4. Zeitabhängige Spannungen und Ströme in Netzwerken

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1 86 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme in Nezwerken m vorigen Abschni wurde dargeleg, wie durch zeiliche Änderung des magneischen Flusses Spannungen in Leiern induzier werden und welche großen prakischen Möglichkeien sich prinzipiell daraus ergeben m folgenden soll gezeig werden, wie man die erechnung von Nezwerken bei zeilich veränderlichen Spannungen und Srömen durchführ Es wird kurz auf die Prozesse beim Ein- bzw Ausschalen von Spannungen an Nezwerken eingegangen Von größer edeuung is die ehandlung harmonischer Wechselgrößen wegen ihrer überragenden edeuung bei allen Prozessen der elekrischen Energie- und nformaionsüberragung, angefangen von der Frequenz des Sromnezes bis zum Gigaherzbereich der Kommunikaion über Saellien 4 Ein- und Ausschalvorgänge ei der erechnung von Spannungen und Srömen in Nezwerken wurde bisher vom saionären Fall ausgegangen Wir wollen jez solche Vorgänge unersuchen, die kurz nach dem Ein- bzw Ausschalen von Spannungsquellen in Nezwerken mi ndukiviäen und Kapaziäen ablaufen Die hierbei aufreenden Sröme und Spannungen weisen ein charakerisisches Zeiverhalen auf, das durch die Geschwindigkei des Auf- bzw Abbaues von magneischen und elekrischen Feldern in Spulen und Kondensaoren gepräg wird Wir wollen dies an zwei einfachen eispielen unersuchen 4 Kondensaor und Ohmscher Widersand Das einfachse eispiel für den Einschalvorgang mi Widersand und Kondensaor is auf Abb4 skizzier Abb 4 -Glied n Schalersellung ha sich der Kondensaor über den Widersand enladen Es fließ kein Srom mehr, die Spannungen an Widersand und am Kondensaor sind Null eim mlegen des Schalers auf die Posiion läd sich der Kondensaor auf, es fließ der Ladesrom, bis sich der Kondensaor auf die eriebsspannung aufgeladen ha Zur erechnung des Einschalvorganges wenden wir die Maschenregel an ezeichnen wir die an Widersand und Kondensaor aufreenden Teilspannungen mi bzw, erhalen wir + Q( ) + ( ) ( )d + ( ),, (4) (4) Die nbekanne in dieser Gleichung is die Funkion () Da die Gleichung 4 auch das negral über () enhäl, läss sie sich nich einfach nach () umsellen Außer diesen beiden Ausdrücken sind keine anderen Zeiabhängigkeien in der Gleichung enhalen, deshalb vermuen wir eine Lösung in Form einer Exponenialfunkion und machen einen Lösungsversuch mi einem sogenannen Lösungsansaz, bei dem der Srom exponeniell von der Zei abhäng Ansaz: ( ) e τ Hierbei lassen wir uns von der Überlegung leien, dass die e-funkion aus Dimensionsgründen mi einem Srom zu muliplizieren is und der Exponen ses dimensionslos sein muss, also durch

2 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme 87 eine Zei τ zu dividieren is Sowohl τ als auch sind zunächs unbekann Diesen Ansaz verwenden wir und hoffen darauf, dass beim Einsezen kein nsinn enseh e d e τ + τ e e ( τ ) τ + τ, τ e e ( τ ) + τ Da die Gleichung für beliebige Zeien erfüll is, muss bei der Einschalsrom den Wer / annehmen Weierhin ergib sich die Zeikonsane τ Somi laue die Lösung e ( ) Durch Verwendung des Ohmschen Gesezes (9) und der Kirchhoffschen Maschenregel (4) läss sich leich der Zeiverlauf der Teilspannungen und besimmen Wir erhalen ( ) e sowie ( ) ( e ) n Abb4 sind die Zeiabhängigkeien dieser Funkionen grafisch dargesell, Abb 4 Zeilicher Verlauf des Sromes () und der Spannungen am Ohmschen Widersand () sowie am Kondensaor () nach dem Einschalen der Spannungsquelle Während des Einschalvorganges wird das elekrische Feld im Kondensaor aufgebau Die hierzu nowendige Energie wird von der Spannungsquelle geliefer Wenn nach dem Einschalen lange genug geware wird, ha sich der Kondensaor auf die eriebsspannung aufgeladen Wie groß is dann die in ihm gespeichere elekrische Energie? dw d P( ) ( ) ( ), W d e e d e e d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), W e + e e e + + ( ), W W ( ) lim ( ) Dieses Ergebnis haben wir bereis früher bei der ehandlung des Kondensaors abgeleie Die obige erachung is aber aussagekräfiger, da der Energieinhal des Kondensaors in seiner zeilichen Enwicklung dargesell is

3 88 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme 4 Spule und Ohmscher Widersand Ein einfaches eispiel für das Abschalen einer ndukiviä is auf Abb 43 skizzier Wir wenden wieder die Kirchhoffsche Maschenregel an: Abb 43 L-Glied n Schalersellung ha sich das Magnefeld in der Spule aufgebau, der Srom is konsan, die Spannung an der Spule is Null eim mlegen des Schalers auf die Posiion wird das Magnefeld abgebau und die Selbsindukionsspannung führ zu einem Sromfluss über den Widersand, bis sich die Energie des Magnefeldes erschöpf ha L d ( ( ) ) + (Schalersellung ) d (Schalersellung ) (43) Wir wollen zunächs den Ausschalvorgang unersuchen Da die diesem Fall ensprechende Differenialgleichung linear und homogen is, würde auch hier ein Exponenialansaz zum Erfolg führen Da wir das oben schon einmal probier haben, wollen wir jez eine andere Mehode wählen Hierbei führen wir eine sogenanne Trennung der Variablen durch und inegrieren L d ( ) ( ) + d d( ) ( ) L d d ( ) L d ( ) ln L Diesen Ausdruck heben wir in den Exponenen und erhalen die Lösung e L, wobei Die Selbsindukion der Spule führ somi zu einem zeilich exponeniell abklingenden Srom analog () in Abb4a), bei dem die Zeikonsane durch das Verhälnis von ndukiviä und Widersand gegeben is: τ L/ ei kleinem Ohmschen Widersand dauer das Abklingen dieses Sromes somi sehr lange, bei einem Supraleier ewig Zur Abb 43 solle noch eine emerkung gemach werden ei eäigung des Schalers muss vermieden werden, dass der Spulenkreis zeiweise unerbrochen wird, da sofor eine hohe Selbsindukionsspannung ensünde, die ua den Schaler bald gänzlich unbrauchbar machen würde Da ein Schaler eigenlich nichs anderes darsell, als ein von der Schalersellung abhängiger Widersand ( oder ), kann man dafür auch gleich einen egelwidersand einsezen, der sich nur exrem rasch beäigen lassen muss und über einen ausreichend weien egelbereich verfüg, s Abb 44

4 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme 89 Abb 44 L-Glied mi enprellem Schaler Die Schalerfunkion wird hier durch ein Poeniomeer realisier Hierbei muss eine rasche eäigung gewährleise sein (im Vergleich zu τ) und sich der egelbereich von << bis >> ersrecken Späer werden wir sehen, dass diese Forderungen vorrefflich durch Verwendung von Transisoren erfüll werden können Übungen 4 m beim Abschalen von Spulen Funkenbildung zwischen den Schalerkonaken zu vermeiden, werden of parallel zum Schaler Kondensaoren geschale, die die beim Abschalen der Spule freiwerdende magneische Feldenergie als elekrische Feldenergie zwischenspeichern Wie groß is die an einem Kondensaor der Kapaziä 4 µf aufreende Maximalspannung nach dem Abschalen des Spulensroms von A, wenn die Spule eine ndukiviä von L H aufweis? 4* Ein Kondensaor der Kapaziä soll mi einer Sromquelle auf aufgeladen werden und durch mlegen eines Schalers S über einen Widersand enladen Kondensaorspannung und Enladesrom werden mi Vol- und Amperemeer gemessen Der Ladesrom wird mi einem Widersand i begrenz a) Geben Sie hierzu eine Schalung an b) Der aufgeladene Kondensaor wird über einen Widersand von, kω enladen 3 Millisekunden nach eginn des Enladungsvorganges beräg die Spannung noch ( ) 3V, eine weiere Millisekunde späer nur noch ( ) V Welchen Wer hae und wie groß is die Kapaziä des Kondensaors? 43 erechnen Sie (), () und () analog 4 nach dem Abschalen der Spannungsquelle und die während dieses Prozesses in umgeseze Energie! 44 erechnen Sie (), () und L () analog 4 nach dem Einschalen der Spannungsquelle und die Zeiabhängigkei der Energie des magneischen Feldes der Spule! 4 Komplexe Wechselsromrechnung (kein nhal des akuellen Soffplans der Vorlesung!) 4 Der Wechselsromkreis Wird ein elekrisches Nezwerk aus linearen auelemenen mi Wechselspannung berieben, sind alle aufreenden Teilsröme und Teilspannungen ebenfalls Wechselgrößen m folgenden werden wir solche Wechselgrößen berachen, deren Zeiabhängigkeien durch Sinusfunkionen gegeben sind Dieser Fall ri in der Praxis besonders häufig auf Andere periodische Vorgänge (z Takimpulse) oder nichperiodische Zeiabhängigkeien sind schwieriger zu behandeln Prinzipiell is es jedoch möglich, über die nersuchung des Verhalens von Nezwerken bei harmonischen Wechselgrößen konkree Aussagen über deren Eigenschafen bei Eingangsspannungen mi beliebigen Zeiabhängigkeien zu machen Widersände, Spulen und Kondensaoren bezeichne man als lineare auelemene, da bei diesen lineare Zusammenhänge zwischen Srömen und Spannungen aufreen (in der Praxis simm das nur näherungsweise, z is der Widersand des Glühfadens einer Glühlampe im üblichen eriebsregime sark nichlinear, er seig bei zunehmender Sromsärke an) Eine ganz wichige Folgerung aus der Lineariä der verwendeen auelemene beseh darin, dass im Sromkreis ausschließlich die

5 9 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme eingespeisen Frequenzen aufreen Wird ein lineares Nezwerk mi einer Wechselspannung der Frequenz f berieben, erschein in allen Wechselgrößen im Sromkreis nur diese Frequenz Es soll jez ein ganz einfaches eispiel berache werden, an dem wir die esonderheien bei der erechnung von Wechselgrößen diskuieren wollen Abb 45 eihenschalung von Widersand und ndukiviä Da die Kirchhoffschen egeln auch bei zeiabhängigen Srömen und Spannungen gelen, is die Vorgabe von Sromrichungen und mlaufsinn nowendig Die zum akuellen Zeipunk jeweils berechneen Sröme und Spannungen beziehen sich in ihren Vorzeichen auf diese Vorgaben Wenn die eriebsspannung eine harmonische Wechselspannung () sin is ( πf; auf eine Anfangsphase kann bei der eriebsspannung verziche werden), erhalen wir aus der Kirchhoffschen Maschenregel die Gleichung sin ( ) + Lɺ ( ) (44) Wir erwaren, dass auch der Srom eine sinusförmige Zeiabhängigkei aufweis, merken jedoch schnell, dass ein Ansaz () sin nich erfolgreich sein wird, da durch die Zeiableiung eine Kosinusfunkion enseh, die Gleichung also nich erfüll werden kann Wir modifizieren den Ansaz zu () sin(+ϕ) und sezen diese Funkion ein: ( ) sin sin( + ϕ ) + L cos( + ϕ ), sin( ϕ ) sin + L cos, sin cosϕ cos sinϕ sin + L cos Wir führen einen Koeffizienenvergleich durch und erhalen cosϕ sinϕ L L cosϕ miϕ arcan ner Verwendung der eziehung cos ϕ + sin ϕ ergib sich (45) + L, + L + G mi G L (46) Dieser echnung können wir ennehmen, dass unsere Vermuung über den sinusförmigen Verlauf des Sromes () richig war Es ri jedoch eine Phasenverschiebung gegenüber der eriebsspannung () auf, die von der Frequenz abhäng Eine sarke Frequenzabhängigkei weis die Ampliude auf ei kleinen Frequenzen kann sie nach dem Ohmschen Gesez berechne werden (die ndukiviä wirk hier offenbar nich), bei hohen Frequenzen verringer sich sark evor wir noch weiere Schlussfolgerungen ziehen, haben wir bemerk, dass sich selbs bei diesem äußers einfachen Nezwerk die erechnung von Wechselgrößen zu einer komplizieren echenaufgabe auswächs m die Eigenschafen von Schalungen mi Verzweigungen und vielen auelemenen berechnen zu können, werden wir uns jez eines kleinen Tricks bedienen, der die Lösung solcher Aufgaben ganz

6 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme 9 enscheidend vereinfach Hierzu benöigen wir Grundkennnisse im mgang mi komplexen Zahlen Am Ende dieses Kapiels finden Sie uner Anhang 4 eine kurze Zusammensellung hierzu, die als Wiederholung oder Gedankensüze dienen soll 4 Komplexe Darsellung von Wechselgrößen m lezen Abschni haben wir fesgesell, dass bei einer eingespeisen Wechselspannung () sin der Srom durch die Funkion () sin(+ϕ) beschrieben wird Wenn wir die Anfangsphase der Spannung anders wählen, wird sich auch die Phase des Sromes ensprechend ändern, so dass für () cos eine Lösung () cos(+ϕ) exisier Da die Glg44 linear is, gil diese erachung auch für Linearkombinaionen: ( ) A ( ) + ( ) A cos + sin ( ) A ( ) + ( ) A cos( + ϕ ) + sin( + ϕ ) Das emerkenswere dabei is, dass die Koeffizienen A und willkürlich gewähl werden können, sie können auch komplex sein Wir wählen A, j 44 Dami erhalen wir komplexe Wechselgrößen: ( ) j j( + ϕ ) ( cos + j sin) e ( ) ( cos( + ϕ) + j sin( + ϕ) ) e ( ) ˆ j ; ( ) ˆ j e e Als komplexe Ampliuden bezeichne man die Konsanen ˆ jϕ ( ) ˆ jϕ e ; ( ) e, wobei die Phase der Eingangsspannung ϕ in (47) willkürlich gleich Null gesez wurde, ϕ in (47) is somi die Phasenverschiebung zwischen Srom und Eingangsspannung ϕ ϕ - ϕ Mi komplexen Wechselgrößen erhalen wir anselle (44) den Ausdruck (47) j j( + ϕ ) d j( + ϕ ) e e + L e (48) d Nach Durchführung der Differeniaion kann der zeiabhängige Fakor e j gekürz werden, es folg j e ϕ ( + jl), Die Wirkung der ndukiviä ensprich der Muliplikaion des Sromes mi einem komplexen Widersand Z jl Anselle einer Differenialgleichung is somi lediglich eine algebraische Gleichung zu lösen, allerdings mi komplexen Variablen Das is ein wesenlicher Voreil! e e e + jl + jl + jl jϕ + jϕ jϕ (49) n ( 49) wurde dem msand echnung geragen, dass eine reelle Größe is Die Ampliude läss sich durch eragbildung besimmen, der Phasenwinkel ϕ aus dem Quoienen von maginärund ealeil: ; + jl + L + (4) ( jl) ( + jl) ( jl) ( jl) + L G m Z ϕ arcan e Z L arcan arcan G 44 Die Mahemaiker bezeichnen i ei den Elekroechnikern is i der Effekivwer des Wechselsromes, deshalb wird von ihnen für die imaginäre Einhei der uchsabe j verwende

7 9 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme Wie wir sehen, simmen Ampliude und Phasenverschiebung des Sromes mi den oben miels reeller echnung besimmen Weren überein Die durch die immer nowendigen mformungen rigonomerischer Funkionen ses unhandliche reelle Mehode läss sich somi durch Ausweichen auf komplexe Wechselgrößen voll ersezen Auf elegane Ar und Weise erhäl man so die gesuchen Größen Ampliude des Sromes und Phasenverschiebung zwischen Srom und Spannung 4 Leisung im Wechselsromkreis Wir berachen eine Serienschalung mi, L und wie auf Abb 46 dargesell Abb 46 Serienschalung mi, L und Wie oben bereis fesgesell, muss man bei Wechselgrößen in einer Schalung, die nich nur Ohmsche Widersände enhäl, prinzipiell mi dem Aufreen von Phasenverschiebungen rechnen Für Spannung und Srom gil somi ɶ cos, ɶ cos( + φ) ns soll jez ineressieren, wie groß die vom Nezgerä aufzubringende Leisung is: P ɶ ɶ ɶ cos cos( + ϕ ) Durch Anwendung der eziehung α β ( α β α β ) cos cos cos( ) + cos( + ) / läss sich dieser Ausdruck vereinfachen: P ɶ ( cosϕ + cos( + ϕ) ) Der zweie Summand in der Klammer beschreib zeiliche Oszillaionen mi der doppelen Frequenz der eingespeisen Wechselspannung m zeilichen Miel is dieser Term gleich Null, so dass sich für die milere Leisung ergib P cosϕ (4) eff eff erachen wir jez den Aneil der einzelnen auelemene an der eingespeisen Leisung: dɶ Pɶ ɶɶ ɶ ɶ + L + ɶ d, d Pɶ ɶ cos( + ϕ) L sin( + ϕ) + sin( + ϕ), Pɶ cos ( + ϕ) ( L )cos( + ϕ)sin( + ϕ) Der erse Summand in der Klammer ergib nach einer zeilichen Mielung den Wer /, der zweie Summand miel sich weg Somi erhäl man für das Zeimiel der Leisung P cos ϕ eff eff eff (4) Das bedeue, dass im Zeimiel nur an Leisung umgesez wird Diese is um den Fakor cosϕ geringer, als wenn keine Phasenverschiebung aufgereen wäre Der Ausdruck cosϕ räg in diesem Zusammenhang die ezeichnung Leisungsfakor ei cosϕ < wird ein of erheblicher Teil der

8 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme 93 Leisung zum Aufbau elekrischer und magneischer Felder in den Kondensaoren und Spulen aufgewende eim Abbau der Felder fließ diese Leisung wieder zurück in die Spannungsquelle Diese Leisung is also reversibel, belase aber durch die sarken Sröme (lindsröme) zusäzlich das Nez und erzeug an den Zuleiungswidersänden zusäzliche Ohmsche Verluse Wir wollen jez die Leisung mi den Mehoden der Komplexen Wechselsromrechnung beschreiben Die komplexe Leisung S (Scheinleisung) ergib sich aus dem Produk der komplexen Spannung und des komplexen Sromes: ˆ e ; ˆ e e S e j j j( + ϕ ) j( + ϕ ) (43) Als komplexe Ampliuden von Srom und Spannung bezeichne man die Produke aus reellen Ampliuden und komplexen Phasenfakoren, also z ˆ jϕ e Da der Phasenfakor den erag ha, sind die eräge von komplexer und reeller Ampliude einer Wechselgröße idenisch n (43) bemerken wir in der Zeiabhängigkei der komplexen Leisung S eine gegenüber Srom und Spannung verdoppele Frequenz n der Gaußschen Ebene roier die Scheinleisung mi dieser Frequenz Anselle eines Zeigerdiagramms mi umlaufendem Zeiger, wie auf Abb47a dargesell, wird meis ein mi roierendes ezugssysem gewähl, wodurch man zeiunabhängige Projekionen auf die reelle Achse (P, Wirkleisung) und auf die imaginäre Achse (Q, lindleisung) erhäl, s Abb 47b Abb 47 Komplexe Leisung im Zeigerdiagramm a) Darsellung der Zeiabhängigkei der Scheinleisung in der ruhenden Gaußschen Ebene b) Scheinleisung im mi roierenden Koordinaensysem, Zerlegung in zeigemiele Wirk- und lindleisung Die hierdurch ausgefallene zeiliche Mielung wird dadurch nachgehol, dass anselle der Ampliuden und die Effekivwere von Srom und Spannung eingesez werden, auf die explizie Angabe der Zeimielung wird verziche: S P + jq eff eff (cosϕ + j sinϕ) (44) S P + Q Wir erhalen somi Übereinsimmung mi dem Ergebnis der reellen Leisungsberechnung (4)

9 94 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme 44 Anwendungen zur komplexen Wechselsromrechnung Fass man den Formalismus der komplexen Wechselsromrechnung zusammen, ergib sich folgendes formale Vorgehen bei der Lösung von Problemsellungen: m Nezwerk werden Sromrichungen und mlaufsinn in Maschen eingeragen Die auelemene, L, ersez man formal durch komplexe Z, Z L und Z, die Quellenspannung bezeichne man mi ɵ q, Sröme und Teilspannungen mi ɵ, ɵ, ɵ bzw ɵ L, ɵ, ɵ L Mi den komplexen Widersänden und komplexen Ampliuden werden nach den Kirchhoffschen egeln für den Wechselsromkreis lineare Gleichungen aufgesell Kirchhoffsche egeln ɵ Z ɵ, ɵ q k k j für Wechselgrößen (45) Das lineare Gleichungssysem wird mi den üblichen algebraischen Mehoden gelös n deren Lösungen (das sind die ˆk ) werden nun die komplexen Widersände Z, Z L und Z durch deren konkree Ausdrücke, jl und /j ersez Durch eragbildung werden die reellen Ampliuden besimm ˆk k Die Phasenverschiebung des Sromes ˆk gegenüber der Quellenspannung ˆ q ergib sich nach m ˆ k Trennung von eal- und maginäreil zu anϕ k eim Vergleich der Phasen von Srömen und Spannungen sind der mlaufsinn sowie die willkürlich angenommene Sromrichung e ˆ k zu beachen Man erkenn leich, dass man hier voreilhaf die Erfahrungen bei der erechnung von Gleichsromnezwerken ausnuzen kann Formal sind die Ergebnisse nach der KWS gleich, man muss lediglich die reellen Widersände durch die komplexen ersezen und die Gleichspannungen/-sröme durch die komplexen Ampliuden beider Wechselgrößen erachen wir noch einmal das eispiel von Abb45 der eihenschalung einer Spule L, eines Ohmschen Widersandes und der eingeprägen Spannung ~ Die Maschenregel liefer : ( ) Das Verhälnis von Spannung und Srom ( ) ɵ Z ɵ Z ɵ L + Z L + Z ɵ ɵ Z Z ɵ L + Z is eine komplexe Größe e jϕz Z j L + Z is also ein komplexer Widersand mi Z e Z + j m Z Man definier nun : e Z Wirkwidersand m Z lindwidersand eakanz erag Z Scheinwidersand mpedanz Y komplexer Leiwer Admianz G + j Z mi G Wirkleiwer Kondukanz sowie Suszepanz Für dieses einfache Nezwerk heiß das, dass sich die mpedanz aus

10 L Z + L sowie dem Phasenwinkel ϕ Z arcan ergib 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme 95 n allen elekrischen Sysemen muss man mi Wirkwidersänden und eakanzen rechnen, außerdem ri ja ein Phasenwinkel zwischen ~ und ~ auf Die in den eakanzen aufgenommene Wechselleisung wird mi lindleisung Q bezeichne Die eakanz speicher elekrische bzw magneische Energie und gib sie voll an die Quelle zurück Die elekrische Leisung wird hierbei also nich in Wärme sondern in Feldenergie umgesez Verluse reen heoreisch nur im Generaor und in den Zuleiungen auf Das allerdings in durchaus hohem Maße, sofern der Wer von cos ϕ lau (4) klein gegen is Hingegen wird die im Wirkwidersand aufreende elekrische Leisung ganz in Wärme umgesez Genauso verwandel der Moor elekrische in mechanische Energie, Glühlampe und Leuchsoffröhre sezen z elekrische Energie in Wärme und zum Teil in Srahlungsenergie um Die am Widersand abfallende komplexe Ampliude der Spannung ergib sich zu ˆ jϕ ˆ j( ϕz ), e j e ϕz Z Z e Z mi dem erag ɵ L, und der Phase ϕ ϕ arcan Z + L ~ Laue die reelle Quellenspannung sin, wird an der reelle Spannungsabfall ɶ, sin( + ϕ) gemessen Sowohl erag als auch Phase der Spannung ~ hängen von der Frequenz ab Dies kann man grafisch veranschaulichen Für niedrige Were von is, ( ) und ϕ ( ) Für sehr hohe Kreisfrequenzen gil, ( ) / L und ϕ ( ) - π/ Die Darsellung erfolg meis in logarihmischer Teilung der Abszisse Eine charakerisische Frequenz g /L ermöglich eine dimensionslose Darsellung Somi gil, + und ϕ arcan g g Abb48 Frequenzabhängigkei von Ampliude und Phase der Spannung am ohmschen Widersand einer eihenschalung von und L im Wechselsromkreis Der Frequenzgang zeig, dass bei niedrigen Frequenzen an nahezu die volle Eingangsspannung abfäll, bei hohen Frequenzen (im Vergleich mi g /L) dagegen nur eine geringe Spannung Ein solches Verhalen wird als Tiefpass bezeichne Die Phase der Spannung an is gegenüber der Eingangsspannung verschoben ei hoher Frequenz is diese Verschiebung maximal Die Spannung an erreich ihr Maximum dann um T/4 späer als die Eingangsspannung

11 96 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme 45 Der eihenschwingkreis Ein schwingungsfähiges Sysem (Oszillaor), das nach iniialem Ansoß sich selbs überlassen bleib, führ freie Schwingungen aus, deren Ablauf nur durch die Sysemeigenschafen und die Anfangsbedingungen besimm wird s der Oszillaor (den man dann esonaor nenn) jedoch sändig einer äußeren (periodisch veränderlichen) Sörgröße ausgesez, so verläuf seine Schwingung erzwungen und häng sowohl von den esonaoreigenschafen als auch von der erregenden Sörgröße ab m esonanzfall gerä der esonaor in besonders hefige Schwingungen ei manchen schwingungsfähigen Sysemen is man besreb den esonanzfall herbeizuführen und bei anderen wieder daran, ihn zu verhindern Dazu eispiele : - Teile von Maschinen oder auwerken sind als elasische Körper mechanische esonaoren Sie können durch mechanische Wellen zum Schwingen erreg werden m schädliche esonanzerscheinungen zu vermeiden, dürfen die Erregerfrequenzen nich in der Nähe der Eigenfrequenzen der Teile liegen - Elekrische esonaoren (Schwingkreise) finden in Empfängern für elekromagneische Wellen (undfunk, Fernsehen u a) Verwendung Zum Empfang eines Senders wird die esonanzfrequenz des Kreises auf dessen Trägerfrequenz abgesimm eim Serienschwingkreis wird an die eihenschalung einer Spule L, eines Kondensaors und eines Widersandes die Spannung () geleg Abb 49 Der Widersand sez sich aus dem Widersand des auelemenes ' und den Widersänden von Spule, Leiungen und nsrumenen zusammen Zu beliebiger Zei mögen im Kreis ein Srom der Särke () fließen, der Kondensaor die Ladung Q () ragen und an, L und die Spannungen (), L () und () liegen Abb 49 eihenschwingkreis ndukiviä, Kapaziä und Widersand sind in eihe geschale Der Ohmsche Gesamwidersand ergib sich aus der Summe der Widersände der Leiungen, dem Spulenwidersand sowie einem diskreen Widersand ' Zwischen den genannen Größen besehen die eziehungen : ( ) ( ) ; ( ) L d ( ) L ; d ( ) Q ( ) ( ) d (46) Nach der Kirchhoffschen Maschenregel gil ( ) + ( ) + ( ) ( ) (47) L oder mi (46) L d ( ) d + ( ) + ( ) d ( ) (48)

12 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme 97 Die Differeniaion von (48) ergib die Schwingungsdifferenialgleichung (49) für die Sromsärke () des Schwingkreises d ( ) d ( ) d L d L d ( ) + + ( ) (49) L d Durch Vergleich mi der Schwingungsgleichung des (STOKES 45 -)gedämpfen harmonischen (mechanischen) Oszillaors d x dx + β + x cos( + α) (4) d d erkenn man in / L β die Dämpfungskonsane β und in / L die Eigen(kreis)frequenz o des (ungedämpfen) Oszillaors (THOMSON 46 sche Schwingungsformel) Durch die Generaorspannung o cos erfolg eine harmonische Anregung Der nach Einschalen des Generaors einsezende Prozess des Einschwingens is durch eine allmähliche Zunahme der Schwingungsampliude des Sromes gekennzeichne Nach einer gewissen Zeidauer is dann die Schwingungsampliude konsan, der Srom schwing mi der Erreger(kreis)frequenz und is gegenüber der Eingangsspannung um ϕ phasenverschoben Für den eingeschwungenen Fall is somi die KWS anwendbar Anselle von (48) gil eine analoge Gleichung für die komplexen Ampliuden der Teilspannungen ɵ + ɵ + ɵ ɵ (4 ) L also explizi ɵ j L ɵ + + j ɵ ɵ (4) Die Anfangsphase der Generaorspannung wird gleich Null gesez, somi gil ɵ ; ɵ e j und man erhäl jϕ e (43) + j L Der erag einer komplexen Größe ergib sich leich durch Muliplikaion mi seiner konjugier komplexen, anschließend is die Wurzel zu ziehen: (44) + L Zur esimmung der Phase is es nowendig, eal- und maginäreil in (43) zu rennen Dies erreich man durch Erweiern des ruches mi dem konjugier komplexen Nenner N * : ϕ e jϕ N N j L * 45 Sir George Gabriel STOKES (89-93), bri Physiker und Mahemaiker; Srömungslehre;Floureszenz, Spekralanalyse, Wellenopik; Akusik; Graviaion; Sokesscher Saz der negralrechnung 46 Sir William THOMSON, Lord Kelvin of Largs (84-97), scho Physiker und nernehmer, mi Jahren Prof in Glasgow; Elekrodynamik; Thermodynamik; Elasiziä; Geophysik; Hydrodynamik

13 98 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme es folg m an ɵ L ϕ e ɵ L (45) Aus (44) folg, dass die Sromampliude ein Maximum bei L von res ha Thomsonsche Schwingungsformel (46) L Die Phasenverschiebung durchläuf mi wachsendem Were zwischen +π/ und -π/ An der esonanzselle schwingen Spannung und Srom genau in gleicher Phase Leich lassen sich jez die Ampliuden und Phasen der Teilspannungen berechnen: ɵ jϕ e + j L e jϕ L + ɵ jϕ j L e L π j j ϕ + π L e e + j L + L L (47) ɵ π j j e jϕ e + j L e j ϕ π ( ) + ( L ) Die Spannung am Widersand is proporional zum Srom und schwing in gleicher Phase Die Phase der Spannung an der ndukiviä is um π/ höher, die an der Kapaziä dagegen um π/ geringer eide schwingen also gegenphasig An der esonanzfrequenz sind die Ampliuden gleich Güefakor Q L L Q (48) Somi sind die Spannungsampliuden an L und (und analog deren Effekivwere) bei esonanz um ein Vielfaches höher als die des Generaors Zur quaniaiven Auswerung is es günsig, die normiere Frequenz η / o zu verwenden Es folg mi an ϕ η η Q ( ) ( ) res ( ) η + Q η (49)

14 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme 99 Ganz analog gil für die Spannungen an L und : L( ) η ( ) sowie + η η η Q η + Q η (43) n Abhängigkei von η und Q erhäl man eine Kurvenschar für den Verlauf von Ampliuden und Phasen, s Abb 4 Der esonanzfall ri bei η, also bei der Kreisfrequenz r o π f o L ein Die esonanzsromsärke is unabhängig von der Güe und beräg o o / Die Sromsärke is bei esonanz mi der Spannung in Phase, eil ihr bei kapaziiver Las ( < o bzw η < ) voraus und bei indukiver Las ( > o bzw η > ) nach Die reie der esonanzkurve beim Wer o bzw Q Q heiß Halbwers- oder andbreie Zur esimmung der andgrenzen η o und η u gewinn man aus (49) zunächs die eragsgleichung η Q (43) η und nach eragsauflösung die beiden quadraischen Gleichungen ± ( η ) η mi den zwei nichnegaiven Lösungen η o, u + ± Q 4 Q Q Daraus ergib sich die (relaive) andbreie o andbreie des Schwingkreises ηo ηu Q o (43 ) emerkenswer is somi, dass bei einer hohen Güe die Spannungen an den ndukiviäen und Kapaziäen sehr hohe Were annehmen (bei Mikrowellenresonaoren sind Güen von erreichbar) Außerdem ri dann diese Spannungsüberhöhung nur in einem schmalen Frequenzbereich auf Schwingkreise können somi sehr frequenzselekiv gebau werden und haben infolge dieser Eigenschafen eine außerordenliche edeuung in der Schalungsechnik

15 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme Abb 4a Ampliude und Phasenverschiebung ϕ der Sromsärke im Serienschwingkreis Serienschwingkreis - Sromresonanz Verhälnis der Effekivwere ( )/( ),8,6,4, Q, Q Q 5,5,5,5 normiere Kreisfrequenz n / Phasenverschiebung ϕ/π,5,4,3,, -, -, -,3 Q Q Q Q5,5,5 Q Q -,4 -,5 Phasenverlauf des Sromes im Serienschwingkreis

16 4 Zeiabhängige Spannungen und Sröme Abb 4b Ampliuden L und im Serienschwingkreis Serienschwingkreis - Spannung an L Verhälnis der Effekivwere L( )/ Q Q Q,5,5,75,5,5,75 normiere Kreisfrequenz n / Serienschwingkreis - Spannung an Verhälnis der Effekivwere ( )/ Q,5 Q Q 5,5,5,75,5,5,75 normiere Kreisfrequenz n /

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