Mathematik I/II für Verkehrsingenieurwesen 2007/08/09

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1 Prof. Dr. habil. M. Ludwig Mathematik I/II für Verkehrsingenieurwesen 2007/08/09 Inhalt der Vorlesung Mathematik I Schwerpunkte: 0 Vorbetrachtungen, Mengen 1. Lineare Algebra 1.1 Matrizen 1.2 Determinanten Vorbetrachtungen, Permutation, Inversion Determinanten, Definition und Berechnung Entwicklungssatz Rechnen mit inversen Matrizen 1.3 Vektoren, Einführung in die Vektorrechnung Vektorräume Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Analytische Geometrie im und 1.4 Lineare Gleichungssysteme Vorbetrachtungen, lineare Abbildung Cramer-Regel Gauß-Algorithmus Rang einer Matrix Lösbarkeitsbedingung für lineare Gleichungssysteme Struktur der Lösungsmenge Gauß-Algorithmus Iterative Verfahren 1.5 Eigenvektoren und Eigenwerte 1

2 2. Komplexe Zahlen 2.1 Klassische Darstellung, Rechenoperationen 2.2 Gaußsche Zahlenebene 2.3 Trigonometrische Darstellung 2.4 Exponentielle Darstellung 2.5 Rechnen mit komplexen Zahlen Zahlen (Moivresche Formeln, Radizieren im Komplexen) 2.6 Algebraische Gleichungen (Fundamentalsatz der Algebra) 3. Funktionen einer (reellen) Variablen 3.1 Grundbegriffe 3.2 Grundfunktionen Konstante Funktionen Potenzfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen und deren Umkehrfunktion 3.3 Elementare Funktionen 3.4 Rationale Funktionen Ganze rationale Funktionen (Polynome) Polynominterpolation Gebrochen rationale Funktionen (Partialbruchzerlegung) 3.5 Stetigkeit reeller Funktionen Grundbegriffe Stetigkeit elementarer Funktionen Unstetigkeitsstellen 4 Differentialrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen 4.1 Begriff des Differentialquotienten 4.2 Differentiation elementarer Funktionen 4.3 Untersuchungen von Funktionen mit Hilfe ihrer Ableitungen Höhere Ableitungen Berechnung von Grenzwerten (Vollständige) Kurvendiskussion 2

3 Inhalt der Vorlesung Mathematik II/ Taylor - Entwicklung Anwendungen der Taylorreihe (Näherungsweise Lösung von Gleichungen, Fehlerrechnung) 5 Integralrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen 5.1 Stammfunktion und unbestimmte Integrale Definition der Stammfunktion und des unbestimmten Integrals Technik des Integrierens Integration spezieller Funktionsklassen Rationale Funktionen Weitere Substitutionsregeln 5.2 Bestimmtes Integral Definition des bestimmten Integrals Rechengesetze für bestimmte Integrale Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale mit unendlichen Grenzen Uneigentliche Integrale mit unbeschränkten Integranden 5.3 Numerische Berechnung von Integralen Trapezregel Simpson sche (Keplersche) Regel 5.4 Anwendung der Integralrechnung Flächeninhalt ebener Bereiche Bogenlänge einer ebenen Kurve Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern Parameterdarstellung - Differentiation und Integration Einführung von Polarkoordinaten 3

4 6 Zahlenfolgen und Reihen 6.1 Zahlenfolgen Grundbegriffe Konvergenz und Grenzwert Nullfolgen Konvergenzkriterien Bestimmte und unbestimmte Divergenz 6.2 Unendliche Reihen 6.3 Funktionsreihen Grundbegriffe Potenzreihen Konvergenz von Potenzreihen Differentiation und Integration von Potenzreihen Rechnen mit Potenzreihen 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen 7.1 Differentialgleichungen erster Ordnung 7.2 Lösungsmethoden Trennung der Variablen Substitution (für homogene Differentialgleichungen) Variation der Konstanten 7.3 Systeme von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten (Lineare Systeme) Grundbegriffe Homogene lineare Differentialgleichungssysteme Lineare Systeme in Jordanscher Normalform Inhomogene lineare Differentialgleichungssysteme Variation der Konstanten Ansatzmethoden Laplace-Transformation 7.4 Rand- und Eigenwertaufgaben 7.5 Potenzreihenansätze 7.6 Numerische Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen (Einführung) 4

5 8 Differentiation reeller Funktionen mit mehreren Variablen 8.1 Skalare Felder, Vektorfelder, Koordinatensysteme 8.2 Stetigkeit, partielle Ableitung n Umgebungsbegriff im Grenzwert von Funktionen mit mehreren Variablen Stetigkeit Partielle Ableitung 8.3 Differentiation impliziter Funktionen 8.4 Das totale Differential 8.5 Taylorentwicklung 8.6 Relative Extrema Newtonverfahren für mehrere Variable Ausgleichsrechnung (Methode der kleinsten Quadrate) Spline Interpolation 5

6 Inhalt der Vorlesung Mathematik III(II/2) 9. Integration von Funktionen mit mehreren Variablen 9.1 Unbestimmtes Integral 9.2 Bestimmte Integrale Kurvenintegrale (1. Art) Integrale über flache Bereiche Flächenintegrale Raumintegrale Integrale über gekrümmte Flächen 10. Vektoranalysis 10.1 Differentiation 10.2 Integration Kurvenintegrale 2. Art Oberflächenintegrale 2. Art Integralsätze 11. Wahrscheinlichkeitstheorie 11.1 Einführung in die Kombinatorik 11.2 Zufällige Ereignisse 11.3 Häufigkeit 11.4 Wahrscheinlichkeit 11.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse 11.6 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 11.7 Kennwerte von Verteilungen Erwartungswert Varianz Ergänzende Bemerkungen zu Erwartungswert und Varianz Einige Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret) Einige Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) Mehrdimensionale Zufallsgrößen 11.8 Grenzwertsätze 6

7 Tschebyscheff sche Ungleichung Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli Satz von Poisson Zentraler Grenzwertsatz 12 Fourier-Reihen 12.1 Trigonometrische Reihen, Definition 12.2 Harmonische Analyse 12.3 Ergänzungen 13 Partielle Differentialgleichungen 13.1 Einführung 13.2 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung Verkürzte homogene lineare PDgl. 1. Ordnung (VG) Allgemeine lineare und quasilineare PDgl. 1. Ordnung (QL) Anfangswertproblem 13.3 Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung (Einführung) Klassifikation Transformation auf Normalform 7