8.1 Bildvorverarbeitung

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1 8 Bildverarbeitung des optischen Kamera-Positionsmesssystems 8. Bildvorverarbeitung Vor der eigentlichen 3D-Positionsmessung sind eine Reihe von Vorverarbeitungsschritten von Nöten. Diese Vorverarbeitung erfolgt mit dem Ziel, den Informationskontrast der Bilddaten so zu erhöhen, dass die anschließenden Verarbeitungsschritte der eigentlichen 3D- Messung möglichst einfach in der Ausführung und robust gegenüber Störungen ausfallen. Im Histogramm der Grauwertbilddaten wird deshalb ein bimodales Histogramm angestrebt. Die Vorverarbeitung ist sowohl im optischen als auch algorithmischen Teil anzusiedeln. Eine Optimierung der algorithmische Teile setzt voraus, dass entsprechend den technisch, wirtschaftlichen Randbedingungen eine für die Problemstellung optimale optische Vorverarbeitung realisiert wurde. Hierzu gehören folgende optische Verarbeitungsschritte: Stroboskopische Beleuchtung mit einer Blitzdauer, die von den konkurrierenden Kriterien der maximal zulässigen Bewegungsunschärfe und der erforderlichen Beleuchtungsintensität bestimmt wird. Wellenlängenselektive Beleuchtung, Reflexion und Aufnahmetechnik: Optischer Filter Infrarot-Tiefpass mit Infrarot-Hochpass des Sensors ergeben Infrarotbandpass, der zusammen mit einer wellenlängenselektiven Reflexion der Markeroberfläche den Informationskontrast der Messmerkmale gegenüber der Umgebung erhöht. Retroreflektierende Marker zusammen mit einer Beleuchtungsquelle in der Umgebung der optischen Achse des Kameraobjektivs. Aufnahme eines Dunkelbildes zur Messung des Kamerabildrauschens (ohne Blitz und Umgebungsbeleuchtungseinflüsse) Aufnahme eines nicht stroboskopisches beleuchteten Bildes zur Aufnahme des Umgebungsbeleuchtungseinflüsse (Für Differenzbilder geeignet) sowie algorithmische Vorverarbeitungsschritte: Die für die 3D-Messung herangezogenen Bilddaten sind Differenzbilder aktueller stroboskopisch beleuchteter Bilder und nicht stroboskopisches beleuchteter Bilder (Reduziert Umwelteinflüsse signifikant)

2 8. Digitale Bildverarbeitung In der digitalen Bildverarbeitung werden die Originalbilddaten des kontinuierlichen Bildsignals l: ( x, y) Dxy, l( x, y) Wl, mit Dx, y [ xmin, xmax] [ ymin, ymax ] R und W [ g, g ] R (8-) l Min Max in rechnerkompatible orts- und wertediskrete Bilddaten g: ( m, n) Dmn, g( m, n) Wg, mit Dmn, {0,,..., M } {0,,..., N } N und {0,,..., G } N (8-) Wg transformiert. Dies ist notwendig, weil in der realen physikalischen Welt eines digitalen Rechnersystems nur endliche polyadische Zahlenformate existieren können. Diese Transformation findet physikalisch im CCD/CMOS-Sensor und auf der Bildverarbeitungskarte statt. Die Daten stehen dann als zwei- oder mehrdimensionale, diskrete Funktionen zur Verfügung. Für die Analyse der Datenbeziehungen verwendet man häufig Ansätze, bei denen auf die Wertediskretisierung verzichtet wird. Dies ist möglich, weil man als Datenmodell für den Wertevorrat der Abbildungen eine 64-Bit Floating-Point-Zahl mit einem Wertebereich [± 0 ± 308] verwenden kann. Natürlich kann hierdurch der Datenverlust aufgrund der Wertequantisierung des Grauwertbildes nicht rückgängig gemacht werden und letztlich ist auch diese 64-Bit-Darstellung weiterhin eine endliche Näherung der reellen Zahlen. Die Verfahren und Algorithmen, die auf die digitalisierten Bilddaten angewendet werden, sollen entweder den Bildinhalt für den menschlichen Beobachter einprägsamer darstellen oder optische Merkmale datentechnisch auswerten, die den Bildinhalt repräsentieren. Der Begriff des Bildinhaltes hat einen subjektiven Charakter und hängt von der Interessenlage des Betrachters ab. Dementsprechend vielfältig können die Transformationen oder algorithmischen Auswertungen sein, die auf das Bild angewendet werden. 8.3 Segmentierung von Grauwertbildern Die Szenenanalyse befasst sich mit der Extraktion von relevanten Informationen aus einem Bild oder einer Bildfolge mit automatischen oder halbautomatischen Methoden. Hierzu werden typischerweise drei Verarbeitungsschritte benötigt: Signalvorverarbeitung, Segmentierung und Bildinterpretation. Die Signalvorverarbeitung von Bildern dient der Bildverbesserung, geometrischen Entzerrung oder Filterung. Sie kann im optischen Bereich, z.b. durch Wahl der Beleuchtungstechnik, Verwendung von optischen Filtern etc. aber auch im algorithmischen Bereich, durch die digitale Signalverarbeitung vollzogen werden. Die Bildsegmentierung wird im Ortsbereich des Bildes, also im Bereich der Zeilen- und Spaltenkoordinaten nach Maßgabe eines Prädikats vollzogen. Die resultierenden Bereiche im Bild, die dem Prädikat genügen, werden in Regionen eingeteilt. Hierbei sollte das Ziel der Prädikatendefinition sein, dass

3 jeder Bildpunkt in einer und nur einer Region erfasst ist (Eindeutigkeit), Bildpunkte der Region den Wahrheitswert des Prädikats und Bildpunkte außerhalb der Region den Wahrheitswert 0 des Prädikats entsprechen (Entscheidbarkeit). Einfache Verfahren zur Signalvorverarbeitung stellen die Punktoperatoren dar. Sie repräsentieren Abbildungen, deren Funktionswert nur vom Grauwert eines Bildpunktes abhängt. Punktoperatoren sind somit Transformationen der Grauwertskala im Wertebereich zwischen Schwarz und Weiß. Der Punktoperator kann eine analytisch geschlossene Form haben, in Form einer Tabelle definiert oder abschnittsweise erklärt sein. Die Gamma-Korrektur gehört z.b. zu dieser Operatorenklasse. Werden die Operatoren auf die digitalisierten Bilddaten angewendet, so lassen sich die Input-Look-Up-Tabellen der Bildverarbeitungskarten für eine Echtzeit-Grauwerttransformation verwenden. Ebenso gehört die Binarisierung von Grauwertbildern mit einem konstanten Schwellwert zu der Klasse der Punktoperatoren. Die Binarisierung von Grauwertbildern ist in zahlreichen Anwendungsfällen der digitalen Bildverarbeitung ein hilfreiches Verfahren, weil helle und dunkle Bildpunkte Träger der Information des Bildes sind. Andere Bildszenen haben zwar Grauwerte, aber die relevante Information liegt in der Form der im Bild auftretenden Regionen, Linien oder Objekten vor, so dass das ideale Bildmodell einen binären Charakter hat. Nach dem Erfassen einer "quasi" binären Bildszene mit einer CCD/CMOS-Kamera erhält man in der Regel ein digitalisiertes Grauwertbild, welches über mehr oder minder breite Bereiche der Grauwertskala gestreut ist. Die Gründe für das Auftreten nicht binärer Grauwertverteilungen bei "quasi" binären Objekten sind systembedingt und haben verschiedene Ursachen: Rauschen des Bildaufnahmesystems, inhomogene Szenenbeleuchtung und Materialbeschaffenheiten der Objekte unterschiedliches Übertragungsverhalten der Optik in der Mitte und am Rande des Bildfeldes usw. Im Zusammenhang mit der videometrischen Messaufgabe am Marker gehört die Beleuchtungstechnik, Markermaterialwahl, Bilddifferenzbildung aus aktuellem und Dunkelbild und die Binarisierung von Marker- und Hintergrundbildpunkten zur Signalvorverarbeitung. Die Segmentierung des Bildes in Hintergrund- und Markerregion erfolgt mit dem Prädikat einer Schwellwertentscheidung, die Bildpunkte, deren Grauwerte unterhalb des Schwellwertes liegen, werden dem Hintergrund und solche, die größer oder gleich dem Schwellwert sind, dem Marker zuordnet. Ebenfalls zur Segmentierung gehört die Konturverfolgung, die die binarisierten Bildpunkte in Konturelemente und nicht Konturelemente klassifiziert. Diese Klassifikation hat ebenfalls einen binären Charakter. Die Bildinterpretation erfolgt dann über eine a priori bekannte, geschlossene Kontur des Kalibrierkörpers, deren Modell mit der extrahierten Kontur in Beziehung gesetzt wird, um die geometrischen Merkmale zur Positionsbestimmung zu ermitteln

4 8.3. Konstanter Schwellwert bei Grauwertbildern mit bimodalem Histogramm Die Bildvorverarbeitungsschritte führen in der Regel zu einer bimodalen Grauwertverteilung entsprechend Abb.. Die Grauwertverteilung gibt die relative Häufigkeit eines Grauwerts der Szene an. Eine derartige Verteilung kommt dem Ideal eines binären Bildes sehr nahe, bei dem nur zwei scharfe Grauwertmoden existieren, eine für das Objekt und eine für den Hintergrund. Die Zuordnung der Helligkeitswerte zum Objekt und pg () schwarz Objekt weiß g Min g B τ g W g Max Hintergrund Abb. 8-: Bimodales Grauwerthistogramm bei Durchlichtbeleuchtung g Hintergrund sind problemabhängig und können auch mit vertauschten Rollen auftreten. Der gleichverteilte Histogrammanteil wird im wesentlichen durch das Rauschen und die Unschärfe oder Streubreite der Moden wird durch die Homogenität von Hintergrundbeleuchtung und Objekt sowie den Fremdlichtverhältnissen bestimmt. Hieraus lassen sich die konstruktiven Ziele für die Marker und die Beleuchtung für eine möglichst einfache und sichere Segmentierung ableiten: homogene Beleuchtung, homogene Objekteigenschaften in der Umgebung der Kontur, hoher Kontrast zwischen Hintergrundbeleuchtung und Objekt in der Umgebung der Kontur und geringe Fremdlichteinflüsse in der Umgebung der Kontur. Der Schwellwert τ kann nach verschiedenen Ansätzen bestimmt werden: Intervallhalbierung des Wertevorrats [g Min, g Max ] des Histogramms τ = g + ( g g ), (8-3) Min Max Min Intervallhalbierung des Modenabstandes des Histogramms τ = g + ( g g ), mit g := Weißwert und B W B W g B := Schwarzwert (8-4) Optimierung der Klassentrennbarkeit von Objekt und Hintergrund [7, 64] und Optimierung mit informationstheoretischem Ansatz [70]. Letztlich gilt es zu beachten, dass es kein allgemein gültiges, optimales Verfahren zur Schwellwertbestimmung gibt, weil das Optimierungskriterium abhängig vom semantischen Bildinhalt ist. Der Schwellwertoperator selbst wird durch die Aussage g für g( m, n) τ Τ { g}( m, n) =, { g0, g, τ} [ gmin, gmax] (8-5) g0 für g( m, n) < τ beschrieben

5 8.3. Schwellwertbestimmung mit modifiziertem Histogramm Bimodale Grauwertbilder können bei nicht so günstigen Aufnahmebedingungen relativ breite Grauwertmoden besitzen (siehe Abb. ), so dass nach Zamperoni [97] die Bestimmung des Schwellwertes sinnvoller weise über ein modifiziertes Histogramm erfolgen sollte. Zu diesem Zweck bildet man ein Histogramm nur aus Bildpunkten g g gmn (, ) für ( mn, ) + ( mn, ) ξ =, 0 sonst f (, ) (, ) ( mn, ) = f m+ n f m n und m f (, ) (, ) ( mn, ) = f m n+ f m n, (8-6) n gh ( m, n) m n mit bei denen die Euklidische Norm des diskreten Gradienten unterhalb einer Entscheidungsschwelle ξ liegt. Hierdurch werden zum einen keine Grauwerte, die im Übergangsbereich zwischen Hintergrund und Objekt liegen, und zum anderen keine Grauwerte in stark inhomogenen Gebieten für die Schwellwertbestimmung herangezogen Lokaladaptive Schwelle Statistische Schwankungen der Grauwerte eines Bildes können aufgrund der einfachen Schwellwertoperation in Gleichung (5) zu inkonsistenten Binärbildern führen. Die Schwankungserscheinungen können durch adaptive Filterung oder Glättung des Bildsignals, durch Einführung einer Hysterese Τ{ g}( m, n) für Τ{ g}( N( m, n)) + Τ{ g}( N( m, n)) = g ΤH{ g}( m, n) = Τ{ g q}( m, n) für Τ{ g}( N( m, n)) = Τ{ g}( N( m, n)) = g0, Τ{ g+ q}( mn, ) für Τ{ g}( N( mn, )) = Τ{ g}( N( mn, )) = g mit den Nachbarschaftsrelationen N: ( kl, ) = N ( mn, ), N : ( i, j) = N ( m, n) und einer typischen Hysterese von q= ( qmax qmin )/5 (8-7) oder/und durch eine lokale Anpassung des Schwellwertes Τ { g+ k g}( m, n), A mit ( m+ a, n+ b) a+ b+ (, i j) = ( m a, n b) g = g(, i j) und k [/0,/ ] (8-8) reduziert werden. Die Hysterese bewirkt, dass die Binarisierung an Bildpunkten, in deren Nachbarschaften N und N keine Binäränderungen auftreten, unempfindlich gegenüber Rauschstörungen wird. In analoger Weise führt das lokaladaptive Schwellwertverhalten dazu, dass die Entscheidungschwelle in Bildregionen mit geringem Hintergrundanteil erhöht wird, damit helle Störungen die Schwelle nicht erreichen. Umgekehrt wird in Bildregionen mit

6 geringem Objektanteil die Schwelle erniedrigt, so dass dunkle Störungen die Schwelle nicht erreichen. 8.4 Konturcodierung mit Freeman Code Die Konturbeschreibung eines konvexen Objektes mit einer geschlossenen zusammenhängenden Kurve erfolgt in der digitalen Bildverarbeitung sinnvoller weise über die 8-er- Nachbarschaft eines Konturpunktes entsprechend der Abb.. Auf Basis der 8-er- Nachbarschaft lässt sich ein Pfad zwischen zwei Bildpunkten als eine Folge von benachbarten Bildpunkten definieren. Diese acht diskreten Richtungen einer 8-er-Nachbarschaft eines quadratischen Rasters können für eine effiziente Darstellung binärer Objekte herangezogen werden. Der von Freeman eingeführte Konturcode eines Binärobjektes besteht aus den Anfangskoordinaten und einer geordneten Ziffernfolge t z = ( z, z,, z n ), mit zi Dz {0,,,7} (8-9.), (8-9.) die die Richtung der Kontur definiert. Hierbei ist der Umlaufsinn implizit in der Ziffernfolge codiert. Der Definitionsbereich D z des Konturcodes definiert dabei acht Nachbarschaftsrelationen oder Konturrichtungen: N : ( mn, ) t ( i, j) t = ( m, n+ ) t, (8-0.) 0 N t t t : ( mn, ) ( i, j ) = ( m, n+ ), (8-0.) t t t N : ( mn, ) ( = ( ) (8-0.3) N t t t 3 : (, ) (, ) (, ) (8-0.4) N : 4 ( mn, ) t t t (8-0.5) N t t t 5 : (, ) (, ) (, ) (8-0.6) N : 6 ( mn, ) t t t und (8-0.7) N : t t t (, ) (, ) (, ) (8-0.8) 7 In dem gewählten Beispiel wird bei einem mathematisch positiven Umlaufsinn die Kontur in Form der diskreten Daten t s = (4,6), t z =(,7,7,0,0,,,,,,3,5,5,3,4,4,4,5,6,6,7,7) (8-) dargestellt. Die Konturcodierung hat den Vorteil, dass Binärobjekte datenreduziert gespeichert werden können. Ferner kann der Konturcode für eine Merkmalsextraktion und für geometrische Operationen ohne Verwendung der Rohdaten herangezogen werden, so dass man den Nachteil in Kauf nehmen kann, dass der Konturcode für eine Sichtbarmachung der Objekte erst decodiert werden muss. Für weitere Einzelheiten zur Anwendung des Konturcodes sei auf Zamperoni [97] verwiesen. 6 m 4 Anfangspunkt Richtungscode Abb. 8-: Konturcodierung auf Basis der 8-ter-Nachbarschaft 7 0 n

7 8.5 Kantenextraktion und Konturverfolgung Für das Problem der Kantenextraktion aus bimodalen Grauwertbildern lässt sich keine allgemeingültige systematische Methode angeben. In der Praxis muss man häufig für jeden Anwendungsfall individuell eine günstige Komposition von Bildverbesserungs-, Glättungs-, Binarisierungs- und Kantenextraktionsoperatoren nach empirischen Kriterien zusammenstellen [5, 3, 65, 73, 97]. Jedoch sollte das Ergebnis der Kantenextraktion folgende Kriterien erfüllen: Binärbild mit weißen Linien und schwarzem Hintergrund, Linien mit konstanter Breite von einem Bildpunkt, lückenlose geschlossene Konturlinie und möglichst keine Störungen, wie Zickzackverläufe, Linienäste, Punkte etc.. Das entwickelte Verfahren der Konturverfolgung geht von einem nach Hintergrund und Objekt segmentierten oder segmentierbaren Bild aus und wurde mit folgenden zusätzlichen Zielvorstellungen entwickelt: Verarbeitung von Bildpunkten nur in der Umgebung der Kontur, um kurze Rechenzeiten zu ermöglichen, Möglichkeit der Hardware-Realisierung der Konturextraktion, ebenfalls zur Rechenzeitbeschleunigung und Speicherung der Konturinformation in Form des Konturcodes. Der Konturverfolgungsalgorithmus geht von einem Startpunkt (m s,n s ) t auf der Kontur aus. Zu Beginn der Konturverfolgung ist die Richtung der Kante unbekannt, so dass man die Suche beliebig, z.b. in der codierten Richtung 0 beginnen kann. Die Konturverfolgung wird so lange fortgesetzt, bis die Abbruchbedingung des Algorithmus erfüllt ist. Zur zeitlichen Optimierung der Konturverfolgung wurde, unter der Annahme einer bis auf eine endliche Anzahl von Unstetigkeitspunkten stetig differenzierbaren Kontur, eine Matrix R C = (8-) der wahrscheinlichen, codierten Konturfolgerichtungen definiert. Bei der Verwendung dieser wahrscheinlichen, codierten Konturfolgerichtungen geht man davon aus, dass mit hoher Wahrscheinlichkeit entweder die Richtung der Kontur beibehalten wird oder, mit entsprechend abnehmender Wahrscheinlichkeit, die Kontur der nächst benachbarten Richtung entsprechend Abbildung 3 folgt. Infolgedessen werden in dem Algorithmus entsprechend der Suchrichtungsmatrix () nacheinander die existierenden Konturelemente der codierten Richtungen der Abb. 4 mit dem vorliegenden Binärbild verglichen

8 vorherige Richtung n m 8. Bildverarbeitung des optischen Kamera-Positionsmesssystems Folge der Richtungen mit abnehmender Wahrscheinlichkeit Abb. 8-3: Suchrichtungsfolgen der Konturverfolgung Erfüllt das Binärbild die Bedingung eines Konturelements (3), so wird der Konturpixel gesetzt, das Kantenelement als gefunden markiert, die Richtung der Kante entprechend der 8-er- Nachbarschaft im z- Vektor gespeichert und die Konturverfolgung im Bildpunkt der Nachbarschaftsrelation (0) unter Berücksichtigung der gefundenen Konturrichtung fortgesetzt, bis die Abbruchbedingung erfüllt ist. Der Abbruch erfolgt, wenn kein Kantenelement existiert, die aktuelle Konturkoordinate gleich der Startkoordinate ist, die Konturkoordinate auf einer bereits gefundenen Kontur liegt oder die Grenzen des Bildausschnitts oder des Bildbereiches erreicht sind. Die Konturelemente der Abb. 4 werden durch 8 Relationen: CB k ( m, n) = wahr Richtungscode k, k {0,,,7}, (8-3.) mit CB0( m, n) = ( T{ g}( m, n) = g0 T{ g}( m, n+ ) = g0 ) ( T{ g}( m, n) = g T{ g}( m, n+ ) = g T{ g}( m+, n) = g T{ g}( m+, n+ ) = g ), (8-3.) CB( m, n) = ( T{ g}( m, n) = g0 T{ g}( m, n+ ) = g0 ) ( T{ g}( m, n+ ) = g T{ g}( m, n) = g ), (8-3.3) CB( m, n) = ( T{ g}( m, n) = g0 T{ g}( m, n) = g0 ) ( T{ g}( m, n ) = g T{ g}( m, n ) = g T{ g}( m, n+ ) = g T{ g}( m, n+ ) = g ), (8-3.4) CB3( m, n) = ( T{ g}( m, n) = g0 T{ g}( m, n ) = g0 ) ( T{ g}( m, n) = g T{ g}( m, n ) = g ), (8-3.5)

9 C ( m, n) = ( T{ g}( m, n) = g T{ g}( m, n ) = g ) B4 0 0 ( T{ g}( m+, n ) = g T{ g}( m+, n) = g T{ g}( m, n ) = g T{ g}( m, n) = g ), B5 0 0 C ( m, n) = ( T{ g}( m, n) = g T{ g}( m+, n ) = g ) ( T{ g}( m, n ) = g T{ g}( m+, n) = g ), C ( m, n) = ( T{ g}( m, n) = g T{ g}( m+, n) = g ) B6 0 0 ( T{ g}( m+, n ) = g T{ g}( m, n ) = g T{ g}( m+, n+ ) = g T{ g}( m, n+ ) = g ) und C ( m, n) = ( T{ g}( m, n) = g T{ g}( m+, n+ ) = g ) B7 0 0 ( T{ g}( m+, n) = g T{ g}( m, n+ ) = g ). (8-3.6) (8-3.7) (8-3.8) (8-3.9) m Bedingung log. log.0 n Richtung Abb. 8-4: Konturelemente und zugeordnete Konturrichtungen definiert. Das Prädikat des Konturverfolgers wird hierdurch im Zusammenhang mit den Konturfolgerichtungen in Gleichung () beschrieben

10 8.6 Marker Positionsmessung Für die 3D-Photogrammetrie sind die eingesetzten Marker insbesondere im Zusammenhang mit der subpixelgenauen Positionsmessung von zentraler Bedeutung. Geht man von einer 3D- Kugelsphäre aus, so sind die im RAM-KOS entstehenden geometrischen Objekte Kreise oder Ellipsen. Ellipsen entstehen, wenn die horizontalen und vertikalen Maßstabsfaktoren unterschiedlich sind. Eine typische Markerrepräsentation umfasst dabei 5 x 5- bis 0 x 0-Pixel oder mehr. Eine Positionsmessung mit Subpixelgenauigkeit setzt ein analoges Kantenmodell voraus. Das einzusetzende Kantenmodell ist dabei abhängig von Pixelzahl des Markers bzw. dem vorliegenden z-abstand zu wählen. Als Umschaltkriterium kann die Markerfläche im RAM-KOS herangezogen werden. Da sowohl bei der D-Subkanten-Positionsmessung als auch der 3D-Positionsmessung Minimierungsverfahren zum Einsatz kommen, sind geeignete Schätzungen der Startwerte der Minimierer erforderlich: Für die Prädiktion der Kantenpositionen sind Schwellwertverfahren zusammen mit Konturverfolgungsalgorithmen geeignet. Die Markerposition kann mit Hilfe des Flächenschwerpunkts des segmentierten Markers und der z-abstand kann über die Bildweite, den Maßstabsfaktoren und dem in Welt- und RAM-Koordinaten vermessenen Flächenmaß, Durchmesser oder Konturumfang bestimmt werden (Durchmesser der Kugel im Welt-KOS bekannt). Die gemessene Markerposition wird durch zufällige und systematische Messfehler beeinflusst. Diese sind Markergeometriefehlern, die Markerposition (insbesondere in z-richtung), der Hintergrund, die Störlichtquellen, die Inhomogenitäten der Beleuchtung, die Inhomogenitäten der optischen Eigenschaften der Markeroberflächen, das Sensorrauschen und die Grauwertfehler des Sensors. Die Einflüsse der Beleuchtungsquellen und Reflexionseigenschaften können zusammen mit dem Kamerarauschen und Quantisierungsrauschen als statistische Störungen interpretiert werden (siehe auch Abb. 3-3). Die Abb. 3-3 zeigt die Situation für ein Messmerkmal im Durchlichtverfahren. Für eine genauere Analyse dieser Grenzen müssen die eingesetzten Messmerkmale und Algorithmen in der Anwendungssituation herangezogen werden

11 8.6. Positionsmessung Flächenschwerpunkt Die Position (x M,y M ) t des sphärischen Markers in D-RAM-Koordinaten kann über den Flächenschwerpunkt mg( mn, ) x = ym gmn (, ) ng( mn, ) ( mn, ) Objekt ( mn, ) Objekt m Bmn g( m, n) ( mn, ) Rechteck = Bmn g( m, n) n Bmn g( m, n) ( mn, ) Rechteck ( mn, ) Rechteck M ( mn, ) Objekt (8-4) bestimmt werden. Hierbei sind (m,n) t := Pixelkoordinaten g(m,n) := Grauwertbild Objekt := segmentiertes Objekt Rechteck := Rechteck, mit Objekt Rechteck (Objekt ist in Rechteck) B mn := Belegungsmatrix ( für Objekt und 0 für Hintergrund) Diese Methode wird oft benutzt. Sie ist wenig rechenzeitintensiv, ergibt akzeptable Resultate und ist einfach zu implementieren. Das eigentliche Problem liegt in der Findung eines Rechtecks, das einen und nur einen Marker enthält sowie in der Ermittlung der Belegungsmatrix. Bei einem bimodalen Histogramm kann man die Belegungsmatrix mit einem einfachen Schwellwertverfahren bestimmen. Systematische und zufällige Fehler Systematische und zufällige Fehler der Positionsmessung können über die Jacobi- Matrizen (0-4) der Vektorabbildung y = f( p, x), mit xm y =, ym m Bmn g( m, n) ( mn, ) Rechteck fx ( ) =, B g( m, n) nbmn g( mn, ) x = mn ( mn, ) Rechteck ( mn, ) Rechteck t t t (( gmn (, )) ( Bmn) ) beschrieben werden. Dieser Ansatz kann für numerische Fehlerfortpflanzungsanalysen nach Kap. 0.6 herangezogen werden

12 Zufällige Messfehler/Wiederholgenauigkeit Unter der Annahme unkorrelierte unabhängiger zufälliger Grauwerte g i lässt sich nach Cooper die Varianzabschätzung (Gewichtung mit g i ): σ σ σ σ x = M xi xm xi + I xm i i gi i σ y = M yi ym yi + I ym i i gi i σ = xy x y y x+ Ix y i i i gi i xmym i i M i M i M M einsetzen. Hierbei sind σ := Signalrauschen der Weißwerte g i := Grauwert auf der Diagonalen (i,i) im Objektrechteck I := Anzahl der Diagonalpixel im Rechteck (8-5) Unter den gleichen Annahmen des Cooper-Ansatzes mit der Gewichtung g i = = const erhält man aus (8-4): N m g( m, n) xm m Objekt ( m, n) Objekt = ~ y M. (8-6) gmn (, ) M n ( mn, ) Objekt n Objekt gmn (, ) ( mn, ) Objekt Damit ist die Positionsmessung des Flächenschwerpunktes mit der Gewichtung g i = proportional zum Kehrwert des arithmetischen Mittelwerts der Objektgrauwerte. Bei normalverteilten Rauschstörungen N(ξ,σ) kann das Vertrauensintervall σ σ µ λp% ξ µ + λp% (8-7) MN MN des Erwartungswertes µ zur Charakterisierung der Unsicherheiten herangezogen werden. Die Gleichung (8-7) zeigt, dass die zufälligen Fehler der Positionsmessung normalverteilter Rauschstörungen mit dem Faktor MN abnehmen. Hierbei gibt M N die Zahl der Objektpixel an

13 Schlussfolgerung: Eine q-fache Erhöhung der Wiederholgenauigkeit kann bei konstanten Rauschstörungen mit einer q -fachen Erhöhung der Pixelzahl erreicht werden. Die Wiederholgenauigkeit der Positionsmessung wächst proportional zur D-Markerfläche bzw. dem reziproken Abbildungsmaßstab zwischen Welt- und Sensor-KOS (kleinere Markerfläche größere Fehler). Diese Abschätzungen können nur zu einer groben Orientierung dienen. Systematische Messfehler Die systematischen Messfehler der Grauwerte werden bei der Verwendung von CMOS- Sensoren nicht unwesentlich durch systematische Fehler der individuellen CMOS-Zellenkennlinien bestimmt. In erster Näherung sind dies Offset- und Steigungsfehler der individuellen Regressionsgerade der CMOS-Zellen gegenüber der globalen nominalen Sensorgeraden. Zudem können einzelne Sensorpixel einen Defekt in der Art aufweisen, das dessen Grauwerte unabhängig von der Leistungsdichte der auftretenden elektromagnetischen Strahlung sind (siehe Abb. 8-5). Die auftretenden Fehlerprozesse sind im Allgemeinen orts-, temperatur- und zeitabhängig sowie räumlich und zeitlich korreliert. In erster Näherung kann man eine Orts- und Zeitinvarianz sowie räumliche Korrelationsfreiheit annehmen. Temperatur und alterungsbedingte Veränderungen sollen nicht Gegenstand der Betrachtung sein (Badewannenkurve: Nach Frühausfällen mit normaler Nutzungsdauer; Abb. 8-5: Pixeldefekte (defekter Pixel schwarz) keine Frühausfälle und Alterungs- bzw. verschleißbedingte Fehlerarten). Für diese Fehlerbeschreibung ist es zweckmäßig, ein empirisches Fehlermodell bzw. empirische Verteilungsfunktionen heranzuziehen. Geht man davon aus, dass folgende disjunktive Ereignisklassen G := Ereignis Grauwert in Ordnung und D := Ereignis Grauwert defekt vorliegen, wobei die defekten Pixel ihrerseits wie folgt eingeteilt werden W := Ereignis Grauwert weiß, B := Ereignis Grauwert schwarz, G C := Ereignis Grauwert konstant (ohne weiß und schwarz) und U := unklassifizierbares Fehlerereignis, so erhält man für die Ereigniswahrscheinlichkeiten die Relationen: pg ( ) = pd ( ), mit (8-8.) pd ( ) = pw ( B G U) = pw ( ) + pb ( ) + pg ( ) + pu ( ) und (8-8.) C G k= Ck C pg ( ) = pg ( ). (8-8.3) C

14 8.6. Analytisches Parameterbestimmungsverfahren achsenparalleler Ellipsen Ausgehend von der Annahme, dass die über die geschlossene Kontur eines Objekts gleichmäßig verteilten Konturpunkte ( x, y ), k {,,..., K} (8-9) k k die Ellipsengleichung in achsenparalleler Lage f : ( y y ) / a + ( x x ) / b = 0, a > 0 b> 0 (8-0) E c c exakt befriedigen, lässt sich ein Näherungsansatz zur geschlossenen Ellipsenparameterberechnung aus der Relation k 0 ε = ( y y ) / a + ( x x ) / b = 0 (8-) k k c k c entwickeln. Es handelt sich hierbei um einen Näherungsansatz, da die Konturpunkte (8-9) die Annahme (8-) nicht exakt, sondern höchstens im arithmetischen Mittel erfüllen. Die Summe der quadratischen Fehler sämtlicher Konturpunkte erfüllt somit auch die Gleichung K K K! ε k = ( k c + k c ) =, (8-) f : ( y y ) / a ( x x ) / b 0 k= k= k= t so dass man das Parameterbestimmungsproblem p E = ( xc, yc, a, b) auf ein Minimierungsproblem zurückführen kann. Notwendige Bedingung für die Existenz eines relativen Extremums ist das Verschwinden der partiellen Ableitungen: f f f f = 0, = 0, = 0 und = 0. (8-3) xc yc a b Nach Anwendung der Summen- und Kettenregel erhält man für x c und y c : f ( ) ( ) ( ) : / a xk xc + / b yk yc / a ( xk xc) = 0 und (8-4) x c k f ( ) ( ) ( ) : / a xk xc + / b yk yc / b ( yk yc) = 0. (8-5) y c k Weil der Term in der eckigen Klammer die Ellipsengleichung (8-0) darstellt, erhält man weiter bzw. für a ( xc xk )/ a = 0 und k > 0 b> 0 die notwendige Bedingung:! ( yc yk )/ b = 0 (8-6) k t t ( xc yc) = xk yk K. (8-7) k k Aus den notwendigen Bedingungen der partiellen Ableitungen der Hauptachsenparameter lassen sich keine verwertbaren Beziehungen zur Bestimmung der Hauptachsenparameter ableiten. Jedoch lassen sich nach Bestimmung der Mittelpunktkoordinaten die Hauptachsenparameter über die Aussagen = Max{ k E } und b Max{ yk y E } a x x = (8-8)

15 berechnen. Infolgedessen stehen die Parameter der achsenparallelen Ellipsengleichung näherungsweise in einer analytischen Beziehung zu den statistischen Kennwerten des Datenfeldes (9) bzw. den gleichmäßig über die geschlossene Kontur verteilten Konturpunkten: ( { } { }) t k k p = ( x, y, a, b) = x, y, Max x x,max y y. (8-9) t E c c E E Das Verfahren der konjugierten Ellipsendurchmesser Ellipsenkontur Sehnengruppen Regressionsgeraden Mittelpunkt Abb. 8-6: Konjugierte Ellipsendurchmesser Kommt es bei der Messung, wie z.b. bei der Kamerakalibration (Mittelpunktskoordinaten im Sensorkoordinatensystem des Bildspeichers), lediglich auf die Mittelpunktskoordinaten einer Ellipse an, so kann das Verfahren der konjugierten Ellipsendurchmesser herangezogen werden [53]. Bei diesem Ansatz werden die Schnittpunkte zweier orthogonaler Gruppen von parallelen Sehnen mit der Kontur bestimmt (siehe Abb. 8-6). Der Schnittpunkt der beiden Regressionsgeraden, die durch die Mittelpunktskoordinaten der Sehnen gezogen werden, definiert die Mittelpunktskoordinaten der Ellipsenkontur. Bei der subpixelgenauen Positionsmessung werden die Sehnen in der Umgebung des Flächenschwerpunktes gewählt, damit die Suchrichtungen der Kantenorte quasi orthogonal zur Ellipsenkontur verlaufen. Die elliptische Verzerrung der Kreiskontur wurde in Abb. 8-6 gegenüber der real vorkommenden Verzerrung stark überbetont

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17 Inhaltsverzeichnis 8 Bildverarbeitung des optischen Kamera-Positionsmesssystems Bildvorverarbeitung Digitale Bildverarbeitung Segmentierung von Grauwertbildern Konstanter Schwellwert bei Grauwertbildern mit bimodalem Histogramm Schwellwertbestimmung mit modifiziertem Histogramm Lokaladaptive Schwelle Konturcodierung mit Freeman Code Kantenextraktion und Konturverfolgung Marker Positionsmessung Positionsmessung Flächenschwerpunkt Analytisches Parameterbestimmungsverfahren achsenparalleler Ellipsen Das Verfahren der konjugierten Ellipsendurchmesser