Gesucht: wie viele Mitarbeiter sind max. durch Ziffernfolge unterscheidbar. Lösung: Möglichkeiten; Reihenfolge und MIT Zurücklegen- also = = 6561

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1 1 Bettina Kietzmann Februar 2013 Numerische Aufgaben Statistik 1D 1. Kombinatorik Für die Lösung dieser Aufgaben ist die Tabelle der Formelsammlung S. 10 relevant. Geht es darum Möglichkeiten zu errechnen ist die Tabelle wichtig, geht es um Wahrscheinlichkeiten gilt das Laplace-Experiment. Inwiefern N, n, M ausfallen bzw. für was diese gelten, steht ebenfalls in der Formelsammlung S. 10 über der Tabelle. Klausur BiWi September 2012 Nr. 41 Gegeben: Firma Mitarbeiter jeder von denen hat 4-stelligen Zahlencode zwischen 1-9 Gesucht: wie viele Mitarbeiter sind max. durch Ziffernfolge unterscheidbar. Lösung: Möglichkeiten; Reihenfolge und MIT Zurücklegen- also = = 6561 Klausur BiWi März 2012 Nr. 43 Gegeben: 20 Mitarbeiter, repräsentiert durch Nummerierung 1-20 Verlosung von 3 Preisen (Wertigkeit ist verschieden) Gesucht: Möglichkeiten 3 Preise unter 20 Mitarbeiten zu verteilen. Lösung: Ziehen ohne Zurücklegen (1.=1/20; 2.Preis= 1/19; 3.Preis= 1/18) Berücksichtigung der Reihenfolge Also = = 6840 Klausur POL/SOZ September 2011 Nr. 42 Gegeben: 5 Personen, davon 2 Frauen und 3 Männer; Bei einem Spiel gibt es je 2 Gewinner. Es bwerden 2 Spiele gespielt. Gesucht: Höhe der Wahrscheinlichkeit, dass keine Frau beide Spiele gewinnt. Lösung: Laplace S.9 Formelsammlung 1. Spiel: Wahrscheinlichkeit, dass Mann gewinnt= 3/5; Wahrscheinlichkeit dass eine Frau gewinnt= 2/5. 2. M M M F F 2. Spiel: Wahrscheinlichkeit Mann= 2/4 bzw. ½ 3. 3/5 * ½ = 0,3

2 2 Bettina Kietzmann Februar 2013 Klausur Pol/SOZ September 2010 Nr. 43 Fußballturnier: 8 Gruppen je 4 Mannschaften Anzahl der Spiele je Gruppe = 6 ( AB-AC-AD-BC-BD-CD) Gesucht: Wie viele Spiele werden in einer Gruppe gespielt, wenn es 2 Gruppen mit je 8 Mannschaften gibt? Lösung: Ich habe es aufgeschlüsselt: Jede Gruppe hat folgende Möglichkeiten gegeneinander zu spielen: AB-AC-AD- AE-AF-AG-AH BC-BD-BE-BF-BG-BH CD-CE-CF-CG-CH DE-DF-DG-DH EF-EG-EH FG-FH GH = 28 Rechnerisch: es gibt N=8 Mannschaften, die je gegeneinander spielen- also 2 Mannschaften-. Also : Möglichkeiten- keine Reihenfolge und ohne Zurücklegen=( ) =( )=28 Klausur POL/SOZ März 2010 Nr.41 N=4 N=6 = 1296 Möglichkeiten die Buchstaben zu kombinieren (MIT Zurücklegen und MIT Reihenfolge) Klausur POL/SOZ März 2011 Nr.43 Gegeben: 15 Teilnehmer- Verlosung 2er Karten (Theater) Karton mit 15 Losen (jeder Teilnehmer eine Nummer) werden nacheinander 2 Lose gezogen Gesucht: Möglichkeiten der Verteilung des Gewinns auf alle 15 Teilnehmer Lösung: Ohne Reihenfolge, Ohne Zurücklegen ( ) =( )=105

3 3 Bettina Kietzmann Februar 2013 Klausur POL/SOZ März 2012 Nr. 43 Gegeben: 20 Mitarbeiter- Verlosung 3er Preise (MIT Rang, OHNE Zurücklegen) Gesucht: Möglichkeiten N=20 Lose; n= 3 Preise = Glücksrad Beispiel POL/SOZ März 2011: Gegeben: Glücksrad mit 5 Feldern je schwarz, rot, weiß, gelb, grün Versuche=3 Gesucht: Wahrscheinlichkeit 3mal grün zu drehen (1/5)³= 0, Vorstandswahl mit möglicher Stimmenhäufung Klausur POL/SOZ September 2011 Nr. 44 Aufgabe genau lesen!!!! Bei einem größeren Konzern sollen nach Ausscheiden von zwei Vorstandsmitgliedern zwei Personen in den Vorstand nachrücken. Zur Auswahl stehen vier Kandidaten, nämlich Frau B, Herr D, Herr F und Herr S. Die Mitglieder des Auswahlgremiums setzen bei einer geheimen Wahl auf dem Wahlzettel 2 Kreuze, wobei zwei verschiedene Bewerber je einmal oder ein Bewerber zweimal angekreuzt werden kann (Möglichkeit der Stimmenhäufung). Wieviele Möglichkeiten der Auswahl von 2 Bewerbern gibt es? Beachten Sie: Zwischen den Wahlausgängen (Kandidat x; Kandidat y) und (Kandidat y; Kandidat x) muss hier nicht unterschieden werden sie führen ja zur selben Zusammensetzung des neuen Vorstands. Tragen Sie Ihr Ergebnis, also eine positive ganze Zahl, rechtsbündig in das Antwortfeld ein. Übertragen Sie Ihr Ergebnis rechtzeitig vor Ende der Klausur auf den Markierungsbogen. Ich ging so an die Aufgabe heran: Gegeben: Konzern- 2 Vorstandsmitglieder treten zurück 2 neue 4 Kandidaten Wahl: 2 Kreuze (MIT Zurücklegen, OHNE Reihenfolge) Gesucht: Möglichkeiten der Auswahl 2er Bewerber Lösung1: N=4; n=2 ( )= 10 Allerdings ist die korrekte Lösung ohne Zurücklegen: ( ) =( )=6 Beide Lösungen werden als richtig anerkannt, da die Aufgabe auch, wie im Ansatz für Lösung 1, interpretiert werden kann. Allerdings wurde in Lösung 1 nicht bedacht, dass Kandidat 1 zweimal gewählt werden darf und somit nur ein

4 4 Bettina Kietzmann Februar 2013 Kandidat und nicht 2 für den neuen Vorstand gewählt würde. Diese Tatsache beachtet die korrekte Lösung. 4. Roulette Klausur BiWi September 2012 Nr.42 Ein Roulett hat Felder von 0 bis 36 mit je einer Eintrittswahrscheinlichkeit von 1/37. Die Felder sind schwarz und rot, außer die 0- sie ist grün. Gegeben: Ein Spiel, welches ein 2-Gänge-Menü-Preis auslost, je nachdem ob ein rotes Feld (=18) oder ein schwarzes Feld (=18) erdreht wird, zahlen die Gäste für ein rotes 15 Euro und für ein schwarzes 25 Euro für den gesamten Abend. Wird eine 0 erspielt, zahlen die Gäste nichts. Gesucht: Eine Person nimmt an 2 Tagen an diesem, je einen, Spiel teil. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser insgesamt, also bei beiden Spielen, 30 Euro zu zahlen hat? Lösung: 30 Euro also haben beide Spiele 2 malig ein rotes Feld erdreht, d.h. es gibt 18 Felder mit der Farbe rot. Die Wahrscheinlichkeit an einem Tag/Abend ein rotes Feld zu erhalten beträgt 18/37= 0,4865. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Person an einem anderen Tag/Abend noch einmal ein rotes Feld erwischt beträgt demnach 18/37²= 0, KQ Klausur BiWi September 2012 Nr. 44 Gegeben: 5 Besucher und deren Rechnungsbeträge X plus Trinkgeld Y. (12;0);(24;1); (21;1);(36;2,5),(42;3) Gesucht: man geht von linearem Zusammenhang zwischen X und Y aus Regressionsgerade hier interessiert die Steigung mit n=5 Lösung: y i = β*x + α i = s xy (cov) s x ² (Varianzx Vx) α a h= y - * x 1. Mittelwert x = Mittelwert y = 1,5 Berechnung Kovarianz, also s xy = Cov = Da die Xn verschieden sind, ist Handrechnung nötig:

5 5 Bettina Kietzmann Februar 2013 Sxy x y (=-15) 0-1,5 (=-1,5) 22,5 + * (=-3) 1-1,5 (=-0,5) 1,5+ * (=-6) 1-1,5 (=-0,5) 3+ * (=9) 2,5-1,5 (=1) 9+ * (=15) 3-1,5 (=1,5) 22,5 * Sxy= 58,5 3. Berechnung VarianzX, also S²= (-15)²=225 + (-3)²= 9 + Etc. = 576 Nun füge ich die errechneten Zahlen in die Formel = s xy (cov) s x ² (Varianzx Vx) Und erhalte für =0,1016 BiWi Klausur März 2012 Nr. 47 Gegeben: n= 20; Mittelwert x=5,24; Mittelwert y=2,28; = -0,25 Gesucht: Wert der Regressionsgerade am Punkt x=1,5 Lösung: y i = β*x + α i Y= (-0,25)*1,5+ α a h α a h= y - * x = 2,28- (-0,25)* 5,24 =3,59 Y= (-0,25)*1,5+ 3,59 = 3,215 Klausur POL/SOZ September 2011 Nr.47 Gegeben: n=6; Mittelwert x= 14; Mittelwert y= 2,5; Vx=40; Vy=1,28; Cov=-6,8 Gesu ht= Wert α der Regressionsgeraden y i = β*x + α i

6 6 Bettina Kietzmann Februar 2013 Lösung: = s xy (cov) s x ² (Varianz Vx) = -6,8 40= -0,17 α y - x = 2,5- (-0,17)*14 = 4,88 Klausur POL/SOZ September 2010 Nr. 47 Gegeben: n=15; Mittelwert x= 9,5; Mittelwert y= 3,6; = -0,16 Gesucht: Wert, den Regressionsgerade am Punkt x=1,5 annimmt. Lösung: y i = β*x + α i Y= (-0,16)*1,5+ α a h α a h= y - * x = 3,6- (-0,16)* 9,5 =5,12 Y= (-0,16)*1,5+ 5,12= 4,88 Klausur POL/SOZ März 2012 Nr. 48 Gegeben: n=10; = 0,58; α a h=0,35; atenpunkte x1=2,4 und y1=1,96 Gesucht: Residuum udach Lösung: u i Dach = y i - y i Dach=y i - α a h ßDach*x i u= 1,96-0,35-0,58*2,4 = 0,218

7 7 Bettina Kietzmann Februar Münzwurf-mehrfach Gegeben ist eine Münzspiel mit 2 Münzen. Diese werden n=6 mal geworfen. Die Eintrittswahrscheinlichkeit beträgt bei jedem Wurf 0,5, da entweder Zahl oder Kopf eintritt. Gesucht: Wahrscheinlichkeit 4mal Zahl zu werfen. Lösung: Es kann mit einem Ereignis und Gegenereignis gerechnet werden. X ist das Ereignis Zahl und X ist das Komplementärereignis. Also P(X kleiner gleich 4) = 1- P(X 3) Formelsammlung S. 36 K=4 und x=6 Eingeben in Taschenrechner ;) mit x=k=4 = 0,3438 Aber es geht auch per Hand. Aufsummieren und dabei darauf achten, dass es um x=4, dann x=5, dann x=6 geht. 3 mal Summenterm bilden. Komplementärereignis: Achtung: Wenn es mit x=0 X=1 x=2 x=3 gerechnet wird, muss 1 (Ergebnis) berechnet werden, da Komplementär- egal wie es gemacht wird, es muss das gleiche herauskommen. Vor allem bei größeren Datensätzen arbeitet man mit dem Komplementärereignis. Bei unseren Aufgaben kann man es sich aussuchen, denn ob ich einen Term mehr oder weniger aufsummiere, macht den Sinn nicht wett. Komplementär-bzw. Gegenereignis mit k=0 und x=3: = ,6562= 0,3438 und so s hließt si h der Kreis 2 ausgedachte Beispiele: 1. Gegeben: Münze wird n=15 mal geworfen Gesucht: Wahrscheinlichkeit mind. 6mal Kopf (X) zu erhalten. P(X 6)

8 8 Bettina Kietzmann Februar 2013 Lösung: per Hand über Gegenereignis (ginge schneller) oder per Taschenrechner das Ereignis direkt eingeben, also n=15 (Würfe) p=0,5 (Wahrscheinlichkeit) K=6 bis x=15, da uns eben diese Ereignisse interessieren. 0, Münze n=2 mal werfen alles in obige Formel eingeben und Ergebnis = dass die Wahrscheinlichkeit höchstens 1 mal Zahl zu werfen 0,75 beträgt. 7. Lotto Die Lottoaufgaben, ganz egal, um welches Land es geht, sind hier alle hypergeometrisch verteilt. Das heißt OHNE ZURÜCKLEGEN. Formelsammlung Seite 10, 13 und 14 sind relevant. Die Wahrscheinlichkeiten eine Zahl zu ziehen verändern sich, da OHNE Zurücklegen. 6 aus 49 wäre also 1. Zug 1/49 2. Zug 1/48 3. Zug 1/47 4. Zug 1/46 5. Zug 1/45 6.Zug 1/44. Ich ziehe also eine Kugel mit der Zahl 2 und habe z.b. im Litauischen Lotto eine Wahrscheinlichkeit von 1/30. Die nächste Kugel wird von der ersten Ziehung beeinflusst. Die 2. Ziehung erbringt eine 5 mit der Wahrscheinlichkeit 1/29 etc Lotto deutsch Erwartungswert 6 (=x) aus 49 gesucht ist der Erwartungswert n=6 ; M=6 ; N= 49 E(X)= n * = 6* = 0,7347 Wie berechne ich, die Wahrscheinlichkeit für einen 4er? Formelsammlung S. 13 ganz unten: f(x)= mit x=4 f(x)= 0, = % Die Wahrscheinlichkeit einen 6er zu erhalten beträgt ( ) = = 0,

9 9 Bettina Kietzmann Februar Lotto Litauen 6 aus 30 gesucht ist der Erwartungswert: E(X)= μ= n * = 1,3 mit N=30, n=6 und M=6= 1,2 Die Wahrscheinlichkeit einen 6er zu erhalten beträgt ( ) = = 0, Mini-Lotto z.b. : 6 aus 9 gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen. ( )= = ( )= = = 0,01190 Gesucht: Erwartungswert E(X)= μ)= n * = 4 mit n=6 M=6 N=9 7.4 Lotto Schweden 7 aus 35 gesucht: E(X)= μ= n * = 7 * = 1,4 mit n=7 M=7 N=35 Beispiel meinerseits: gesucht: Varianz (Formelsammlung S. 14 oben (hypergeometrisch)) = 0,9224 Beispiel meinerseits: gesucht: Standardabweichung = = 0, Verteilungsfunktion 9. Rangkorrelationskoeffizient Klausur BiWi März 2012 Nr.41 Gegeben: 2 Ratingagenturen- Bewerten u.a. Ausfallrisiko für Staatsanleihen Beurteilen unabhängig voneinander 4 Länder mit den Stufen 1-12 (1-bestes;12 schlechtestes Ausfallrisiko) Land i Agentur A-Beurteilung xi Agentur B-Beurteilung yi

10 10 Bettina Kietzmann Februar 2013 Gesucht: über den rsp (Rangkorrelationskoeffizienten Spearman) schauen, ob ein Zusammenhang zwischen beiden Agenturen besteht. (rsp mit rg(xi); rg(yi) und di) Lsg: Seite 8 Formelsammlung Formel, bei der KEIN Rangplatz mehrfach besetzt wird, also: Was ist rg(xi;yi)? Das ist der Rangplatz, den beide Werte einnehmen, also für unser obiges Beispiel einfach in der Spalte xi nach Größe ordnen (hier:skala 1-12 und 4 länder-also Rang 1,2,3,4)), also für Land x1=3 ist dies der 1.Rang (rgx1), Land x2=7 der 2. Rang (rgx2), Land x3=9 der 3. Rang (rgx3) und Land x4=11 der 4. Rang (rgx4). Ebenfalls schaut man bei yi 1.Rang (rgy1)=yi1=4; 2.Rang(rgy2)=y2=8; 3.Rang(rgy3)=y3=9 und 4.Rang(rgy4)= y4=10. Was ist di? Genauer: Land i Agentur A-Beurteilung xi Agentur B-Beurteilung yi Land i Agentur A Agentur B Bewertungxi rg(xi)rang Bewertungyi rg(yi)rang di = = = =1

11 11 Bettina Kietzmann Februar 2013 Nicht in diese Formel einsetzen (zu umständlich und vornehmlich wenn Ränge mehrfach besetzt sind) = Diese Formel interessiert (da kein Rangplatz mehrfach besetzt ist)= Per Hand aufsummieren: rsp= 1- = 1-0,2= 0,8 weitere Aufgaben der gleichen Struktur: Klausur POL/SOZ September 2011 Nr. 41 Klausur POL/SOZ September 2010 Nr. 42 Klausur POL/SOZ März 2012 Nr Normal- und Standardnormalverteilung Klausur BiWi März 2012 Nr.41 Gegeben: iq; E(X)=100 V(X)=225 Standardabweichung = 15 Gesu ht: Wahrs heinli hkeit Person innerhalb Intervall P(91 X 109) 1. Schritt: Normierung S.38 Formelsammlung F(X)=Phi ( =z1= z2 da Intervall! Z1= 0,6 Ablesen in Tabelle: zp1= 0,7257 Z2=-0,6 für negative Zahlen gilt: 1- zp1= zp2=0,2743 (Formel S.38 Phi(z) =1 -Phi( - z) durch Umstellung erhält man 1-Phi(z) = 0,2743 z1-z2= 0,7257-0,2743= 0,4514 Klausur POL/SOZ September 2011 Nr.46 Gegeben: E(X)=500 Standardabweichung = 100 Gesu ht: Intervall P(400 X 500) Normierung: - (größere kleinere) z1 = 0 z2= -1 Ablesen z1= 0,5; z2= 0,8413 0,5- (1-0,8413)= P= 0,3413

12 12 Bettina Kietzmann Februar Gauß-Test Klausur POL/SOZ September 2010 Nr. 48 Gegeben: linksseitiger Test (FS Seite 23); n=5; E(0)=50; Varianz=25; demzufolge: Standardabweichung=5 Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass H0 mit E(X)=45 verworfen wird 1. Schritt: Prüfvariable z-wert berechnen mit FS S. 24 linksseitig. - * ) Der Index rechts unter dem z wird abgelesen in der Tabelle und ergibt (mit 1-0,05= 0,95) gleich 1,6449! = Phi (-1, ) das ist unsere Prüfvariable mit dem Wert 0,5912 diese wird wiederum abgelesen in der Tabelle und es ergibt sich Phi(0,5912)~0,7224 = 72,24% Wahrscheinlichkeit, H0 zu verwerfen Ganz kurz noch zur Verteilungsfunktion für Normalverteilungen in der Klausur POL/SOZ vom März 2010 Nr. 45 ist gegeben: E(X)=5 und Varianz=1 gesucht wird der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle x=5. Überlegen sollte man sich wie eine Gauß-Glocke aufgebaut ist- dann kann man sehr gut erkennen, dass der Erwartungswert und x identisch sind. Das heißt wiederrum, dass 50% der Wahrscheinlichkeiten links und 50% recht liegen- ist also der Erwartungswert und x identisch, trifft der Wert 0,5 zu.