2 Terme 2.1 Einführung

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1 2 Terme 2.1 Einführung In der Fahrschule lernt man zur Berechnung des Bremsweges (in m) folgende Faustregel: Dividiere die Geschwindigkeit (in km h ) durch 10 und multipliziere das Ergebnis mit sich selbst. a) Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit v = 40 km h. Berechnen Sie den Bremsweg. Wie groß ist der Bremsweg bei der doppelten Geschwindigkeit? b) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Bremsweges. c) Berechnen Sie den Bremsweg für weitere Geschwindigkeiten. a) v = 40 km h : Dividiere 40 durch 10: = 4 Multipliziere das Ergebnis mit sich selbst 4? 4 = 16 Ergebnis: Bei einer Geschwindigkeit von 40 km h beträgt der Bremsweg 16 m. v = 80 km h : Dividiere 80 durch 10: = 8 Multipliziere das Ergebnis mit sich selbst 8? 8 = 64 Ergebnis: Bei einer Geschwindigkeit von 80 km h beträgt der Bremsweg 64 m. Bemerkung: Bei der doppelten Geschwindigkeit vervierfacht sich der Bremsweg. v b) Allgemein Dividiere v durch 10: 10 Multipliziere das Ergebnis mit sich selbst v 10? v 10 = v2 Ergebnis: Formel zur Berechnung des Bremsweges: v2 c) Einsetzen für v in die Formel v2 12,2 _ 12, = 1, = = 100 Durch Einsetzen kann man für jede Geschwindigkeit den Bremsweg berechnen. Für v darf man Zahlen einsetzen. v hält somit den Platz frei für Zahlen. Man sagt, v ist ein Platzhalter bzw. eine Variable. Einen Ausdruck wie z. B. v2 100 nennt man einen Term. 2 Bohner/Ihlenburg/Ott ISBN

2 Beispiele für Terme v + 10; 2x + 3; 4 5x; 3a 4; a + b; 5 + 4(x + 3); x 2 + 5x 4; 9; 117 Beachten Sie: Ein Term ist ein (sinnvoller) mathematischer Ausdruck. Terme können Zahlen sein oder Terme können Variable enthalten. Bemerkung: Ein Term, der keine Variable enthält, ist eine Zahl, z. B.: 5; 7 + 6; ist kein Term, da in diesem Fall kein sinnvoller mathematischer Ausdruck vorliegt. Aufgaben 1. Setzen Sie für x jeweils die Zahlen 0; 4; 5; 10; 33 ein. a) 2x + 5 b) 21 x c) x Setzen Sie in den Term 3a b + 2c die Zahl 6 für a, 7 für b und 8 für c ein. 3. a) Welche Zahl muss man für x einsetzen, damit der Term x das Ergebnis 29 hat. b) Geben Sie jeweils eine Zahl für x und y an, sodass der Term x + 3y in die Zahl 12 übergeht? 4. Ein Unternehmen produziert x Stück einer Ware. Der Erlös kann mit dem Erlösterm 14x berechnet werden. Bestimmen Sie den Erlös für drei selbst gewählte Stückzahlen. Erläutern Sie den Erlösterm. 5. Ein Stromunternehmen berechnet für 1 kwh 0,17. a) Vergleichen Sie den Verbrauch und die Stromkosten verschiedener Kunden. b) Familie Müller verbraucht pro Monat durchschnittlich 250 kwh. Wie hoch sind die Stromkosten? c) Die Variable x beschreibt die Anzahl der verbrauchten kwh. Geben Sie einen Term zur Berechnung der Stromkosten in Abhängigkeit vom Verbrauch x an. d) Das Stromunternehmen verlangt eine monatliche Grundgebühr von 18, Herr Stuckenburg hat einen Handyvertrag mit folgenden Konditionen abgeschlossen: Monatliche Grundgebühr 12,00, Telefonkosten pro Minute 0,20. Welcher Betrag steht auf seiner Monatsrechnung, wenn er nicht telefoniert, wenn er 40, 60, 120 Minuten telefoniert? Wie lautet die Formel, wenn er x Minuten telefoniert? 18

3 2.2 Berechnen von Termen Addition Zunächst beschäftigen wir uns mit den einfachen Termen, den Zahlen. Im Alltag muss man mit Zahlen rechnen können. Für die Addition gibt es Bezeichnungen und Regeln = 7 1. Summand plus 2. Summand gleich Summe Beim Addieren von Zahlen muss man Rechenzeichen und Vorzeichen unterscheiden. Bemerkung: Die Zahl 3 hat das Vorzeichen +. Man könnte auch schreiben 3 = + 3. Bei der Addition kann eine positive Zahl als Guthaben (H) und eine negative Zahl als Schulden (S) aufgefasst werden. Beispiel 3 + ( 4) Rechenzeichen Vorzeichen a) ,00 H und 2,00 H ergeben 7,00 H = 7 b) 5 + ( 2) 5,00 H und 2,00 S ergeben 3,00 H. 5 + ( 2) = 3 c) ( 5) + 2 5,00 S und 2,00 H ergeben 3,00 S. ( 5) + 2 = 3 d) ( 5) + ( 2) 5,00 S und 2,00 S ergeben 7,00 S. ( 5) + ( 2) = 7 Betrachtet man nur die Zahl, unabhängig von Haben oder Soll, so spricht man vom Betrag dieser Zahl, z. B. der Betrag von 2 ist 2; der Betrag von 2 ist auch 2. Bemerkung: Der Betrag einer Zahl ist immer größer oder gleich null. 19

4 5.5.2 Verteilungsrechnung Beispiel Bei einem Wettbewerb stehen für die ersten drei Plätze 1 610,00 Preisgeld zur Verfügung. Wie ist das Preisgeld zu verteilen, wenn der Sieger dreimal so viel bekommt wie der Zweite und fünfmal so viel wie der Dritte? Variable festlegen: Der Anteil des Siegers beträgt x. Anteile bestimmen Bemerkung Da der Sieger dreimal so viel bekommt wie der Zweite, erhält der Zweite ein Drittel des Siegeranteils, d. h. x 3. Sieger Zweiter Dritter Zusammen Anteile x x 3 x 5 x + x 3 + x 5 Gleichung aufstellen: x + x 3 + x 5 = 1610? 15 Nach x auflösen 15x + 5x + 3 x = x = : 23 Einfache Gleichung x = 1050 Antwortsatz: Der Sieger bekommt 1050,00, der Zweite 350,00 und der Dritte 210,00. Aufgaben 1. Ein Kapital in Höhe von ,00 soll an die drei Schwestern Anna, Eva und Ute verteilt werden. Anna erhält 2 000,00 mehr als Eva. Ute erhält 2 000,00 weniger als Eva. Wie viel erhält jede Schwester? 2. In einem Testament wird festgelegt, dass Hans 3 000,00 weniger als Elke bekommt und Klaus halb so viel wie Elke. Wie viel erhält jeder, wenn das Vermögen ,00 betrug? 3. Eine Berufsschule veranstaltet einen Herbstbasar. Armin, Beate und Denis haben bei der Tombola ein Los für 3,00 gekauft. Armin hat 50 Ct, Beate 1,00 und Denis 1,50 beigesteuert. Sie gewinnen den Hauptpreis: ein Handy im Wert von 51,00. Formulieren Sie eine sinnvolle Frage. Lösen Sie die Aufgabe. 4. Das Ergebnis einer Aufgabe lautet: Hans erhält 300,00, Karl 500,00 und Karin 800,00. Erstellen Sie für dieses Ergebnis einen passenden Aufgabentext. 78

5 5.5.3 Prozentrechnung Das Prozentrechnen ist dazu geeignet, Zahlenverhältnisse besser zu durchschauen und zu vergleichen. Beim Vergleich von Anteilen nimmt man oft die Zahl 100 als gemeinsamen Nenner. Beispiele 1) In einer Klasse mit 25 Schüler besitzen 18 Schüler ein Handy. Wie viel Prozent der Schüler haben ein Handy? 18 Schüler von 25 Schülern sind = = 0,72 = 72 % Prozentwert P Grundwert G Prozentsatz p % = P G Antwortsatz: 72 % aller Schüler haben ein Handy. Beachten Sie: Prozentwert = Grundwert? Prozentsatz P = G? p % 2) Ein Großhandelsbetrieb erhält eine Lieferantenrechnung über 1 650,00. a) Bei termingerechter Zahlung werden 3 % Skonto eingeräumt. Wie hoch ist der Skontobetrag? b) Da der Betrieb zu spät zahlt, muss er 80,00 Mahngebühren bezahlen. Welchem Prozentsatz entspricht dies? a) Gegeben: Grundwert: 1650 ; Prozentsatz: 3 % Gesucht: Prozentwert Dreisatz 100 % = % = 1 _ % = 1 _ 650? 3 = 49,50 Antwortsatz: Der Skontobetrag beträgt 49,50. b) Gegeben: Grundwert: 1650 ; Prozentwert: 80 Gesucht: Prozentsatz Dreisatz 1650 = 100 % 1 = 100 % = 100 % 1650? 80 = 4,85 % Antwortsatz: Die Mahngebühren betragen 4,85 %. 79

6 3) Wegen kleiner Fehler wird eine Ware mit einem Nachlass von 15 % zum Sonderpreis von 185,20 verkauft. Wie viel betrug der ursprüngliche Preis? mit Dreisatz Gegeben: Prozentsatz 15 % Gesucht: ursprünglicher Preis (= 100 %) Verminderter Grundwert: 85 % = 185, % berechnen: 100 % = 185,20 85 %?100 % = 217,88 Antwortsatz: Der ursprüngliche Preis betrug 217,88. mit einer Gleichung: Der ursprüngliche Preis ist x. 85 % des ursprünglichen Preises x sind 185,20, d. h. x? 85 = 185,2 Auflösung nach x x = 185,2 85? 100 = 217,88 Antwortsatz: Der ursprüngliche Preis betrug 217,88. 4) Die Firma Adler erhöht zum 1. Januar den Preis eines Flachbildschirms um 10 %. Mitte Januar kommt ein Konkurrenzprodukt auf den Markt. Daraufhin senkt die Firma Adler den Preis um 5 %. Wie hoch war der Preis vor dem 1. Januar? Variable festlegen: Der ursprüngliche Preis sei x. Preissenkung! Nur noch 198,55 Preise bestimmen ursprünglicher Preis ursprünglicher Preis + 10 % Erhöhung 95 % des erhöhten Preises (5 % Senkung) x x + 10 x = x? 110 x? 1,1? 0,95 Endpreis 198,55 Gleichung aufstellen: x? 1,1? 0,95 = 198,55 : (1,1?0,95) Nach x auflösen x = 190 Antwortsatz: Der Flachbildschirm kostete 190,00. Zum Verständnis % 110 % von % (neu) 95 % von ,55 Kurzform: 190? 110? 95 = 198,55 80

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