Einführung in die Finanzmathematik

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1 1 Themen Enführung n de Fnanzmathematk 1. Znsen- und Znsesznsrechnung 2. Rentenrechnung 3. Schuldentlgung 2 Defntonen Kaptal Betrag n ener bestmmten Währungsenhet, der zu enem gegebenen Zetpunkt fällg st. Barwert enes Kaptals (Present Value, PV) Wert des Kaptales am Anfang enes gegebenen Zetraumes (Verznsungzetraumes). Endwert des Kaptals (Fnal Value, FV) Wert am Ende enes gegebenen Zetraumes (Verznsungzetraumes). Znsen Betrag, der als Vergütung für das entlehene Kaptal für enen verenbarten Zetraum bezahlt wrd. Znsen snd de Dfferenz zwschen Anfangs- und Endkaptal. Znstermn Zetpunkt der Fällgket. Znsperode Zetraum zwschen zwe aufenanderfolgenden Znstermnen. Znssatz Der Znssatz gbt an, wevel für ene Währungsenhet des Kaptals und für ene Znsperode als Znsen verrechnet werden. De Angaben snd n Prozent- oder Promlle des Kapttals. Kaptalseren Der Ausdruck bedeutet, dass de Znsen am Fällgketstag mt dem Kaptal verengt werden. Ganzjährge, unterjährge Verznsung Beträgt de Znsperode en Jahr, so sprcht man von ener ganzjährgen Verznsung. De Verznsung heßt unterjährg, wenn de Znsperode en Jahresbruchtel st, d.h. mehrmals pro Jahr verznst wrd. Es gbt de Möglchketen der Semesterverznsung (2), der Quartalsverznsung (4) oder der Monatsverznsung (12). Dekursve, antzpatve Verznsung De Verznsung heßt dekursv (m Nachhnen), wenn de Znsen vom Anfangskaptal berechnet und am Ende der Znsperode fällg werden: Endkaptal = Anfangskaptal + Znsen (K n = K 0 + Z) De Verznsung heßt antzpatv (m Vorhnen), wenn de Znsen vom Endkaptal berechnet und am Anfang der Znsperode fällg werden: Anfangskaptal = Endkaptal - Znsen (K 0 = K 0 Z) Enfache Znsen Werden de Znsen enmalg für de gesamte Verznsungsdauer kaptalsert, sprcht man von enfachen Znsen. Znsesznsen Werden de Znsen zu jedem Znstermn kaptalsert, so sprcht man von Znsesznsen. 1

2 Znstage Znstage be Sparenlagen: Dfferenz der Tage - 1. Znstage be Kredten: Dfferenz der Tage. En Monat wrd mt 30 Tagen berechnet. Skonto Skonto st en prozentueller Presnachlass auf den Rechnungsbetrag be Bezahlung nnerhalb ener vorgesehenen Frst. Mest beträgt der Skontosatz 2 Prozent oder 3 Prozent, de Skontofrst 8 Tage. Theoretsche Verznsung Ene theoretsche Verznsung legt vor, wenn man auch für ene ncht ganze Anzahl von Znsperoden End- und Barwert nach den Formeln der Znsesznsrechnung ermttelt. Gemschte(praktsche)Verznsung Ene gemschte (praktsche) Verznsung legt vor, wenn man End- und Barwert für de ganze Anzahl der gegebenen Znsperoden mt Znsesznsen und für Perodenbruchtele mt enfacher Verznsung ermttelt. Rente Ene Rente besteht aus Zahlungen n glecher Höhe, den Raten R, de n glechen Zetabständen fällg snd. Der Zetraum zwschen zwe aufenander folgenden Raten heßt Rentenperode. Schuldtlgung De Schuldtlgung beschäftgt sch mt den fnanzmathematschen Vorgängen, de be der Tlgung (Rückzahlung) ener aufgenommenen Schuld auftreten. 3 Formeln K 0... Barwert des Kaptals K n... Endwert des Kaptals Z... Znsen... Znssatz n... Verznsungsdauer T... Anzahl der Znstage d... antzpatver Znssatz 3.1 Enfache Znsenrechnung enfache dekursve Verznsung Z = K 0 n K n = K 0 + K 0 n Endwertformel Barwertformel Tagesznsformel: K n = K 0 (1 + n) K 0 = K n 1 + n K n = K 0 n = T 360 ( 1 + ) T 360 2

3 antzpatve Verznsung Z = K n d n K 0 = K n K n d n) Barwertformel Endwertformel K 0 = K n (1 d n) K n = K 0 1 d n Umrechnung von Znssätzen: Der antzpatve Znssatz d st stets höher zum glechwertgen Znssatz. 3.2 Znsesznsrechnung dekursver ganzjährger Znssatz = d 1 d Barwert, Anfangskaptal : K 0 Kaptal nach enem Jahr: K 1 = K 0 + K 0 = K 0 (1 + ) Kaptal nach zwe Jahren: K 2 = K 1 + K 1 = K 0 (1 + ) 2 Kaptal nach n Jahren: K n = K n 1 + K n 1 = K 0 (1 + ) n Endwertformel: K n = K 0 (1 + ) n Barwertformel: Theoretsche Verznsung K 0 = K n (1 + ) n K n = K 0 (1 + ) n = K 0 (1 + ) T +t 1+t 2 Gemschte (praktsche) Verznsung n = T + t 1 + t 2 Verznsungsdauer ganzzahlger Tel von n ncht ganzzahlge Tele von n, Perodenbruchtele K n = K 0 (1 + t 1 ) (1 + ) T (1 + t 2 ) 3

4 unterjährge Verznsung und nomneller Jahresznssatz m heßt unterjährger Znssatz. Der Znssatz = m m heßt nomneller Jahresznssatz oder Nomnalznssatz. dekursve unterjährge Endwertformel dekursve unterjährge Barwerformel Stetge Verznsung K n = K 0 (1 + m ) n m = K 0 r n m m K 0 = K n (1 + m ) n m = K n (1 + m ) n m De stetge Verznsung wrd be der Berechnung von Optonspresen verwendet. Optonen werden n der Betrebswrtschaft behandelt. Äuquvalente (konforme) Znssätze K n = K 0 e n Se ergeben n glechen Zeten aus glechen Barwerten gleche Endwerte und aus glechen Endwerten gleche Barwerte. Der zum Znssatz m äquvalente Jahresznssatz heßt effektver Jahresznssatz. = (1 + m ) m 1 antzpatve Barwertformel, Abznsungsformel K 0 = K n (1 d) n antzpatve Endwertformel, Aufznsungsformel 3.3 Rentenrechnung K n = K 0 (1 d) n Ene Rente heßt vorschüssg, wenn jede Rate am Begnn der zugehörgen Perode fällg st. Ene Rente heßt nachschüssg, wenn jede Rate am Ende der zugehörgen Perode fällg st. Der Rentenbegnn st der Begnn der ersten Rentenperode. Das Rentenende st das Ende der letzten Rentenperode. Der Zetraum zwschen Rentenbegnn und Rentenende heßt Rentendauer n. Der Barwert B oder Present Value PV ener Rente st de Summer aller auf den Rentenbegnn abgeznsten Ranten. 4

5 Der Endwert E oder Fnal Value FV ener Rente st de Summe aller auf das Rentenende aufgeznsten Raten. F V = P V (1 + ) n Um den Schrebaufwand zu verrngern wrd r anstelle von 1 + geschreben: r = 1 + Ganzjährge Rente Ene Rente st ganzjährg, wenn de Rentenperode en Jahr beträgt. nachschlüssge Rente: Barwert Endwert vorschüssge Rente Barwert Endwert Unterjährge Rente B nach = R 1 r n E nach = R rn 1 B vor = R 1 r n E vor = R rn 1 r r nachschüssge Rente Barwert Endwert B nach = R 1 r n p p E nach = R rn p 1 p vorschüssge Rente B vor = R 1 r n p p r p 5

6 3.4 Schuldtlgung E vor = R rn p 1 r p p Der Tlgungsplan st ene tabellarsche Aufstellung, de für jedes Jahr de Zelennummer h, de Znsen von der betreffenden Restschuld, de Tlgungsquote, de Annuät und de Restschuld enthält. Jede Zele enes Tlgungsplanes st en Zahlungsauszug für das betreffende Jahr. De Annutät A h st das jährlche Gesamterforderns, das der Schuldner zu lesten hat. De Tlgungsquote T h st der Betrag, um den de Schuld m Jahr h vermndert wrd. De Restschuld K h st de um de bsher gelesteteten Tlgungsquoten vermnderte Schuld (Schuldrest) nach h Jahren. De Tlgungsdauer n st der gesamte auf de Tlgung bezogene Zetraum. Formeln zur Berechnung von Tlgungsplänen: Tlgungsplan mt belebgen Annutäten K h = K h 1 T h Z h = K h 1 T h = A h Z h für 1 h n letzte Zele T n = K n 1 K n = 0 Der Schuldner bezahlt Annutäten von unterschedlchen Höhen. Tlgungsplan ener Znsschuld Be der Znsschuld bezahlt der Schuldner n jedem der n Jahre de Znsen K 0 des Schuldkaptals K 0. Am Ende der n-jährgen Laufzet wrd de Schuld K 0 n nur ener Zahlung getlgt. Tlgungsplan ener Ratenschuld Be der Ratenschuld bezahlt der Schuldner n jedem der n Jahre de glech hohe Tlgungsquote T = K 0 n. Tlgungsplan ener Annutätenschuld ohne Rest Be der Annutätenschuld ohne Rest bezahlt der Schuldner n jedem der n Jahre de glech hohe Annutät A = K 0 1 r n Tlgungsplan ener Annutätenschuld mt Rest Be der Annutätenschuld mt Rest bezahlt der Schuldner N Jahre glech hohe Annutäten und m Jahr N+1 ene Schlusszahltung A N+1, de klener st als de zuvor entrchteten Annutäten. Konverson ener Schuld 6

7 De Konverson (Konvererung) ener Schuld st de Änderung der Tlgungsbedngungen während der Laufzet des Tlgungsplanes. Lteratur: Fnanzmathematk, Trauner Verlag, Tnhof, Fscher, Grlnger, Paul, 2012 S

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