Erzwungene mechanische Schwingungen

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1 88 Carl von Ossietzky Universität Oldenurg - Fakultät V- Institut für Physik Modul Grundpraktiku Physik Teil I Erzwungene echanische Schwingungen Stichworte: HOOKEsches Gesetz, haronische Schwingung, haronischer Oszillator, Eigenfrequenz, gedäpfter haronischer Oszillator, Resonanz, Aplitudenresonanz, Energieresonanz, Resonanzkurven Messprogra: Messung der Aplitudenresonanzkurve und der Phasenkurve für starke und schwache äpfung. Literatur: // EMTRÖER, W.: Eperientalphysik Mechanik und Wäre, Springer-Verlag, Berlin u.a. // TIPLER, P. A.: Physik, Spektru Akadeischer Verlag, Heidelerg u.a. Einleitung Ziel dieses Versuches ist es, an eine einfachen echanischen Modell die Eigenschaften eines so genannten haronischen Oszillators zu studieren. Solche haronischen Oszillatoren werden uns in verschiedenen Teilgeieten der Physik wieder egegnen, so z.b. in der Elektrodynaik (siehe Versuch Elektroagnetischer Schwingkreis ) und der Atophysik. Auf das Verständnis dieses Versuches, insesondere die Bedeutung der Aplitudenresonanz- und Phasenkurven sollte daher größter Wert gelegt werden. Theorie. Ungedäpfter haronischer Oszillator Wir etrachten eine Anordnung ge. A., ei der eine Kugel der Masse K vertikal (-Richtung) an einer Feder aufgehängt ist. Reiungseffekte seien zunächst vernachlässigt. In der Ruhelage der Kugel herrscht Gleichgewicht zwischen der nach unten gerichteten Gewichtskraft und der nach oen gerichteten rücktreienden Federkraft; der Kugelittelpunkt efinde sich dann in der Stellung =. Eine Auslenkung der Kugel u aus der Gleichgewichtslage führt zu einer zu proportionalen rücktreienden Federkraft F R, die entgegen gerichtet ist: () FR Bezeichnen wir die Proportionalitätskonstante (Elastizitäts- oder Federkonstante oder Richtgröße) it, so wird aus Gl. () das ekannte HOOKEsche Gesetz : () FR = Nach de Auslenken und Loslassen der Kugel führt die rücktreiende Kraft zu einer Beschleunigung a der Kugel. Nach de zweiten NEWTONschen Gesetz (3) FR = a K ROBERT HOOKE (635 73)

2 89 folgt daher in Koination it Gl. (): (4) d Ka= K = K = (t: Zeit) d t woei die drei linken Tere lediglich verschiedene Schreiweisen des Zusaenhangs Kraft = Masse Beschleunigung darstellen. Gl. (4) ist die wichtige ifferentialgleichung (GL, auch Bewegungsgleichung genannt), it der alle Systee eschrieen werden können, die auf eine Auslenkung aus der Ruhe- oder Gleichgewichtslage it einer rücktreienden Kraft reagieren, die proportional zur Größe der Auslenkung ist. Solche Systee werden uns in den verschiedenen Geieten der Physik ier wieder egegnen. - + k A. : Masse/Feder-Syste. Uns interessiert, welche Bewegung die Kugel ausführt, wenn sie einal aus der Ruhelage ausgelenkt und losgelassen wird, woei die Anfangsgeschwindigkeit v der Kugel zu Zeitpunkt des Loslassens null sein öge. Wir suchen also die Funktion (t), die eine Lösung der ifferentialgleichung (4) unter der Bedingung v(t = ) = ist. Für die Funktion uss gelten, dass sie, is auf Vorfaktoren, gleich ihrer zweiten zeitlichen Aleitung sein uss. Wir versuchen deshal die Lösung it einer Funktion (t), die eine so genannte haronische Schwingung (haronische Oszillation) eschreit: (5) ( t ) = ( t+ ϕ ) cos aei ist die Aplitude, ( t + ϕ) die Phase, ϕ die Anfangsphase und die Eigenkreisfrequenz der Schwingung (vgl. A. ). urch Einsetzen von Gl. (5) in Gl. (4) und Ausführung der zweialigen ifferentiation nach der Zeit t erhalten wir: (6) cos( t + ϕ) = cos( t + ϕ) K araus folgt der Wert für, für den Gl. (5) eine Lösung von Gl. (4) ist: (7) = : = K ie Kugel führt denach nach de Loslassen Schwingungen it der Eigenkreisfrequenz durch. a wir Reiungsfreiheit vorausgesetzt hatten, leit die Aplitude der Schwingung konstant. Sowohl als auch die Anfangsphase ϕ sind freie Paraeter, die so gewählt werden üssen, dass Gl. (5) de zu e-

3 9 schreienden Vorgang angepasst ist, d.h. dass Gl. (5) die eoachtete Bewegung it richtiger Aplitude und Anfangsphase wiedergit. Gleichung (7) gilt nur für den Fall, dass die Masse der Feder, F, gegenüer der Masse K der Kugel vernachlässigar ist. Ist dies nicht der Fall, so üssen wir erücksichtigen, dass nach de Auslenken und Loslassen der Feder deren einzelne Masseneleente eenfalls itschwingen. ie Schwingungsaplitude dieser Masseneleente ist jedoch unterschiedlich: sie nit vo Wert null a Aufhängepunkt der Feder is auf den Wert a Ende der Feder zu. Eine genaue Rechnung zeigt, dass das Mitschwingen der einzelnen Masseneleente it unterschiedlicher Aplitude gleichedeutend ist it de Mitschwingen eines rittels der gesaten Federasse it der Aplitude. ie korrekte Gleichung für die Eigenkreisfrequenz der Feder lautet daher: (8) = : = it : = K + 3 K + F 3 I durchzuführenden Versuch ist die Kugel nicht direkt an der Feder efestigt, sondern it Hilfe einer Stange S, an der sich außerde eine Reflektorplatte R efindet (A. 8). In diese Fall uss K in Gl. (8) durch die Gesatasse (9) G = K + S + R ersetzt werden, woei S und R die Massen von S und R sind. Ein Beispiel soll die dargestellten Zusaenhänge verdeutlichen. Wir etrachten ge. A. eine Kugel der Masse K =, kg, die it Stange und Reflektorplatte ( S + R =,7 kg) an einer Feder it der Federkonstanten = 8 kg/s und der Masse F =, kg hängt. ie Kugel wird u eine Strecke =,5 nach unten aus der Ruhelage ausgelenkt. Anschließend lassen wir die Kugel los, woraufhin sie Schwingungen it der Aplitude und der Eigenfrequenz f = /(π),9 Hz durchführt (Gl. (8)). Beginnen wir it der Aufzeichnung der Bewegung (t) der Kugel zu eine Zeitpunkt, ei der die Kugel gerade Ihren Maialausschlag nach oen erreicht hat, so eginnt der Cosinus ge. Gl. (5) ei einer Anfangsphase von ϕ = π = 8 (Vorzeichenfestlegung von in A. eachten!). iese Situation ist in A. dargestellt. F ϕ / (t) T t A. : Zur efinition von Aplitude, Periodendauer T = π/ und Anfangsphase ϕ einer haronischen Schwingung. Zur arstellung der Phase ϕ auf der t-achse uss sie durch dividiert werden. Siehe z.b. ALONSO, M., FINN, E. J.: Fundaental University Physics, Vol. : Mechanics, Addison-Wesley Pulishing Copany, Reading (Mass.) u.a.

4 9 Ein Syste wie die etrachtete Anordnung (auch Masse/Feder-Syste genannt), das haronische Schwingungen ausführt, heißt haronischer Oszillator. Kennzeichen eines haronischen Oszillators ist eine zur Auslenkung proportionale rücktreiende Kraft, die auf eine typische Bewegungsgleichung der For (4) it einer Lösung der For (5) führt. Eenso kennzeichnend für den haronischen Oszillator ist der paraolische Verlauf seiner potentiellen Energie E p als Funktion des Ortes (A. 3): () Ep = E p - + geschrieen. Auch hier interessiert uns wieder, welche Bewegung die Kugel durchführt, wenn sie einal aus der Ruhelage ausgelenkt und dann losgelassen wird, woei die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel zu Zeitpunkt des Loslassens wieder Null sein öge. Wir suchen also wiederu die Funktion (t), die die ifferentialgleichung (3) unter der Voraussetzung v(t = ) = löst. a wir hier als Folge der äp A. 3: Verlauf der potentiellen Energie E p als Funktion der Auslenkung ei haronischen Oszillator.. Gedäpfter haronischer Oszillator Wir etrachten nun den realistischeren Fall eines Masse/Feder-Systes unter de Einfluss von Reiung. Wir werden von de einfachen Fall ausgehen, dass in de Syste zusätzlich zur rücktreienden Kraft F R = - eine zur Geschwindigkeit v proportionale Reiungskraft F wirkt, für die wir schreien können: () F = v = d d t aei ist eine Reiungskonstante, die die Stärke der Reiung angit. Frage : - Welche Einheit hat? Waru steht in Gl. () ein Minuszeichen? In diese Fall nit die Bewegungsgleichung (4) die For an: () d d = dt dt Ülicherweise wird diese ifferentialgleichung in der For: (3) d d d + + = t dt

5 9 fung eine it der Zeit anehende Aplitude der Schwingung erwarten, versuchen wir einen Lösungsansatz, ei de die Aplitude eponentiell it der Zeit afällt (vgl. A. 4): = e cos + (α : äpfungskonstante) α t (4) ( t ϕ) (t) e α t t A. 4: Gedäpfte haronische Schwingung. Wir setzen Gl. (4) in Gl. (3) ein, führen die ifferentiationen aus und finden, dass Gl. (4) dann eine Lösung von Gl. (3) darstellt, wenn für die Paraeter α und gilt: (5) (6) α = und = Wir wollen dieses Ergenis nun interpretieren. Zunächst halten wir fest, dass die Aplitude der Schwingung uso schneller afällt, je größer die äpfungskonstante (der Aklingkoeffizient) α ist. Bei gleich leiender Masse edeutet das ge. Gl. (5), dass die Schwingung u so rascher an Aplitude verliert, je größer die Reiungskonstante ist - das ist plausiel. Aus Gl. (6) können wir alesen, wie sich die Kreisfrequenz dieser gedäpften haronischen Schwingung it der Reiungskonstanten ändert. Wir etrachten folgende unterschiedliche Fälle: (i) = = I Falle verschwindender Reiung ( = ) liegt der in Kap.. diskutierte Fall des ungedäpften haronischen Oszillators vor. ie Kugel führt eine periodische Schwingung it der Eigenkreisfrequenz durch. (ii) (/()) = = ies ist der Fall so genannter kritischer äpfung, ei de die Kugel gerade keine periodische Schwingung ehr durchführt, er heißt deshal aperiodischer Grenzfall. ie Kugel kehrt lediglich längs einer eponentiellen Bahn in ihre Ausgangslage zurück (s. Anerkung).

6 93 (iii) (/()) > iaginär In diese Fall so genannter üerkritischer äpfung git es eenfalls keine periodische Schwingung, er heißt aperiodischer Fall oder Kriechfall. ie Kugel kehrt auch hier lediglich in ihre Ausgangslage zurück, allerdings it zusätzlicher äpfung, d.h. langsaer (s. Anerkung). (iv) < < < ieser allgeeinste Fall, der so genannte Schwingfall, führt zu einer periodischen Schwingung it einer Kreisfrequenz nach Gl. (6), die etwas kleiner ist als die Eigenkreisfrequenz des ungedäpften haronischen Oszillators. Anerkung: Unter den hier diskutierten Bedingungen (v(t = ) = ) git es keinen wesentlichen Unterschied zwischen de aperiodischen Grenzfall und de aperiodischen Fall oder Kriechfall: In eiden Fällen kehrt die Kugel längs einer eponentiellen Bahn in ihre Ausgangslage zurück; ei Kriechfall git es lediglich eine höhere äpfung. Anders ist die Situation i Fall v(t = ). Lassen wir nälich die Kugel nicht einfach los, sondern geen wir ihr zusätzlich durch Anstoßen eine estite Anfangsgeschwindigkeit, so ist es ei aperiodischen Grenzfall öglich, dass die Kugel einal üer ihre Ruhelage hinweg schwingt und erst danach längs einer eponentiellen Bahn in die Ruhelage zurückkehrt. Bei Kriechfall dagegen findet ein solches Üerschwingen nicht statt. ie Kugel kehrt hier ier nur längs einer eponentiellen Bahn in ihre Ruhelage zurück. Eine detaillierte Rechnung (Lösung der GL (3) unter den Bedingungen (ii) und (iii)) estätigt diese Zusaenhänge..3 Erzwungene haronische Schwingungen In Kap.. und. haen wir jeweils etrachtet, wie sich die Kugel ewegt, wenn wir sie einal aus der Ruhelage auslenken und dann loslassen. Wir wollen jetzt untersuchen, welche Bewegung die Kugel durchführt, wenn das Syste einer sich periodisch ändernden, eternen Kraft F e ausgesetzt ist (A. 5), für die gelten öge: (7) F = F sin ( t) e F ist die Aplitude der eternen Kraft und ihre Kreisfrequenz. as Vorzeichen wählen wir so, dass nach unten gerichtete Kräfte positiv und nach oen gerichtete Kräfte negativ gezählt werden. - + F e A. 5: Anregung eines Masse/Feder-Systes it eterner Kraft F e. ist die Masse ge. Gl. (8) und (9). ie eterne Kraft F e wirkt zusätzlich auf die Feder. ie Bewegungsgleichung nit daher die For an (s. Gl. () und (3)):

7 94 (8) d d = + F dt dt e und dait d d F t dt dt (9) + + = sin ( ) Wir erwarten, dass die Bewegung der Kugel nach einer gewissen Einschwingzeit, d.h. nach Beendigung des Einschwingvorgangs, it der gleichen Frequenz erfolgt wie die Änderung der eternen Kraft. Für eine andere Frequenz gäe es keine plausile Erklärung. Allerdings ist eine Phasenverschieung φ zwischen der anregenden Kraft und der Auslenkung der Kugel denkar. Schließlich können wir davon ausgehen, dass nach Beendigung des Einschwingvorgangs die Schwingungsaplitude konstant leit, da de Syste von außen ier wieder neue Energie zugeführt wird. Mit diesen Üerlegungen versuchen wir folgenden Lösungsansatz für die ifferentialgleichung (9): () = sin ( t+ φ) aei ist φ die Phasenverschieung zwischen der Auslenkung (t) und der eternen Kraft F e. Für φ < hinkt die Auslenkung der anregenden Kraft hinterher. urch Einsetzen von Gl. () in Gl. (9) finden wir, dass Gl. () dann eine Lösung von Gl. (9) darstellt, wenn für die Aplitude und die Phasenverschieung φ gilt (Herleitung s. Anhang Kap. 4): () = F + ( ) () π φ = arctan I Gegensatz zu den in Kap.. und. diskutierten Fällen sind die Aplitude und die Phase φ hier nicht ehr frei wählare Paraeter, sondern durch die Größen F,,, und = / eindeutig estit. Aus Gleichung () sehen wir, dass die Aplitude der Kugelschwingung, die so genannte Resonanzaplitude, von der Frequenz der anregenden Kraft ahängt. Tragen wir üer auf, so erhalten wir die so genannte Aplitudenresonanzkurve. A. 6 (oen) zeigt einige typische Aplitudenresonanzkurven für unterschiedliche Werte der Reiungskonstanten. I stationären Fall, d.h. für =, ergit sich aus Gl. () die aus de HOOKEschen Gesetz ekannte Aplitude F = : = = (3) ( ) ies ist der Betrag, u den die Kugel ausgelenkt wird, wenn an ihr eine konstante Kraft F angreift. Setzt an F aus Gl. (3) in Gl. () ein, so erhält an für die Resonanzaplitude :

8 95 (4) = + ( ) A. 6: Aplitudenresonanzkurven (oen) und Phasenkurven (unten) für einen gedäpften haronischen Oszillator (F =, N, =, kg, = kg/s, in kg/s). ie Lage des Maius von als Funktion von finden wir aus der Bedingung d /d =. Aus Gl. (4) folgt dann: (5) =,a für = as Maiu der Aplitudenresonanzkurve liegt also außer i Fall = nicht ei der Eigenkreisfrequenz, sondern ei etwas kleineren Kreisfrequenzen <. I unteren Teil von A. 6 sind die so genannten Phasenkurven dargestellt, die den Verlauf der Phasenverschieung φ als Funktion der Kreisfrequenz angeen. Aus Gl. () folgt, dass φ ier negativ ist, d.h. die Kugelauslenkung hinkt der anregenden Kraft außer i Fall = ier hinterher. Wir wollen nun noch einige Spezialfälle diskutieren:

9 96 (i) I Falle << ist ei nicht zu große die Aplitude F /, d.h. unahängig von. ie Aplitudenresonanzkurve verläuft dann i Bereich kleiner Anregungsfrequenzen annähernd horizontal und die Phasenverschieung φ geht gegen : φ. ie Kugelewegung folgt also nahezu direkt der anregenden Kraft. (ii) I Resonanzfall ( ge. Gl. (5)) ist die Aplitude aial und gegeen durch:,a = F 4 Je kleiner, desto größer wird,a ; für geht,a. ie Kugelauslenkung hinkt in diese Fall der anregenden Kraft u 9 hinterher (φ = - π/). (iii) I Falle >> ist F /( ), die Aplitude sinkt also it /. ie Phasenverschieung eträgt in diese Fall φ = - π, d.h. die Kugelauslenkung hinkt der anregenden Kraft u 8 hinterher. Aus den Aplitudenresonanzkurven und den unter (i) - (iii) diskutierten Spezialfällen lässt sich das äpfungsverhalten eines Masse-Feder-Systes alesen, eispielsweise eines schwingungsisolierten Tisches, wie er in optischen Präzisionseperienten häufig eingesetzt wird. ie Eigenfrequenzen solcher Tische liegen typischerweise i Bereich u Hz. Hat eine eterne Störung (z.b. Geäudeschwingung) eine sehr niedrige Frequenzen ( ), wird die Aplitude der Störung ungedäpft auf den Tisch üertragen, in der Ugeung der Eigenkreisfrequenz ( ) wird sie (ungewollt) verstärkt, aer i Bereich höherer Frequenzen ( >> ) wird sie stark gedäpft. A. 7: Aplitudenresonanzkurven für verschiedene Massen (in kg) ei gleichen ürigen Paraetern (F =, N, = kg/s, =, kg/s).

10 97 urch Änderung der Masse lässt sich das äpfungsverhalten eines solchen Systes eeinflussen. A. 7 zeigt, dass durch eine Vergrößerung von ei gleichen ürigen Paraetern die Eigenkreisfrequenz erniedrigt und die äpfung für Frequenzen oerhal der Eigenkreisfrequenz deutlich vergrößert werden kann. Schwingungsisolierte Tische haen deshal oftals große Massen i Bereich 3 kg. Aschließend wollen wir üerlegen, ei welcher Frequenz der aiale Energieüertrag vo anregenden Syste auf das schwingende Syste stattfindet. a wir wissen, dass aiale kinetische Energie gleichedeutend ist it aialer Geschwindigkeit, erechnen wir zunächst den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit v der Kugel unter Benutzung von Gl. (): d d t (6) v = = cos ( t+ φ) : = vcos( t+ φ) Für die Geschwindigkeit v gilt denach it Gl. (4): (7) v = = + ( ) und dait: (8) v = + v wird aial, wenn der Nenner aus Gl. (8) inial wird, d.h. wenn gilt (für ): = v = v (9),a araus folgt: = = v = v (3),a ie Geschwindigkeit und dait auch die kinetische Energie wird denach dann aial (anders als die Resonanzaplitude!), wenn das Syste it seiner Eigenkreisfrequenz angeregt wird. Man nennt diesen Fall daher auch den Fall der Energieresonanz, ei de das anregende Syste die aiale Energie auf das schwingende Syste üertragen kann. Frage : - Wie sieht der typische Verlauf von Energieresonanzkurven (~ ( ) von Matla in eine iagra den prinzipiellen Verlauf von ( ) und = (analog zu A. 6). v ) aus? Zeichnen Sie it Hilfe v für die Fälle, =

11 98 3 Versuchsdurchführung Zuehör: Feder ( = (,7 ±,5) kg/s, F = (,575 ± -4 ) kg), Kugel an Aufhängestange it Reflektorplatte ( G auswiegen), Anregungssyste an Stativ it Motor und Lichtschranke, elektronische rehzahlregelung für Motor, Laserdistanzsensor (Typ BAUMER OAM U646/S35, Messereich (6 - ) ), Netzteile (PHYWE ( 5 / 3) V) für Motor, Lichtschranke und Laserdistanzsensor, Gläser it unterschiedlicher Glycerin/Wasserischung (,7 kg/s für die zähere Mischung ei T = C), Tisch zur Aufnahe der Gläser, igital-oszilloskop TEKTRONIX TS / B / C / TBS B. 3. Beschreiung der Versuchsanordnung ie Versuche werden an einer Anordnung ge. A. 8 durchgeführt. Sie eröglicht die erührungslose Messung von Aplitudenresonanzkurven und Phasenkurven. Wir wollen zunächst die Versuchsanordnung eschreien, evor in Kap. 3. die eigentlichen Messaufgaen dargestellt werden. An einer Feder ist it Hilfe einer Stange S eine Kugel K der Masse K aufgehängt, die zur äpfung ihrer Bewegung in einen Glasehälter B eintaucht, der it einer Glycerin/Wasserischung gefüllt ist. An der Stange ist eine Reflektorscheie R efestigt. Auf diese Scheie trifft ein Laserstrahl aus eine Laserdistanzsensor LS, dessen Funktionsweise aus de Versuch Sensoren ekannt ist. er Sensor liefert ein Spannungssignal U LS (t), das sich it der Entfernung s zwischen LS und R linear ändert. ie Feder ist it einer zweiten Stange S, die in einer Stangenführung F läuft, üer ein Gelenk G it einer Pleuelstange P verunden, die wiederu üer ein Gelenk G auf einer rehscheie efestigt ist. Mit eine Antriesotor kann die Scheie it der Kreisfrequenz gedreht werden. adurch wird der Aufhängepunkt der Feder in eine periodische Vertikalewegung versetzt und soit auf die Feder eine periodische Kraft F e (t) ausgeüt. Nach Beendigung des Einschwingvorgangs führt die Kugel zusaen it S und R eenfalls eine periodische Vertikalewegung it der Aplitude aus. er Laserdistanzsensor liefert dann ein periodisches Spannungssignal U LS (t) it der Aplitude U ~ und eine Gleichanteil U C, der vo Astand s zwischen LS und R in der Ruhelage der Kugel ahängt. ie Periodendauer T von U LS ist gegeen durch: (3) T π = urch Variation von lässt sich soit die Aplitudenresonanzkurve U ( ) essen, aus der it Hilfe des Kalirierfaktors k des Laserdistanzsensors für Spannungsdifferenzen, (3) k =,96 V/ die gesuchte Aplitudenresonanzkurve ( ) gewonnen werden kann. k kann als fehlerfrei angenoen werden. ie Messung der Phasenkurve, d.h. der Phasenverschieung φ zwischen der Anregungskraft F e (t) und der Auslenkung (t) der Kugel als Funktion der Kreisfrequenz lässt sich folgenderaßen durchführen: Mit Hilfe eines Markierungsstiftes M sowie der Lichtschranke LS, die von M unterrochen wird, wird ier dann ein Spannungsipuls U LS (t) erzeugt, wenn der Aufhängepunkt der Feder seine oerste Position erreicht hat (Zeitpunkt t in A. 9).

12 99 LS M G LS P S G F s Feder S R B K A. 8: Skizze des verwendeten Versuchsaufaus. U T U LS U LS t t t A. 9: Zeitlicher Verlauf der Ausgangsspannungen der Lichtschranke LS (U LS ) und des Laserdistanzsensors LS (U LS ). Zeitpunkt t : Aufhängepunkt der Feder in oerster Position, Anregungskraft F e (t) inial. Zeitpunkt t : Kugel in oerster Position, (t) und U LS inial.

13 Zu diese Zeitpunkt hat die Anregungskraft F e (t) = d /dt ihr Miniu (Vorzeichen ge. A. 5 eachten). Zu eine späteren Zeitpunkt t öge die Kugel (nicht der Aufhängepunkt der Feder!) ihre oerste Position und dait die Auslenkung (t) ihr Miniu (- ) erreichen (auch hier Vorzeichen ge. A. 5 eachten). In dieser Position ist die Entfernung s zwischen LS und R und dait auch U LS (t) inial. ie Phasenverschieung φ zwischen F e (t) und (t) ist dann (s. A. 9): (33) φ t t t : t T π = = T π = urch Variation von lässt sich soit die Phasenkurve φ ( ) essen. In der Prais werden für jede eingestellte Kreisfrequenz it Hilfe eines Oszilloskops gleichzeitig die Aplitude U ( ) und die Zeitdifferenz t( ) geessen. Aschließend noch eine Anerkung zu zeitlichen Verlauf der Anregungskraft F e (t). Offensichtlich entspricht dieser is auf eine konstante Phasenverschieung de zeitlichen Verlauf der vertikalen Bewegung des Gelenkes G, d.h. des Aufhängepunktes der Feder. iese Bewegung wollen wir durch die Größe y(t) eschreien (A. ). r θ l y G y S A. : efinition von Größen zur Berechnung der Bewegung des Gelenkes G (vgl. A. 8). Ist die Pleuelstange der Länge l i Astand r von der rehachse auf der Scheie ontiert, so gilt: (34) y = rcosθ + lcosy und (35) rsinθ = lsinψ r sinψ = sinθ l Mit (36) r cosψ = sin ψ = sin θ l und (37) θ = t

14 folgt schließlich: (38) y = rcos( t) + l r sin ( t) er rein haronischen Bewegung (r cos( t)) ist also noch eine Störung (Wurzelter in Gl. (38)) üerlagert, die leider auch zeitahängig ist und dait die Bewegung anharonisch acht. ie Anregungskraft F e (t) verläuft also eenfalls nicht rein haronisch. Wählen wir jedoch l >> r, so wird l >> r sin ( t) und dait (...) l. Wir haen es dann statt it einer zeitahängigen Störung nur noch it der additiven Konstanten l zu tun, die die Haronie jedoch nicht ehr stört. 3. Aplitudenresonanzkurve und Phasenkurve für starke und schwache äpfung Mit der Anordnung ge. A. 8 soll für eine Kugel it Haltestange S und Reflektorplatte R und eine Feder it ekannten und F (aten siehe Zuehör) für zwei verschieden große äpfungen (Gläser it unterschiedlichen Glyzerin/Wassergeischen) jeweils die Aplitudenresonanzkurve ( ) und die Phasenkurve φ( ) i Frequenzereich f = /π zwischen Hz und ca. 5 Hz geessen werden. ie Pleuelstange P des Anregungssystes wird i zweiten Loch von innen auf der Scheie angeracht ie anharonische Störung ge. Gl. (38) kann in diese Fall vernachlässigt werden. ie Ausgangssignale der Lichtschranke (U LS ) und des Laserdistanzsensors (U LS ) werden auf eine igital-oszilloskop dargestellt, das auf das Signal U LS getriggert wird. ie Periodendauer T von U LS und der Spitze-Spitze-Wert (U SS = U ) von U LS werden it Hilfe der Funktion MESSUNG / MEASURE a Oszilloskop erittelt. Aus diesen Größen können die Kreisfrequenz und die Aplitude U zw. estit werden. Mit Hilfe der ZEIT-CURSOR wird die Zeitdifferenz t = t t geessen (s. A. 9), aus der die Phasenverschieung φ ge. Gl. (33) erechnet werden kann. Hinweis: U einen öglichst gleichäßigen Lauf der Kreisscheie zu erreichen, uss die rehscheie gegen den Uhrzeigersinn laufen. Aus de gleichen Grund uss zur Einstellung der Motordrehzahl i Frequenzereich zwischen Hz und ca.,5 Hz ein elektronischer rehzahlregler (Betriesspannung V) enutzt werden, der zwischen Netzgerät und Motor geschaltet wird. Bei Frequenzen üer,5 Hz kann der Motor direkt an das Netzgerät angeschlossen und die rehzahl üer die Betriesspannung geregelt werden (Spannung langsa von V auf a. V erhöhen). Für eide Glycerin/Wassergeische wird für öglichst viele (indestens ) verschiedene Werte von, insesondere in der Nähe der Resonanzfrequenz, jeweils nach Beendigung des Einschwingvorgangs die Periodendauer T, die Aplitude U ( ) und die Zeitdifferenz t geessen. ie Aplitude U für den Fall wird estit, inde die Motorachse ei ausgeschaltete Motor per Hand in die Positionen Pleuelstange oen und Pleuelstange unten gedreht und jeweils die zugehörige Spannung U LS geessen wird. Für eide Geische wird üer in eine iagra und φ üer eenfalls in eine iagra aufgetragen. ie Größtfehler von und φ werden in For von Fehleralken it eingezeichnet (Fehler aus den Schwankungen der Werte für U SS und T a Oszilloskop aschätzen). anach werden frei Hand Ausgleichskurven durch die Messwerte gezeichnet und die For der Kurven it den theoretischen Erwartungen verglichen.

15 Anerkung: In der Nähe der Eigenkreisfrequenz kann die Messung ei kleiner äpfung schwierig werden, weil sich große Aplituden einstellen und die Feder (öglicherweise auch das Stativ) in unkontrollierte Bewegung gerät oder die Kugel gar auf de Boden des Becherglases aufschlägt. In diese Fall uss das Syste von Hand gedäpft und rasch zu nächsten Frequenzwert üergegangen werden. 4 Anhang: Berechnung der Resonanzaplitude und der Phasenverschieung Wir wollen zeigen, dass die Resonanzaplitude und die Phasenverschieung φ it wenigen einfachen Rechenschritten erechnet werden kann, wenn wir zur kopleen Schreiweise üergehen. Gl.(9) lautet in kopleer Schreiweise: (39) d d + + = t t d F e d i t Analog zu Gl. () wählen wir als kopleen Lösungsansatz: (4) ( + ) = e e e = i t φ i t i φ Einsetzen von Gl. (4) in Gl. (39) ergit nach Ausführen der ifferentiation und ivision durch i t e : (4) F e + i e + e = iφ iφ iφ Mit der efinition der Eigenkreisfrequenz ge. Gl. (8) folgt daraus: (4) F i φ e = : = z + i Wie ereits i Versuch Messung von Kapazitäten dargestellt, ist Gl. (4) eine arstellungsfor einer kopleen Zahl z, deren Betrag z = durch zz * gegeen ist, woei z* die zu z konjugiert koplee Zahl ist. ait folgt: (43) F F = zz = + i i woraus sich durch einfaches Ausultiplizieren Gl. () ergit. Für die Berechnung des Phasenwinkels enutzen wir wiederu (vgl. Versuch Messung von Kapazitäten ) die zweite arstellungsfor kopleer Zahlen, nälich z = α + iβ, woei α der Realteil und β der Iaginärteil von z ist. Aus diesen Größen lässt sich der Phasenwinkel φ ekanntlich erechnen als (44) β + π a < β φ = arctan a π a < β <

16 3 U Gl. (4) in die For α + iβ zu ringen, erweitern wir den Bruch it de konjugiert kopleen Nenner: (45) F F F i ( ) i e i φ = = + i i ( ) + Hieraus können wir die Größen α und β alesen: (46) F F ( ) α = und = ( ) ( ) + + woraus durch Einsetzen in Gl. (44) folgt: (47) φ = arctan { π > } Mit (48) arctan ( y) π = arctan y folgt daraus schließlich Gl. ().