Repräsentation von Daten: Binär-, Oktal- u. Hexadezimalcodierung von ganzen und rationalen Zahlen

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1 Großübung 1: Zahlensysteme Repräsentation von Daten: Binär-, Oktal- u. Hexadezimalcodierung von ganzen und rationalen Zahlen Lehrender: Dr. Klaus Richter, Institut für Informatik; Inhalt der 1. Großübung: Großübung zu Kapitel 2 der Vorlesung und (als Vorgriff) zu Teilen von Kapitel 3 der Vorlesung (stets mit Vorlesungsfolien vergleichen) Kurzer Ausblick: Ganze Oktal-/Hexadezimalzahlen in Python 1 1) Positionssysteme bei natürlichen Zahlen (0,1,2,...) - Allgemein für Positionssysteme Ein Positionssystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. Eine natürliche Zahl n wird durch folgende Summe dargestellt: 2

2 1.1 Dezimalsystem (bekannt!) - Übliches Zahlensystem beim praktischen Rechnen (10 Finger) - Basis: B = 10 - Dezimalzahlen: Folgen der 10 Grundziffern 0, 1, 2,..., 9 - Positionssystem (Stellenwertsystem): Stellung der Ziffer in Zahl entspricht Potenz von 10 (Stellenwert) - Beispiel: = 8* * * * Bekannt: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division im Dezimalsystem Binärsystem (Dualsystem) - Dezimalsystem im Computer technisch schwer zu realisieren - Repräsentation von Daten in Computern durch zwei Zustände 0, 1 z.b.: Relais: 2 diskrete Zustände (geschlossen / offen) Halbleiter mit stetiger Kennlinie: 2 Spannungswerte mit genügendem Abstand - Außerdem: Einfache Arithmetik im Dualsystem (vor allem Subtraktion) - Deshalb: Binärsystem mit Basis B = 2 - Binärzahlen: Folgen der 2 Grundziffern 0, 1 - Positionssystem (Stellenwertsystem): Stellung der Ziffer in Zahl entspricht Potenz von 2 (Stellenwert) Beispiel: = 1* * * *2 0 = = ( Primitive Konvertierung ins Dezimalsystem (besser: siehe 1.4)) 4

3 Fortsetzung: Binärsystem (Dualsystem) bit, Byte, Kilo-, Mega-, Gigabyte... - Alle Zeichen werden im Computer binär codiert, d.h. als Folgen von binären Zeichen (Binärzeichen; engl.: binary digit bit) - bit... kleinste Informationseinheit für rechnerinterne Darstellung - 1 Byte = 8 bit (Hauptspeicher im Computer: byteweise adressiert) 1 KByte = 2 10 Byte = Byte 1 MByte = 2 20 Byte = 1024*1024 Byte = Byte 1 GByte = 2 30 Byte = 1024*1024*1024 Byte = Byte usw Oktal- und Hexadezimalsystem - Binärdarstellung führt auf sehr lange Zahlen - Einfache kürzere Darstellung mittels Oktal- und Hexadezimalsystem (bessere Lesbarkeit, höhere Informationsdichte) a) Oktalsystem - Basis: B=8 (enge Beziehung zum Binärsystem: 8 = 2 3!!) - Oktalzahlen: Folgen der 8 Grundziffern 0, 1, 2,..., 7 - Stellung der Ziffer in Zahl entspricht Potenz von 8 (Stellenwert) - Beispiel: = 3* * *8 0 = 3* *1 = ( Primitive Konvertierung ins Dezimalsystem (besser: siehe 1.4)) 6

4 Fortsetzung: Oktal- und Hexadezimalsystem b) Hexadezimalsystem - Basis: B=16 (enge Beziehung zum Binärsystem: 16 = 2 4 ) - Hexadezimalzahlen: Folgen der 16 Grundziffern 0, 1, 2,...,9, A, B, C, D, E, F (A... Kürzel für Ziffer 10,..., F... Kürzel für Ziffer 15 ) - Stellung der Ziffer in Zahl entspricht Potenz von 16 (Stellenwert) - Beispiel: A08 16 = 10* * *16 0 = 10* *16 + 8*1 = ( Primitive Konvertierung ins Dezimalsystem (besser: siehe 1.4)) 7 Fortsetzung: Oktal- und Hexadezimalsystem - Wichtig: Gefühl für andere Zahlensysteme entwickeln! Beispiel 1: Größte Zahl mit 4 Ziffern in verschiedenen Zahlensystemen Allgemein für Zahlensystem mit Basis B: 4-mal höchste Ziffer (B-1), Wert dieser Zahl = B 4-1 Dezimalsystem (klar): (= ) Dualsystem: (= = 15) Oktalsystem: (= = = 4095) Hexadezimalsystem: FFFF 16 (= = = 65535) Beispiel 2: Feiern Sie runde Geburtstage in verschiedenen Zahlensystemen! etwa: 25. Geburtstag: Geburtstag ( = 5 2 ) 27. Geburtstag: Geburtstag ( = 3 3 ) Rundester Geburtstag, den ein normaler Mensch erreichen kann: 64. Geburtstag: Geburtstag ( = 2 6 )!!! = Geburtstag ( = 4 3 ) = Geburtstag ( = 8 2 ) 8

5 Fortsetzung: Oktal- und Hexadezimalsystem c) Konvertierung vom Dual- ins Oktal- bzw. Hexadezimalsystem - Konvertierung Dualsystem Oktalsystem: Von rechts beginnend jeweils Dreiergruppen (Dualtriaden) konvertieren - Beispiel: Dualzahl Dualzahl: Oktalzahl: Konvertierung Dualsystem Hexadezimalsystem: Von rechts beginnend jeweils Vierergruppen (Dualtetraden, Halbbytes) konvertieren - Beispiel: Dualzahl (wie oben) Dualzahl: Hexadezimalzahl: D F 9 Fortsetzung: Oktal- und Hexadezimalsystem Übungsaufgabe für Hörsaal: Füllen Sie die leeren Felder aus (Konvertierung). Dualzahl Oktalzahl Dezimalzahl Hexadezimalzahl ??? = 360 8??? = ??? = 9A 16 10

6 Fortsetzung: Oktal- und Hexadezimalsystem Lösung: Dualzahl Oktalzahl Dezimalzahl Hexadezimalzahl = = = 5E = = = F = = = 7D = = = 9A Konvertieren von beliebigen Systemen ins Dezimalsystem mittels Hornerschema (vgl. Vorlesung 2) Eine in einem Positionssystem mit der Basis B dargestellte natürliche Zahl n mit N Stellen (siehe Folie 2) : N 1 i n = b i * B i= 0 lässt sich mittels Hornerschema wie folgt darstellen (vgl. Vorlesung): n In dieser Weise können Konvertierungen in das Dezimalsystem einfacher als vorn durchgeführt werden (vor allem größere Zahlen). Bemerkung: Die in 1.2 und 1.3 demonstrierte Primitive Konvertierung ins Dezimalsystem ist natürlich prinzipiell immer möglich. Beispiele: = ((1 * ) * ) * = (geht also auch) = ((1 * 8 + 5) * 8 + 7) * = B9 16 = (2 * ) * = = bn 1 * B+ bn 2)* B+ bn 3)* B b1 )* B+ (...(( b 0 12

7 1.5 Konvertieren vom Dezimalsystem in beliebige Systeme (umgekehrte Konvertierungsrichtung gegenüber 1.4) (vgl. Vorlesung 2) Aufg.: Konvertierung einer natürl. Dezimalzahl x in ein System mit Basis B Algorithmus dafür: Schritt 1: Bilde x : B = y Rest z mit y... ganzzahliges Div.-resultat, z... ganzzahliger Divisionsrest. Schritt 2: - Falls y 0: Mache y zum neuen x und setze wieder mit Schritt 1 fort ( Schleife ) - Sonst (d.h. falls y = 0 ): Ende des Algorithmus. Die Divisionsreste z bilden - von unten nach oben gelesen die gesuchte Zahl mit der Basis B. Mit einfachen Worten: Fortgesetzte Division von x durch B bis das ganzzahlige Divisionsresultat gleich Null ist. 13 Fortsetzung: Konvertieren vom Dezimalsystem in beliebige Systeme Beispiel 1: Konvertiere ins Dualsystem (x=42, B=2) x B y z 42 : 2 = 21 Rest: 0 21 : 2 = 10 Rest: 1 10 : 2 = 5 Rest: 0 5 : 2 = 2 Rest: 1 2 : 2 = 1 Rest: 0 1 : 2 = 0 Rest: 1 Resultat: = Beispiel 2: Konvertiere ins Hexadezimalsystem (x=322, B=16) x B y z 332 : 16 = 20 Rest: : 16 = 1 Rest: 4 1 : 16 = 0 Rest: 1 Resultat: = 14C 16 Beispiel 3: Konvertiere ins Oktalsystem (x=183, B=8) x B y z 183 : 8 = 22 Rest: 7 22 : 8 = 2 Rest: 6 2 : 8 = 0 Rest: 2 Resultat: =

8 1.6 Grundrechenoperationen (+-*/) im Dualsystem a) Addition - Rechenregeln für Addition zweier Binärziffern: Beispiele: = = = = 0 (Übertrag 1) = 1 (Übertrag 1) (Die rote 1 ist ein Übertrag) binär: dezimal: Übertrag: = binär: dezimal: Übertrag: = Entsprechend kann man Oktal-, Hexadezimalzahlen usw. addieren hexadezimal: dezimal: 5 F B Übertrag: 1 1 = E oktal: dezimal: Übertrag: = Fortsetzung: Grundrechenoperationen (+-*/) im Dualsystem b) Negative Zahlen und Subtraktion im Dualsystem - Natürlich kann man praktisch in jedem anderen Zahlensystem entsprechend dem Dezimalsystem subtrahieren (siehe Addition) - Aber: Im Computer wird Subtraktion auf Addition zurückgeführt Prinzip: a b = a + b k, wobei b k Komplement zu b ist - zwei Arten von Komplement für Zahlensystem mit Basis B: -- B-Komplement (rechentechnisch leichter realisierbar) -- (B-1)-Komplement (siehe Vorlesung!) Das Zweier-Komplement im Dualsystem (B-Kompl. mit B=2): - feste Stellenanzahl s (im Computer: in der Regel Vielfache von 8 bit (1 Byte)) im Folgenden wegen Einfachheit: s = 8 bit (1 Byte) - Festlegung: bit mit höchstem Stellenwert (MSB... Most Signifikant Bit) bestimmt Vorzeichen: wenn dort 1 Zahl ist negativ ( <0) wenn dort 0 Zahl ist positiv (>=0) 16

9 Fortsetzung: Das Zweier-Komplement für Dualzahlen - pos. Zahlenbereich darf MSB nicht mit umfassen, d.h. pos. Zahlenbereich: 0, 1,..., 2 s-1-1 (s-te Stelle ist MSB!) - Eine negative Zahl n ist Zweierkomplement von n - Bildung des Zweierkomplements von n (vgl. Vorlesung): (1) Zahl n bitweise invertieren (Stellenkomplement, d.h. 0 1, 1 0) (2) Zur erhaltenen Zahl wird 1 addiert - Man erhält: Pos. Zahlenbereich: 0, 1,..., 127 (=2 7-1) Neg. Zahlenbereich: -128 (=-2 7 ), -127,..., -1 (keine Null!) pos. Zahlenbereich neg. Zahlenbereich: = = = = = = Fortsetzung: Das Zweier-Komplement für Dualzahlen - Subtraktion nun gemäß a b = a + b k, wobei b k Zweier-Komplement zu b ist - Beispiel 1: Berechne (1) Zweierkomplement zu 17: Stellenkomplement von Zweierkomplement von 17 (2) Addition: 12 + (Zweierkomplement von 17) Ergebnis (MSB=1 Ergebnis negativ) (3) Den Betrag des Resultats als normale Dualzahl erhält man als Zweierkomplement des obigen Ergebnisses (Vorz. bekannt): Stellenkomplement des Ergebnisses (Betrag) Ergebnis: = -5 für den Computer ist diese Berechnung der Subtraktion sehr einfach 18

10 Fortsetzung: Das Zweier-Komplement für Dualzahlen - Beispiel 2: Berechne 7 4 (zunächst auf Papier im Hörsaal) (1) Zweierkomplement zu 4: Stellenkomplement von Zweierkomplement von 4 (2) Addition: 7 + (Zweierkomplement von 4) Ergebnis (MSB=0 positiv) 7 4 = 3 Im Beispiel gibt es einen Überlauf 1 in die nicht vorhandene 9. Stelle (s+1). Wenn das Resultat im darstellbaren Bereich -128, -127,..., +127 für s=8 liegt, dann kann dieser Überlauf vernachlässigt werden. Liegt das Ergebnis aber außerhalb des darstellbaren Bereichs, so ist das Resultat falsch (s. Beispiel in Vorlesung; ist beim Computer zu beachten) 19 Fortsetzung: Grundrechenoperationen (+-*/) im Dualsystem c) Multiplikation und Division im Dualsystem - Natürlich kann man praktisch in jedem anderen Zahlensystem entsprechend dem Dezimalsystem multiplizieren und dividieren. - Aber: Im Computer wird Multiplikation bzw. Division durch Kombination von Verschieben (Shift) und wiederholter Addition bzw. Subtraktion (durch Addition mit Komplement!) erreicht - Zu Verschieben: Multiplikation einer Dualzahl mit einer Zweierpotenz 2 k entspricht einem Verschieben der Zahl um k Stellen nach links (entspricht im Dezimalsystem einer Multiplikation mit 10 k ) Beispiel 1 (im Dualsystem): *100 = k=2 Verschieben um 2 Stellen nach links (dieses Beispiel im Dezimalsystem: 23 * 4 = 92 ) Entsprechend: Verschieben in anderen Zahlensystemen Beispiel 2 (im Hexadezimalsystem): A * 1000 = A000 Multiplikation mit 16 3 Verschieben um 3 Stellen (dieses Beispiel im Dezimalsystem: 10 * 4096 = 40960) 20

11 2) Konvertierung gebrochener Zahlen zwischen Zahlensystemen (Vorgriff auf Teile der 3. Vorlesung) 2.1) Konvertierung echt gebrochener positiver Zahlen beliebiger Zahlensysteme ins Dezimalsystem - Echt gebrochene positive Zahl n (0<=n<1) mit Basis B: 1 i= M n = b i * B - Konvertierung wieder mit Hilfe des Hornerschemas (vgl. 1.4): n = (...( b M * + b M + 1)* + b M + 2)* b 2 )* + b 1)* B B B B B i 21 Fortsetzung: Konvertierung gebrochener Zahlen Beispiel 1: Zu konvertierende Dualzahl: (M=4; b -1 =1, b -2 =0, b -3 =1, b -4 =1) Konvertierung ins Dezimalsystem: = (((1* + 1)* + 0)* + 1)* = Natürlich auch primitive Konvertierung gemäß 1.2 möglich: = 1* * * *2-4 = 1/ /8 + 1/16 = 11/16 = Beispiel 2: Zu konvertierende Oktalzahl: (M=2; b -1 =6, b -2 =3) Konvertierung ins Dezimalsystem: = (3* + 6)* = = Primitive Konvertierung: = 6* *8-2 = 6/8 + 3/64 = 51/64 =

12 Fortsetzung: Konvertierung gebrochener Zahlen 2.2) Konvertierung echt gebrochener positiver Dezimalzahlen x in beliebige Zahlensysteme mit Basis B Algorithmus dafür: (klar: Resultat ist echt gebrochen, d.h. beginnt mit 0. ) Schritt 1: Bilde x * B = y Überlauf z wobei y... echt gebrochener Produktanteil, z... ganzzahliger Produktanteil. Schritt 2: - Falls y 0.0: Mache y zum neuen x und setze danach mit Schritt 1 fort - Sonst (d.h. falls y = 0.0) : ( Schleife ) Ende des Algorithmus. Die ermittelten Überläufe bilden von oben nach unten gelesen die Nachkommastellen der gesuchten Zahl. Mit einfachen Worten: Fortgesetzte Multiplikation von x mit B bis der Nachkommaanteil des Produkts gleich 0 ist. 23 Fortsetzung: Konvertierung echt gebrochener pos. Dezimalzahlen x Beispiel 1: Konvertierung von ins Dualsystem (B=2) x B y z * 2 = Überlauf: * 2 = 0.75 Überlauf: 0 Resultat: = * 2 = 0.5 Überlauf: 1 (vgl. Folie 22) 0.5 * 2 = 0.0 Überlauf: 1 Beispiel 2: Konvertierung von ins Oktalsystem (B=8) x B y z * 8 = Überlauf: * 8 = 0.0 Überlauf: 3 Resultat: = (vgl. Folie 22) 2.3) Konvertierung unecht gebrochener positiver Zahlen Vorgehen: ganzzahligen Anteil sowie echt gebrochenen Anteil der Zahl getrennt voneinander konvertieren (die jeweiligen Methoden dafür wurden vorn erläutert) und dann zusammensetzen. 24

13 Fortsetzung: Konvertierung unecht gebrochener positiver Zahlen a) Konvertierung unecht gebrochener positiver Dezimalzahlen in andere Zahlensysteme Beispiel: Konvertierung von ins Dualsystem Ganzzahliger Anteil: = : 2 = 23 Rest: 0 23 : 2 = 11 Rest: 1 11 : 2 = 5 Rest: 1 5 : 2 = 2 Rest: 1 2 : 2 = 1 Rest: 0 1 : 2 = 0 Rest: 1 Echt gebrochener Anteil: = * 2 = Überlauf: * 2 = 0.5 Überlauf: * 2 = 0.0 Überlauf: 1 Resultat der Aufgabe durch Zusammensetzen der beiden Anteile: = Fortsetzung: Konvertierung unecht gebrochener positiver Zahlen b) Konvertierung unecht gebrochener positiver Zahlen beliebiger Systeme mit Basis B ins Dezimalsystem Beispiel: Konvertierung von ins Dezimalsystem (vgl. vorhergehende Folie) Ganzzahliger Anteil: = = ((((1 * 2 + 0)* 2 + 1) * 2 + 1) * 2 + 1) * = Echt gebrochener Anteil: = ((1* + 1)* + 0)* = Resultat der Aufgabe durch Zusammensetzen der beiden Anteile: =

14 3) Ganze Oktal- und Hexadezimalzahlen in Python - Kurzerklärungen zum ganzzahligen Python-Datentyp int : (1) Computer verarbeiten Daten (Objekte). Daten besitzen Typ und Wert. Ein Datentyp ist (grob gesagt) ein festgelegter Wertebereich, aus denen die Daten Werte annehmen können. Für jeden Typ sind zugelassene Operatoren und deren Wirkung erklärt. (2) Der Typ int (ganze Zahlen) in Python (mehr dazu: Vorlesung): z.b. 1, 2, 5, -100,... (hier: Dezimalzahlen!) Python kennt aber auch ganze oktale Zahlen (beginnen mit 0, d.h. Null): z.b. 032, 0711,... und ganze hexadezimale Zahlen (beginnen mit 0x): z.b 0x3A, 0x5c4,... Mit ganzen oktalen u. hexadezimalen Zahlen kann man in Python z.b. addieren (+), subtrahieren (-), multiplizieren (*) und dividieren (/). Das jeweilige Resultat ist (wie die Operanden) ebenfalls ganzzahlig. Division ergibt also den ganzzahligen Anteil des Divisionsresultats. Den Divisionsrest erhält man mit dem Operator % Bemerkung: Python kennt keine binären ganzen Zahlen 27 Fortsetzung: Ganze Oktal- u. Hexadezimalzahlen in Python - Arbeit im interaktiven Modus des Python-Interpreters: Arithmetischen Ausdruck nach Prompt >>> eingeben; danach ENTER Die Resultatausgabe erfolgt stets im Dezimalsystem Kommentar nach # wird von Python nicht ausgewertet >>> 011 #Ausgabe der Oktalzahl 011 als Dezimalzahl <ENTER> 9 >>> 0x1F #oder: 0x1f; Ausgabe der Hexadezimalzahl 0x1F als Dezimalzahl 31 >>> 0x1f-0x3 #Subtraktion zweier Hexadezimalzahlen 28 >>> #Addition zweier Oktalzahlen 8 >>> 0xA*0x10 #Multiplikation zweier Hexadezimalzahlen 160 >>> 0x15c/0xa1 #Division zweier Hexadezimalzahlen (ganzz. Resultat) 2 >>> 016/05 #Ganzer Anteil des Divisionsresultats zweier Oktalzahlen 2 >>> 016%05 #Dazugehoeriger Divisionsrest 4 28

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