen Kapitalzuwachs von 2,8% zu erzielen? Aufgabe 3 Max erbt 0000e und legt dieses Erbe für 9 Jahre zu einem variablen Zinssatz an. In den ersten drei Jahren wird das Guthaben mit,5% verzinst, in den folgenden drei Jahren mit 2,5% und die letzten drei Jahre mit 4%. Die Zinsen werden dem Konto jeweils am Jahresende gutgeschrieben und verbleiben auf dem Konto. a) Wie hoch ist der durchschnittliche Zinssatz? 3

4 b) Wie hoch ist der Kontostand nach 9 Jahren? c) Mit welchem konstanten Zinssatz würde Max den gleichen Kontostand nach ebenfalls 9 Jahren erreichen? d) Wie lang müsste Max das Geld anlegen, damit er sich bei einem konstanten Zinssatz von 4% verdoppelt? Aufgabe 4 Zusatzaufgabe Auf der Erde gibt es km 3 Wasser, welches nicht Meerwasser ist. Das sind etwa 2,8 % der gesamten Wasservorräte der Erde. Es teilt sich auf in 3000 km 3 Wasser in der Atmosphäre (Niederschläge, Wolken), km 3 Polar-, Meer- und Gletschereis, km 3 Oberflächenwasser (Bäche, Flüsse, Seen) und km 3 Grundwasser. Zur Trinkwassergewinnung sind nur das Oberflächenwasser und das Grundwasser nutzbar.. Wie groß ist die Gesamtwassermenge der Erde? 2. Ein Schwimmbecken ist 50 m lang, 4 m tief und 2 m breit. Wieviel l Wasser passen in das Becken? 3. Wie viele Schwimmbecken könnte man mit dem Wasser der Atmosphäre füllen? 4. Wie groß ist der für Trinkwassergewinnung nutzbare Anteil am Süßwasservorrat der Erde? 5. Entwerfen Sie ein Diagramm, das möglichst anschaulich die Wasservorräte der Erde zeigt. Aufgabe 5 Zusatzaufgabe 2 Benutzen Sie untenstehende Abbildung zur Staatsverschuldung in Deutschland, um eine Prognose für ihren Betrag im Jahr 2020 abzugeben. Wie würden Sie das tun? Wie wäre es mit einem Lineal? Gehen wir nun folgendermaßen vor: Wir modellieren die Staatsverschuldung als jährlich wachsend bei einfacher Verzinsung mit Zinseszins, d.h. S n = S 0 ( + i) n, (2) wobei S 0 die Anfangsschuld in einem geeigneten Jahr ist, n der betrachtete Zeitraum in Jahren, S n die Verschuldung im Jahr n nach dem Anfangsjahr und i der Zinssatz, mit welchem die Verschuldung wächst. Können Sie geeignete Größen S 0 und i finden, die den Verlauf aus der Abbildung recht gut wiedergeben? 4

5 Abbildung : Quelle: Macht dieses Modell für die Schulden Sinn? (Es suggeriert z.b., dass das jährliche Schuldenwachstum ein (konstantes) Vielfaches des aktuellen Schuldenstands ist.) Macht das Modell Sinn aus Sicht derer, die die Zinsen bekommen oder die Kredite vergeben? Wer das Ganze genauer machen will, findet hier Zahlen ( 5

6 Lösungen 3 a) n + b) n 2 +3n+2 f) n 2 g) n2 +2n+2 (n+)! h) 4n 2 +6n+2 c) n n! d) (n + )(n + 2)... (2n )(2n) e) 2 4 a) 5 b) 5 c) 0 d) 8424 e) 8424 f) n 5 a) (n + 2)(n + ) b) (n + )n c) a) h = h 2 Epot mg b) R = CR C+4πKR c) t = T ln I I 0 d) r 2 = r e U Er e) c = log b log(a b) , 50 Eu 9 a) 4, 98 Euro b) Ja 0 f) n = log(re ( q)e) log r log q. P = 0, 8 7 0, 0225 = 2, 25% 2. 0, 8 x < 0, 3 x > lg 0,3 lg 0,8 5, 4 ab der 6. Weitergabe 2 a) 34,08e b) 3257,8e c) 8 Jahre 3 a) 2,66% b) 2666,88e c) 2,66% d) 8 Jahre km , km ,42 Milliarden 4. ca. 23,2 % 5. Ein Kreisdiagramm ist günstig. 27. Oktober 205, 7:36 Uhr 6

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