Darstellung von Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen und visualisierende Computerexperimente

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1 Darstellung von Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Funtionen und visualisierende Computerexperimente Hausarbeit zur Ersten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien im Fach Numerische Mathemati an der Technischen Universität Chemnitz-Zwicau vorgelegt von Tino Hempel Chemnitz, den 9. März 996

2 Vorwort Seite II Vorwort Der Lehrplan für den Mathematiunterricht an Gymnasien fordert bereits in der achten Klasse die Bestimmung von Nullstellen von einfachen linearen Funtionen. Diese Aufgabenstellung wird in den folgenden Klassenstufen mehrfach aufgegriffen und vertieft und findet den schulische Abschluß im Grundurs /II mit dem Thema Numerische Verfahren (Ergänzungsthema zur Analysis). Der Lehrplan Gymnasium empfiehlt dabei: Bei der Behandlung dieses Themas sollte auf den Einsatz eines Computers bzw. programmierbaren und grafifähigen Taschenrechners nicht verzichtet werden. Dabei önnten sowohl vom Schüler selbst entwicelte Programme als auch Standardsoftware (Funtionenplotter, Tabellenalulation) verwendet werden. An dieser Stelle setzt meine Hausarbeit an. Neben der mathematischen Beschreibung der Iterationsverfahren wurden diese mit den Mathematiprogrammen DERIVE, MathCad und MAYA umgesetzt. Die omplexen Mathematiprogramme Mathematica, Maple und MathLab amen nicht zum Einsatz, da ihre Bedienung schwierig und ihr Einsatz an Schulen höchst unwahrscheinlich ist. Um eine Bindung an eine Programmiersprache vorzunehmen, habe ich Strutogramme zu den verschiedenen Verfahren eingebunden. Das Programm DERIVE wurde ausgewählt, da es schon an vielen Schule eingesetzt wird. MathCad 99 bietet sich aufgrund seiner einfachen Bedienung unter WINDOWS und seines günstigen Preises an. Das Programm MAYA gehört zu [8] und wurde ausschließlich zu Visualisierungzwecen geschrieben. Auf der beiliegenden Disette finden Sie den Sourcecode der beschriebenen Beispiele für die beiden Programme DERIVE und MathCad. Das Programm MAYA darf aus urheberrechtlichen Gründen nicht weitergegeben werden. Herzlich danen möchte ich meinem Gutachter Herrn Prof. Dr. A. Meyer für Hinweise und Disussionen zu mathematischen Teilfragen. Chemnitz, den 9. März 996 Tino Hempel

3 Inhaltsverzeichnis Seite III Inhaltsverzeichnis EINLEITUNG... LOKALISIERUNG DER NULLSTELLEN.... BEGRIFFSBESTIMMUNG.... DIE GRAFISCHES METHODE..... Beschreibung..... Funtionsdarstellung mit dem Programm MAYA Funtionsdarstellung mit dem Programm DERIVE Darstellung mittels MathCad BISEKTIONSVERFAHREN - INTERVALLHALBIERUNGSMETHODE Beschreibung Programmierung Visualisierung mittels MathCad Darstellung mittels DERIVE ITERATIONSVERFAHREN VORBEMERKUNGEN ALLGEMEINE ITERATION - SUKZESSIVE APPROXIMATION Mathematische Beschreibung Programmierung Darstellung mittels DERIVE Darstellung mittels MAYA Darstellung mittels MathCad DIE NEWTONVERFAHREN Mathematische Beschreibung des lassischen Newtonverfahren Iterationsvorschrift und Iterationsbedingungen Konvergenz des Verfahrens und Konvergenzordnung Fehlerabschätzungen Programmierung Darstellung mittels MAYA Darstellung mittels DERIVE Darstellung mittels MathCad Mathematische Beschreibung des Modifiziertes Newtonverfahren Mathematische Beschreibung des Vereinfachten Newtonverfahrens SEKANTENVERFAHREN - REGULA FALSI Mathematische Beschreibung Programmierung Darstellung mittels MAYA Darstellung mittels DERIVE Darstellung mittels MathCad STEFFENSEN-VERFAHREN Mathematische Beschreibung Programmierung Darstellung mittels MAYA Darstellung mittels DERIVE Darstellung mittels MathCad AUSBLICK...5 LITERATURVERZEICHNIS...5 ERKLÄRUNG...55

4 Einleitung Seite Einleitung Zu einem Grundproblem der Mathemati gehört unter anderem folgende Aufgabenstellung: In einem Intervall [a, b] sei eine reelle Funtion f:[a, b] R mit einer reellen Veränderlichen x definiert. Gesucht sind Zahlen x n [a, b] mit f(x n ) =. Solche Zahlen nennt man Nullstellen der Funtion f(x) bzw. Lösungen (Wurzeln) der Gleichung f(x) =. Die Frage, ob und wieviel solche Zahlen x n existieren, hängt von der gegebenen Funtion f(x) ab. Bereits in der Schule werden Möglicheiten der Berechnung dieser Zahlen x n behandelt, allerdings nur für spezielle Funtionen f(x). Für den Spezialfall eines algebraischen Polynoms der Gestalt i f ( x) = a x, a R, a, = i suchten die Mathematier lange Zeit nach geeigneten Lösungsformeln. Für den Fall i = erhält man eine lineare Gleichung a x + a = mit a. Die gesuchte Nullstelle ergibt sich damit zu x a =. a Die aus der Schule beannte allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen p p x, = ± q 4 läßt sich zum Lösen des Polynoms x + px + q = verwenden; sie liefert für p 4 q reelle Lösungen. Auch für ubische Gleichungen der Form x 3 + a x + a x + a = und Gleichungen vierten Grades der Form x 4 + a 3 x 3 + a x + a x + a = lassen sich noch Formelsätze angeben. Allerdings sind diese sehr schwer zu handhaben, da in mehreren Schritten und mit Fallunterscheidungen gearbeitet werden muß. Für allgemeine Polynome fünften oder höheren Grades wiesen GALOIS (83) und ABEL (89) unabhängig voneinander nach, Evariste Galois (8-83), französischer Mathematier Niels Hendri Abel (8-89), norwegischer Mathematier

5 Loalisierung der Nullstellen Seite daß diese nicht formelmäßig durch Wurzelausdrüce lösbar sind. Auch nichtlineare Funtionen lassen im allgemeinen eine Bestimmung von Nullstellen mittels Lösungsformeln oder elementaren Umformungen zu. Die gesuchten Wurzeln errechnet man dann häufig durch numerische Algorithmen näherungsweise. Diese numerischen Algorithmen heißen Iterationsverfahren. Iterieren 3 im Sinne des Lösens der Gleichung f(x) = bedeutet, eine bestimmte mathematische Vorschrift solange zu wiederholen, bis die gesuchte Nullstelle exat oder mit einer vorgegebenen Genauigeit gefunden ist. Dazu wird eine erste grobe Loalisierung der Nullstelle benötigt. Loalisierung der Nullstellen. Begriffsbestimmung Eine Loalisierung der Nullstelle wird durchgeführt, um einen Überblic über die Lage der Nullstellen von f(x) zu erhalten. Des weiteren ist jede Nullstelle in ein hinreichend leines Intervall einzuschließen, so daß im Inneren eine weitere Nullstelle liegt. Sind für eine vorgegebene Funtion f(x) Intervalle { : α } I = x x r n n n beannt, in denen jeweils nur eine Nullstelle x n von f(x) liegt, so sagt man, die Nullstellen von f(x) sind loalisiert. Eine gute Loalisierung liefert bereits erste grobe Näherungswerte für die gesuchten Nullstellen. Im folgenden werden zwei Methoden der Loalisierung angegeben.. Die grafisches Methode.. Beschreibung Die einfachste Variante der Loalisierung von Nullstellen einer Funtion ist die grafische Methode. Dazu zeichnet man mit Hilfe einer Wertetabelle und analytischer Untersuchungen den Graphen der Funtion y = f(x) möglichst genau. Aus der grafischen Darstellung önnen nun die gesuchten Intervalle für die Nullstelle abgelesen werden. Für das Anfertigen einer Sizze von Hand ist es oft günstiger, die Gleichung f(x) = in die 3 iterare (lat.) = wiederholen

6 Loalisierung der Nullstellen Seite 3 Form f (x) = f (x) zu bringen. Die Intervalle für die gesuchten Nullstellen der Funtion f(x) lassen sich dann aus den Schnittpunten der Funtionen f (x) und f (x) ablesen. Natürlich ann für die grafische Darstellung auch ein geeignetes Computerprogramm genutzt werden. Hierbei sollte beachtet werden, daß solche Programme den Graphen nur durch Berechnung von einzelnen Punten und anschließender Interpolation zeichnen. Deshalb ann es in Bereichen von Polstellen und staren Veränderungen der Funtion zu Ungenauigeiten der Darstellung ommen. Abb. : Darstellung der Funtion y = /x mit x [-, ] durch das Programm Matheass 6.3. Das Programm erannte die Polstelle bei x = nicht. Die falsch eingezeichnete Gerade offeriert eine nicht vorhandene Nullstelle. Beispiel : Für die Funtion f mit 5 f ( x) = x 3x + soll auf grafischem Wege eine Loalisierung der Nullstellen erfolgen. Es ist also die Gleichung 5 = x 3x + zu lösen. Es bietet sich eine Umformung dieser Gleichung zu x 5 = 3x an. Damit ergeben sich die beiden zu zeichnenden Funtionen 5 f mit f ( x) = x und f mit f( x) = 3x.

7 Loalisierung der Nullstellen Seite 4 Aus der Abb. lassen sich nun folgende Intervalle ablesen: I = [-,5; -,3], I = [,;,4], I 3 = [,;,3]. Abb. : Grafische Nullstellenbestimmung der Funtion f(x) = x 5-3x+.. Funtionsdarstellung mit dem Programm MAYA Um mit dem Programm MAYA zwei Graphen zu zeichnen, wählt man den Menüpunt Funtionen - Kurve mehrerer Funtionen aus. In der erscheinenden Eingabemase müssen die Funtionen in PASCAL-ähnlicher Syntax eingegeben werden. Als Grundrechenoperatoren finden die Symbole +, -, * und / Verwendung. Außerdem gilt als Potenzierungsoperator das Symbol ^. Weiter vordefinierte Operatoren sind in der Hilfe und in [8] aufgelistet. Die beiden Funtionen f (x) und f (x) werden mit Definitions- und Wertebereich in die Mase eingegeben und schließlich mit F gezeichnet...3 Funtionsdarstellung mit dem Programm DERIVE Für die Darstellung mit DERIVE müssen die beiden Funtionen zunächst im Algebra- Fenster eingegeben werden. Anschließend erfolgt die grafische Darstellung mit den Tastenombinationen Plot - Plot. Hierbei muß die zu zeichnende Funtion im Algebra- Fenster gewählt sein. Das Resultat zeigt Abb..

8 Loalisierung der Nullstellen Seite 5..4 Darstellung mittels MathCad In MathCad önnen die Funtionen diret auf dem Arbeitsfeld erstellt werden. Dazu sind zuerst der Definitionsbereich und anschließend die beiden Funtionen einzugeben. Die grafische Darstellung erfolgt nach Wahl des entsprechenden Symbols in der Tool-Box und der Eingabe der Achsenbeschriftungen. Beispiel : Gegeben sei die Funtion: f(x) := x 5-3 x - mit x := -.5, Man bildet daraus die Funtionen f (x) := x 5 und f (x) := 3 x + Die grafische Darstellung läßt eine Einschreibung der Nullstellen die Intervalle x * [-.5, -], x * [-.5, ] und x * 3 [,.5] zu. f ( x) 5 f ( x) x, x Abb. 3: Grafisches Loalisieren mit MathCad.3 Bisetionsverfahren - Intervallhalbierungsmethode.3. Beschreibung Das Bisetionsverfahren baut auf den aus der Analysis beannten Satz von BOLZANO 4 über die Existenz einer Nullstelle einer Funtion auf. Dieser besagt, daß bei Forderung der Stetigeit der Funtion f:[a, b ] R und der Bedingung f ( a ) f ( b ) < immer * * mindestens ein x ( a, b ) mit f ( x ) = existiert. Unter dieser Voraussetzung läßt sich leicht eine Vorschrift ableiten, die das Intervall fortwährend so verleinert, daß darin eine Nullstelle von f(x) liegt. 4 Bernhard Bolzano (78-848), böhmischer Relegionsphilosoph und Mathematier

9 Loalisierung der Nullstellen Seite 6 Bei der Intervallhalbierungsmethode wird, wie der Name schon sagt, das Intervall in der Mitte geteilt. Aus dem Vorzeichen des Funtionswertes am Mittelpunt wird geschlossen, in welchem der beiden Teilintervalle sich die gesuchte Nullstelle befindet. Der Mittelpunt x des Intervalls ergibt sich aus dem Ausgangsintervall [a, b ] durch x a = + b. Ist nun nicht zufälligerweise f(x ) = und x damit die gesucht Nullstelle, so bestimmt man nun das Teilintervall, indem die Nullstelle liegt. Ist f ( a ) f ( x ) <, so liegt die Nullstelle in [a, x ]. In diesem Fall wird a = a und b = x gesetzt. Gilt jedoch f ( a ) f ( x ) >, so liegt die Nullstelle in [x, b ]. Damit wird a = x und b = b gesetzt. Anschließend berechnet man den Mittelpunt des neuen Intervalls [a, b ] mit x a = + b und bestimmt analog [a, b ]. Nach Schritten ist eine Nullstelle im Intervall [a, b ] eingeschlossen. Dieses hat die Länge b a = b a. Das Verfahren wird solange fortgesetzt, bis entweder f(x ) = oder das Intervall lein genug ist. Dies önnte sein, wenn x + x < ε () gilt, wobei ε eine vorzugebende Größe sein muß. Man spricht in diesem Fall von der absoluten Abweichung zweier aufeinanderfolgender Näherungswerte. Eine andere Variante ist zu prüfen, ob der Funtionswert genügend lein ist, d. h. ob f ( x ) < ε () gilt. Natürlich ann die Methode abgebrochen werden, wenn eine vorgegebene Schrittzahl erreicht ist, d. h. wenn n gilt. Die Vorschriften (), () und (3) heißen Abbruchriterien. Die Intervallhalbierungsmethode ann natürlich auch zur Bestimmung von Nullstellen genutzt werden. Allerdings sind hierfür viele Schritte erforderlich, um hinreichend genaue Angaben machen zu önnen. Deshalb wird die Methode nur zur groben Annäherung an die Nullstelle genutzt. (3)

10 Loalisierung der Nullstellen Seite 7.3. Programmierung Die Bisetionsmethode ist relativ einfach zu programmieren. Als Abbruchriterium wurde die Variante f ( x ) < ε ausgewählt. Eine Kontrolle der Eingangsbedingung f ( a ) f ( b ) < erfolgt nicht. Das folgenden Strutogramm soll den Ablauf verdeutlichen: Genauigeit ε eingeben Intervallgrenzen a und b mit f(a). f(b) < WIEDERHOLE x := (a+b)/ eingeben ja b := x BIS f(x) = oder f(x) < ε Ausgabe x f(a). f(b) < nein a := x Strutogramm : Das Bisetionsverfahren.3.3 Visualisierung mittels MathCad Leider läßt das Programm MathCad 3. eine Programmierung zu, so daß die Intervallhalbierungsmethode für jeden Schritt erneut eingegeben werden muß. Das folgende Beispiel ist in der Datei BISECT.MCD gespeichert und stellt eine mögliche Visualisierung dar. Es wurden zur Verürzung der Darstellung allerdings nur 4 Halbierungsschritte durchgeführt. Beispiel 3: Gegeben sei die Funtion: f(x) := 5 - (x -) Definitionsbereich: x := -, Die grafische Darstellung der Funtion liefert: 5 f( x) x Führen nun das Bisetionsverfahren aus, um die positive Nullstelle zu loalisieren. Dazu werden zuerst die Intervallgrenzen a und b eingegeben.

11 Loalisierung der Nullstellen Seite 8 a := 3 b := 4 a Es erfolgt die Bestimmung des Mittelpuntes z des Intervalls: z:= + b Die grafische Darstellung zeigt die beiden Intervallgrenzen sowie den Mittelpunt: z = Bestimmen zuerst den Funtionswert an der Stelle z und prüfen die Abbruchbedingung f(z) < e: f(z) =.5 ist größer als ε =. Da Bedingung noch nicht erfüllt ist, erfolgt die Bestimmung der neuen Intervallgrenzen: a := wenn(f(z) f(a )<,a,z) b := wenn(f(z) f(a )<,z,b ) a = 3 b = 3.5 Bestimmung der neuen Zwischenstelle und des zugehörigen Funtionswertes: a z:= + b z = 3.5 f(z) = -.63 Die grafische Darstellung ist dann diese: Die Fortsetzung dieser Schrittfolge liefert schließlich die folgenden zwei graphischen Darstellungen.

12 Loalisierung der Nullstellen Seite Darstellung mittels DERIVE Die Visualisierung des Bisetionsverfahren mit DERIVE soll in drei Stufen erfolgen. In der ersten Stufe berechnet das Programm nach Eingabe der Grenzen des gegebenen Intervalls den zugehörigen Mittelpunt und die Funtionswerte an den Intervallgrenzen sowie am Mittelpunt. Dazu wurde eine Matrix der Gestalt " a" " m" " b" a a + b " f( a)" " f( m)" " f( b)" f( a) f a + b f( b) b definiert. Die erste und dritte Zeile gibt den in Klammern stehenden Text aus. In der zweiten Zeile werden die Intervallgrenzen sowie der berechnete Mittelpunt ausgegeben. Die letzte Zeile berechnet den jeweiligen Funtionswert. Der Anwender entscheidet nun selbst, welches der beiden Teilintervalle im weiteren betrachtet werden muß. Beispiel 4: Gegeben sei die Funtion f(x) = x - 3. Die Funtion besitzt im Intervall x [, ] eine Nullstelle, die mittels Intervallschachtelung loalisiert werden soll. Unter Verwendung der Datei BISECT_.MTH erhält man folgenden Ablauf: "Die Funtion ist gegeben durch:" f(x):= x - 3 "Die Intervallgrenzen sind:" a := b := "Damit ergibt sich die Matrix zu:"

13 Loalisierung der Nullstellen Seite a m b 3 f( a) f( m) f( b) 3 4 "Damit wird die neue Intervallgrenze:" a : = 3 "Eine weitere Berechnung ergibt:" a m b f( a) f( m) f( b) 3 4 "etc." 6 Nach Durchführung dieser zwei Schritte muß sich die gesuchte Nullstelle innerhalb 3 7 des Intervalls x [ 4], befinden. In der zweiten Stufe wird dem Anwender die Entscheidung der Auswahl des Teilintervalls abgenommen. Dazu wird die Funtion BISECT_ AUX( u, x, a,b, c): = IF lim u lim u <,[ a, c],[ c, d] x a x c 5 in DERIVE definiert. Diese prüft, ob das Produt der Funtionswerte der Funtion u(x) = f(x) an der ersten Intervallgrenze a und der Mittelpuntsstelle c leiner als Null ist, und legt das neue Intervall dem Verfahren entsprechend an. Im Anschluß wird der neue Mittelpunt bestimmt und das Verfahren wiederholt, bis die erforderliche Schrittzahl erreicht ist. Auch dieser Schritt läßt sich in DERIVE mit der Funtion BISECT( u,x,a,b,n): = ITERATES[BISECT_ AUX L ELEMENT( v,) + ELEMENT( v,) L u,x, ELEMENT( v,), ELEMENT( v,),, v,[ a, b], n] durchführen. Das Ergebnis des Programms ist eine Liste der betrachteten Intervalle. 5 Die definierte Funtion berechnet den Funtionswert u(a) über den Grenzwert. Diese Vorgehensweise ist aus programmtechnischen Gründen günstig und wird in allen weiteren DERIVE-Sitzungen genutzt.

14 Loalisierung der Nullstellen Seite Beispiel 5: Gegeben sei die Funtion u(x) = x x +. Die Funtion besitzt im Intervall x [, ] eine Nullstelle, die mittels Intervallschachtelung in fünf Schritten loalisiert werden soll. Unter Verwendung der Datei BISECT_.MTH erhält man folgenden Ablauf: "Gegeben ist die Funtion u(x) = x^3 + 5*x^ + " "Starten das Verfahren in den Grenzen [, ] mit 5 Schritten" BISECT(x 3-5 x +, x,,, 5) "Die Approximation liefert die Matrix:" Die dritte Stufe baut unmittelbar auf die zweite auf. Es wird die erhaltene Liste in grafisch darstellbare Intervalle umgewandelt und schließlich gezeichnet. Die dazu notwendige Funtion lautet: PUNKTE( matrix): = L ELEMENT(,) DIMENSION( matrix ) i matrix,i L VECTOR, i,, DIMENSION( matrix) DIMENSION( matrix) i ELEMENT( matrix,i,) Sie erzeugt einen Vetor von Matrizen, die jeweils den Start- und Endpunt eines Intervalls bezeichnen. Damit die Intervalle in der Grafi nicht übereinander gezeichnet werden, erfolgt eine Aufspaltung der Intervalle, wobei das leinste unmittelbar auf der Abszisse gezeichnet wird und die anderen darüber. Beispiel 6: Gegeben sei die Funtion u(x) = x - 4 x. Die Funtion besitzt im Intervall x [, ] eine Nullstelle, die mittels Intervallschachtelung in sechs Schritten grafisch loalisiert werden soll. Unter Verwendung der Datei BISECT_3.MTH erhält man folgenden Ablauf:

15 Loalisierung der Nullstellen Seite "Gegeben ist die Funtion u(x) = ^x - 4x" U(x) := x - 4 x BISECT( x - 4 x, x,,, 6) PUNKTE(matrix) "Gegeben ist die Funtion u(x) = x^3 + 5*x^ + " "Starten das Verfahren in den Grenzen [, ] mit 5 Schritten" BISECT(x 3-5 x +, x,,, 5) "Die Approximation liefert die Matrix:" matrix:= PUNKTE(matrix). 6,. 6. 5, , Die grafische Darstellung ergibt:. 5. 3, , , Abb. 4: Visualisierung des Bisetionsverfahrens mittels DERIVE. Die gegebene Funtion u(x) liefert den roten Graphen. Damit sich die farblich marierten Intevalle nicht überdecen, wurden sie in Abständen dargestellt.

16 3 Iterationsverfahren Seite 3 3 Iterationsverfahren 3. Vorbemerungen Betrachtet wird nun wieder das Problem des Lösens der Gleichung f(x) = (4) für eine in einem Intervall [a, b] gegebene reelle Funtion f(x) mit einer reellen Veränderlichen x. Da das direte Lösen von (4) nicht möglich ist, bringt man die Gleichung auf die Form x = g(x). (5) Dies ann z. B. durch Auflösen der Gleichung f(x) = nach x geschehen. Dieses herausziehen eines x ann bei einer Funtion f(x) zu verschiedene g(x) führen. Beispiel 7: Gegeben sei die Funtion f(x) = x 5-3x + =. Mögliche Umformungen sind: 5 x + a) x = 3 3x c) x =, x 4 x b) x = 3 4, x < oder x x 3 5 d) x = 3x Den Ausdruc (5) ann man sich einfach grafisch veranschaulichen. Dazu werden in ein Koordinatensystem die beiden Graphen f (x) = x und f (x) = g(x) im Intervall [a, b] gezeichnet. Die Gleichung x = g(x) ist genau im Schnittpunt der Graphen erfüllt. y = f(x) y = x Abb. 5: Graphische Deutung der Gleichung x = g(x) Der die Gleichung x = g(x) erfüllende Abszissenwert x * heißt Fixpunt von g(x). Es gilt also x * = g(x * ). Die Funtion g(x) ann auch mehrere Fixpunte besitzen. Bei der äquvivalent Umformung von f(x) = zu x = g(x) werden aus den Nullstellen von f(x) die

17 3 Iterationsverfahren Seite 4 Fixpunte von g(x). Ist die Umformung nicht äquivalent, z. B. Wurzelziehen und Quadrieren, so önnen Fixpunte verloren gehen. Beispiel 8: Gegeben sei die Funtion f(x) = x 5-3x + =. Die Umformungen a) x = 5 x + 3 liefert drei Fixpunte b) x = 3 4, x < oder x x 3 liefert zwei Fixpunte 3. Allgemeine Iteration - Suzessive Approximation 3.. Mathematische Beschreibung Das Iterationsverfahren besteht aus einer Vorschrift x + = g(x ), =,,,..., die mit Hilfe eines Startwertes x [a, b] eine Zahlenfolge {x } [a, b] liefert, wenn die Funtion g(x) das Intervall [a, b] in sich abbildet. Gesucht werden dabei solche Iterationsvorschriften, bei denen die erhaltene Folge gegen den Fixpunt von g(x) onvergiert. Das heißt, man tastet sich ausgehend von einem Startwert x schrittweise an den Fixpunt heran und zwar so, daß sich das neue Argument x + der Funtion g aus dem Funtionswert des alten Argumentes x ergibt. Beispiel 9: Sei f ( x ) = ln x + x, mit,5 x,5. Eine Umformung ergibt g( x) = ln x 4 und damit das Iterationsverfahren zu x = + x = ln,,... Der Startwert sei x =,8. 4

18 3 Iterationsverfahren Seite 5 x x,8 6, , ,336, , ,3467 9,833 4, , ,33,5 Tab. : Näherungswerte Bei Fortsetzung der Iteration ergibt sich der Fixpunt x * =, d. h. die Funtion f(x) hat ihre Nullstelle bei x =. Die Probe bestätigt diese Aussage. Das eigentliche Problem ist aber, eine Iterationsvorschrift zu finden, bei der die erhaltene Zahlenfolge gegen den Fixpunt von g(x) onvergiert. Um dafür ein Kriterium zu bestimmen, betrachtet man zunächst den Fehler der iterierten Werte und den Fator der Fehlerverleinerung q. Dieser wird auch als Konvergenzfator q mit * * x x q x + x, mit q < bezeichnet. Für das Beispiel 9 ergibt sich mit Kenntnis des Fixpuntes x * = folgende Tabelle: x - x * * x x * x x + (gerundet) x - x * * x x * x x + (gerundet), 6,533 4,45, ,5854 7,336 3,99985, ,56 8,333 4,6 3,3467 3, ,833 3,9988 4,8556 4,59,8 4,48 5,33 3,9988,5 4, Tab. : Fehlverhalten für iterierte Werte aus Beispiel 9

19 3 Iterationsverfahren Seite 6 Man erennt, daß für die Fehlerwerte nach Tab. von Schritt zu Schritt annähernd eine Vierteilung eintritt. Für die Iterationsformel x = + x = ln,,... 4 ist also in diesem Beispiel der Konvergenzfator q. Je leiner das q ist, desto besser 4 oder schneller onvergiert das Verfahren, desto höher ist seine Konvergenzgeschwindigeit. Da der neue Restfehler nach einem Iterationsschritt linear vom alten Fehler abhängt, spricht man auch von linearer Konvergenz. Noch besser als diese lineare Konvergenz ist aber, wenn der neue Fehler quadratisch bzw. noch stärer vom alten Fehler abhängt, also ε q p + ε mit p >. Die Kenngröße p heißt Konvergenzordnung. Trotz dieser Feststellungen zur Konvergenz eines Iterationsverfahrens ist noch nicht deutlich geworden, wie die Konvergenz gesichert werden ann! Um darüber Aussagen treffen zu önnen, betrachte man folgendes Beispiel. Beispiel : Gegeben sei die Funtion f(x) = a ln x + b x + c =. Daraus leitet man die iterierfähige Form a ln x + c x = g( x) b her. Durch die Wahl zweier verschiedener Parameterombinationen (a, b, c) erhält man die Aufgaben:. Aufgabe. Aufgabe a =,5 a = 5 b = b = c = - c = - Diese Parameter wurden gewählt, damit in beiden Fällen die Lösung x * = existiert, wovon man sich leicht durch Einsetzen überzeugen ann.

20 3 Iterationsverfahren Seite 7 Die beiden Iterationsvorschriften lauten. x := -,65 ln x. x := -,5 ln x. Damit ergeben sich für den Startwert x = folgende Rechenwerte: i x für Fall x für Fall, , ,7686 3, ,799 5, ,4 7, , 9, Im Fall wird der Fixpunt erreicht, im Fall versagt die Iteration im zweiten Schritt, da der Definitionsbereich von g(x) verlassen wird. Das heißt jedoch nicht, daß ein Fixpunt existiert, denn ein Einsetzen von x * = in die Iterationsformel ergibt wieder x * =. Der durch die Formel beschriebene Iterationsvorgang ist nicht onvergent. Wie läßt sich dieses Ergebnis erlären? Unter Verwendung der Abb. 6 erennt man in Form einer Plausibilitätsbetrachtung: a) Beim Fixpunt x * und in dessen Umgebung gilt < g (x) <, d. h., der Kurvenanstieg ist leiner als 45. Der Fixpunt ist anziehend, gleichgültig, ob der Startwert x leiner oder größer als der Fixpunt ist. Die Konvergenz erfolgt monoton von lins bzw. rechts. b) Beim Fixpunt x * und in dessen Umgebung gilt < g (x), d. h., der Kurvenanstieg ist größer als 45. Der Fixpunt ist nach beiden Seiten abstoßend. Die iterierten Werte x divergieren. c) Beim Fixpunt x * und in dessen Umgebung gilt - < g (x) <, d. h., der Kurvenabfall ist leiner als 45. Der Fixpunt ist anziehend. Die Konvergenz erfolgt alternierend.

21 3 Iterationsverfahren Seite 8 d) Beim Fixpunt x * und in dessen Umgebung gilt g (x) < -, d. h., der Kurvenabfall ist größer als 45. Der Fixpunt ist alternierend abstoßend. Die iterierten Werte x divergieren. a) b) c) d) Abb. 6: Der Fixpunt x * einer Iterationsformel x = g(x) ist als Schnittpunt von y = x und y = g(x) dargestellt. Das dynamische Verhalten der Iterationsformel ommt durch das Projizieren von (x, g(x )) auf die Gerade y = x zum Ausdruc, dann ist x + = g(x ). Also läßt sich ableiten, daß der Anstieg, d. h. die Ableitung der Funtion g(x) beim Fixpunt und in dessen Umgebung für die Iterationsonvergenz bedeutsam ist. Ein

22 3 Iterationsverfahren Seite 9 anziehender Fixpunt (eine ontrative, d. h. zusammenziehende Abbildung oder onvergente Iterationsformel) liegt vor, wenn g (x) q < (6) beim Fixpunt und in dessen Umgebung gilt und der Startwert aus dieser Umgebung genommen wird. Das heißt, daß g (x) beschränt und diese Schrane leiner als sein muß. Mit q wird der Konvergenzfator des Verfahrens bezeichnet. Läßt sich diese aus der geometrischen Veranschaulichung gefundene Konvergenzbedingung auch mathematisch exat zeigen? Dazu benötigt man folgende Begriffe und Sätze. Man sagt, eine Funtion g(x) genügt in einem Intervall [a, b] einer Lipschitzbedingung 6, wenn es eine Konstante q derart gibt, daß für alle x, y [a, b] g(x) - g(y) q x - y gilt. Die Konstante q heißt Lipschitzonstante von g(x) in [a, b]. Offenbar ist mit q auch jede Zahl größer als q Lipschitzonstante. Eine Funtion g(x), die die Lipschitzbedingung erfüllt, ist in diesem Intervall auch stetig und heißt lipschitzstetig in [a, b]. Die Ermittlung der Lipschitzonstanten ist im allgemeinen schwierig. Es gilt jedoch folgender Satz. Ist g(x) in [a, b] stetig differenzierbar, so erfüllt g(x) dort eine Lipschitzbedingung mit q = max g'( x). x [ a, b] Beweis: Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt für jedes x, y [a, b] g( x) g( y) = g'( ξ)( x y), ξ ( a, b), g( x) g( y) = g'( x) x y, g( x) g( y) max g'( x) x y. x [ a, b] 6 Rudolf Lipschitz (83-93), deutscher Mathematier

23 3 Iterationsverfahren Seite Besonders wichtig für Iterationsverfahren sind Funtionen g(x), die in einem Intervall [a, b] eine Lipschitzbedingung mit einer Lipschitzonstanten q < erfüllen. Solche Funtionen werden ontrativ in [a, b] genannt. Somit wird damit die aus der geometrischen Veranschaulichung gewonnene Konvergenzbedingung (6) durch die schwächere Lipschitzbedingung g(x) - g(y) q x - y mit q < ersetzt. Das bedeutet speziell, daß nicht die Ableitung, sondern der Differenzenquotient oder, anschaulich geometrisch, nicht der Anstieg der Tangenten, sondern der der Sehnen beschränt sein muß. Damit sind alle Bedingungen für den entscheidenden Satz über das Verfahren der suzessiven Approximation formuliert. Banachsche Fixpuntsatz 7. Bildet eine Funtion g(x) das Intervall [a, b] in sich ab und ist sie dort ontrativ, so onvergiert die durch x + = g(x ), =,,..., erhaltenen Folge für jeden beliebigen Startpunt x [a, b] gegen den eindeutig bestimmten Fixpunt x * von g(x) in [a, b]. Beweis: Der Beweis erfolgt gemäß [] in vier Teilschritten. () Da g(x) in [a, b] ontrativ ist und dieses Intervall in sich abbildet, gilt () Für m > erhält man x x = g( x ) g( x ) q x x + q x x L q x x. x x = ( x x ) + ( x x ) + L+ ( x x ) m m m m m + x x + x x + L+ x x m m m m + m m q x x + q x x + L+ x x + m = ( + q + q + L+ q ) x x. + + Für Partialsummen der geometrischen Reihe gilt = m m q q q L q <. q q

24 3 Iterationsverfahren Seite Damit ergibt sich x x. q x x q q x x m < + (7) Da q < vorausgesetzt wurde, unterscheiden sich x m und x beliebig wenig, wenn genügend groß ist. Das heißt, für die Folge x, x, x,... ist das CAUCHYsche 8 Konvergenzriterium erfüllt. Da [a, b] abgeschlossen ist, liegt der Grenzwert lim x in diesem Intervall. = x (3) Für den Grenzwert x gilt + + x g( x) = ( x x ) + ( x g( x)) x x + x g( x) = x x + g( x ) g( x) x x + q x x. + Für streben beide Summanden gegen. Daraus folgt x g( x) =, d. h. aber, x ist ein Fixpunt von g(x). (4) x ist der einzige Fixpunt von g(x) in [a, b]. Wäre nämlich $x ein weiterer Fixpunt mit $x x, so wäre x x$ = g( x) g( x$) q x x$, und das ist ein Widerspruch zu q <. Aus der Ungleichung (7) des Beweises folgen zwei Abschätzungen für den Abbruchfehler nach dem -tem Schritt für m : a priori 9 * q : x x q x x (8) a posteriori * q : x x q x x bzw. ε q q d (9) 7 Stefan Banach (89-945), polnischer Mathematier 8 Augustin Louis Cauchy ( ), französischer Mathematier 9 a priori (lat.) = von vornherein a posteriori (lat.) = im nachhinein

25 3 Iterationsverfahren Seite Die Abschätzung (8) gestattet es, vor Beginn der Rechnung eine Abschätzung durchzuführen und damit zu entscheiden, wie viele Iterationsschritte höchstens notwendig sind, um die entsprechende Genauigeit des Ergebnisses zu erreichen. Die Abschätzung (9) stützt sich auf die letzten beiden Näherungen und ist in der Regel genauer. In der pratischen Rechnung bricht man deshalb a posteriori ab, d. h., daß während der Rechnung die Differenz d = x - x - überwacht wird. Ist nämlich ein bestimmtes ε als zulässiger Restfehler gefordert, so läßt man iterieren, bis die Bedingung q q d ε erfüllt ist, denn dann ist auch ε ε. Abschließend noch einige Aussagen zur Konvergenzordnung des allgemeinen Iterationsverfahrens. Ist die Funtion g(x) im Intervall [a, b] stetig differenzierbar, so erhält man bei Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung x + = g(x ) = g(x * + (x - x * )) = g(x * ) + g (ξ)(x - x * ), () x + - x * = g (ξ) x - x *, wobei ξ zwischen x und x * liegt. Da für alle Funtionen g(x), die dem Banachschen Fixpuntsatz genügen, max g ( x ) < gilt, beträgt nach () die Konvergenzordnung p x [ a, b] mindestens. Allerdings gibt es auch Fälle, in denen eine höhere Konvergenzordnung p zu erwarten ist. Dazu folgender Satz. Die Funtion g(x) sei im Intervall [a, b] p-mal stetig differenzierbar. Für die eindeutig bestimmte Lösung x * [a, b] von g(x) gelte g (x * ) = g (x * ) =... = g (p-) (x * ) =, g (p) (x * ). Dann hat das Verfahren der suzessiven Approximation die Konvergenzordnung p. x + = g(x ), =,,..., Für den Beweis sei auf [] verwiesen.

26 3 Iterationsverfahren Seite Programmierung Das folgenden Strutogramm soll den Ablauf verdeutlichen: Genauigeit ε eingeben Eingabe von g(x) Bestimmung der Lipschitz-Konstante q ja q > nein x x := x WIEDERHOLE z := x x := g(x) d := x - z BIS qd -q Ausgabe x < ε Strutogramm : Das Allgemeine Iterationsverfahren 3..3 Darstellung mittels DERIVE Der folgende Ausdruc definiert eine Funtion, die an die gegebene -Matrix, welche in jeder Position den Startwert enthält, mit jedem Iterationsschritt zwei weitere Zeilen anhängt. Diese neuen Zeilen enthalten außer im ersten Element den iterierten Wert. Im ersten Element steht noch der alte Wert. Dadurch erreicht man beim grafischen Darstellen die typische Visualisierungsfuntion, wie sie auch in der Beispielabbildung zu sehen ist. x u x x PUNKTE( u,x,x,n): = APPENDITERATES LIM, v,, n. x ELEMENT( v,,) u u x x Beispiel : Gegeben sei die Funtion f(x) = e x - x - 3. Die Funtion besitzt im Intervall x [, ] eine Nullstelle, die mittels allgemeinem Iterationsverfahren ermittelt werden soll. Unter Verwendung der Datei APPROX.MTH erhält man folgenden Ablauf: "Eine mögliche Funtion u(x) ist:" u(x):= ln(x+3) "Der Startwert sei x =, die Schrittanzahl gleich 4:"

27 3 Iterationsverfahren Seite 4 PUNKTE(u(x),x,,4) "Damit ergibt sich folgendes Bild:" Übrigens führt die offensichtlichere Umformung x = e x - 3 aus dem vorgegebenen Intervall x [, ], d. h., die Lipschitzbedingung ist hier verletzt. Beispiel :

28 3 Iterationsverfahren Seite 5 Gegeben sei die Funtion f(x) = ln x + 4 x - 4. Die Funtion besitzt in x (, ] eine Nullstelle, die mittels allgemeinem Iterationsverfahren ermittelt werden soll. Unter Verwendung der analogen Vorgehensweise wie im Beispiel erhält man obige Abbildung Darstellung mittels MAYA Im Programm MAYA findet man das allgemeine Iterationsverfahren unter dem Punt Nullstellenbestimmung - Fixpuntiteration. Beispiel 3: In die Eingabemase wird die bereits umgestellte Funtion g(x), der Definitions- und Wertebereich eingegeben. Also G(X) = -.5*LN(X) X Intervall: Y Intervall: Untergrenze.8 Untergrenze.8 Obergrenze.8 Obergrenze. Startwert X_:.5 Somit erhält man: 3..5 Darstellung mittels MathCad Durch die einfache Bedienung von MathCad läßt sich das allgemeine Iterationsverfahren sehr gut visualisieren (Datei APPROX.MCD ).

29 3 Iterationsverfahren Seite 6 Beispiel 4: Gegeben sei die Funtion f(x) := ln(x) + x - mit x :=.8, Die in diesem Intervall liegende Nullstelle ist gesucht. Der Startwert sei: x :=.5 Eine geeignete Umstellung der Funtion f(x) ist g(x) := - 4 ln(x) Die Iterationsvorschrift für das allgemeine Iterationsverfahren lautet: x + = g(x ) =,,... Damit beginnt die Iteration mit x := g(x ) x =.8986 g(x ) =.67 Für die grafische Ausgabe benötigt man die Vetoren w und v, welche die x-komponenten und y-komponenten der Geraden senrecht bzw. parallel zu den Achsen enthält. w := (x x x x ) T v := (x x x g(x )) T i :=.. 3 Gleichung der Ursprungsgeraden: y(x) := x Der nächste Iterationsschritt liefert: x := g(x ) x =.67 g(x ) =.9934 Grafisch heißt das: w := (x x x x x x x x ) T v := (x x x x x x x g(x )) T i :=.. 7

30 3 Iterationsverfahren Seite Der dritte Iterationsschritt liefert: x 3 = g(x ) x 3 =.9934 g(x 3) =.7... und grafisch somit: Die grafische Darstellung des vierten Schrittes liefert aum neue Informationen. Das Ergebnis der Rechnung liefert die Werte x 4 =.7 und g(x 4) = Die Newtonverfahren 3.3. Mathematische Beschreibung des lassischen Newtonverfahren Iterationsvorschrift und Iterationsbedingungen Zur Lösung des Problems f(x) = wird die Funtion f(x) in der Umgebung der gesuchten Nullstelle x * durch eine lineare Funtion ersetzt. Zu einem gewählten Näherungswert x berechnet man den Funtionswert f(x ) sowie die erste Ableitung f (x ) und ann damit

31 3 Iterationsverfahren Seite 8 die Gleichung der Tangente im Punt P(x, y ) an die Kurve y = f(x) angeben y y x x = f ( x ). Über Umformungen ergibt sich die lineare Funtion y = f(x ) + f (x )(x - x ), deren Nullstelle einen verbesserten Näherungswert x für x * liefert, nämlich x f ( x) = x f ( x ). Damit lautet der unter dem Namen Newtonverfahren beannte Algorithmus x = f x x ( ) +, =,,..., () f ( x ) mit den Voraussetzungen, daß f(x) im betrachteten Intervall stetig differenzierbar und f (x) ist. Die Abb. 7 zeigt die geometrische Interpretation des Newtonverfahrens. y x x x * x 3 x y = f(x) Abb. 7: Das Newtonverfahren Setzt man übrigens f x g( x) = x ( ) f ( x), so erennt man, daß es sich beim Newtonverfahren um einen Spezialfall des Verfahrens der suzessiven Approximation handelt. Sir Isaac Newton (643-77), englischer Physier und Mathematier

32 3 Iterationsverfahren Seite Konvergenz des Verfahrens und Konvergenzordnung Für die Konvergenz des Newtonverfahrens läßt sich folgender Satz angeben. Ist die Funtion f(x) im Intervall, das eine Nullstelle x * von f(x) enthält, zweimal stetig differenzierbar und ist dort f (x), so gibt es ein Intervall * * I = ( x, x + ) derart, daß für jeden Startwert x I das Newton- Verfahren gegen x * onvergiert. Beweis: f ( x) Hierzu setzt man g( x) = x und hat zu zeigen, daß g(x) in I ontrativ ist und I f ( x) in sich abbildet. Dann nämlich folgt die Behauptung aus dem Banachschen Fixpuntsatz. Die Ableitung f (x) ist stetig in I, und es gilt f (x) in I. Daher ist g (x) in I stetig. Da andererseits g (x * ) = ist, existiert eine Umgebung I von x * mit g (x) < q < für alle x I, d. h., g(x) ist ontrativ. Wegen g( x) x * = g( x) g( x * ) q x x * bildet g(x) in diesem Fall das Intervall I in sich ab. Der Satz liefert nur eine loale Konvergenzaussage, da eine Angaben über das Intervall I getroffen werden. Mit anderen Worten: das Verfahren onvergiert, wenn der Startwert x nahe genug an der zu bestimmenden Nullstelle liegt. Um den Startwert zu bestimmen, verwendet man ein Verfahren zur Loalisierung der Nullstelle. Die Frage nach der Konvergenzordnung läßt sich einfach beantworten. Dazu verwendet man den im Abschnitt 3.. angegebenen Satz über die Konvergenzordnung und setzt f ( x) g( x) = x. Unter der Voraussetzung der dreifach stetigen Differenzierbareit von f ( x) f(x), erhält man * * * f ( x ) * g( x ) = x = x, * f ( x ) * * * f ( x ) f ( x ) g ( x ) = = * f ( x ) * * f ( x ) g ( x ) = im allgemeinen. * f ( x ),

33 3 Iterationsverfahren Seite 3 Das heißt, die Konvergenzordnung ist mindestens gleich. Beispiel 5: Sei f ( x) = ln x + x, mit,5 x,5. Das Newtonverfahren ergibt x = x x + x ln + + x =,,... Der Startwert sei x =,8. x,8, , Tab. 3: Näherungswerte Bereits nach dem dritten Schritt ergibt sich der Fixpunt der Iteration. Der Vergleich mit dem allgemeinen Iterationsverfahren (Tab. ) zeigt hier eine wesentlich schnellere Annäherung an den Fixpunt, wie es wegen der höheren Konvergenzordnung des Newtonverfahren auch zu erwarten war Fehlerabschätzungen Gesucht sind nun die a-priori- und a-posteriori-fehlerabschätzungen für das Newtonverfahren. Für die vorgegebene Gleichung f(x) = liege die gesuchte Lösung x * im Intervall [a, b], und für alle x [a, b] sei f (x) m >, f (x) M. Man entwicelt nun f(x) an der Stelle x mittels der Taylorschen Formel : f ( x) = f ( x ) + f ( x )( x x ) + f ( ξ)( x x ), ξ ( x, x ) bzw. ξ ( x, x). Für x = x * wird f(x * ) = und damit Broo Taylor (685-73), englischer Mathematier

34 3 Iterationsverfahren Seite 3 * * = f ( x ) + f ( x )( x x ) + f ( ξ)( x x ), f ( x ) * = x x + f ( x ) x x = x x + x * + + * f ( ξ) x = x x f ( x ) ( * ), * M x + x m x x *. * f ( ξ)( x x ) f ( x ) * f ( ξ)( x x ) f ( x ) Setzt man M = m C und führt die Abschätzung fort, so erhält man schließlich die a-priori- Abschätzung * x x < C b a, =,,, K für das Abbrechen des Newtonverfahrens nach dem -ten. Die a-posteriori-abschätzung folgt analog. Es gilt Andererseits ist f ( x ) = f ( x ) + f ( x )( x x ) + f ( ξ )( x x ), ξ ( x, x ) bzw. ξ ( x, x ), + + f ( x ) = f ( ξ )( x x ), + + f ( x ) M x x. + + * * f ( x ) f ( x ) = ( x x ) f ( ξ ), + +,, und damit ξ * * ( x, x ) bzw. ξ ( x, x ) + + * f ( x ) m x x. + + Schließlich ist die a-posteriori-abschätzung * M x x. m x x + +

35 3 Iterationsverfahren Seite Programmierung Das folgenden Strutogramm soll den Ablauf verdeutlichen: Genauigeit ε eingeben Eingabe von f(x) und f'(x) x x := x WIEDERHOLE BIS f(x) < ε Ausgabe x x := x - f(x)/f'(x) Strutogramm 3: Das Newton-Verfahren 3.3. Darstellung mittels MAYA Wiederum wählt man die Menüfolge Nullstellenbestimmung - Funtionsweisen verschiedener Verfahren. Man beachte, daß das Programm MAYA die Eingabe der Ableitung der Funtion f(x) fordert. Das Programm ann die Ableitung nicht selbständig berechnen. Beispiel 6: F(X) = SIN(X) X Intervall: Y Intervall: Untergrenze.6 Untergrenze - Obergrenze 4.3 Obergrenze Verfahren (R/S/N/V/M): N Anzahl d. Iterationen: N : Newton-Verfahren Startwert X_ F'(X) = COS(X) Die etwas überarbeitete grafische Darstellung ist in Abb. 7 zu sehen Darstellung mittels DERIVE Die Datei NEWTON.MTH enthält eine Reihe von Funtionen, die zur Visualisierung des Newtonverfahrens dienen. Neben der Berechnung der Iterationswerte durch die Funtion NEW_COL, NEW_ROW bzw. NEWTON bestimmt die Funtion TANGENT die Funtionsgleichung der Tangente an die Funtion f(x) im Startpunt (x, f(x )). Die Zusammenfassung der Tangenten und vertialen Verbindungsstüce übernimmt die Funtion TAN_FAM. Man betrachte hierzu folgendes Beispiel.

36 3 Iterationsverfahren Seite 33 Beispiel 7: Gegeben sei die Funtion f(x) = x -. Die Funtion besitzt im Intervall x [, ] eine Nullstelle, die mittels Newton-Verfahren ermittelt werden soll. Unter Verwendung der Datei NEWTON.MTH erhält man folgenden Ablauf: "Eine mögliche Funtion u(x) ist:" u := x -.5 "Der Startwert sei x =, die Schrittanzahl gleich :" NEW_COL(u,x,,).7833 "Es erfolgt die Vorbereitung zum Darstellen:" TAN_FAM(u,,) x.5.5x.65 "Bitte OPTIONS STATE CONNECTED einstellen und dann u und TAN_FAM plotten" Natürlich führt die Erhöhung der Schrittzahl zu einem genaueren Nullstellenwert, aber die grafische Darstellung wird dadurch sehr schnell unübersichtlich Darstellung mittels MathCad Durch die sehr schnelle Konvergenz des Verfahrens ist die Visualisierung problematisch (Datei NEWTON.MCD ). Deshalb wird nach jedem Iterationsschritt die grafische Darstellung vergrößert.

37 3 Iterationsverfahren Seite 34 Beispiel 8: Gegeben sei die Funtion f(x) := e x - x - 3 mit x :=,... Die in diesem Intervall liegende Nullstelle ist gesucht. Der Startwert sei: x :=. Man bildet zunächst die Ableitung der Funtion f(x) f (x) := e x - Die Iterationsvorschrift für das Newtonverfahren lautet: f x x x,,... f x Die Funtionsgleichung der Tangente (blau) an die Funtion f(x) im Punt x lautet: t(x) := f (x ) (x - x ) + f(x ) Damit beginnt die Iteration: f x x x x =.647 f x =.543 f x Für die grafische Ausgabe benötigt man den Vetor v, welche die Verbindungsgerade zwischen f(x ) und t(x ) zeichnet. v := (t(x ) f(x )) T i := Der nächste Iterationsschritt liefert: f x x x x =.57 f x =.4 f x Die vergrößerte Grafi zeigt:

38 3 Iterationsverfahren Seite Der dritte Iterationsschritt liefert: f x x 3 x x 3 =.55 f x 3 =.3 f x Somit ergibt sich bereits nach dem dritten Schritt der iterierte Wert x =.55. Eine weitere grafische Auflösung ist an dieser Stelle nicht mehr sinnvoll Mathematische Beschreibung des Modifiziertes Newtonverfahren Eine Bedingung des Newtonverfahrens ist, daß f (x) in dem zu betrachtenden Intervall sein muß. Bei einer mehrfachen Nullstelle ist diese Bedingung aber verletzt, da bei einer Nullstelle der Vielfachheit m f(x * ) = f (x * ) =... = f (m-) (x * ) =, f (m) (x * ) gilt. Man erhält für m = unter Verwendung der üblichen Iterationsvorschrift und unter Beachtung der L HOSPITALschen Regeln 3 f x f x g ( x ) = lim ( ) ( ) * * x x f ( x) f x f x + f x f x = lim ( ) ( ) ( ) ( ) * x x f ( x) f ( x) f x f x + f x f x = + lim ( ) ( ) ( ) ( 4) ( ) * x x f ( x) + f ( x) f ( x) =, 3 Marquis de l Hospital (66-74), französischer Mathematier; veröffentlichte die von Johann Bernoulli ( ) aufgestellten Regeln erstmals

39 3 Iterationsverfahren Seite 36 wenn man f(x) als viermal stetig differenzierbar voraussetzt. Das Newtonverfahren hat in diesem Fall die Konvergenzordnung, ann aber grundsätzlich angewandt werden. Allerdings muß bei der Forderung f (x) für alle x aus dem betrachtetem Intervall den Punt x * ausgeschlossen werden. Möchte man wieder die Konvergenzordnung erreichen, so muß das Newtonverfahren modifiziert werden. Die Funtion f(x) sei (m + )-mal stetig differenzierbar in einem Intervall I, in dem sie eine Nullstelle x * der Vielfachheit m besitzt. Dann gibt es ein Intervall I = (x * -, x * + ), in dem das Iterationsverfahren x = x m f ( x ) + f ( x ) für jeden Startwert x I onvergiert und mindestens die Konvergenzordnung hat. Der Beweis ist in [] ausführlich dargestellt. In der so dargestellten Fassung hat das Verfahren allerdings den Nachteil, daß die Vielfachheit der Nullstelle in den seltensten Fällen beannt ist. Dennoch läßt sich ein quadratisch onvergentes Verfahren angeben: x = x f ( x ) + m( x ) f ( x ) mit m( x ) =, =,,, K f ( x ) f ( x ) f ( x ) und es gilt gleichzeitig * lim x = x und lim m( x ) = m. Beispiel 9: Sei f ( x) = x + x + 4x + 54x - 7x - 8, mit - 4 x -. Es liegt im angegebenen Intervall eine Nullstelle unbeannter Vielfachheit. Das modifizierte Newton-Verfahren ergibt nach Bildung der Ableitungen sowie Einsetzen und Kürzen in der entsprechenden Formel

40 3 Iterationsverfahren Seite 37 mit dem Startwert x = -. x ( x )( 5x + 4x 3) + = x 5x x + 3 x - -, , , Tab. 4: Näherungswerte Hätte man nicht mit dem modifizierten Newtonverfahren, sondern mit dem lassischen Newtonverfahren gerechnet, ergebe sich folgende Tabelle: x - -, , , , , ,83655 Tab. 5: Näherungswerte Hierbei erennt man deutlich den Verlust der quadratischen Konvergenz der Newtonverfahrens, wenn es sich um mehrfache Nullstellen handelt Mathematische Beschreibung des Vereinfachten Newtonverfahrens Trotz seiner quadratischen Konvergenz ist das Newtonverfahren sehr aufwendig, da in jedem Iterationsschritt der Funtions- und Ableitungswert neu berechnet werden muß. Beim vereinfachten Newton-Verfahren hingegen berechnet man den Ableitungswert nur ein mal. Die Iterationsvorschrift ist demnach

41 3 Iterationsverfahren Seite 38 x = f x x ( ) + = f ( x ),,,K Das hat zur Folge, daß sich die Konvergenz verlangsamt. Die geometrische Interpretation des vereinfachten Newtonverfahrens zeigt, daß nur im ersten Schritt die Tangente an die Funtion in Startpunt berechnet wird. Jeder weitere Schritt verschiebt die Tangente parallel zum jeweiligen Funtionswert des Iterationspuntes. Abb. 8: Vereinfachtes Newtonverfahren 3.4 Seantenverfahren - Regula falsi 3.4. Mathematische Beschreibung Das Newtonverfahren hat den Nachteil, daß bei jedem Schritt der Funtionswert f(x ) und der Ableitungswert f (x ) berechnet werden müssen. Dieser Aufwand ann etwas reduziert werden, indem statt der im Newton-Verfahren auftretende Ableitung f (x ) der Differenzenquotient f ( x ) f ( x ) x x

42 3 Iterationsverfahren Seite 39 eingesetzt wird. So entsteht ein weiteres Iterationsverfahren - das Seantenverfahren oder auch Regula falsi 4. Es besitzt die Vorschrift x = x f ( x ) + x x, =,,K () f ( x ) f ( x ) und benötigt zwei Startwerte. Über einfache Umformungen erhält man die numerisch günstigere Form x + f ( x ) x f ( x ) x = f ( x ) f ( x ), =,,K. Geometrisch bedeutet das Verfahren, durch die Punte (x, f(x )) und (x, f(x )) ist eine Seante zu legen. Der Schnittpunt der Seante mit der Abszisse liefert den ersten Näherungswert x für x *. Durch den neu entstandenen Punt (x, f(x )) und den alten vorhergehenden Punt (x, f(x )) wird wiederum eine Seante gelegt und der Näherungswert x 3 gefunden, usw. Abb. 9: Das Seantenverfahren. Die Seanten wurden gemäß ihrer Entstehung numeriert. Die Konvergenz und die Konvergenzordnung lassen sich nicht mit den hier hergeleiteten Sätzen bestimmen. In [] findet man eine ausführliche Herleitung der Konvergenzordnung, die für dieses Verfahren bei p,6 liegt. Es zeigt sich also, daß 4 regula falsi (lat.) = Regel des Falschen - da von Seanten ausgegangen wird

43 3 Iterationsverfahren Seite 4 das sich Seantenverfahren bezüglich der Konvergenzordnung zwischen dem allgemeinen Iterationsverfahren und dem Newton-Verfahren befindet. Es existieren allerdings noch zwei weitere Formen der Regula falsi. Zum einen die sogenannte Primitivform. Bei dieser achtet man darauf, daß die Funtionswerte f(x ) und f(x - ) immer entgegengesetzte Vorzeichen haben. Die Iterationsvorschrift lautet demnach x = x xn x + f ( x ) = n = f ( x ) f ( x ),,, K,,, K n wobei n der größte Index unterhalb von ist, für den f(x ) f(x n ) < mit f(x ) und f(x n ) gilt. Für die Startwerte x und x muß somit auch f(x ) f(x ) < sein. Die Primitivform besitzt die Konvergenzordnung. In der zweiten, primitiven Variante bleibt der erste Startwert x B für alle Iterationsschritte bestehen und dient als Bezugspunt. Es wird also immer eine Seante durch den Punt (x B, f(x B )) und den aus der Iteration entstandenen Punt (x, f(x )) gelegt. Damit ergibt sich die Iterationsvorschrift zu x x B x + = x f ( x ) = f ( x ) f ( x ),,,K Die Aussagen zum Seantenverfahren fordern immer eine einfache Nullstelle. Handelt es sich nämlich um eine mehrfache Nullstelle, so onvergiert das Verfahren zwar, aber die hohe Konvergenzordnung geht verloren. Um die Konvergenz auch bei mehrfachen Nullstellen zu sichern, muß man das Verfahren abwandeln. Ist x * eine Nullstelle der Vielfachheit m und f und f (m+) (x) in der Umgebung von x * beschränt, so ist x * einfache Nullstelle der Funtion h mit B h( x) = f ( x) f ( x + f ( x)) f ( x) (3) und h (x) beschränt in der Umgebung von x *. Verwendet man in der Iterationsvorschrift der Regula falsi () statt f die Funtion h gemäß ihrer Definition (3), so onvergiert diese modifizierte Regula falsi ebenfalls von der Ordnung q,6 gegen die mehrfache Nullstelle x * von f. Der Beweis dieser Aussage ist in [] zu finden.

44 3 Iterationsverfahren Seite Programmierung Den Algorithmus der Regula falsi zeigt folgendes Strutogramm. Genauigeit ε eingeben x x WIEDERHOLE x := x - f(x )(x - x )/(f(x ) - f(x )) Ausgabe x BIS f(x) < ε x := x x := x Strutogramm 4: Die Regula falsi Das Strutogramm für die Primitivform der Regula falsi benötigt noch eine zusätzliche Abfrage. BIS Genauigeit ε eingeben x x WIEDERHOLE f(x) < ε ja x := x - f(x )(x - x )/(f(x ) - f(x )) Ausgabe x x := x f(x )f(x ) < x := x nein Strutogramm 5: Die Primitivform der Regula falsi Darstellung mittels MAYA Wiederum wählt man die Menüfolge Nullstellenbestimmung - Funtionsweisen verschiedener Verfahren. Man beachte, daß das Programm MAYA unter der Regula falsi die Primitivform und unter dem Seantenverfahren die eigentliche Regula falsi versteht. Ein Ergebnis des Seantenverfahrens zeigt Abb Darstellung mittels DERIVE Die Datei REGULA.MTH enthält zwei Beispiel für die Anwendung der Regula falsi mit DERIVE. Da immer die letzten beiden Werte bzw. die beiden Startwerte in die

45 3 Iterationsverfahren Seite 4 Berechnung einfließen, ist die grafische Darstellung nicht möglich. Allein die Berechnung bedarf einiger Trics, so daß an dieser Stelle nur die Primitivform betrachtet werden soll. Beispiel : Gegeben sei die Funtion f(x) = x -. Die Funtion besitzt im Intervall x [, ] eine Nullstelle, die mittels Regula falsi ermittelt werden soll. Unter Verwendung der Datei REGULA.MTH erhält man folgenden Ablauf: "Definieren zunächst die Startwerte und die zu betrachtende Funtion u" i := [a, b] u(x) := x - "Benötigen nun folgende Funtionen:" SEK(i) := ELEMENT(i,) + U(ELEMENT(i,)) (ELEMENT(i,) - ELEMENT(i,)) U(ELEMENT(i,))-U(ELEMENT(i,)) REK(i) := IF(U(ELEMENT(i,)) U(SEK(i)) <, [ELEMENT(i,),SEK(i)], [SEK(i),ELEMENT(i,)]) REGULA(s, v, n) := ITERATES(v, w, s, n) "Beispiel :" REGULA([, ], REK(w),3) Darstellung mittels MathCad Die Visualisierung der Regula falsi ist unproblematisch. Die Datei REGULA.MCD enthält dieses Beispiel zur gewöhnlichen Regula falsi. Beispiel : Gegeben sei die Funtion f(x) := x 3 - x + mit x := -3.5, Die in diesem Intervall liegende Nullstelle ist gesucht. Die Iterationsvorschrift für die Regula falsi lautet: f x. x f x. x x,.. 5 f x f x Wählen als Startwerte x := -3 x := -.5 Damit beginnt die Iteration

46 3 Iterationsverfahren Seite 43 f x. x f x. x x 3 x 3 =.84 f x 3 =.887 f x f x Die folgenden Vetoren werden für die Visualisierung benötigt. Der Vetor v enthält die x- Komponenten, der Vetor w die y-komponenten der zu zeichnenden Punte. v := ( x x x 3 x 3 ) T w := ( f(x ) f(x ) f(x 3) ) T i :=.. Die grafische Darstellung zeigt die Seante zwischen den Funtionswerten der beiden Startwerte, den Schnittpunt mit der Abszisse und die Projetion auf die Funtion f(x): Damit ergeben sich die neuen Startwerte x = -.5 x 3 = und die Iteration zu f x. 3 x f x. x 3 x 4 x 4 =.875 f x 4 =.844 f x 3 f x v := ( x x x 3 x 3 x x 4 x 4 ) T w := ( f(x ) f(x ) f(x 3) f(x ) f(x 4) ) T i :=..

47 3 Iterationsverfahren Seite Der dritte Iterationsschritt liefert den Wert x 5 = Wird obiges Beispiel mit der Primitivform der Regula falsi gerechnet (Datei FALSI_PR.MCD ), so ergibt sich nach dem dritten Iterationsschritt der Wert x 5 = -.65 und folgende Abbildung: Hierbei wurden als Startwerte x = -.5 und x = -.5 gewählt. 3.5 Steffensen-Verfahren 3.5. Mathematische Beschreibung Es liege eine zur Gleichung f(x) = in I = [a, b] äquivalente Gleichung x = g(x) vor; x * sei in (a, b) die einzige Lösung von f(x) = bzw. x = g(x). Gemäß dem Banachschen Fixpuntsatz (Seite ) onvergiert das Iterationsverfahren mit der Schrittfuntion g gegen x *, sofern überall in I gelten

48 3 Iterationsverfahren Seite 45 (i) g (x) q < (ii) g(x) I. Mit der Schrittfuntion g läßt sich nun ein Iterationsverfahren aufbauen, das sowohl für g (x) < als auch für g (x) > gegen x * onvergiert, und zwar quadratisch. Dieses Verfahren heißt Steffensen-Verfahren oder Verfahren der linearen Extrapolation und besitzt gegenüber dem Newtonverfahren den Vorteil, bei gleicher Konvergenz ohne Ableitungen auszuommen. Ausgehend vom Verfahren x + = g(x ), =,,..., geht man zur günstigeren Iterationsvorschrift x + = G(x ), =,,..., über, indem man folgende anschauliche Überlegung verwendet (siehe auch Abb. ): Zunächst führt man zwei Iterationsschritte nach der alten Vorschrift x + = g(x ) durch, d.h., man bestimmt g(x ) und g(g(x )). Dann legt man durch die Punte (x, g(x )) und (g(x ), g(g(x ))) die Verbindungsgerade und bestimmt deren Schnittstelle x mit der Geraden y = x. Diesen Wert verwendet man als neuen Näherungswert und wiederholt den Vorgang. Die Gleichung für die Sehne lautet g( g( x)) g( x) y = g( x) + ( x x), g( x ) x und für die Schnittpuntsoordinate x erhält man x = xg( g( x)) ( g( x)). g( g( x )) g( x ) + x (Hinweis: Der Nenner wird Null, wenn die Sehne parallel zur Geraden y = x verläuft). Verwendet man nun x als neuen Näherungswert x und wiederholt diesen Vorgang, so erhält man folgende Iterationsvorschrift: x ( g( x ) x ) + = x g( g( x )) g( x ) + x, =,,,K bzw. etwas umgeformt x + = x g( g( x )) ( g( x )), =,,,K. (4) g( g( x )) g( x ) + x

49 3 Iterationsverfahren Seite 46 (g(x ), g(g(x ))) x = g(x ) x * x x (x, g(x )) y = g(x) Abb. : Das Steffensen-Verfahren nach dem ersten Iterationsschritt Man ann zeigen, daß das Verfahren mit der Konvergenzordnung gleich zwei gegen die gesuchte Lösung x * onvergiert für jedem Startwert x aus einem (hinreichend leinem) Intervall um x *, wenn g(x) in diesem Intervall dreimal stetig differenzierbar ist und gilt g (x). Den Beweis hierzu findet man in []. Nachteil dieses Verfahrens ist, daß es nur im Falle einfacher Nullstellen anwendbar ist. Deshalb benötigt man ein modifiziertes Steffensen-Verfahren für mehrfache Nullstellen. Das folgende modifizierte Verfahren von Steffensen ist im Falle mehrfacher Nullstellen anzuwenden; es liefert die Nullstelle und deren Vielfachheit. Die Funtion g sein in I = [a, b] hinreichend oft differenzierbar und die Gleichung x = g(x) mit g(x) = x - f(x) besitze in (a, b) eine einzige Lösung x * der Vielfachheit m. Dann onvergiert das Iterationsverfahren x = x g x x + m( x ) ( ( ) ) z( x ), =,,, K ( z( x )) mit m( x ) = ( z( x )) + ( x g( x ))( z( x ) + g( x g( x )) x ) und z( x) = g( g( x )) g( x ) + x für jeden beliebigen Startwert x I von mindestens zweiter Ordnung gegen x * ; es gilt gleichzeitig lim m( x ) = m. Hinweis: Zur Vermeidung einer Anhäufung von Rundungsfehlern sollte hier mit doppelter Wortlänge gerechnet werden.

50 3 Iterationsverfahren Seite Programmierung Das folgenden Strutogramm soll den Ablauf verdeutlichen: Genauigeit ε eingeben Eingabe von g(x) x x := x WIEDERHOLE xg(g(x)) - (g(x))² x := g(g(x)) - g(x) + x BIS f(x) < ε Ausgabe x Strutogramm 6: Das Steffensen-Verfahren Darstellung mittels MAYA Im Programm MAYA findet man das allgemeine Iterationsverfahren unter dem Punt Nullstellenbestimmung - Fixpuntiteration und Steffensen-Verfahren. Beispiel : In die Eingabemase wird die bereits umgestellte Funtion g(x), der Definitions- und Wertebereich eingegeben. Man beachte, daß bei einer zu großen Anzahl von Iterationen das Programm die Fehlermeldung Nenner wird Null ausgibt und die iterierte Nullstelle gleich Null setzt, obwohl die Grafi orret angezeigt wird. G(X) =.5*(X+/X) X Intervall: Y Intervall: Untergrenze Untergrenze Obergrenze 4. Obergrenze.5 Startwert X_: 3 Verfahren: S Anzahl der Iterationen: Somit erhält man:

51 3 Iterationsverfahren Seite 48 In MAYA verwirrt zunächst die Parallele zur x-achse. Diese Gerade dient jedoch der grafischen Bestimmung des Puntes (g(x ), g(g(x ))) Darstellung mittels DERIVE Um das Steffensen-Verfahren mit DERIVE grafisch zu behandeln, müssen zwei Funtionen definiert werden. Zum einen die einfach zu programmierende Funtion (4) und eine zum Erstellen der Visualisierungpunte. Diese hat die Gestalt x u(x) x x u(x) u(u(x)) x x PUNKTE(x,n): = APPENDITERATES LIM,v,,n x ELEMENT(v,,3) s(x) s(x) x x s(x) u(s(x)) x x Hierbei entspricht s(x) der Funtion (4) und u(x) der Funtion g(x). Mit dieser Funtion ist nun eine Visualisierung möglich. Allerdings muß bei der Berechnung der Punte etwas mehr Zeit eingeplant werden. Beispiel 3: Gegeben sei die Funtion f(x) = 3 ln(x) + 4 x - 4. Die Funtion besitzt im Intervall x [, ] eine Nullstelle, die mittels Steffensen-Verfahren ermittelt werden soll. Unter Verwendung der Datei STEFFEN.MTH erhält man folgende Grafi:

52 3 Iterationsverfahren Seite Darstellung mittels MathCad Die Datei STEFF_.MCD enthält folgendes Beispiel. Beispiel 4: Gegeben sei die Funtion f(x) := 3 ln(x) + 4 x - 4 mit x :=.,... 3 Die in diesem Intervall liegende Nullstelle ist gesucht. Der Startwert liegt bei: x := Eine geeignete Umstellung der Funtion f(x) ist: g(x) := ln(x) Die Iterationsvorschrift für das Steffensen-Verfahren lautet: x G x mit G( x ) Damit beginnt die Iteration x = G(x ) x =.8 x. g( g( x ) ) g( ) g( g( x ) ). g( x ) Die folgenden Vetoren werden für die Visualisierung benötigt. Der Vetor v enthält die x- Komponenten, der Vetor w die y-komponenten der zu zeichnenden Punte. v := ( x g(x ) x x ) T y(x) := x w := ( g(x ) g(g(x )) g(x ) ) T i :=.. Die grafische Darstellung zeigt die Seante, den Schnittpunt mit der Winelhalbierenden und die Projetion auf die Funtion g(x): x x