Kompensationsprüfung zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung in Angewandter Mathematik

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1 Kompensationsprüfung zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung in Angewandter Mathematik 1 Grundlagen Informationen zu den rechtlichen Grundlagen finden Sie im Dokument Mündliche Kompensationsprüfung Relevante Auszüge aus Gesetzen und Verordnungen, abrufbar unter Allgemeines Die mündliche Kompensationsprüfung in Angewandter Mathematik bietet die Möglichkeit, die negative Beurteilung der schriftlichen Klausur im Rahmen desselben Termins zu kompensieren und damit einen Laufbahnverlust zu vermeiden. Bei der Kompensationsprüfung sind, wie bei der schriftlichen Überprüfung, Grundkompetenzen und clusterspezifische Kompetenzen nachzuweisen. Im Rahmen des Prüfungsgesprächs wird zusätzlich mit verbalen Fragestellungen gearbeitet, die die Prüferin/der Prüfer mit der Angabe erhält und die während des Prüfungsgesprächs zusätzlich gestellt werden müssen. Diese zusätzlich angeführten verbalen Fragestellungen dienen einerseits dazu, Defizite aus den wesentlichen Bereichen (grundlegende Kompetenzen) womöglich auszugleichen, andererseits dazu, den Kandidatinnen und Kandidaten eine zusätzliche Gelegenheit zu geben, über das Wesentliche hinausgehende Kompetenzen unter Beweis zu stellen. Die verbalen Fragestellungen werden den Kandidatinnen und Kandidaten erst im Rahmen des Prüfungsgesprächs gestellt; sie werden den Kandidatinnen und Kandidaten zusammen mit der Aufgabenstellung vorgelegt. 2 Konzeption der Kompensationsprüfung Jeder Kandidatin/jedem Kandidaten wird eine Aufgabenstellung bestehend aus drei oder vier Teilaufgaben vorgelegt, welche die wesentlichen Bereiche der Kompensationsprüfung abdecken. Nach Möglichkeit wird die Aufgabenstellung mehr als eine Seite umfassen Ausnahmen sind möglich (Grafiken, Tabellen etc.). Grafiken und Tabellen werden in Schwarz-Weiß zur Verfügung gestellt. PC oder Laptop mit einem zugelassenen Mathematikprogramm bzw. ein zugelassener grafikfähiger Taschenrechner sowie eine für die jeweilige Schulform approbierte Formelsammlung müssen für jede Kandidatin/jeden Kandidaten sowohl zur Vorbereitung als auch für die Prüfung zur Verfügung stehen.

2 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik Charakterisierung der Aufgaben Die mathematische Inhaltsdimension mit allen fünf Ausprägungen wird in der Kompensationsprüfung möglichst breit gestreut sein (bezogen auf die Kompetenzkataloge für die standardisierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung in Angewandter Mathematik, die auf der Website des BIFIE unter aufrufbar sind). Die Handlungsdimension mit allen Ausprägungen wird ebenfalls möglichst breit abgebildet. Die Teilaufgaben jeder Aufgabenstellung sind streng unabhängig voneinander. Die Kompensationsprüfungsaufgaben entsprechen stets den inhaltlichen Anforderungen des jeweiligen Clusters und decken mit ihren Teilaufgaben sowohl die Grundkompetenzen als auch die schulformspezifischen Kompetenzen ab (vgl. Prüfungsordnung BHS 19 i. V. m. 13 (2) sowie die unter abrufbaren Kompetenzkataloge). 2.2 Verpflichtende verbale Fragestellungen Verpflichtende verbale Fragestellungen tragen zur Klärung der Beurteilung bei. Als vertiefende Fragestellungen dokumentieren sie die Selbstständigkeit (i. S. d. LBVO) der Kandidatin/des Kandidaten. Da eine ausreichende Grundlage für die Beurteilung aller Ausprägungen der Handlungsdimensionen vorhanden sein muss, setzt die Prüferin/der Prüfer diese auch ein, um Defizite in anderen Bereichen womöglich auszugleichen.

3 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 3 3 Beurteilung 3.1 Gesamtbeurteilung Da sowohl die von der Kandidatin/vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit für die Gesamtbeurteilung herangezogen werden, kann die Gesamtbeurteilung besser als Befriedigend lauten. 3.2 Erläuterungen zur Beurteilung der Kompensationsprüfung Die Prüferin/der Prüfer erhält mit jeder Aufgabenstellung zusätzlich eine vollständige Lösungserwartung mit der Angabe der jeweiligen Ausprägung der Dimension Handlung. Des Weiteren gibt es zu allen Teilaufgaben verbale Fragestellungen (inklusive Lösungserwartungen und der jeweiligen Ausprägung der Dimension Handlung). Pro Teilaufgabe ist eine Seite vorgesehen, wobei darauf geachtet wird, dass genügend Platz für Anmerkungen der Prüferin/des Prüfers während des Prüfungsgesprächs bleibt. Da die gesetzliche Regelung vorsieht, dass der Prüferin/dem Prüfer und der Fachbeisitzerin/dem Fachbeisitzer bei der Beurteilung des Prüfungsgebiets eine gemeinsame Stimme zukommt (vgl. Dokument Mündliche Kompensationsprüfung Relevante Auszüge aus Gesetzen und Verordnungen, abrufbar unter erhalten beide stets die den Aufgabenstellungen beigelegten Beurteilungsraster. Im Beurteilungsraster ist die Notendefinition samt Beschreibung der Kompetenzbereiche angeführt. Das Prüfungsgespräch orientiert sich inhaltlich ausschließlich an der vorgegebenen Aufgabenstellung. Beurteilungsrelevant ist jeweils nur die der Kandidatin bzw. dem Kandidaten in Papierform vorgelegte Aufgabenstellung inklusive der in den Prüfungsunterlagen verschriftlichten verbalen Fragestellungen. Die den Kandidatinnen und Kandidaten in Papierform vorgelegten Aufgaben bilden die wesentlichen Bereiche (gemäß LBVO) der Prüfung. Die verpflichtend zu stellenden verbalen Fragestellungen dienen dazu, Mängel aus den wesentlichen Bereichen auszugleichen bzw. den Kandidatinnen und Kandidaten die Möglichkeit zu geben, eine Beurteilung mit Gut oder Sehr gut bei der Kompensationsprüfung zu erreichen.

4 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik Beurteilungsraster Beurteilung / Kompetenzbereiche Anforderungen werden in den wesentlichen Bereichen überwiegend erfüllt Anforderungen werden in den wesentlichen Bereichen zur Gänze erfüllt Anforderungen werden in über das Wesentliche hinausgehendem Ausmaß erfüllt Anforderungen werden in weit über das Wesentliche hinausgehendem Ausmaß erfüllt Modellieren & Transferieren Basismodelle im allgemeinen bzw. schulformspezifischen Kontext erstellen (im Sinne der Grundkompetenzen) Basiszusammenhänge aus dem Alltag in einfachster Form in die Mathematik transferieren und umgekehrt grundlegende Modelle aus dem allgemeinen bzw. schulformspezifischen Kontext bilden grundlegende Zusammenhänge in mathematische Beschreibung transferieren über das Grundlegende hinausgehende Modelle aus dem allgemeinen bzw. schulformspezifischen Kontext bilden mathematische Zusammenhänge in berufsspezifische Bereiche übertragen und umgekehrt Modelle im Bereich komplexer Problemstellungen und Sachzusammenhänge erstellen komplexe mathematische Zusammenhänge in berufsfeldspezifische Bereiche übertragen und umgekehrt Operieren & Technologieeinsatz Rechen- und Konstruktionsabläufe auf Basis grundlegenden Operierens korrekt durchführen grundlegende Technologiekompetenz nachweisen auf Basis eines zugrunde liegenden tieferen Verstehens über die grundlegende Rechenkompetenz hinausgehend operieren operative Tätigkeiten zur Lösung grundlegender Problemstellungen an die jeweils verfügbare Technologie (im Mindestausmaß) auslagern und die Technologie adäquat einsetzen über die grundlegende Rechenkompetenz hinausgehend unter Nachweis eines kompetenten Technologieeinsatzes anspruchsvoll operieren in komplexen bzw. anspruchsvollen Situationen, auf den jeweiligen Cluster abgestimmt, operieren über eine tiefgehende Werkzeugkompetenz verfügen und diese nachweisen Reflektieren Interpretieren & Dokumentieren aus Informationen oder mathematischen Darstellungen grundlegende Fakten, Zusammenhänge oder Sachverhalte im Mindestmaß interpretieren Lösungswege und Ergebnisse in grundlegender Form darstellen vorgegebene mathematische Zusammenhänge und Ergebnisse in allgemeinen und schulformspezifischen Kontexten interpretieren Lösungsstrategien verständlich und nachvollziehbar darstellen mathematische Zusammenhänge in Fachsprache interpretieren Lösungsstrategien in Fachsprache nachvollziehbar darstellen komplexe mathematische Zusammenhänge, auf den jeweiligen Cluster abgestimmt, interpretieren komplexe Lösungsstrategien, auf den jeweiligen Cluster abgestimmt, dokumentieren Argumentieren & Kommunizieren grundlegende mathematische Sachverhalte erklären mathematische Sachverhalte und Entscheidungen begründen mathematische Sachverhalte und Entscheidungen unter Verwendung mathematischer Fachsprache begründen und erklären mathematische Sachverhalte und Entscheidungen mit mathematischer Fachsprache unter Berücksichtigung unterschiedlicher Aspekte argumentieren, begründen und erklären

5 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 5 4 Prototypische Aufgabe a) Die nachstehende Grafik zeigt die Entwicklung der jährlichen Besucherzahlen eines Museums für die Jahre 2000 bis Die Steigerung der Besucherzahlen soll durch eine Exponentialfunktion modelliert werden. Stellen Sie unter Verwendung der Besucherzahlen für die Jahre 2000 und 2010 die entsprechende Funktionsgleichung auf. Ermitteln Sie, welche Besucherzahl sich für das Jahr 2015 mit diesem Modell ergibt. Bestimmen Sie mithilfe der Funktionsgleichung das mittlere jährliche prozentuelle Wachstum der Besucherzahlen.

6 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 6 Möglicher Lösungsweg: 1) Jahr 2000: Besucher/innen Jahr 2010: Besucher/innen = a 10 a = 1, ,05 N(t) = ,05 t t Zeit seit 2000 in Jahren N(t) Anzahl der Besucher/innen nach t Jahren (Modellieren & Transferieren (A)) 2) N(15) Besucher/innen (Operieren & Technologieeinsatz (B)) 3) jährlicher Änderungsfaktor: 1,05 Das mittlere jährliche prozentuelle Wachstum der Besucherzahlen betrug 5,0 %. (Reflektieren (R)) Verbale Fragestellung: Erklären Sie, warum man mit einem linearen Modell arbeiten kann, wenn von einem prozentuellen Wachstum ausgegangen wird. (R) Bei einem linearen Modell ist die absolute Zunahme konstant. Die prozentuelle Zunahme wird von einem jährlich neuen, größeren Grundwert berechnet und dadurch wird die absolute Zunahme immer größer.

7 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 7 b) Wolfgang besucht einen Schießstand. Er nimmt an, dass er unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit p das Ziel. Wolfgang schießt 3-mal. Erstellen Sie ein Baumdiagramm, in dem alle möglichen Versuchsausgänge und die entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten dargestellt werden. Beschreiben Sie, wie man mithilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass Wolfgang genau 1-mal, berechnen kann. Wolfgang schätzt, dass er unabhängig von den vorherigen Ergebnissen in 80 % der Fälle. Um ein Plüschtier zu gewinnen, müssen bei 10 Schüssen mindestens 9 Treffer erzielt werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Wolfgang bei einem Versuch mit 10 Schüssen das Plüschtier gewinnt. Möglicher Lösungsweg: 1) Start p 1 p 1. Schuss p 1 p p 1 p 2. Schuss p 1 p p 1 p p 1 p p 1 p 3. Schuss (A) 2) Es müssen alle Pfade berücksichtigt werden, die genau 1-mal enthalten. Längs jedes dieser Pfade werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert und die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ergibt den gesuchten Wert. (R) 3) Binomialverteilung: X Anzahl der Treffer bei 10 Schüssen n = 10 k = 9 p = 0,8 P(X 9) = 1 P(X 8) = 37,6 % Mit einer Wahrscheinlichkeit von 37,6 % gewinnt Wolfgang das Plüschtier. (A, B)

8 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 8 Verbale Fragestellung: Erklären Sie, warum die Wahrscheinlichkeit, bei einem Versuch mit 10 Schüssen das Plüschtier zu gewinnen, mit der Binomialverteilung berechnet werden kann. (R) Die Wahrscheinlichkeit bleibt konstant, es gibt genau zwei mögliche Ausgänge des Zufallsexperiments: oder. Die Ereignisse sind unabhängig.

9 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 9 c) für Cluster 6 und 8 Das Management eines Unternehmens plant eine Investition in der Höhe von 1,8 Mio. Euro, die über einen Kredit finanziert werden soll. Dazu werden Angebote bei zwei verschiedenen Banken eingeholt: Bank A verlangt zu Tilgung des Kredits 10 nachschüssige jährliche Raten zu je Euro. Erstellen Sie eine Zeitlinie, in der das Angebot von Bank A veranschaulicht wird. Berechnen Sie den Jahreszinssatz, den die Bank ihrer Kalkulation zugrunde gelegt hat. Erklären Sie, wie beim Angebot von Bank A die Restschuld nach 6 Jahren berechnet werden kann. Bank B übermittelt einen Tilgungsplan. Jahr Zinsen Tilgungsanteil Annuität Restschuld , , , , ,06 Ermitteln Sie die Restschuld nach 2 Jahren. Möglicher Lösungsweg: Bank A: 1) Zeitlinie: 2) Berechnung des Zinssatzes: (A) Barwert: Euro Rate: Euro Anzahl der nachschüssigen Raten: 10 mit Technologie: i 3,83 % Der Zinssatz beträgt 3,83 %. (B) 3) Der Kreditbetrag von Euro wird 6 Jahre verzinst. Der Endwert von 6 nachschüssigen Raten von je Euro wird berechnet. Subtrahiert man vom aufgezinsten Kreditbetrag den Endwert, so erhält man die Restschuld nach 6 Jahren. (R)

10 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 10 Bank B: 4) Jahr Zinsen Tilgungsanteil Annuität Restschuld , , , , , , , , ,91 (B) Verbale Fragestellung: Beschreiben Sie, wie man mit den Angaben des Tilgungsplanes die Laufzeit des Kredites berechnen kann. (R) Der Barwert und die Höhe der Rate können aus dem Tilgungsplan abgelesen werden. Der jährliche Zinssatz kann aus den gegebenen Daten ermittelt werden. Aus dem Tilgungsplan ist ersichtlich, dass die Raten ganzjährig und nachschüssig bezahlt werden. Damit kann die Laufzeit des Kredites berechnet werden.

11 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 11 c) für Cluster 1a, 1b, 2, 3, 4 und 5 Die Schadstoffmengen an einem bestimmten Ort in einer bestimmten Entfernung von der Schadstoffquelle werden häufig als normalverteilt angenommen, vor allem dann, wenn ungefähr zur gleichen Tageszeit und am gleichen Ort die Immissionsmenge betrachtet wird. Die Angabe der Schadstoffmengen erfolgt in Milligramm pro Betriebsstunde (mg/h). Ein Unternehmen gibt an, dass Langzeitmessungen immer um die gleiche Zeit am Vormittag normalverteilte Schadstoffwerte mit μ = 140 mg und σ = 8 mg ergeben haben. Eine private Bürgerinitiative zieht diese Ergebnisse in Zweifel und möchte Messwerte ermitteln. Ermitteln Sie denjenigen 2-seitigen Bereich, in dem Mittelwerte von Stichproben mit Stichprobenumfang n = 10 mit 95 % bzw. 99 % Wahrscheinlichkeit liegen müssten, wenn die Angaben des Unternehmens als richtig angesehen werden. Es wurde schließlich folgende Stichprobe ermittelt: Schadstoffmenge in mg/h Bestimmen Sie den Stichprobenmittelwert und die Stichprobenstandardabweichung dieser Messreihe. Interpretieren Sie den Stichprobenmittelwert hinsichtlich der berechneten Zufallsstreubereiche. Lösungsvorschlag: 1) Bestimmung des 95-%- und des 99-%-Zufallsstreubereiches für den Stichprobenmittelwert, ausgehend von den gegebenen Werten μ und σ: u 0,975 = 1,960 (95-%-Zufallsstreubereich) μ u 0,975!n x μ + u! 0, ,04 mg x 144,96 mg u 0,995 = 2,576 (99-%-Zufallsstreubereich) μ u 0,995!n x μ + u! 0,995 n 133,48 mg x 146,52 mg (A, B) n 2) Berechnung von Stichprobenmittelwert und Stichprobenstandardabweichung der 10 Messwerte: x = 1 n s = 1 n 1 n i=1 n x i = 145,5 mg i=1 ( x i x )² 8,55 mg (B) 3) Der gemessene Stichprobenmittelwert liegt ausgehend von den Angaben des Unternehmens außerhalb des 95-%-Zufallsstreubereiches, aber innerhalb des 99-%-Zufallsstreubereiches. Es besteht daher der Verdacht, dass die Angaben des Unternehmens stimmen, jedoch ist die Irrtumswahrscheinlichkeit der Behauptung die Angaben des Unternehmens stimmen jedenfalls größer als 1 %, aber kleiner als 5 %. (R)

12 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 12 Verbale Fragestellung: Erklären Sie den Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Breite eines Zufallsstreubereiches. Was passiert, wenn der Stichprobenumfang vervierfacht wird und alle anderen Parameter gleich bleiben? (R) Je größer der Stichprobenumfang, desto schmäler ist der Zufallsstreubereich. Eine Vervierfachung des Stichprobenumfangs unter Beibehaltung der übrigen Parameter führt zur Halbierung der Breite des Zufallsstreubereiches.

13 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 13 5 Konzepterstellungsgruppe Ao. Univ.-Prof. Mag. Dr. Karl Fuchs, School of Education der Universität Salzburg Mag. Wilfried Rohm, HTL Saalfelden Mag. Jörg Kliemann, HLFS St. Florian Mag. Andreas Kuba, HLFS Wieselburg Mag. Martin Hofer, Teamleitung SRDP Angewandte Mathematik, BIFIE Wien Mag. Martin Schodl, Projektmanagement SRDP Angewandte Mathematik, BIFIE Wien

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