I = I 0 exp. t + U R

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1 Betrachten wir einen Stromkreis bestehend aus einer Spannungsquelle, einer Spule und einem ohmschen Widerstand, so können wir auf diesen Stromkreis die Maschenregel anwenden: U L di dt = IR 141

2 Dies ist eine Differentialgleichung in I und t mit der Lösung I = I 0 exp ( RL ) t + U R wobei I 0 aus den Anfangsbedingungen erhalten werden kann. Für den Einschaltvorgang ist I 0 = U 0 /R, beim Ausschaltvorgang I 0 = U 0 /R. StromstŠrke Zeit Offensichtlich ist in dem magnetischen Feld der Spule Energie gespeichert, die am ohmschen Widerstand in Wärme umgesetzt werden kann. Die gespeicherte Energie beträgt W magn = 1 2 LI2 Während im Kondensator die Energie durch eine Ladungstrennung gespeichert ist, ist in einer Spule ein Stromfluss notwendig, um die Energie zu speichern. Da bei Raumtemperatur jede Spule auch einen ohmschen Widerstand darstellt, nimmt die Stromstärke sehr schnell ab. Supraleitende Spulen dagegen können die Energie im Prinzip beliebig lange speichern. 142

3 Allgemein gilt für die Energiedichte des magnetischen Feldes: W magn V = µ 0 µ B2 Die Änderung der Induktivität einer in die Fahrbahn eingelassenen Leiterschleife wird ausgenutzt, um Fahrzeuge vor Ampeln zu erkennen. 5.5 Wechselstrom und Wechselspannung Sich zeitlich periodisch ändernde Spannungen und Ströme fasst man unter dem Begriff Wechselstrom und Wechselspannung zusammen. Die einfachste Form der Periodizität ist eine Sinusfunktion: U = U 0 sin(ωt ϕ 0 ), I = I 0 sin(ωt) Die Impedanz Wie wir bereits beim Einschaltvorgang an einer Spule gesehen hatten, können wir während des Einschaltens Strom und Spannung an der Spule messen, die einen unterschiedlichen zeitlichen Verlauf haben. Teilen wir die Momentanwerte der Spannung durch die des Stromes, so erhalten wir einen Widerstand, der sich zeitlich ändert. Ähnlich ist es beim Wechselstrom: R(t) = U(t) I(t) = U 0 sin(ωt + ϕ) I 0 sin ωt Das ist natürlich einigermassen unbefriedigend. U 0 I 0 Aus diesem Grund führt man als neue Grösse die Impedanz als komplexe Grösse ein. Wir wollen uns hier nur mit der Zeigerdarstellung dieser komplexen Grösse befassen. Die Länge des Zeigers entspricht dem Quotienten aus 143

4 den Amplituden von Spannung und Strom U 0 /I 0, der Winkel zur Abszisse dem Phasenwinkel ϕ zwischen Strom und Spannung. Für einen Ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung stets in Phase, das heisst, es gilt stets ϕ = 0. Bei der Kapazität gilt: q = CU und damit du dt = 1 dq C dt = 1 C I Setzen wir für U und I die entsprechenden zeitabhängigen Grössen ein, so erhalten wir ωu 0 cos(ωt + ϕ) = 1 C I 0 sin(ωt) ωu 0 sin(ωt + ϕ + π/2) = 1 C I 0 sin(ωt) Daraus folgt für den Phasenwinkel ϕ = π/2 und für den Betrag der Impedanz (die Länge des Zeigers): Z C = U 0 I 0 = 1 ωc Bei einer Kapazität läuft der Strom der Spannung um 90 voraus Entsprechend erhalten wir für den Phasenwinkel der Induktivität (einer Spule) ϕ = π/2 sowie für den Betrag der Impedanz Z L = ωl Bei einer Induktivität folgt der Strom der Spannung mit einer Phasenverschiebung von 90 Graphisch kann man dieses Verhalten in einem Zeigerdiagramm darstellen: 144

5 U 0,L Z L U 0,R I 0 Z R Z C I 0 I 0 U 0,C Liegt eine Reihenschaltung mehrer Elemente vor, so kann man die Gesamtimpedanz leicht durch eine Vektoraddition ermitteln: Z L Z G Z R Z C Bei einer Parallelschaltung müssen entsprechend die Leitwerte, also die reziproken Impedanzen, addiert werden Die Leistung im Wechselstromkreis Was bedeuten eigentlich die 230 V, die angeblich aus unseren Steckdosen kommen? Ist damit die Amplitude gemeint? Betrachten wir die elektrische Leistung P = U I im Wechselstromkreis, so ist diese wiederum eine Funktion der Zeit: 145

6 Strom, Spannung, Leistung I_sin U_sin P_sin Zeit Die mittlere Leistung ehalten wir durch Integration über eine Periode: < P el >= 1 T T 0 U(t)I(t)dt Führen wir diese Integration aus, erhalten wir: < P el >= U 0I 0 2 cos ϕ = U 0 2 I 0 2 cos ϕ Die durch 2 geteilten Ampltuden von Strom bzw. Spannung nennen wir Effektivwerte. Sie entsprechen der Stromstärke, die ein Gleichstrom haben müsste, um die gleiche Wärmewirkung an einem ohmschen Widerstand zu erzielen wie ein Gleichstrom (analog für die Spannung). Weiterhin sehen wir, dass die mittlere Leistung in einem Stromkreis mit reiner Kapazität bzw. reiner Induktivität verschwindet Transformatoren Teilen sich zwei Spulen ein Magnetfeld, so kann über eine ein veränderliches Feld angelegt werden, das in der zweiten eine Spannung induziert 146

7 Eingangsspannung und Ausgangsspannung verhalten sich wie die Zahl der Windungen: U 1 U 2 = n 1 n 2 Da aufgrund der Energieerhaltung die Leistung nicht steigen kann, muss gelten U 1 I 1 = U 2 I 2 Die Stromstärken verhalten sich also umgekehrt proportional zur Zahl der Windungen Der elektrische Schwingkreis Eine Reihenschaltung von Spule, Kondensator und ohmschem Widerstand stellt einen elektrischen Schwingkreis dar. L R C Wenden wir die Maschenregel auf diesen Schwingkreis an, so erhalten wir U L di dt + 1 C q = RI 147

8 Leiten wir diese Gleichung nach der Zeit ab, folgt du dt = I Ld2 dt + RdI 2 dt + 1 dq C dt du dt = LÏ + R I + 1 C I Dies ist die Differentialgleichung einer erzwungenen gedämpften Schwingung, wie wir sie in der Mechanik kennengelernt hatten. Die Eigenfrequenz ist ω 0 = 1/ LC und die Dämpfungskonstante β = R/L usw. Analog zur periodisch angeregten gedämpften mechanischen Schwingung können wir auch den elektrischen Schwingkreis mit einer periodischen Spannung U = U 0 sin(ωt) anregen. Entspricht die Anregungsfrequenz der Eigenfrequenz, so kommt es zur Resonanz, also zur grössten Amplitude des Stromes. Auf der Anregungsseite steht jedoch die zeitliche Ableitung der Spannung! Aus diesem Grund wird die Amplitude des Stroms sowohl bei kleiner als auch grosser Frequenz zu Null! Das ist einleuchtend, denn bei kleiner Frequenz ist die Impedanz des Kondensators unendlich, bei grosser Frequenz die der Spule. Ohne periodische Anregung klingt die Schwingung exponentiell ab 148

9 Amplitude Phase ω ω 0 Auch die Phasenlage zwischen Anregung (Spannung) und Wirkung (Strom) ändert sich wie bei der mechanischen Resonanz. Bringen wir in einen Schwingkreis, an dem eine Gleichspannung anliegt, einen Widerstand ein, der bei hohen Stromstärken kleiner wird, so kann ein solcher Schwingkreis von selbst anschwingen. 5.6 Elektromagnetische Wellen Der Verschiebungsstrom Maxwell ( ) postulierte, dass, so wie eine zeitliche Änderung eines Magnetfeldes eine Spannung induziert, eine zeitliche Änderung eines elektrischen Feldes äquivalent zu einem Stromfluss sein muss. Laden wir einen Kondensator auf, so gilt für den Strom: I = dq dt = εε 0A de dt 149

10 Dieser Verschiebungsstrom muss nun wiederum zu einem Magnetfeld führen: s d Bd s = µµ 0 I = µµ 0 εε 0 Ed A dt A wobei A die von s berandete Fläche ist. Dieser Zusammenhang ist zunächst nicht offensichtlich und kann nur im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie erklärt werden, die Maxwell noch nicht kennen konnte. Das zeitlich veränderliche elektrische Feld führt also zu einem zeitlich veränderlichen magnetischen, dieses wieder Die Maxwellschen Gesetze Die Maxwellschen Gesetze fassen folgende, uns schon teilweise bekannte Gesetze zusammen: Gauss sches Gesetz, Gesetz vm Fehlen magnetischer Monopole, Faradaysches Induktionsgesetz, Ampère Gesetz (mit Veschiebungsstrom) A A Ed A = q εε 0 Bd A =0 s s Ed s = d Bd A dt = d A dt Φ B d Bd s =µµ 0 (I + εε 0 Ed A) dt d = µµ 0 (I + εε 0 dt Φ E) A Die ersten beiden Gesetze beziehen sich auf die Quellen, die letzten beiden auf die Wirbel des elektrischen bzw. magnetischen Feldes. 150

11 5.6.3 Die Existenz elektromagnetischer Wellen Im Vakuum gibt es keine Ladungen, also nehmen die Maxwell-Gleichungen die Form an: Ed A =0 A Bd A =0 A Ed s = d Bd A s dt A d Bd s =µ 0 ε 0 Ed A dt s Diese Gleichungen sind fast symmetrisch bezüglich einer Vertauschung des elektrischen und magnetischen Feldes. Es lässt sich zeigen, dass diese Maxwellgleichungen bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems und der Randbedingungen äquivalent mit den Differentialgleichungen A d 2 E x dz 2 d 2 B y dz 2 1 c 2 d 2 E x dt 2 =0 1 c 2 d 2 B y dt 2 =0 sind, wobei c 2 = 1 µ 0 ε 0 ist. Lösungen dieser Differentialgleichungen sind räumlich und zeitlich periodische Funktionen, nämlich ebene Wellen. Diese elektromagnetischen Wellen haben folgende Eigenschaften: Es sind transversale Wellen Die Phasengeschwindigkeit ist c = 1/ µ 0 ε 0 Das elektrische und das magnetische Feld stehen stets senkrecht aufeinander Energietransport in elektromagnetischen Wellen Energiedichte der elektromagnetischen Welle 151

12 5.6.5 Die Entstehung elektromagnetischer Wellen Im Prinzip führt jedes zeitlich veränderliche elektrische oder magnetische Feld zur Entstehung elektromagnetischer Wellen. Wie wir noch sehen werden, kann die Wellenlänge und die Frequenz elektromagnetischer Wellen über einen Bereich von über 20 Zehnerpotenzen variieren. Greifen wir zunächst als typisches Beispiel die Radiowellen heraus. Jeder kennt die Antennen, die an einem Handy zum Senden, also zur Abstrahlung elektromagnetischer Wellen dienen. Eine einfache Form einer solchen Antenne ist ein leitfähiger Stab. Im Prinzip ist so ein leitfähiger Stab eine Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand, Kapazität und Induktivität. Die grösste Amplitude der Stromstärke auf dem Dipol und damit das stärkste elektromagnetische Feld erhalten wir, wenn wir den Schwingkreis bei seiner Resonanzfrequenz anregen. R C L 152

13 Das magnetische Feld wird jetzt stets Kreisförmig um den Dipol ausgerichtet sein. Das induzierte elektrische Feld steht senkrecht auf dem magnetischen. Beide Feldvektoren stehen stets senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung, die elektromagnetischen Wellen sind also Transversalwellen. Als solche besitzen sie eine Polarisation. Als Richtung der Polarisation wird die Richtung des elektrischen Feldes angegeben, da dies auch die Richtung des Hertzschen Dipols ist. Darauf werden wir im Abschnitt Optik noch zurückkommen. Elektromagnetische Wellen überdecken einen über viele Grössenordnungen reichenden Bereich von Frequenzen und Wellenlängen. 153

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