Ich sehe was, was Du nicht siehst! über visuelle Geheimschriften (Girls Day, 26. April 2007; Stufe 9/10)

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1 Fakultät für Mathematik und Informatik Univeristät Würzburg Am Hubland, Würzburg Ich sehe was, was Du nicht siehst! über visuelle Geheimschriften (Girls Day, 26. April 2007; Stufe 9/10) Worum geht es? Um Kryptologie das ist die Wissenschaft, die sich mit Geheimschriften oder besser: Verschlüsselungverfahren beschäftigt. Im Griechischen bedeutet kryptós = verborgen und logos = Lehre Sie benutzt Erkenntnisse aus Mathematik und Informatik und lässt sich folgendermaßen einteilen: Kryptologie = Kryptographie + Kryptoanalyse, wobei Kryptographie die Lehre von der Verschlüsselung von Informationen ist und Kryptoanalyse die Analyse und Bewertung der Sicherheit der Verfahren bedeutet. Gefragt sind also kreative Ideen, eine Nachricht, im Folgenden Klartext, so abzuändern, dass sie kein Unbefugter lesen kann. Das zugehörige Verfahren nennt man dann ein Verschlüsselungsverfahren und die verschlüsselte Nachricht Geheimtext. Der Wunsch, Nachrichten verschlüsselt übersenden zu wollen, ist sehr alt nachweislich wurde bereits im antiken Griechenland und Rom Kryptologie betrieben. Aufgabe 1. Warum kann es sinnvoll sein, Nachrichten geheim halten zu wollen? Gib ein paar Beispiele an! Bis ins 19. Jahrhundert wurde Kryptologie hauptsächlich von Militärs, Diplomaten und natürlich Geheimdiensten benutzt. Tatsächlich war die Kryptologie bis in die zweite Hälfte des 20. Jahrhundert eine Geheimwissenschaft und kann in dieser Phase nur nach ihren bekannt gewordenen Beispielen beurteilt werden. Mittlerweile ist Kryptologie eine reguläre Wissenschaftsdisziplin. Heutzutage wird die Meinung vertreten, dass das Geheimhalten von kryptographischen Verfahren keinen Sicherheitsgewinn bringt; dies ist das sogenannte Kerckhoff-Prinzip. Eines der ältesten überlieferten Verschlüsselungsverfahren wurde von Julius Gaius Caesar ( v.chr.) bei seinen Feldzügen zur geheimen Nachrichtenübermittlung benutzt; es ist tatsächlich in seinem Buch de bello gallico lobend erwähnt die Idee stammt wohl aber nicht von Caesar selbst. Der Trick 1

2 dieses Verfahrens bestand darin, die Buchstaben unseres Alphabetes um 3 Stellen zu verschieben: A D, B E,..., W Z, X A, Y B, Z C. Damit entsteht aus dem Caesar-Zitat veni vidi vici der Geheimtext: VENI VIDI VICI YHQL YLGL YLFL. Am besten lässt man die Leerzeichen im Klartext aus, um keinen Hinweis auf die Länge der Wörter zu geben. Allgemeiner kann man natürlich auch die Buchstaben um n Positionen verschieben, wobei n irgend eine ganze Zahl ist. Wird das Klartextalphabet um n Positionen in ein Geheimtextalphabet verschoben, so sprechen wir von einem Caesar-Code zum Schlüssel n. Dieser Schlüssel sollte nur dem Empfänger der Nachricht bekannt sein, denn mit ihm ergibt sich durch inverse Verschiebung aus dem Geheimtext wieder der Klartext; wenn etwa n = 3 für die Verschlüsselung benutz wurde: A D, B E,..., W Z, X A, Y B, Z C. Diese inverse Verschiebung ist gleichbedeutend mit einer Verschiebung zum Schlüssel 23 = 26 3 (da wir 26 Buchstaben in unserem Alphabet haben). Aufgabe 2. Verschlüssele mit dem Caesar-Code zum Schlüssel 3 die Nachricht JAMESBOND: Aufgabe 3. Denke Dir eine Nachricht und einen geheimen Schlüssel aus und verschlüssele dann die Nachricht mit dem Caesar-Code zu Deinem Schlüssel! Ein wichtiger Aspekt in der Kryptologie ist die Sicherheit der Verschlüsselungsverfahren: Ist es tatsächlich schwierig, aus dem Geheimtext den Klartext zu gewinnen? Aufgabe 4. Gib Deine geheime Nachricht (aus Aufgabe 3) an die nächste Gruppe im Uhrzeigersinn weiter! Versuche die geheime Nachricht, die Du von der Gruppe entgegen dem Uhrzeigersinn bekommen hast, zu entschlüsseln! Eine recht wirksame Attacke gegen die Verschlüsselung nach Caesar bietet die statistische Analyse der Buchstaben im Geheimtext; diese Idee geht auf arabische Mathematiker im Mittelalter zurück. Hier benutzt man, dass einige Buchstaben eines Alphabetes häufiger in der Sprache auftauchen als andere. Tritt ein 2

3 Buchstabe in einem Geheimtext sehr häufig auf, so ist zu erwarten, dass dieses Zeichen von einem recht häufigen Buchstaben unseres Alphabetes herrührt. Die Häufigkeitsverteilung der Buchstaben im deutschen Alphabet ist annähernd wie folgt: A = 6, 51 B = 1, 89 C = 3, 06 D = 5, 08 E = 17, 40 F = 1, 66 G = 3, 01 H = 4, 76 I = 7, 55 J = 0, 27 K = 1, 21 L = 3, 44 M = 2, 53 N = 9, 78 O = 2, 51 P = 0, 79 Q = 0, 02 R = 7, 00 S = 7, 27 T = 6, 15 U = 4, 35 V = 0, 67 W = 1, 89 X = 0, 03 Y = 0, 04 Z = 1, 13 (die Angabe ist in Prozent). Die Analyse funktioniert nur, wenn man weiss in welcher Sprache die Nachricht geschrieben ist. Natürlich hilft es auch, wenn der Geheimtext sehr lang ist. Auch kann man nach ganzen Wortgruppen suchen; im Deutschen ist z.b. unter den dreibuchstabigen Wörtern EIN sehr häufug im Englischen hingegen THE. Aufgabe 5. Versuche die Nachricht OBABKFPQPFIYBOPZETBFDBKFPQDNIA zu entschlüsseln! Du weisst, dass sie mit einem Caesar-Codes verfasst ist. Mit der Idee der Häufigkeitsanalyse der Buchstaben war der Caesar-Code nutzlos geworden; feindliche Organisationen konnten ohne Probleme abgefangene Briefe lesen und alle Geheimnisse lagen offen. Im 16. Jahrhundert wurde dann durch Blaise de Vigenère ( ) endlich ein neues und besseres Verfahren entwickelt die Vigenère-Verschlüsselung. Das System dieser Verschlüsselung beruht auf dem Vigenère-Quadrat: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A 2 C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B 3 D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C 4 E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D 5 F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E 6 G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F 7 H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G 8 I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H 9 J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I 10 K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J 11 L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K 12 M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L 13 N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M 14 O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N 15 P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O 16 Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P 17 R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q 18 S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R 19 T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S 20 U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 21 V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U 22 W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V 23 X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W 24 Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X 25 Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Wir illustrieren das Verfahren an einem Beispiel: Hier ist der Schlüssel ein geheimes Wort, etwa KEY und unser Klartext sei GEHEIMNIS. Entsprechend der 3

4 Länge des Schlüsselwortes verschlüsseln drei verschiedene Caesar-Codes den Text: Die erste Substitution ist eine Verschlüsselung mit A K, also mit dem Schlüssel n = 10; entsprechend verschieben wir den ersten Buchstaben des Klartextes G um n = 10 auf den Buchstaben Q. Der zweite Buchstabe des Vigenère-Schlüssels ist der Buchstabe E; wegen A E verschieben wir den Geheimtext-Buchstaben um n = 4 Positionen auf I. Mit dem dritten Buchstaben des Schlüsselwortes und dem dritten Buchstaben des Klartetxtes verfahren wir genauso, hier mit n = 24. Danach fangen wir bei der Verschlüsselung wieder mit dem ersten Wort des Vigenère-Schlüssels an und fahren fort wie gehabt. Beim Auffinden der Buchstabensubstitutionen hilft das Viegènere-Quadrat: Beispielsweise steht der aus K und G erzeugte Buchstabe Q im Schnitt der Zeile K (die Zeile mit dem Index 10) und der Spalte G. Schl ssel : K E Y K E Y K E Y Klartext : G E H E I M N I S Geheimtext : Q I F O M K X M Q Die Vigenère-Verschlüsselung arbeitet also mit vielen Alphabeten; deshalb nennt man ein solches Verfahren auch polyalphabetisch. Aufgabe 6. Denke Dir eine geheime Nachricht und einen geheimen Schlüssel aus und verschlüssele dann die Nachricht mit dem Vigenère-Quadrat zu Deinem Schlüssel! Aufgabe 7. Gib deine geheime Nachricht an die nächste Gruppe im Uhrzeigersinn weiter! Versuche die geheime Nachricht, die du von der Gruppe entgegen dem Uhrzeigersinn bekommen hast, zu entschlüsseln! Offensichtlich ist die Vigenère-Verschlüsselung viel sicherer als der Caesar-Code aber ist sie absolut sicher? Lange Zeit glaubte man, dass sie nicht zu knacken sei. Erst 1854 gelang dem Mathematiker Charles Babbage, einen Weg zu finden, die Länge des Schlüsselwortes herauszufinden. Damit war dann auch das Vigenère-Verfahren unsicher geworden. Wenn man allerdings einen zufallsgeneriertem Einmalschlüssel verwendet, der mindestens so lange wie der zu verschlüsselnde Text ist, dann ist jedoch das Verfahren absolut sicher! Warum ist dem so ist? das wird hier nicht verraten; wir geben nur einen Tipp: Gibt es verschiedene Klartexte, die mit verschiedenen Schlüsseln auf denselben Geheimtext abgebildet werden können? Zwar ist dieses Verfahren dann sehr sicher, aber nicht besonders benutzerfreundlich (zu lange Schlüssel, die ja auch wieder sicher übermittelt werden müssten) und das ist wichtig. Mittlerweile werden nämlich kryptographische Konzepte in allen möglichen Lebenslagen verwandt; man denke an 4

5 smart-cards, kodiertes Fernsehen, internet-banking, moderne Autos,... Wie sieht diese moderne Kryptologie aus? Sie muss leicht (und preiswert) zu realisieren sein, aber dabei so sicher wie möglich. Heutzutage benutzt man denn auch sogenannte public-key-verschlüsselungsverfahren (z.b. das RSA-Verfahren), wo ein jeder Benutzer einen öffentlichen Schlüssel besitzt (wie etwa eine öffentlich bekannte Telefonnummer) und einen geheimen Schlüssel. Ein jeder weitere Benutzer kann mit Hilfe des öffentlichen Schlüssels des Empfängers seine Nachricht in einen Geheimtext verwandeln, der öffentlich übermittelt werden kann, ohne dass ein Unbefugter dies lesen kann; die Entschlüsselung ist im Prinzip nur mit dem geheimen Schlüssel des Empfängers möglich. Da hier zwei Schlüssel verwendet werden, spricht man auch von einem asymmetrischen Verfahren. Diese Idee geht auf Diffie und Hellman aus dem Jahr 1976 zurück. Die mathematische Realisierung dieses Konzeptes basiert auf einer sogenannten Falltürfunktion; das ist eine Operation, die sich in der einen Richtung sehr leicht ausführen lässt (jeder soll leicht Nachrichten verschlüsseln können), aber in der umgekehrten Richtung praktisch unmöglich zu berechnen ist. Hier benutzt man eine Beobachtung aus der Zahlentheorie: Es ist leicht zwei große Zahlen mit einander zu multiplizieren, z.b =???, aber (wahrscheinlich) sehr viel schwieriger eine große natürliche Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen: =??? Ob es für die Faktorisierung tatsächlich kein einfaches Verfahren gibt, ist allerdings bislang nicht bekannt. In kryptographischen Verfahren werden hier hunderstellige Zahlen benutzt und deren Faktorisierung ist selbst mit modernsten mathematischen Methoden und schnellsten Computern ein großes Problem! Eine recht neue Idee in der Kryptologie ist die visuelle Kryptographie; dieses Verfahren wurde erst 1994 von Moni Naor und Adi Shamir entwickelt und bietet einige neue und interessante Perspektiven. Wir geben ein Beispiel: Ein Vertreter einer Firma ist zu Geschäftsverhandlungen in einem fernen Hotel und benötigt dringend per Fax vertrauliche Unterlagen (etwa Baupläne) aus seiner Firma. Gesucht ist ein sicheres Verfahren, dass etwaige Konkurrenten vom Abhören ausschließt. Hier hilft die visuelle Kryptographie. Die Unterlagen werden in der Firma visuell verschlüsselt und dann gefaxt. Das ankommende Fax sieht dabei wie ein zufälliges Muster auf einer Klarsichtfolie aus. Durch Übereinanderlegen mit einer Schlüsselfolie kann der Vertreter die ursprünglichen Unterlagen erzeugen nicht aber ein Konkurrent, wenn er die Schlüsselfolie nicht besitzt. Wie funktioniert das? Jedes Bild wird in viele Pixel unterteilt, und jedes Pixel wiederum in vier Unterpixel. Sowohl auf dem gefaxten Bild als auch auf dem Schlüssel sind immer zwei Unterpixel weiß und zwei schwarz. Jetzt kommt der Trick: Bei weißem Pixel sind die gleichen zwei Unterpixel schwarz, bei schwarzem Pixel sind die komplementären Unterpixel schwarz. Und hier der Effekt, der beim 5

6 Übereinanderlegen der Folien entsteht: Zunächst schwarze Pixel Folie 1 : Folie 2 : Zahl:, Kopf: Zahl:, Kopf: Und jetzt weiße Pixel Folie 1 : Folie 2 : Zahl:, Kopf: Zahl:, Kopf: Weiße Pixel werden auf beiden Folien auf dasselbe Muster abgebildet und erscheinen beim Übereinanderlegen der Folien grau, während schwarze Pixel auf verschiedene Muster abgebildet werden und übereinandergelegt damit schwarz erscheinen. Welches der beiden Muster für einen Pixel erzeugt wird, ist für jede einzelne Folie zufällig. Deshalb enthält jede Folie für sich keinerlei Information über das Original! Neugier auf mehr? Zur Kryptologie gibt es viel spannende und weiterführende Literatur: Albrecht Beutelspacher, Jörg Schwenk, Klaus-Dieter Wolfenstetter, Moderne Methoden der Kryptographie, Vieweg 2004, 5. Auflage Tino Hempel, Einführung in die Kryptologie, Rudolf Kippenhahn, Verschlüsselte Botschaften: Geheimschrift, Enigma und Chipkarte, Rowohlt, 1998 Lehrstuhl für Informatik 1, RWTH Aachen, Visuelle Kryptographie Wie zwei zufällige Bilder zusammen eine geheime Botschaft ergeben, Algorithmus der Woche, anläßlich des Jahres der Informatik 2006, algorithmus/gimmicks/visuellekryptographie/vc.php Simon Singh, Geheime Botschaften, die Kunst der Verschlüsselung, Hanser, 2002 Jörn Steuding, Streng geheim! eine kurze Geschichte der Kryptologie, Vortrag in der Woche der Informatik an der Universität Würzburg, anläßlich des Jahres der Informatik 2006, steuding/rsa.ps Ich hoffe, es hat Spaß gemacht und ein wenig neue und interessante Mathematik näher gebracht! Jörn Steuding; Würzburg, 26. April

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