Die grundsätzlichen Aufgaben der Investitionsrechnung Unterschiedliche Verfahren der Investitionsrechnung

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1 2 Ivestitio 2.1 Grudlage der Ivestitiosrechug Lerziele Dieses Kapitel vermittelt: Die grudsätzliche Aufgabe der Ivestitiosrechug Uterschiedliche Verfahre der Ivestitiosrechug Ivestitiosbegriffe ud -arte We es auch icht de betriebswirtschaftliche Ivestitiosbegriff, soder eie Vielzahl uterschiedlicher Defiitioe hierzu gibt, so soll doch zuächst die Frage utersucht werde, was überhaupt uter eier Ivestitio zu verstehe ist. Hadelt es sich um eie Ivestitio, we ei Uterehme Schulugsmaßahme zur Erhöhug der Fähigkeite ud Ketisse seier Mitarbeiter durchführt? Gilt das Gleiche, we Uterehmesressource i eie Umstrukturierug oder fiazielle Mittel i die Werbug ivestiert werde? Oder hadelt es sich ur da um eie Ivestitio, we Vermögesgegestäde erworbe werde, die im Laufe der Nutzugsdauer abgeschriebe werde köe? Uterschiedliche Ivestitiosbegriffe führe zu uterschiedliche Atworte auf diese Frage. Folgt ma dem Bilazorietierte Ivestitiosbegriff, so ist eie Ivestitio eie Kapitalverwedugsetscheidug, die sich als Vermögesposte auf der Aktivseite der Bilaz widerspiegelt, währed sich Fiazierugsetscheiduge i erster Liie als Dispositio der Kapitalstruktur, also als Frage der Kapitalherkuft auf der Passivseite der Bilaz maifestiere (vgl. Abb. 2.1).

2 34 Ivestitio Abb. 2.1: Ivestitio ud Fiazierug i der Bilaz Aktiva Passiva Vermögesstruktur Kapitalstruktur = Kapitalverwedug = Kapitalherkuft = Ivestitio = Fiazierug Quelle: eigee Darstellug So führe gemäß diesem Begriff Ivestitioe immer zu Veräderuge der Bilaz: Ei Aktivtausch ergibt sich bei Vermögesumschichtuge, we also Ivestitioe mit bereits vorhadee Mittel durchgeführt werde, ud eie Aktiv-Passiv-Mehrug ist da gegebe, we für Ivestitioe solche Fiazierugsmaßahme ergriffe werde, die zum Zufluss euer fiazieller Mittel führe. Aus dieser Sicht wäre Schulugsmaßahme, Werbug oder Umstrukturieruge icht als Ivestitio, soder lediglich als Koste zu iterpretiere. Zu eiem adere Ergebis gelagt ma, we ma de Zahlugsorietierte Ivestitiosbegriff zugrude legt: Ivestitioe lasse sich immer als Reihe vo Zahluge darstelle, die i der Regel mit eier Auszahlug begit (vgl. Götze (28), S. 5.) ud über die Ivestitiosdauer zu Eizahlugsüberschüsse führt (vgl. Abb. 2.2). Uter Eizahlug wird gemäß kosterecherischer Defiitio dabei der Zugag liquider Mittel verstade Abb. 2.2: Ivestitio als Zahlugsreihe i der Zeit Zeit Quelle: eigee Darstellug Fiazieruge higege lasse sich als geau gegesätzliche Zahlugsreihe darstelle (vgl. Abb. 2.3). Hier begit die Zahlereihe mit eier Eizahlug ud es folge währed der Fiazierugsdauer etsprechede Auszahluge,

3 Ivestitio 35 wobei uter Auszahluge demgemäß Abgäge liquider Mittel zu verstehe sid. 1 Abb. 2.3: Fiazierug als Zahlugsreihe i der Zeit Zeit Quelle: eigee Darstellug Der Zahlugsorietierte Ivestitiosbegriff ist somit weiter gefasst als der Bilazorietierte Begriff. Auch Ivestitioe i Werbug, Umstrukturieruge oder Schulugsmaßahme führe zu Auszahluge ud werde deshalb getätigt, um zusätzliche Erlöse oder Vermideruge der Koste zu erziele, die sich a etsprechede Eizahlugsüberschüsse messe lasse. Abb. 2.4: Übersicht der Ivestitiosarte Ivestitiosarte Bilazierbare Ivestitioe Nicht bilazierbare Ivestitioe Fiazivestitioe Sachivestitioe Immaterielle Ivestitioe Erstivestitioe Ergäzugsivestitioe Erhaltugsivestitioe Erweiterugsivestitioe Veräderugsivestitioe Quelle: eigee Darstellug ach Grob (26), S.4 ud Zimmerma (23), S. 12

4 36 Ivestitio Verwedet ma de weitere Zahlugsorietierte Ivestitiosbegriff, so lässt sich eie Vielzahl uterschiedlicher Typologie der Ivestitiosarte aufstelle. Eie Übersicht zeigt Abb Bei Olfert fidet ma folgede Uterscheidugskriterie (vgl. Abb. 2.5): Abb. 2.5: Grudstruktur der Ivestitiosarte Quelle: Eigee Darstellug ach Olfert/Reichel (26), S.29 Abb. 2.6: Wirkugsbezogee Ivestitioe Wirkugsbezogee Ivestitioe Nettoivestitioe Ersatzivestitioe Grüdugsivestitioe Erweiterugsivestitioe Ersatzivestitioe Ratioalisierugsivestitioe Umstellugsivestitioe Diversifikatiosivestitioe Bruttoivestitioe Quelle: vgl. Olfert/Reichel (26), S.31 Diese Ivestitiosarte lasse sich u weiter aufglieder: Währed ma uter de Begriff der objektbezogee Ivestitioe Fiaz- ud Sachivestitioe fasse ka, falle uter icht bilazierbare, immaterielle Ivestitioe

5 Ivestitio 37 solche i Werbug, Ausbildug oder Forschug ud Etwicklug. Sostige Ivestitioe lasse sich z.b. ach zeitlicher Reichweite i operative, taktische oder strategische Ivestitioe differeziere. Die wirkugsbezogee Ivestitioe lasse sich etspreched Abb. 2.6 systematisiere. I dieser Darstellug erket ma, dass die Gesamtheit der Ivestitioe (=Bruttoivestitioe) sich i solche aufteile lässt, die zur Erhaltug des Kapitalstocks otwedig sid, ud solche, die zu eier Erhöhug desse führe (= Nettoivestitioe) Ivestitio als Etscheidugsproblem Sicherheit bedeutet, dass kei Zweifel am Eitrete eies bestimmte Ereigisses besteht (vgl. Däumler (27)). Ivestitiosetscheiduge sid jedoch i der Regel mit dem Risiko behaftet, dass die agestrebte Zielsetzuge icht erreicht werde. So herrscht Usicherheit bezüglich wesetlicher Faktore wie der tatsächliche Höhe der Eizahluge, der Auszahluge, der Nutzugsdauer ud der Etwicklug des Zissatzes, der eie etscheidede Eifluss auf die Profitabilität eier Ivestitio hat. Isbesodere die Progose des Umsatzes, also der Eizahlugsseite, ist schwierig ud hägt damit zusamme, iwieweit ei Betriebstyp de Erwartuge seies Abehmerkreises gerecht wird (vgl.: Liebma/Zetis/Swoboda (28), S.438). Allgemei gilt: Je größer die Azahl der alterative Umweltzustäde, desto ukalkulierbarer ist die Usicherheit (vgl.: Liebma/Zetis/Swoboda (28), S.438). Diese Zustäde der Usicherheit lasse sich u weiter differeziere (vgl. Abb. 2.7). Abb. 2.7: Übersicht der Etscheidugssituatioe Etscheidugssituatioe Usicherheit Sicherheit Uwisse Ugewissheit Risiko Quelle: eigee Darstellug ach Olfert/Reichel (26), S.29

6 38 Ivestitio So spricht ma vo Uwisse, we die zuküftige Ereigisse ubekat sid, vo Ugewissheit, we ma zwar Ketis über die mögliche Ereigisse hat, ihre Wahrscheilichkeite aber ubekat sid, ud vo Risiko, we ma mögliche Ereigisse ud dere Wahrscheilichkeit ket. Nu wird a de meist agewadte Verfahre der Ivestitiosrechug, bei dee uter Aahme sicherer Erwartuge kalkuliert wird, häufig kritisiert, dass die ageommee Kalküle ohehi icht vorhersehbar sid, ud hieraus gefolgert, dass ma sich daher zumidest größere Recheaufwad spare ka. Dem köte ma etgege halte, dass durch de Eisatz der Ivestitiosrecheverfahre zumidest diejeige Ivestitiosalterative ausgeschlosse werde köe, die uter der Aahme des Eitretes der Voraussage im Hiblick auf die Zielsetzug auf jede Fall ieffektiv ud ieffiziet sid. Dies ist gegeüber de i der betriebliche Praxis mituter vorzufidede Bauchetscheiduge als Reduzierug vo Usicherheit zu sehe. Die Bewertug der Ivestitiosalterative ud damit der Eisatz uterschiedlicher Recheverfahre ist abhägig vom Etscheidugsproblem ud der quatitative Zielsetzug des Uterehmes bzw. der Ivestore (vgl. Olfert/Pischulti (27), S.193). Zwei Arte vo Ivestitiosetscheiduge köe sich stelle (vgl. Walz/ Gramlich (24), S.24): (1) die Beurteilug isolierter Eizelprojekte (Wahleizeletscheiduge) (2) ud die vo Kombiatioe uterschiedlicher Ivestitios- ud Fiazierugsprojekte zu eiem Gesamtprogramm. (Wahlprogrammetscheiduge) Hierbei ergebe sich folgede kokrete Fragestelluge: (1) Ist eie Ivestitio vorteilhaft? Die Vorteilhaftigkeit lässt sich etspreched der Ivestitiosziele uterschiedlich defiiere (vgl. Olfert/Reichel (26), S.72): Retabilität: Ziel der Ivestore ist hier eie möglichst hohe Verzisug des eigesetzte Kapitals. Vermöge: Der Ivestor strebt ach Reichtum. Im Gegesatz zur Retabilität liegt der Fokus hier auf Geldeiheite i Form vo Cash. Gewi: Hierbei ka der absolute Gesamtgewi oder der durchschittliche Periodegewi als Kriterium heragezoge werde.

7 Ivestitio 39 Koste: Sid eier Ivestitio keie Eizahluge zuzuorde, so sid die mit ihr verbudee Koste ei mögliches Kriterium der Beurteilug. Amortisatiosdauer: Gemäß Sicherheitsstrebe der Ivestore ist die Alterative vorzuziehe, die de Rückfluss der verauslagte Mittel am schellste sicherstellt. Die aufgeführte Ziele stehe zum Teil im Widerspruch zueiader: Reditestrebe (Retabilität, Vermöge, Gewi) ud gleichzeitig große Sicherheit (schelle ud sichere Amortisatio des eigesetzte Kapitals) gepaart mit möglichst hoher Liquidität (jederzeitige Verfügbarkeit des eigesetzte Kapitals) lasse sich icht ohe weiteres miteiader verküpfe. Sichere Ivestitioe sid oft uretabel, retable Ivestitioe dagege oft lagfristig ud mit erhöhtem Risiko verbude. Gemäß des magische Dreiecks, das dieses Spaugsfeld zwische Redite, Sicherheit ud Liquidität symbolisiere soll (vgl. Abb. 2.8), muss sich der Ivestor gemäß seier persöliche Eistellug positioiere. Abb. 2.8: Magisches Dreieck der Ivestitiosziele Quelle: eigee Darstellug (2) Welche Nutzugsdauer ist die vorteilhafteste? Bei der Beurteilug verschiedeer Ivestitiosalterative muss im Vorfeld auch eie Etscheidug über dere Nutzugsdauer getroffe werde (ex ate). Sowohl eizele Ivestitioe als auch Ivestitioskette aus idetische oder verschiedee Folgeivestitioe köe je ach Nutzugsdauer uterschiedlich profitabel sei, de sobald die och zu erwartede Eizahlugsüberschüsse eier Ivestitio geriger sid als der mit der Weiterutzug verbudee Wertverlust, so ist eie Weiterutzug icht sivoll.

8 4 Ivestitio (3) Wa soll eie bereits getätigte Ivestitio ersetzt werde? Diese als Ersatzproblem bekate Fragestellug basiert auf de gleiche Zusammehäge, uterscheidet sich aber dari, dass währed der Nutzugsdauer immer wieder überprüft werde muss, ob ei vorzeitiger Ersatz sivoll ist. Abb. 2.9: Ivestitiosrechemodelle uter Aahme sicherer Erwartuge Ivestitiosetscheiduge Eizeletscheiduge Programmetscheiduge Total- Modelle (VoFi) Dea- Modell Lieare Programmierug Klassische Partialmodelle Statische Partialmodelle Dyamische Partialmodelle Kostevergleich Gewivergleich Retabilität Amortisatiosdauer Kapitalwert Auitäte Iterer Zisfuß Dyamische Ammortisatio Quelle: eigee Darstellug ach Olfert/Reichel (26), S.72 Im Folgede soll zur Vereifachug ur auf die klassische Partialmodelle im Rahme vo Eizelivestitioe eigegage werde.

9 Ivestitio Statische Verfahre der Ivestitiosrechug Lerziele Dieses Kapitel vermittelt: Grudaahme ud Vorgehe der statische Verfahre Vorteile ud Schwäche der statische Verfahre Grudlage der statische Verfahre Die statische Verfahre erfreue sich trotz graviereder Schwäche i der Praxis och immer großer Beliebtheit (vgl. Wöhe (25), S. 595). Dies liegt zum große Teil dara, dass diese Verfahre mit gerigem Recheaufwad verbude sid ud dass es zur Durchführug weig mathematischer Ketisse bedarf. Zum adere ist es historisch bedigt, da sich die statische Ivestitiosrecheverfahre aus dem Rechugswese heraus etwickelt habe. Zu de Statische Verfahre zähle die folgede Methode: Kostevergleichsrechug Gewivergleichsrechug Retabilitätsrechug Statische Amortisatiosrechug. Alle gemeisam sid die folgede Grudaahme: (1) Als für die Beurteilug eier Ivestitio relevate Date werde Ergebisgröße wie Koste ud Leistuge betrachtet. (2) Hierbei wird icht die Summe der gesamte Koste oder Leistuge über die Nutzugsdauer betrachtet, soder die sich aus de jeweilige Summe ergebede Durchschittsgröße pro Periode. Das bedeutet, dass diese Durchschittsperiode als repräsetativ für alle zuküftige Periode agesehe wird (vgl.: Ziegebei (1989), S.292). Der zeitliche Afall der mit der Ivestitio afallede Zahluge spielt dabei keie Rolle. So ist es gemäß der statische Verfahre gleichgültig, wa die afallede Koste ud Leistuge ierhalb der Ivestitiosdauer realisiert werde. Die beide i Tabelle 2.1 dargestellte Ivestitiosalterative werde somit als gleichwertig betrachtet:

10 42 Ivestitio Tab. 2.1: Zeitlicher Afall vo Zahluge zweier Ivestitioe Ei-/Auszahluge t= t=1 t=2 Ivestitio A Ivestitio B Quelle: eigee Darstellug Aus eifache ökoomische Überleguge heraus liegt es auf der Had, dass potezielle Ivestore Alterative A lieber wäre: Bei Alterative A sid durch die höhere Rückzahlug i t = 1 gerigere Fiazierugskoste zu leiste oder ei höherer Zisertrag i t = 2 zu erwarte Der Grud für die Vorteilhaftigkeit vo Alterative A liegt i der Fiazmathematik bzw. der Zisrechug. Dies lässt sich aber im Rahme der statische Verfahre icht abbilde, was auch scho eie Kritikpukt a diese Verfahre vorwegimmt Kostevergleichsrechug Vorgehesweise bei der Kostevergleichsrechug Die Kostevergleichsrechug ka da zur Awedug komme, we es um die Beurteilug solcher Ivestitioe geht, dee etweder keie Erlöse zugeordet werde köe oder dere Erlöse gleich sid. So würde zum Beispiel die Aschaffug eier Reiigugsmaschie für die Produktioshalle eies Idustriebetriebes keie am Markt verwertbare Leistuge erbrige. Voraussetzug dabei sollte aber sei, dass die Qualität der durch die Ivestitiosalterative ermöglichte Leistuge idetisch ist. Grudaussage des Kostevergleichs ist, dass Ivestitio A der Ivestitio B da vorzuziehe ist, we gilt (vgl. hierzu ud im Folgede Olfert/Reichel (26), S. 15 ff): K A K B (2.1) mit: K A = Durchschittliche Gesamtkoste pro Periode durch Ivestitio A K B = Durchschittliche Gesamtkoste pro Periode durch Ivestitio B Diese Koste lasse sich weiter i fixe ud variable Bestadteile aufglieder:

11 Ivestitio 43 K f A K v A K f B K v B (2.2) mit: f f K A ud K B als fixe Kostebestadteile ud Kostebestadteile der Alterative A ud B. v K A ud v K B als variable Bei der Errechug der fixe ud variable Bestadteile sid folgede Größe zu erfasse: Als variable Koste eier Ivestitiosalterative sid die spezifisch für sie afallede Aufweduge für Löhe, Material- oder Eergieverbrauch zu erfasse. Sie werde im Folgede mit K v bezeichet ud beziehe sich immer auf die Durchschittsperiode. Als fixe Koste sid die mit der Ivestitio verbudee spezifische Fixkoste wie z.b. solche, die sich durch Wartugsverträge o. Ä. ergebe, so wie die für alle Ivestitioe afallede kalkulatorische Ziskoste ud Abschreibuge zu erfasse. Erfassug der Abschreibuge: Grudsätzlich wird vo liearer, kalkulatorischer Abschreibug ausgegage. Die Aschaffugskoste werde damit gleichmäßig auf die eizele Jahre der Nutzug verteilt (vgl. Weber/Weißeberger (26), S. 415), wobei die dabei zu Grude gelegte Nutzugsdauer icht techisch, soder wirtschaftlich bedigt festgelegt wird. So ergibt sich als Abschreibug der Periode (AfA): A R AfA mit: A = Aschaffugswert, R = Restwert, = Nutzugsdauer (2.3)

12 44 Ivestitio Erfassug der Zise: Basis der Errechug der (kalkulatorische) Zise eier Ivestitio ist das durchschittlich pro Periode gebudee Kapital (vgl. Abb. 2.1). Abb. 2.1: Durchschittlich gebudees Kapital durch eie Ivestitio Kapital A durchschittliche Kapitalbidug R /2 Zeit Quelle: eigee Darstellug Somit erhält ma hierfür folgede Ausdruck: Durchschittskapital Hieraus ergebe sich als Ziskoste: A R 2 (2.4) Ziskoste A R i 2 (2.5) Fasst ma u die spezifische Koste eier Ivestitio ud die Zise ud Abschreibuge zusamme, so sid die Durchschittskoste K durch folgede Ausdruck darstellbar: K K A R A R r 2 f K v (2.6) Folgedes Beispiel verdeutlicht das Vorgehe (vgl. Tab. 2.2):

13 Ivestitio 45 Quelle: eigee Darstellug Tab. 2.2: Kostevergleich zweier Alage Alage 1 Alage 2 Koste pro Jahr 1.Date der Alage Aschaffugswert Nutzugsdauer (Jahre) Fixkoste AfA/Jahr Zise (1%) sostige Fixkoste Summe Fixkoste Variable Koste Löhe Betriebsstoffe Eergiekoste Summe variable Koste Gesamtkoste Der Vergleich zweier Ivestitioe mit uterschiedlicher Nutzugsdauer stellt kei Problem dar, we ma davo ausgeht, dass ach Abschluss der Ivestitio mit der kürzere Nutzugsdauer eie zumidest gleichwertige Aschlussivestitio getätigt werde ka, die da midestes zu gleich iedrige Koste verläuft. Daher ka ma beim Vergleich der Ivestitioe vo durchschittliche Koste pro Periode ausgehe Kostevergleich beim Ersatzproblem Eie häufige Awedugssituatio der Kostevergleichsrechug stellt das Ersatzproblem dar. Hier ist die Frage zu kläre, ob eie bereits durchgeführte Ivestitio eie weitere Periode fortgeführt oder ob eie Ersatzivestitio getätigt werde sollte. Ziel dieses Ivestitioscotrollig ist die Revisio der Zielerreichug über die Restutzugsdauer durch Apassugsetscheiduge zur Gegesteuerug (vgl.: Heyd (2), S.76). So vergleicht ma die Koste eier eue Ivestitiosalterative (eue Alage), die auf die bereits gezeigte Art erfasst werde, mit dee der vorhadee Ivestitio (alte Alage), wobei diese aus de spezifische fixe ud variable Koste, de für die ächste Periode afallede Zise des gebudee Kapitals ud dem im Lauf der ächste Periode zu erwartede Wertverlust bestehe. Existiert zum Zeit-

14 Ivestitio 46 pukt der Prüfug kei Restwert für die alte Alage mehr, so ist zu kläre, ob gilt: (2.7) mit: A f K spezifische Fixkoste der alte Alage A v K spezifische variable Koste der alte Alage N f K spezifische Fixkoste der eue Alage N v K spezifische variable Koste der eue Alage N A Aschaffugswert der eue Alage N R Restwert der eue Alage Ist dies der Fall, so ist die bisherige Ivestitio fortzuführe. Existiert zum Zeitpukt der Prüfug jedoch bei der alte Alage ei Restwert, so ergibt sich folgeder Zusammehag zur Klärug: (2.8) mit: A R Restwert der alte Alage zum aktuelle Zeitpukt A R 1 Restwert der alte Alage zum Ede der ächste Periode Ist dies der Fall, so ist auch hier die bisherige Ivestitio fortzuführe. Das achfolgede Beispiel soll das Vorgehe des Kostevergleichs beim Ersatzproblem verdeutliche. N v N N N N N f A v A f K r R A R A K K K 2 A v A A A A A f K r R R R R K 2 ) ( 1 1 N v N N N N N f K r R A R A K 2

15 Ivestitio 47 Tab. 2.3: Kostevergleich beim Ersatzproblem alte Alage eue Alage Koste pro Jahr 1.Date der Alage Aschaffugswert Nutzugsdauer (Jahre) 8 8 Restutzugsdauer 3 8 Zissatz 1% 1% Restbuchwert alte Alage: t =5. t 1 =3. 2. Fixkoste AfA/Jahr 3. Zise (1%) Liquidatiosverlust (R -R 1 ) 2. Summe Fixkoste Variable Koste Gesamtkoste Quelle: eigee Darstellug Im Beispiel ist die Beibehaltug der alte Alage für ei weiteres Jahr kostegüstiger Uterschiedliche Kostestruktur beim Ersatzproblem Beim Vergleich alterativer Alage spielt die geplate Kapazitätsausutzug eie wichtige Rolle. Uterscheide sich zwei Ivestitioe i ihrer Kostestruktur, so lässt sich für jede Ivestitio ei Nutzugsbereich agebe, ierhalb desse sie die güstigere Alterative ist. Folgedes Beispiel veraschaulicht dies: Seie die Kostefuktioe der Ivestitioe 1 ud 2 durch folgede Ausdrücke gegebe: K 1 = ,17 X ud K 2 = ,47 X Ma erket, dass mit Ivestitio 1 im Vergleich zu Ivestitio 2 zwar gerigere Fixkoste, dafür aber höhere variable Stückkoste verbude sid.

16 48 Ivestitio Abb. 2.11: Ermittlug der kritische Mege Koste Ivestitio 1 güstiger Ivestitio 2 güstiger K K2 Zeit 11. Mege Quelle: eigee Darstellug So uterscheide sich beide Kostefuktioe i Achseabschitt ud Steigug ud habe damit eie Schittpukt. Setzt ma beide Fuktioe gleich, so erhält ma diese Pukt gleicher Koste (kritische Mege) für die Ausbrigugsmege X = 11. (vgl. Abb. 2.11). Der Ivestor muss also plae, welche Kapazität er auf Dauer utze wird, um etscheide zu köe, welche Ivestitio für ih güstiger ist Gewivergleichsrechug Nur da, we bei alle Ivestitiosalterative der zurechebare Nettoerlös pro Stück gleich ist, sowie die Produktios- ud Absatzmege ebefalls icht vo der Alterativewahl abhägt, stimme kostegüstigste ud gewigüstigste Alterative überei (Troßma (1998), S. 95). Für de Fall, dass diese Bediguge icht erfüllt sid, ist die Kostevergleichsrechug also icht awedbar. Hier setzt die Gewivergleichsrechug a, die die Erweiterug der Kostevergleichsrechug um die Erfolgsseite darstellt. Quatitative ud qualitative Uterschiede vo Ivestitiosalterative, die sich i uterschiedliche Erlöse widerspiegel, werde durch dieses Verfahre erfasst.

17 Ivestitio 49 Vorteilhaftigkeitskriterium ist somit der durchschittliche Periodegewi der Alterative. Er errechet sich wie folgt: G E K (2.9) mit G = Periodegewi, E = Periodeerlös ud K = durchschittliche Periodegesamtkoste Dies lässt sich detailliert darstelle, i dem ma vom Erlös (=Preis Mege) die aus der Kostevergleichsrechug bekate Koste subtrahiert: A R A R G P X K (2.1) f r K v 2 mit P = Preis ud X = Mege Tab. 2.4: Gewivergleich zweier Ivestitioe Alage 1 Alage 2 1.Date der Alage Aschaffugswert Nutzugsdauer (Jahre) Fixkoste AfA/Jahr Zise (1%) sostige Fixkoste Summe Fixkoste Variable Koste Löhe Betriebsstoffe Eergiekoste Summe variable Koste Gesamtkoste Erlöse Preis 6 4,5 Mege Erlöse Gewi Quelle: eigee Darstellug

18 5 Ivestitio Das i Tab. 2.4 dargestellte Beispiel soll das Vorgehe veraschauliche. Ma erket, dass die Kosteachteile, die mit Alage 1 verbude sid, durch die erheblich höhere Erlöse mehr als kompesiert werde ud ma sich ach Gewivergleichsrechug für diese Ivestitio etscheide wird Retabilitätsrechug Vorgehesweise bei der Retabilitätsrechug Steht icht mehr die absolute Höhe der durchschittliche Periodegewie im Vordergrud, soder soll eie möglichst hohe Verzisug des eigesetzte Kapitals erzielt werde, so bietet sich als Methode zur Feststellug der Vorteilhaftigkeit vo Ivestitiosalterative die Retabilitätsrechug a. I dem der zu erzielede Gewi is Verhältis zum ivestierte Kapital gesetzt wird, der Erfolg also i Relatio zum Eisatz bewertet wird, berücksichtigt dieses Verfahre, dass Kapital icht ubeschräkt verfügbar ist. Vorteilhaftigkeitskriterium: Die im Rahme der Retabilitätsrechug ermittelte Verzisug (r) des eigesetzte Kapitals eier Ivestitio wird bei Verwedug vo Eigekapital mit der Verzisug vergliche, die sich durch im Risiko vergleichbare Alage auf dem Kapitalmarkt ergebe würde. Fidet Fremdkapital zur Fiazierug der Ivestitio Awedug, so wird mit dem hierfür zu zahlede Fremdkapitalzissatz vergliche. Wird durch Eige- ud Fremdkapital fiaziert, muss ei etspreched ermittelter Mischzissatz aus Eigekapitalzissatz ud Fremdkapitalzissatz als Vergleich heragezoge werde (Üblicher Zissatz ist hierbei der sog. WACC (Weighted Average Cost of Capital). Vergleiche hierzu Groll (23), S. 4ff ). Somit ergebe sich folgede Etscheidugsregel: 1. Gilt für die ermittelte Retabilität r: r Vergleichszissatz, so ist eie Ivestitio vorteilhaft. 2. Liege mehrere Alterative vor, so ist die mit der höchste Retabilität zu wähle, sofer für sie die uter 1. geate Bedigug erfüllt ist.

19 Ivestitio 51 Errechug der Retabilität: Als Gewigröße diet der aus der Gewivergleichsrechug bekate Ausdruck. Da aber mit de jeweilige Kapitalkoste vergliche wird, die vo Uterehme zu Uterehme je ach Kapitalstruktur uterschiedlich hoch sei köe, dürfe diese Kapitalkoste i der Gewiermittlug icht bereits abgezoge sei. Falls doch, muss der etsprechede Gewi um die Ziskoste wieder erhöht werde (=Gewi vor Zise). Tab. 2.5: Retabilitätsvergleich zweier Ivestitioe Alage 1 Alage 2 1.Date der Alage Aschaffugswert Nutzugsdauer (Jahre) Fixkoste AfA/Jahr sostige Fixkoste Summe Fixkoste Variable Koste Löhe Betriebsstoffe Eergiekoste Summe variable Koste Gesamtkoste Erlöse Preis 5 6 Mege Erlöse Gewi (vor Zise) Durchschittliche Kapitalbidug Retabilität i % 3,75 27,92 Quelle: eigee Darstellug Als Kapitalgröße kommt gemäß Durchschittsprizip der statische Verfahre ur das durchschittlich gebudee Kapital i Frage. So ergibt sich zur Errechug der Retabilität r folgeder Ausdruck:

20 52 Ivestitio A R P X K f K v r A R 2 bzw. aders dargestellt: A R 2 P X K f K r A R v (2.11) (2.12) Das Beispiel i Tab. 2.5 zeigt die Systematik Ergäzugsivestitioe bei uterschiedliche Aschaffugswerte I Tabelle 2.5 fällt auf, dass die beide miteiader verglichee Ivestitioe i ihre Aschaffugswerte stark differiere. Soll ei Vergleich aussagekräftig sei, so muss (zumidest bei Eisatz vo Eigekapital) bei Errechug der Retabilitäte beachtet werde, mit welchem Zissatz der Differezbetrag der Aschaffugswerte (hier 4. ) agelegt werde ka. Was utzt es schließlich, we ei Teil des zur Verfügug stehede Kapitals zwar über die Ivestitio retabel verzist wird, der übrige Teil des Kapitals aber brach liegt? Es muss somit eie Ergäzugsivestitio über de Differezbetrag is Kalkül eibezoge werde (vgl. Tab. 2.6). Eie dekbare Variate ist beispielsweise die Alage am Geld- bzw. Kapitalmarkt.

21 Ivestitio 53 Tab. 2.6: Retabilitätsvergleich mit Ergäzugsivestitio Alage 1 Alage 2 1.Date der Alage Aschaffugswert Nutzugsdauer (Jahre) Fixkoste AfA/Jahr sostige Fixkoste Summe Fixkoste Variable Koste Löhe Betriebsstoffe Eergiekoste Summe variable Koste Gesamtkoste Erlöse Preis 5 6 Mege Erlöse Gewi (vor Zise) Durchschittliche Kapitalbidug Retabilität i % 3,75 27,92 9. Ergäzugsivestitio Retabilität der Ergäzugsivestitio i % (Wert vorgegebe) 12, Gesamtretabilität i % 24,58 27,92 Quelle: eigee Darstellug Statische Amortisatiosrechug Steht für de Ivestor aufgrud vo Sicherheitsstrebe die Frage im Vordergrud, wie lage es dauert, bis die durch eie Ivestitio verauslagte Mittel wieder über de Erlösprozess is Uterehme zurück fließe, lässt sich als Messistrumet die Amortisatiosdauer awede. Hierbei sid verschiedee Asätze möglich: Betrachtet ma die erwartete Periodegewie i ihrer absolute Höhe im zeitliche Ablauf, so ka ma die Amortisatiosdauer durch Gegeüberstellug der kumulierte Durchschittsgewie (vor Abschreibuge) mit der Aschaffugsauszahlug ermittel (vgl. Abb. 2.12).

22 54 Ivestitio Abb. 2.12: Ermittlug der Amortisatiosdauer durch Kumulatio der Periodegewie Quelle: eigee Darstellug Ma erket, dass die Amortisatiosdauer im Beispiel 3 Jahre ud 3 Moate beträgt. Als eiziges der Praktikerverfahre schaut die Amortisatiosrechug auch Pay-off-Methode geat über de Tellerrad eier repräsetative Eizelperiode hiaus (Wöhe (25), S.598). Die gilt allerdigs icht ueigeschräkt, we die Amortisatiosdauer (wie i Formel 2.13 bzw dargestellt) dadurch ermittelt wird, dass die Aschaffugsauszahlug is Verhältis zum durchschittliche Periodegewi gesetzt wird. t Amortisatiosdauer G AfA * A (2.13) A R G P X K (2.14) v K f r 2 Die Abschreibuge werde auch i dieser Variate dem Gewi wieder hizu gerechet, da sie icht zu Auszahluge führe. Ist eie Ivestitio ur durch Eigekapital fiaziert, so dass es zu keie Auszahluge für Zise kommt, oder möchte ma ur die reie operative Ertragskraft der Ivestitio

23 Ivestitio 55 über die Amortisatioszeit messe, so ka als Ertragsgröße auch der Gewi vor Zise verwedet werde. Tabelle 2.7 zeigt das Verfahre am bereits bekate Beispiel. Die maximale Amortisatiosdauer ist (im Zusammehag mit dem gewählte Verfahre) durch die diesbezügliche Vorstelluge der Ivestore festgelegt. Ist die Amortisatiosdauer jedoch läger als die Nutzugsdauer, so reicht diese icht aus, um die verauslagte Mittel wieder is Uterehme zurückfließe zu lasse. Die Ivestitio ist da mit Verlust verbude. Tab. 2.7: Amortisatiosrechug zweier Ivestitioe Alage 1 Alage 2 1.Date der Alage Aschaffugswert Nutzugsdauer (Jahre) Fixkoste Zise (1%) sostige Fixkoste Summe Fixkoste Variable Koste Löhe Betriebsstoffe Eergiekoste Summe variable Koste Gesamtkoste Erlöse Preis 5 6 Mege Erlöse Gewi (vor AfA) Amortisatiosdauer (Periode) 4,37 4,66 Quelle: eigee Darstellug I beide obe dargestellte Variate wurde de Periodegewie die Aschaffugsauszahlug gegeübergestellt. Ma fidet aber auch häufig de Asatz, die Aschaffugsauszahlug bei der Berechug der Amortisatiosdauer um de ach Ablauf der Ivestitiosdauer zu erwartede Restwert zu reduziere. Hierfür spricht, dass die Realisatio dieses Restwertes i.d.r. icht vom Ivestitioserfolg abhägig ud daher mit weiger Risiko belastet ist. Dagege spricht allerdigs, dass auch dieser Restwert zum gebudee Kapital zählt ud er als Eizahlugsüberschuss iterpretierbar ist, der erst zum Ede der Ivestitiosdauer erfolgt.

24 56 Ivestitio 2.3 Dyamische Ivestitiosrecheverfahre Lerziele Dieses Kapitel vermittelt: die Übertragug des Barwertprizips auf die Ivestitiosrechug dass die uterschiedliche Verfahre verschiedee Zielsetzuge der Ivestore etspreche dass Ivestitiosdaueretscheiduge Eifluss auf die Profitabilität vo Eizelivestitioe ud Ivestitioskette habe de Eifluss vo Steuer auf die Vorteilhaftigkeit vo Ivestitioe Eiführug i die dyamische Ivestitiosrechug Das so geate Barwertprizip (vgl. hierzu Kapitel 1) ist die zetrale Basis der mehrperiodische Istrumete der Wirtschaftlichkeitsrechug. Es soll daher im Folgede ochmals kurz thematisiert werde (vgl. hierzu auch Zimmerma (23), S. 43ff). Uterscheide sich zwei Ivestitioe, die je aus eier Auszahlug ud eier Eizahlug bestehe, ur durch die Reihefolge dieser Zahluge, so führt dies durch die Durchschittsbildug i de Statische Ivestitiosrecheverfahre icht zu eier uterschiedliche Bewertug der Alterative, obwohl es auf der Had liegt, dass ei Ivestor die Ivestitio tätige wird, die mit eier Eizahlug begit (Spezialfall: Kauf eies Nutzfahrzeugs bei späterer Zahlug). Es ist daher otwedig, de Zeitpukt der Zahluge i die Berechug eizubeziehe. Die Quatifizierug der zeitliche Uterschiede vo Zahluge geschieht durch Verzisug. Verleiht ma z.b. eie Geldbetrag, so verzichtet ma auf Liquidität, ka i dieser Zeit keie Gewi mit dem Geld erwirtschafte ud hat überdies das Risiko, de verliehee Betrag icht zurück zu erhalte. Der Preis für diese Nachteile ist der Zis, wobei die Verzisug ormalerweise umso größer ist, je läger ma auf eie Zahlug wartet. Eiem Betrag K (die Null steht für de jetzige Zeitpukt) etspricht also ei durch Verzisug höherer Betrag K 1 (die Eis steht z.b. für de Zeitpukt ach eiem Jahr oder eier Periode) oder umgekehrt betrachtet ist der Betrag K 1 auf de

25 Ivestitio 57 jetzige Zeitpukt bezoge geau K wert (siehe Abb. 2.13). Damit ist K der Barwert der Zahlug K 1. Abb. 2.13: Idifferez zweier Zahluge zu zwei Zeitpukte Kapital K K 1 1 t=zeit Quelle: Eigee Darstellug Defiitio: Der Barwert eier i Zukuft liegede Zahlug ist der Betrag, der dieser zuküftige Zahlug heute etspricht. Etschließt sich ei Uterehme, Geld für eie Ivestitio zu verwede, so steht i.d.r. am Afag (t=) ei Ivestitiosbetrag (I ), der über die Laufzeit der Ivestitio etsprechede Eizahlugsüberschüsse (d t ) folge. Eie Übertragug des Barwertprizips auf die Ivestitiosrechug bedeutet u, dass die uterschiedliche Zeitpukte der Zahluge zu uterschiedlicher Bewertug dieser führe. Um die Vorteilhaftigkeit eier Ivestitio beurteile zu köe, müsse deshalb alle mit ihr verbudee Zahluge auf eie Zeitpukt bezoge werde. Die hiermit erreichte Aussagekraft der Verfahre ist mit erheblich größerem Recheaufwad verbude als die Durchführug der Statische Verfahre. Als Eiwad gege die dyamische Verfahre wird deshalb häufig ageführt, dass diese aufgrud ihrer Komplexität i der Uterehmespraxis eher selte Awedug fide. Diesem Eiwad muss aber etgege gehalte werde, dass die Qualität eies Messistrumetes icht dadurch schlechter wird, dass seie Awedug Etscheidugsträ-

26 58 Ivestitio ger zu aufwedig erscheit. Isofer sollte dejeige, die die Frage stelle, wer de i der Praxis so rechet, etgeget werde, dass dies zumidest die besser Iformierte sid. I Zeite schwieriger Marktbediguge ist es im Iteresse der Uterehme, im Sie eier etscheidugsorietierte Betriebswirtschaftslehre Istrumete zur Verfügug zu habe, die zu eier Vermiderug des Uterehmesrisikos durch qualitativ bessere Iformatioe beitrage. So ist es icht verwuderlich, dass i de vergagee Jahrzehte ei verstärkter Eisatz der dyamische Verfahre zu vermerke ist (vgl. Blohm/Lüder/Schaefer (26), S.44) Kapitalwertmethode Kapitalwert bei jährlicher Zahlug ud jährlicher Verzisug Der Grudgedake der Kapitalwertmethode ist, dass alle Eizahluge ud alle Auszahluge, die durch eie Ivestitio verursacht sid, auf de Zeitpukt mit dem Kalkulatioszissatz des Ivestors abgezist werde. Ist die Differez der so erhaltee Barwerte der Zahluge größer als Null, so ist die Ivestitio für de Ivestor vorteilhaft. Die Durchführug eier Ivestitio begit i aller Regel mit eier Aschaffugsauszahlug zum Zeitpukt (I ). Im Laufe der Nutzugsdauer () etstehe währed der Periode (t) Eizahluge (e t ) ud Auszahluge (a t ), die sich zu Eizahlugsüberschüsse (z t =e t -a t ) zusammefasse lasse. Am Ede der Nutzugsdauer ka ei Restwert der Ivestitio (L ) vorhade sei, der wie eie zusätzliche Eizahlug zu betrachte ist. Bildet ma u die Differez der Barwerte aller Ei- ud Auszahluge, so lässt sich der Kapitalwert eier Ivestitio so darstelle: C mit I q 1 i t 1 z t q t L q (2.15) Somit brigt der Kapitalwert die zu erwartede Erhöhug oder Vermiderug des Geldvermöges bei gegebeem Verzisugsaspruch i Höhe des Kalkulatioszissatzes i ud wertmäßig auf de Begi des Ivestitioszeitraums bezoge zum Ausdruck (vgl. Blohm/Lüder/Schaefer (26), S.51). Die Summe der abgeziste Eizahlugsüberschüsse (iklusive Restwert) wird auch als Ertragswert E bezeichet, wobei dieser Begriff irreführed ist, da es sich hier icht um abgeziste Gewie, soder um abgeziste Cashflows hadelt. Graphisch lässt sich dieser Sachverhalt folgedermaße darstelle (Abb. 2.14):

27 Ivestitio 59 Kapital Abb. 2.14: Ertragswert eier Ivestitio d 3 d 2 Ertragswert d t Quelle: eigee Darstellug Somit ergebe sich für de Kapitalwert drei mögliche Fälle: (1) Der Ertragswert E der Ivestitio ist größer als die Aschaffugsauszahlug (Abb. 2.15): E>I => C > Die Ivestitio ist also vorteilhaft (2) Der Ertragswert E der Ivestitio ist kleier als die Aschaffugsauszahlug (Abb. 2.16): E<I => C < Die Ivestitio ist also icht vorteilhaft.

28 6 Ivestitio (3) Der Ertragswert E der Ivestitio ist geauso groß wie die Aschaffugsauszahlug (Abb. 2.17) E=I => C = Fiazalage ud Sachivestitio sid gleichwertig. Kapital Abb. 2.15: Positiver Kapitalwert z 3 C z 2 I z t Quelle: eigee Darstellug Abb. 2.16: Negativer Kapitalwert Kapital z 3 I -C E z 1 z t Quelle: eigee Darstellug

29 Ivestitio 61 Abb. 2.17: Kapitalwert i Höhe Null Kapital z 3 I z 2 E z t Quelle: eigee Darstellug Für de Fall kostater Eizahlugsüberschüsse (z t =z=kostat) lässt sich der Ausdruck für de Kapitalwert uter Zuhilfeahme des achschüssige Retebarwertfaktors (siehe Kapitel 1) wie folgt vereifache (Formel (2.16)): C I q z q 1 L i q (2.16) Kapitalwert bei jährlicher Zahlug ud uterjährlicher Verzisug Auch hier ka auf Kapitel 1 verwiese werde. Erfolgt die Verzisug auf ei Jahr so gilt Ausdruck (1.3), bei Jahre gilt Ausdruck (1.6). Bei der Übertragug dieses Zusammehages auf die Errechug des Kapitalwertes muss ma u davo ausgehe, dass die jährliche Eizahlugsüberschüsse ach ihrem Eigag uterjährlich verzist werde, bzw. bei der Ermittlug des Barwertes des Ertragswertes muss auch uterjährlich abgezist werde. Somit ergibt sich hier für de Kapitalwert (Formel (2.17)): C mt i I zt 1 L 1 t 1 m i m m (2.17)

30 62 Ivestitio Kapitalwert bei jährlicher Zahlug ud stetiger Verzisug Für die stetige Verzisug. gilt gleiches wie für die uterjährige Verzisug. Die Berechug erfolgte i Kapitel 1 ach Ausdruck (1.11). Bei der Übertragug dieses Zusammehages auf die Errechug des Kapitalwertes muss u davo ausgegage werde, dass die jährliche Eizahlugsüberschüsse ach ihrem Eigag stetig verzist werde, bzw. bei der Ermittlug des Barwertes des Ertragswertes muss auch stetig abgezist werde. Somit ergibt sich hier für de Kapitalwert (Formel (2.18): C I t 1 z t e it L e it (2.18) Kapitalwert bei stetiger Zahlug ud stetiger Verzisug Bisher wurde vereifached ageomme, dass die Eizahlugsüberschüsse eimal im Jahr, ud zwar am Ede des Jahres erfolge. Diese Aahme ist jedoch realitätsfremd. Vielmehr ist davo auszugehe, dass sich sowohl Eials auch Auszahluge mehr oder weiger gleichmäßig über das Jahr verteile. Die Verzisug der Eizahlugsüberschüsse muss diesem kotiuierliche Zahlugsstrom agepasst werde. Dies ka über die Betrachtug des Kapitalwertes bei stetiger Zahlug ud Verzisug methodisch erfasst werde. Abb. 2.18: Barwerte der Eizahlugsüberschüsse bei jährlicher Zahlug z*e t i*t Quelle: eigee Darstellug Itervallbreite=1

31 Ivestitio 63 Schließlich ist azuehme, dass z.b. ei Hadelsbetrieb, der i eie Kühltheke ivestiert, das gaze Jahr über mit Rückflüsse aus dem Verkauf seier Kühlware reche ka. Will ma diese stetige Zufluss der Eizahlugsüberschüsse i das Modell itegriere ud geht ma dabei vo stetiger Verzisug aus, so ka ma de Wert des Kapitalwertes durch folgede Zusammehag herleite: Die Barwerte der eizele jährlich erfolgte Eizahlugsüberschüsse bei stetiger Verzisug sid i obiger Grafik veraschaulicht (Abb. 2.18): D.h. der Wert z.b. des zweite Eizahlugsüberschusses ist durch de Ausdruck (2.19) gegebe: Barwert z i2 2 e 1 (2.19) Teilt ma de zweite Eizahlugsüberschuss i 2 gleich große Teilzahluge zu de Zeitpukte t=1,5 ud t=2 auf, so ädert das die Darstellug wie folgt (Abb. 2.19): Abb. 2.19: Barwerte der Eizahlugsüberschüsse bei zwei gleiche Teilzahluge z*e t i*t t Itervallbreite=,5 Quelle: eigee Darstellug

32 64 Ivestitio D.h. der Wert des zweite Eizahlugsüberschusses ist jetzt durch de Ausdruck (2.2) gegebe: Barwert z,5 z i1,5 i2 2 e 2 e,5 (2.2) Verkürzt ma die Itervalle zwische de Teilzahluge, also teilt ma z 2 i (ifiitesimal kleie) viele Teilzahluge, so erket ma, dass jetzt der Barwert des zweite Eizahlugsüberschusses durch die Fläche uter der Kurve gegebe ist (Abb. 2.2): Abb. 2.2: Barwerte der Eizahlugsüberschüsse bei viele kleie gleiche Teilzahluge r* t * d t e Quelle: eigee Darstellug t D.h. der Wert des zweite Eizahlugsüberschusses ist jetzt durch de Ausdruck (2.21) gegebe: Barwert 2 z 2 t1 e it dt (2.21) Bei der Übertragug dieses Zusammehages auf die Errechug des Kapitalwertes muss ma also u davo ausgehe, dass die stetig eigehede Teilzahluge der Eizahlugsüberschüsse ach ihrem Eigag stetig verzist werde, bzw. bei der Ermittlug des Barwertes des Ertragswertes der

33 Ivestitio 65 Teilzahluge muss auch stetig abgezist werde. Somit ergibt sich hier für de Kapitalwert (Formel (2.22): (2.22) Für die Aahme kostater Eizahlugsüberschüsse (z t =z) lässt sich Ausdruck (2.22) wesetlich vereifache: (2.23) Die Stammfuktio vo t i e * ist t i e i * 1. Setzt ma dies i Ausdruck (2.23) ei, so erhält ma: (2.24) Setzt ma die obere Greze ud die utere Greze i die Stammfuktio ei, so lässt sich Ausdruck (2.24) durch eiige Umformuge i Ausdruck (2.25) überleite: (2.25) Soderfall Ewige Rete Eie sehr eifache Fall stellt die Errechug des Kapitalwertes uter der Aahme der ubegrezte Nutzugsdauer dar. Dieser Fall wird u wieder mittels der vereifachede Aahme jährlicher Zahlug ud Verzisug dargestellt. Folgedes Beispiel soll dies verdeutliche: i Ivestor erwägt de Kauf eies Grudstücks für 1.., das er für ubegrezte Dauer verpachte ka. Als Pacht werde pro Jahr 12. erwartet. Der Zissatz bei Alage der 1.. auf dem Kapitalmarkt beträgt 6,5%. Errechet user Ivestor de Kapitalwert seier Ivestitio (bei jährlicher Zahlug ud jährlicher Verzisug), so geht er vo der bekate Formel für de Kapitalwert bei kostate Eizahlugsüberschüsse aus (siehe Ausdruck (2.26): (2.26) i t t i t e L e z I C 1 i t t i e L e z I C 1 i t i e L e i z I C 1 i i i e L e i e z I C 1 q L q i q z I C 1

34 66 Ivestitio Dies lässt sich umforme i Ausdruck (2.27): q q q C I z L i q Herauskürze vo C q ergibt (Ausdruck (2.28)): 1 1 q i I z L 1 q 1 q (2.27) (2.28) Da ma vo ubegrezter Nutzugsdauer ausgeht, wird uedlich groß. Damit wird auch q uedlich groß, da q größer als 1 ist, ud somit immt 1 der Grezwert vo de Wert a. Damit vereifacht sich Ausdruck q (2.28) ud der Kapitalwert bei Ewiger Rete ist wie folgt gegebe (Ausdruck (2.29)): z C (2.29) I i Aders ausgedrückt. Kosumiert ei Ivestor ur die Zise, die er aus seier Ivestitio kotiuierlich erhält, so hält die Ivestitio theoretisch ewig Kapitalwert ud Steuer das Steuerparadoxo Steuer auf das Eikomme ud de Ertrag mider de Teil des Gewis, der de Ivestore übrig bleibt. Nu scheit es auf der Had zu liege, dass eie Berücksichtigug der Steuer eie de Kapitalwert miderde Wirkug hat. Dies muss aber icht so sei. Das folgede (stark vereifachede) Beispiel soll veraschauliche, dass durch die Eirechug vo Steuer ei bisher egativer Kapitalwert positiv werde ka, dass durch de Eifluss der Steuer also eie bisher als icht vorteilhafte Ivestitio als vorteilhaft eigestuft werde ka (vgl. Götze (26), S.134).

35 Ivestitio 67 Beispiel: Für eie Ivestitio sid folgede Date gegebe: I =8.96 i=1% z=3.6 =3 R 3 = a) Errechug des Kapitalwertes ohe die Berücksichtigug vo Steuer: C 3 1, ,1, ,33 Die Ivestitio ist somit ach dem Kriterium des Kapitalwertes icht vorteilhaft. b) Errechug des Kapitalwertes uter Berücksichtigug vo Steuer: Durch die Berücksichtigug vo Steuer sid weitere Date otwedig. Zuächst der Steuersatz selber: Er sei im Beispiel s=,5 (also 5%). Basis der zu etrichtede Steuer ist aber icht der volle Eizahlugsüberschuss vo 3.6, soder der um die abzugsfähige Abschreibuge gemiderte Eizahlugsüberschuss. Die (lieare) Abschreibug pro Jahr errechet sich, idem ma die Aschaffugsauszahlug I durch die Laufzeit teilt: 8.96 Abschreibug ,67 Der Kapitalwert ergibt sich u durch folgede Ausdruck (2.3): C I I zz z Also im Beispiel: 3 1,5 1 C 8.96 [3.6 ( ,67),5] 3 1,5,5 Steuer q s q 1 i (2.3) 8,57 z ach Steuer

36 68 Ivestitio Zise für Fremdkapital sid hisichtlich der Eikommesteuer abzugsfähig bzw. Zise für Erträge sid der Steuer zu uterziehe. Dies wird bei der o- bige Berechug des Kapitalwertes durch Reduzierug des Zissatzes auf iach Steuer i * (1 s) berücksichtigt. Im Beispiel muss daher der Zissatz auf 5% ( iach Steuer, 5 q ach Steuer 1, 5 ) reduziert werde. Dies hat zur Folge, dass die um die Steuer vermiderte Eizahlugsüberschüsse viel schwächer abgezist werde ud der Kapitalwert positiv wird. Somit ist die ehedem als icht vorteilhaft eigestufte Ivestitio durch die Berücksichtigug der Steuer vorteilhaft zu sehe (vgl. Götze (26), S.134). Die obige Beschreibug des Sachverhaltes stellt aber eie starke Vereifachug dar, die präzise Berücksichtigug vo Steueraspekte im Ivestitioskalkül gestaltet sich i der Praxis recht aufwedig. (vgl. Trautma (26), S. 7) Bewertug der Kapitalwertmethode Die Kapitalwertmethode stellt die Basis der dyamische Verfahre dar ud ist ei i Theorie ud Praxis verbreitetes Verfahre (vgl. Wöhe (25), S.65). Wedet ma dieses aber auf solche alterative Ivestitioe a, die sich i ihrer Nutzugsdauer oder i ihrer Aschaffugsauszahlug uterscheide, so ist eie differezierte Betrachtug voöte. Kapitalwertmethode bei uterschiedlicher Nutzugsdauer: Das folgede Beispiel verdeutlicht die Problematik (Tab. 2.8): Tab. 2.8: Kapitalwerte bei uterschiedlicher Nutzugsdauer T Ivestitio A Ivestitio B C i=,1 Quelle: eigee Darstellug Ma erket, dass ach Kapitalwertverfahre Ivestitio A vorteilhafter erscheit, obwohl die jährliche Eizahlugsüberschüsse der Ivestitio B zu

37 Ivestitio 69 Afag deutlich höher sid ud bereits ach 3 Periode geflosse sid. Nu muss ma aber uterstelle, dass ei Ivestor, der sich für Alterative B etscheidet, ach Ablauf der Nutzugsdauer vo drei Jahre wiederum eie Aschlussivestitio tätige ka. Geht ma davo aus, dass die Aschlussivestitio eie Fiazivestitio auf dem Kapitalmarkt ist, so immt der Kapitalwert dieser Aschlussivestitio bei Aahme des Vollkommee Kapitalmarktes 2 de Wert Null a. I diesem Fall ist Ivestitio A die vorteilhaftere Alterative. Lässt ma aber zu, dass bei Ivestitio B ach dem dritte Jahr eie idetische Nachfolge(sach)ivestitio möglich ist (es ist schließlich icht davo auszugehe, dass der Uterehmer, der z.b. i eie Produktiosalage ivestiert hat, ach Ablauf der Nutzugsdauer der Alage seie Produktiostätigkeit eistellt), so muss ma zur Vergleichbarkeit de Kapitalwert zweier acheiader erfolgeder Ivestitioe vom Typ B betrachte. Dies lässt sich durchführe, idem ma de Kapitalwert der Folgeivestitio (der als zusätzliche Zahlug zum Ede der dritte Periode berücksichtigt wird) auf de Zeitpukt diskotiert. Als so geater Kettekapitalwert ergibt sich somit die Summe aus beide Kapitalwerte: K 3 C , Das bedeutet, dass der Ivestor besser zweimal i Folge Ivestitio B durchführe sollte als eimal Ivestitio A. Kapitalwertmethode bei uterschiedlicher Aschaffugsauszahlug: Uterscheide sich zwei Ivestitiosalterative A ud B i der Höhe ihrer Aschaffugsauszahlug (wobei I (A)<I (B)), so muss - um Vergleichbarkeit herzustelle - bei der Ivestitio A eie Ergäzugsivestitio C i Höhe der Differez zur Aschaffugsauszahlug der Ivestitio B berücksichtigt werde. Aber auch hier muss wieder uterschiede werde, ob diese Ergäzugsivestitio C eie Fiazivestitio auf dem Kapitalmarkt ist oder ob ma eie weitere Sachivestitio mit eiem Kapitalwert, der größer als Null ist, als Er- 2 Alle Marktteilehmer treffe ihre idividuelle Etscheiduge aufgrud der gleiche, allgemei bekate Erwartuge über die Zukuft. Der Preis für jede Zahlugsstrom ist dabei gleich, uabhägig davo, ob die Wirtschaftssubjekte als Käufer oder Verkäufer auftrete. Daher sid Soll- ud Habezissätze idetisch. Kredite stehe i ubegrezter Höhe zur Verfügug. Trasaktioskoste werde icht berücksichtigt (vgl. hierzu z.b. Wöhe (25))

38 7 Ivestitio gäzug zulässt. Geht ma vo eier Fiazivestitio aus, so ka ma sich bei Vergleich vo A ud B wieder die Betrachtug der Ergäzugsivestitio C spare, da der Kapitalwert dieser ohehi Null ist. Geht ma aber vo eier Sachivestitio C aus, so muss eigetlich die Summe der Kapitalwerte vo A ud C mit dem vo B vergliche werde Auitätemethode Die Auität als dyamisches Pedat des durchschittliche Gewis Die Auitätemethode ist ei Verfahre, das aus der Kapitalwertmethode abgleitet wird. Der Kapitalwert eier Ivestitio wird hierbei i eie Auität umgewadelt. Somit wird er auf die Laufzeit eier Ivestitio verteilt. Recherisch ermittelt ma die Auität z durch Multiplikatio des Kapitalwertes mit dem Wiedergewiugs- bzw. Auitätefaktor (Ausdruck (2.31)): q i z C (2.31) q 1 Als Vorteilhaftigkeitskriterium ist festzuhalte, dass die Ivestitio zu wähle ist, die die höchste Auität aufweist, wobei folgeder Zusammehag gegebe ist: We C z Ivestitio ist vorteilhaft, we C z idifferet zur Fiazivestitio, we C z Ivestitio ist icht vorteilhaft. Beim Vergleich verschiedeer Ivestitioe ist die mit der höchste Auität zu wähle (relative Vorteilhaftigkeit). Liege bei eier Ivestitio kostate Eizahlugsüberschüsse vor ud existiert ach Ablauf der Nutzugsdauer kei Restwert mehr, so lässt sich die Auität ohe de Umweg der Ermittlug des Kapitalwertes erreche: q i Da sich die Auität gemäß Ausdruck (2.31) durch z C errechet ud i diesem Fall der Kapitalwert durch Ausdruck (2.32) gegebe q 1 ist,

39 Ivestitio 71 C I q z q 1 i (2.32) ergibt sich hier durch Multiplikatio mit dem Wiedergewiugsfaktor Ausdruck (2.33): z I q q i z 1 (2.33) Auitätemethode ud Kapitalwertverfahre führe immer da zum gleiche Ergebis hisichtlich der Beurteilug vo Ivestitiosalterative, we diese i der Nutzugsdauer übereistimme. Liege jedoch Alterative mit uterschiedlicher Nutzugsdauer vor, so ist eie differezierte Betrachtug voöte. Veraschauliche soll dies das Beispiel aus Tabelle 2.1: Errechet ma hier die Auitäte für die beide Ivestitiosalterative, so erhält ma: 6 1,1,1 z( A) ,1 1 mit z( A) Auität der Ivestitio A ud 3 1,1,1 z( B) ,1 1 mit z( B) Auität der Ivestitio B Da gilt, dass z(b) z(a), erscheit ach dem Kriterium der Auität Alterative B güstiger, obwohl dere Kapitalwert iedriger ist. Um zwei Ivestitiosalterative mit uterschiedlicher Nutzugsdauer vergleichbar zu mache, habe wir bei der Kapitalwertmethode aber eie Aschlussivestitio is Kalkül gezoge. Überträgt ma dieses Vorgehe auf die Auitätemethode, so muss ma bei der Errechug der Auität der Ivestitio mit der kürzere Laufzeit vom Kettekapitalwert ausgehe, wobei

40 72 Ivestitio als Betrachtugszeitraum die Summe der Laufzeite der aufeiader folgede Ivestitioe gewählt wird. Geht ma u bei der Aschlussivestitio vo eier idetische Sachivestitio aus, so ergibt sich im Beispiel als Auität: q i 3 1,1,1 z ( C C q ) ( ,1 ) 6 6 q 1 1, Dies ist derselbe Wert wie bei Betrachtug ur der erste Ivestitio des Typs B allei. Daraus lässt sich eierseits folger, dass uter de gewählte Aahme die Auitätemethode ei adäquates ud weig aufwediges Verfahre zur Beurteilug vo Ivestitiosalterative mit uterschiedlicher Laufzeit darstellt, wobei die Berücksichtigug vo Kettekapitalwerte icht otwedig ist. Zum adere ist feststelle, dass ma so zu eiem adere Ergebis hisichtlich der Vorteilhaftigkeit der Alterative kommt als bei der Kapitalwertmethode. Aders sieht der Fall jedoch aus, we ma als Aschlussivestitio ur eie Fiazivestitio, also die Alage des idetische Betrages auf dem Kapitalmarkt zulässt. Da hier der Kapitalwert der Folgeivestitio de Wert Null hat, erhält ma als Auität für Alterative B bei eiem Betrachtugszeitraum vo 6 Jahre: q i 3 1,1,1 z ( C q ) ( ,1 ) 6 6 q 1 1, ,59 Ma erket, dass uter diese Aahme Kapitalwert- ud Auitätemethode zum gleiche Ergebis führe, im Beispiel also Ivestitio A als vorteilhafter zu bewerte ist.

41 Ivestitio Die Methode des itere Zisfußes Vorteilhaftigkeitskriterium der Methode des itere Zis Als iterer Zisfuß oder iterer Zis ist der Zissatz zu verstehe, mit dem sich die Sachivestitio bei gegebee Eizahlugsüberschüsse verzist. Somit ka der itere Zissatz als ei kritischer Zissatz für die absolute Vorteilhaftigkeit eier Ivestitiosalterative agesehe werde (vgl. Götze (28), S. 1). Die Darstellug am Eiperiodefall soll dies veraschauliche (siehe Abb. 2.21). Abb. 2.21: Iterer Zisfuß im Eiperiodefall Kapital z 1 Quelle: eigee Darstellug Geht ma beispielsweise vo eiem ivestierte Kapital vo 1. (=I ) aus ud erhält ma (iklusive Restwert) ach eier Periode eie Rückfluss vo 11. (=z 1 ), so ergibt dies eie Verzisug vo 1., also 1%. Bildet ma de Barwert des Eizahlugsüberschusses vo 11. durch Diskotierug mit diesem Zissatz 1%, so erhält ma als Ergebis wieder 1., also I. Damit ergibt sich im Beispiel als Kapitalwert:

42 74 Ivestitio 1 1 C I z1 q ,1 Somit ist der Itere Zisfuß der Zissatz i *, bei dem der Kapitalwert eier Ivestitio Null ist. Erzielt (oder bezahlt) ma beispielsweise auf dem Kapitalmarkt eie Zissatz vo 8% (gemäß Uterstellug des vollkommee Kapitalmarktes gilt i=sollzis=habezis), so muss ma, um de Kapitalwert zu erreche, z 1 mit diesem Kapitalmarktzis diskotiere: 1 1 C I z1 q , Somit ist die Verzisug durch die Sachivestitio (1%) besser als die Fiazivestitio (8%) bzw. die Rückflüsse aus der Sachivestitio übersteige die Kapitalkoste. Liegt aber der Kapitalmarktzissatz bei 12%, so erhält ma als Kapitalwert der Ivestitio: 1 1 C I z1 q , I diesem Fall ist die Sachivestitio abzulehe, da die Rückflüsse die Kapitalkoste icht abdecke bzw. ma auf dem Kapitalmarkt höhere Rückflüsse erhalte würde. Hieraus ka ma das Vorteilhaftigkeitskriterium der Methode des itere Zisfußes ableite. Abb. 2.22: Zissatz ud Kapitalwert C i*<i 1 Kapitalmarktzis i i*>i Quelle: eigee Darstellug

43 Ivestitio 75 Ist der itere Zisfuß höher (iedriger) als der Kapitalmarktzissatz, so ist die Sachivestitio vorteilhaft (icht vorteilhaft). Abb verdeutlicht diese Zusammehag Berechug des itere Zisfußes Die Ermittlug des itere Zisfußes i * erfolgt durch Nullsetze des Kapitalwertes C ud aschließedes Auflöse der Gleichug ach i *. Da die Kapitalwertfuktio ei Polyom -te Grades darstellt, lässt sich für eie Nutzugsdauer größer zwei keie aalytische Lösug mehr fide, so dass hier eie Näherugslösug z.b. durch lieare Iterpolatio oder über das Newto Verfahre gefude werde muss (vgl. Wöhe (25), S. 69 bzw. Kruschwitz (27), S. 112f.). Bei der lieare Iterpolatio geschieht die Aäherug dadurch, dass ma beliebig zwei Zissätze auswählt, die zum eie (i 2 ) eie schwach egative (C 2 ) ud zum ader (i 1 ) eie schwach positive Wert (C 1 ) für de Kapitalwert liefer müsse. Eisetze i Ausdruck (2.34) ergibt eie Näherugslösug für i * (vgl. Olfert/Reichel (26), S.221f ud Nüchter (23), S. 871). i * i 1 C1 C C 1 2 ( i i ) 1 2 (2.34) mit i1 i2 ud C1 ud C2 Eie aalytische Lösug lässt sich i de folgede Fälle ermittel: 1. Fall: Nur ei Eizahlugsüberschuss i t=1. Hier ist der Kapitalwert durch folgede Ausdruck gegebe: * 1 C I z1 (1 i ) (2.35) i z I I * 1 (2.36)

44 76 Ivestitio Beispiel 2.1 Eie Gärterei ivestiert i 2. Setzlige eier eijährige Pflaze. Pro Setzlig muss 1,5 ivestiert werde. Ma rechet mit eiem Erlös pro Pflaze ach eiem Jahr vo 1,9. Der Kapitalmarktzissatz sei 6,5%. Welche itere Zisfuß errechet ma? * 2 1,9 2 1,5 Lösug: i, ,5 Dieser Wert ist erheblich größer als der des Kapitalmarktzissatzes. Die Ivestitio ist also vorteilhaft. 2. Fall: Ei Eizahlugsüberschuss i t=. Hier ist der Kapitalwert durch folgede Ausdruck gegebe: C * I z (1 i ) z I * i 1 (2.37) (2.38) Beispiel 2.2 Eie Schapsbreerei ivestiert i die Herstellug vo 1. Liter eies qualitativ hochwertige Weibrades. Hierfür falle pro Liter 12 Produktioskoste a. Außerdem müsse Lagereirichtuge für 15. beschafft werde. Der Weibrad muss zwölf Jahre lager, da erwartet ma, ih pro Liter für 28 i de Hadel verkaufe zu köe. Der Kapitalmarktzissatz sei wieder 6,5%. Welche itere Zisfuß errechet ma? * 1 28 Lösug: i ,2% Dieser Wert ist auch größer als der des Kapitalmarktzissatz. Auch diese Ivestitio ist daher vorteilhaft!

45 Ivestitio Fall: Zwei Eizahlugsüberschüsse i t=1 ud t=2. Hier ist der Kapitalwert durch folgede Ausdruck gegebe: * 1 * 2 C I z1 (1 i ) z12 (1 i ) i * z I 2 z z1 2 I I 1 (2.39) (2.4) Beispiel 2.3 Usere Gärterei ivestiert jetzt i 2. Setzlige eier Pflaze. Pro Setzlig muss 1,5 ivestiert werde. Ma rechet damit, die Hälfte der Pflaze ach eiem Jahr zu eiem Stückpreis vo 1,7, die adere Hälfte für 1,9 pro Stück verkaufe zu köe. Der Kapitalmarktzissatz sei wieder 6,5%. Welche itere Zisfuß errechet ma? Lösug: r * 2 11,9 (11,7) 21,5 4(21,5) 2 11,7 1 12,8% 2 21,5 Dieser Wert ist deutlich größer als der des Kapitalmarktzissatz. Auch diese Ivestitio ist also vorteilhaft! 4. Fall: Iterer Zisfuß bei ewiger Rete. Hier ist der Kapitalwert durch folgede Ausdruck gegebe: z C I * i * z i I (2.41) (2.42)

46 78 Ivestitio Beispiel 2.4 Ei Uterehmer erwirbt ei Grudstück für 16. ud verpachtet dieses auf ubefristete Dauer für jährlich 15.. Als Kapitalmarktzissatz wird wieder 6,5% ageomme Welche itere Zisfuß errechet ma? * 15 Lösug: i 9,4% 16 Dieser Wert ist größer als der des Kapitalmarktzissatzes. Die Ivestitio ist vorteilhaft. Die Methode des itere Zisfußes ist i der Literatur aus ökoomische wie mathematische Grüde icht uproblematisch (vgl. Kruschwitz (27), S. 16ff.). Gerade am dritte Fall ist erkebar, dass dieses Verfahre mathematisch icht eideutig ist. So ka ma i Ausdruck (2.4) die positive oder die egative Wurzel ziehe, was zu völlig uterschiedliche Ergebisse führt (vgl. Swoboda (1977), S.69ff). Darüber hiaus köe Ivestitioe je ach Gestalt der Kapitalwertfuktio mehrere itere Zissätze (Fall der Mehrdeutigkeit) oder gar keie itere Zissatz aufweise (Fall der Nichtexistez) (vgl. Kruschwitz (27), S. 111). Möchte ma sicherstelle, dass geau ei positiver iterer Zissatz existiert, so muss ma zuächst prüfe, ob es sich bei der betrachtete Ivestitio um eie so geate Normalivestitio hadelt (Fall der Eideutigkeit). Eie Normalivestitio muss drei Kriterie erfülle (vgl. Busse vo Colbe/Laßma (199), S. 11f.): Die Ivestitio fägt mit eier Auszahlug a. Die Zahlugsreihe der Ivestitio hat geau eie Vorzeichewechsel (ach de Auszahluge folge ur och Eizahlugsüberschüsse). Die Summe aller Eizahlugsüberschüsse ist ohe Berücksichtigug vo Zis ud Ziseszis absolut betrachtet größer als die Summe aller Auszahluge.

47 Ivestitio 79 Beispiel 2.5 Eie Ivestitio weist folgede Zahlugsreihe (-1, 3, 5, 4) auf. Prüfe Sie, ob es sich hier um eie Normalivestitio hadelt. Lösug: Zahlugsreihe begit mit eier Auszahlug Eimaliger Vorzeichewechsel Erfüllug des Deckugskriteriums (Summe aller Eizahluge = 12 > Summe Auszahluge = 1) Es hadelt sich um eie Normalivestitio! Aber auch ökoomisch betrachtet, ka es beim Vorteilhaftigkeitsvergleich zwische mehrere Ivestitiosalterative mithilfe des itere Zisfußes zu widersprüchliche Ergebisse im Vergleich zur Kapitalwertmethode komme. Der Grud liegt i der uterschiedliche Aahme, wie die otwedige Ergäzugsmaßahme wege uterschiedlicher Nutzugsdauer, Eizahlugsüberschüsse oder auch Ivestitiosauszahluge erfolge solle. Bei der Kapitalwertmethode werde uter der Aahme des vollkommee Kapitalmarktes alle Ergäzugsmaßahme zu eiem eiheitliche Zissatz vorgeomme. Im Gegesatz dazu wird bei der Methode des itere Zisfußes vo der implizite Wiederalageprämisse ausgegage (vgl. Busse vo Colbe/Laßma (199), S. 115). Das bedeutet, dass alle Ergäzugsmaßahme zum itere Zis der jeweilige Ivestitiosalterative durchgeführt werde, also zu gaz uterschiedliche Zissätze. Der Kapitalwert ist somit gleich Null, so dass die Ergäzugsmaßahme wie bei der Kapitalwertmethode keie Eifluss auf die Etscheidug ehme. Diese Aahme ist jedoch ökoomisch gesehe icht plausibel, da icht eizusehe ist, warum uterschiedlich hohe Eizahlugsüberschüsse der Alterative zu uterschiedlich hohe Zissätze azulege sid bzw. eie Ergäzugsmaßahme zwagsweise i die betrachtete Ivestitio erfolge muss. Plausibel wäre higege, dass die Ergäzugsmaßahme uabhägig vo de betrachtete Ivestitioe vorzuehme sid. Ersetzt ma diese implizite Prämisse der Wiederalage zum itere Zissatz durch die explizite Prämisse, dass alle erforderliche Ergäzugsmaßahme bis zum Ede des Plaugszeitraums zur durchschittliche Uterehmesretabilität (eiheitlicher Kalkulatioszissatz) agelegt werde, so lasse sich auch wieder relative Vorteilhaftigkei-

48 8 Ivestitio te durch de Vergleich der modifizierte Zissätze durchführe. Diese Methode wird i der Literatur als Baldwi- bzw. modifizierte itere Zisfuß- Methode bezeichet (vgl. Busse vo Colbe/Laßma (199), S. 118f). Belässt ma es higege bei der implizite Wiederalageprämisse, so führe die Kapitalwertmethode ud die Methode des itere Zisfußes im Fall zwei sich ausschließeder Alterative ur da zum gleiche Ergebis, we auf die Berechug der itere Zisfüße der beide Ivestitiosalterative verzichtet wird ud stattdesse der itere Zis der so geate Differezivestitio bestimmt wird. Die Differezivestitio ergibt sich aus der Differez der beide Zahlugsreihe, wobei diejeige Zahlugsreihe mit der gerigere Auszahlug vo der adere Ivestitio abgezoge wird. Hadelt es sich bei der Differezivestitio um eie Normalivestitio, so ist das Ergebis für de itere Zis eideutig. Ist der itere Zis der Differezivestitio größer als die vorgegebee Verzisug des Ivestors, so ist die Ivestitio mit der höhere Kapitalbidug der adere vorzuziehe (vgl. Busse vo Colbe/Laßma (199), S. 115) Methode der dyamische Amortisatiosdauer Ei i der Praxis häufig heragezogees (zusätzliches) Kriterium zur Beurteilug vo Ivestitiosprojekte ist die Errechug der Amortisatiosdauer (Pay-Off-Periode) (vgl. Zimmerma (23), S.173). Hier fragt sich der Ivestor, i welcher Zeit sich eie Ivestitio amortisiert hat, also wa das verauslagte Kapital über die Rückflüsse uter Beachtug der Zisrechug (dyamisches Verfahre) zurückgeflosse ist. I der Pay-Off-Periode erreiche die bis dahi erzielte, abgeziste Eizahlugsüberschüsse geau de Wert der Aschaffugsauszahlug. Für diese Zeitpukt t* gilt also: C * t I z t q t 1 (2.43)

49 Ivestitio 81 Tab. 2.9: Dyamische Amortisatiosdauer Zissatz i=1%, I =1. t z t q -t z t *q -t C 1 35., , , , , , Quelle: eigee Darstellug I diesem sehr spezielle Beispiel wird zur Veraschaulichug geau mit Ablauf der vierte Periode ei Kapitalwert vo erreicht. Normalerweise geschieht dies aber ierhalb eier Periode. Da ka der geaue, uterjährige Zeitpukt der Amortisatio ggf. mithilfe der lieare Iterpolatio bestimmt werde, we vo kotiuierliche Rückflüsse der Ivestitioe ausgegage wird. Für de Fall kostater Eizahlugsüberschüsse lässt sich die Dyamische Amortisatiosdauer auch allgemei erreche: t q 1 C (2.44) I z t q i * Löst ma Ausdruck (2.44) mit Hilfe der Logarithmusrechug ach t auf, so resultiert: z l * zi t l q (2.45) Beispiel 2.6 Eie Ivestitio mit eier Laufzeit vo 15 Jahre führt zu eier Aschaffugsauszahlug vo 18. ud jährliche kostate Eizahlugsüberschüsse vo 35.. Der Kapitalmarktzissatz ist im Beispiel 7%. Wa ist die Ivestitio dyamisch amortisiert? 35. l * Lösug: 35. t 18.*,7 6,6 l1, 7 Der Barwert der Eizahlugsüberschüsse erreicht also im siebte Jahr de Wert der Aschaffugsauszahlug.

50 82 Ivestitio Edwertmethode ud vollstädige Fiazpläe Bisher wurde die Zahlugsreihe der Ivestitioe immer auf de Zeitpukt t bezoge, also der Barwert errechet. Dies muss aber icht sei. Der Wert der Zahlugsreihe lässt sich auch durch Aufzise aller Zahluge für de Zeitpukt zum Ede der Nutzugsdauer bereche. Der hierbei resultierede Edwert stellt de Geldvermögeszuwachs dar, der bezoge auf de letzte Zeitpukt des Plaugszeitraums durch ei Ivestitiosobjekt bewirkt wird (vgl. Götze (28), S. 11). Die absolute Vorteilhaftigkeit ist bei Aahme eies vollkommee Kapitalmarktes gegebe, we der Edwert größer als Null ist, bzw. ei Ivestitiosobjekt ist relativ vorteilhaft, we sei Vermögeswert größer ist als adere zur Auswahl stehede Alterative. Der Edwert lässt sich wie folgt darstelle: C I q t * t 1 z t q t L (2.46) Ma erket, dass jeder Eizahlugsüberschuss über die Restutzugsdauer t aufgezist wird. Alterativ ka der Edwert auch dadurch ermittelt werde, dass der Kapitalwert C aufgezist wird: C I * t 1 z t q t L q q (2.47) Hieraus ka ma ableite, dass Edwertmethode ud Kapitalwertmethode bezüglich der Beurteilug der Vorteilhaftigkeit eier Ivestitio letztlich zum gleiche Ergebis komme. Eie aus dem Edwertverfahre abgeleitete Methode ist die Erstellug eies vollstädige Fiazplaes (VoFi). Dieser beihaltet mehrere Vorteile: Seie- Erstellug ist ohe größere mathematische Aufwad möglich ud es ist eie Differezierug des Zissatzes i Soll- ud Habezis möglich (Aufgabe des vollkommee Kapitalmarktes).

51 Ivestitio 83 Die Systematik dieses Verfahres lässt sich a eiem Beispiel erläuter (vgl. hierzu ud im Folgede Zimmerma (23), S. 281ff): Beispiel 2.7 Eie Ivestitio sei mit eier Aschaffugsauszahlug vo 1. verbude. Es stehe eigee Mittel i Höhe vo 3. zur Verfügug, der Rest muss fremdfiaziert werde, wobei dieses mit eiem Sollzissatz vo 1% verzist wird. Die jährliche Eizahlugsüberschüsse werde im Beispiel vollstädig zur Tilgug ud zur Bezahlug der Zise verwedet. Verbleibede Überschüsse werde am Fiazmarkt zu eiem Habezissatz vo 5% wiederagelegt (Koteausgleichgebot). Der Zahlugsverlauf ud der daraus resultierede Edwert lasse sich aus folgeder Tabelle etehme: Tab. 2.1: Vollstädiger Fiazpla (VoFi) eier Ivestitio Zeitpukt t t 1 t 2 t 3 t 4 Eigekapital 3. Zahlugsreihe der Sachivestitio Kapital Sollzise -7. Kapital Sollzise -3.9 Fiazivestitio Habezise 755 Fiazivestitio Habezise Edwert Quelle: eigee Darstellug ach Zimmerma (23), S.281f Der Edwert vo ist der Wert des durch die Ivestitio erreichte Eigekapitals ach Ablauf der Nutzugsdauer 4. Etscheidugskriterium ist also hier die Höhe des Edwertes alterativer Ivestitioe. Würde das Eigekapital im Beispiel stattdesse zu 5% agelegt, ergäbe sich im Vergleich zur Sachivestitio ei Edwert vo 3. * 1,54 =

52 84 Ivestitio Ivestitiosdaueretscheiduge mit Hilfe der Kapitalwertmethode Eimalige Ivestitio I der bisherige Betrachtug war die Nutzugsdauer bei eier Ivestitio immer vorgegebe. Die Nutzugsdauer eier Ivestitio ka aber durch uterschiedliche Faktore determiiert sei. So uterscheidet ma (vgl. Däumler (27)): rechtliche Nutzugsdauer (Lizeze, Verträge, Gesetze etc.), techische Nutzugsdauer (maximale Laufleistug eies Fahrzeugs) ökoomische (wirtschaftliche) Nutzugsdauer Die techische ud rechtliche Nutzugsdauer sid als Restriktioe zu betrachte, ierhalb dere die ökoomische Nutzugsdauer zu bestimme ist. Eie Prüfug der ökoomische Nutzugsdauer ka sowohl vor Durchführug eier Ivestitio (Nutzugsdauer- bzw. Ex-ate-Problem), als auch währed der Laufzeit der Ivestitio (Ersatz- bzw. Ex-post-Problem) erfolge, de eie bereits getätigte Ivestitio ka atürlich auch vorzeitig beedet werde, we dies ökoomisch sivoll ist. Zur Aalyse des Ersatzproblems eiget sich besoders die Auitätemethode. Hier wird beim Vergleich eier bereits getätigte Ivestitio mit eier zu erwägede Ersatzivestitio der zum Zeitpukt des Vergleichs existierede Restwert der alte AlageL als Aschaffugsauszahlug iterpretiert, da dieser Wert das aktuell durch die bestehede Alage gebudee Kapital darstellt, ud als Restlaufzeit defiiert. Somit ergibt sich als Auität eier alte Alage: z alt t ( L zt q L q ) (2.48) t1 q 1 q i Die Auität der Ersatzivestitio errechet ma auf dem übliche Weg gemäß Ausdruck (2.31). Das folgede Beispiel (Tab ud Tab. 2.12) soll dieses Vorgehe veraschauliche:

53 Ivestitio 85 Tab. 2.11: Auität der alte Alage Alte Alage Restutzugsdauer 4 Jahre, R =35., R 4 =, i=1% Jahr z t (bzw. L ) q -t z t *q -t , , , , Summe=C = Quelle: eigee Darstellug Also: z alt 4 1,1, ,1 1 Im Vergleich hierzu die eue Alage: Tab. 2.12: Auität der eue Alage Neue Alage Nutzugsdauer 6 Jahre, A =1., L 6 =, i=1% Jahr z t (bzw. R) q -t z t *q -t , , , , , , Summe=C = Quelle: eigee Darstellug Also: z eu 6 1,1, ,1 1

54 86 Ivestitio Da im Beispiel die Auität der alte Alage höher ist als die der eue, ist es icht sivoll, die alte Alage zum aktuelle Zeitpukt zu ersetze. Will ma higege ex ate die optimale Nutzugsdauer eier eimalig zu tätigede Ivestitio bestimme, so lässt sich dies mit Hilfe des Kapitalwertverfahres leicht bewerkstellige. Hierzu werde für eie Ivestitio die Kapitalwerte bei uterschiedliche Nutzugsdauer ermittelt ud die Dauer gewählt, für die der Kapitalwert am höchste ist. Als Restwert wird der jeweilige am Ede eier Periode och vorhadee Restwert Rt eigerechet. Das folgede, i Tab dargestellte Beispiel veraschaulicht dieses Vorgehe: Tab. 2.13: Optimale Nutzugsdauer eier eimalige Ivestitio Zissatz i=1%, I =1. t z t q -t z t *q -t R t C , , , , , Quelle: eigee Darstellug Ma erket, dass der zum Ablauf der Periode 3 erzielte Kapitalwert der höchste ist. Er errechet sich durch: C , Zweimalige Ivestitio Folge mehrere Ivestitioe aufeiader, so köe sie icht mehr eizel betrachtet werde, soder sie müsse als Ivestitiosprogramm begriffe werde, für die ei gemeisamer kumulierter Kapitalwert, der so geate Kettekapitalwert errechet werde ka. Hierbei stellt sich die Frage, wie lag die Nutzugsdauer der erste ud der Folgeivestitio sei soll. Ma geht hierzu i zwei Schritte vor:

55 Ivestitio Schritt: Zuächst ermittelt ma die optimale Nutzugsdauer der Folgeivestitio. 2. Schritt: Berechug der optimale Nutzugsdauer der erste Ivestitio uter Berücksichtigug des maximale Kapitalwertes der zweite Ivestitio. Hierbei wird der Kapitalwert der Folgeivestitio als zusätzlicher Eizahlugsüberschuss zum Ede der Nutzugsdauer der erste Ivestitio betrachtet. Folglich muss er, damit ei gemeisamer Kapitalwert für de Zeitpukt t= errechet werde ka, etspreched der Nutzugsdauer der erste Ivestitio abgezist werde. Dies ka ma formal wie folgt darstelle (Ausdruck (2.49)): C K ( opt. ) ) t1 opt t opt ( I zt q L q C opt 2 max. q opt (2.49) C 1 mit C 1 = Kapitalwert der erste Ivestitio C 2 = maximaler Kapitalwert der zweite Ivestitio max. C K opt. = Kettekapitalwert = optimale Nutzugsdauer der erste Ivestitio Diese Vorgehesweise soll für zwei aufeiader folgede idetische Ivestitioe gezeigt werde. Als Beispiel diee die Date aus Tabelle Hier wurde bereits ermittelt, dass die optimale Nutzugsdauer drei Periode beträgt ud ma dabei eie Kapitalwert vo erziele ka. Betrachtet ma diese Betrag wie beschriebe als zusätzliche Zahlug am Ede der erste (idetische) Ivestitio, so errechet ma die optimale Nutzugsdauer der erste Ivestitio gemäß Ausdruck (2.49). Im Beispiel (Tabelle 2.14) erhält ma wiederum als optimale Nutzugsdauer 3 Periode.

56 88 Ivestitio Tab. 2.14: Optimale Nutzugsdauer zweimaliger idetischer Ivestitioe Zissatz i=1%, A =1. t z 1 t q -t z 1 t*q -t L 1 t C 1 t C 2 *q -t k C , , , , , Quelle: eigee Darstellug mit: z 1 t = Eizahlugsüberschuss vo Ivestitio 1 i t q -t = Abzisugsfaktor L 1 t = Restwert der Ivestitio 1 zum Zeitpukt t C 1 t = Kapitalwert der Ivestitio 1 bei eier Laufzeit vo t C 2 *q -t = t-fach abgezister Kapitalwert der Ivestitio 2 C k = Kettekapitalwert Optimale Nutzugsdauer bei uedlicher Ivestitioskette Wird eie Ivestitio icht ur eimal idetisch wiederholt, soder m-mal, so lässt sich der Kettekapitalwert wie folgt darstelle (Ausdruck (2.5)): mit C (2.5) K ( ) C C C C... 2 m q q q ( ) Kettekapitalwert i Abhägigkeit der Nutzugsdauer C K Dies ka umgeformt werde i: C K ( ) C ( 1 q m ) 1 C 1 1 q 1 1 ( q ) 1 1 q m C 1 1 q C 1 ( q ) 1 m 1 q (2.51)

57 Ivestitio 89 Geht ma u vo eier uedliche Ivestitioskette aus (m=), so gilt ( 1 m q ). Deshalb vereifacht sich der Term (2.51) zu Ausdruck (2.52): C C ) 1 C K ( 1 q q q 1 (2.52) Erweitert ma das Beispiel aus Tabelle 2.14, i dem ma die Ivestitio jetzt uedlich oft idetisch wiederholt, lässt sich die optimale Nutzugsdauer i folgeder Tabelle ablese: Tab. 2.15: Optimale Nutzugsdauer bei uedlicher, idetischer Ivestitio Zissatz i=1%, A =1. t z t q -t z t *q -t L t C C K ( ) , , , , , Quelle: eigee Darstellug Ma erket, dass der höchste Kettekapitalwert im Beispiel bei eier Nutzugsdauer vo drei Periode für die eizele Ivestitioe erreicht wird.

58 9 Ivestitio 2.4 Ivestitiosrechug uter Usicherheit Lerziele Dieses Kapitel vermittelt: wie ma Usicherheit ud Risiko defiiere ka welche Etscheidugsregel bei Usicherheit zutreffe wie riskate Ivestitioe bewertet werde köe Forme der Usicherheit I de vorherige Kapitel sid wir aahmegemäß vo eier sichere Welt ausgegage. Alle Iputgröße, die i die Ivestitiosrechug eifließe, habe wir bisher als feste, sichere Größe ageomme. Tatsächlich sid diese Iputgröße, wie z.b. der progostizierte Cashflow (z), die geplate Nutzugsdauer () sowie der Kalkulatioszissatz (i) ierhalb der Kapitalwertmethode, als zuküftige, usichere Date azusehe (vgl. Abb. 2.23). Abb. 2.23: Usichere Iputgröße am Beispiel der Kapitalwertmethode C 1 t z t i t Usichere Iputgröße Quelle: eigee Darstellug Die Frage ist, wie i der Ivestitiosrechug mit dieser Usicherheit umzugehe ist. I der Etscheidugstheorie wird bei Usicherheit üblicherweise i Ugewissheits- ud Risikosituatioe uterschiede (vgl. Bamberg/Coeeberg/Krapp (28)). Vo Uwisse (vgl. Abb. 2.7) wird i diesem Kapitel abgesehe, da keierlei Quatifizierug möglich ist. Ugewissheitssituatioe sid typischerweise dadurch gekezeichet, dass der Ivestor zwar eie ugefähre Vorstellug darüber hat, welches Ausmaß z.b. die zuküftige Cashflows habe köte, er aber keierlei Vorstelluge darüber hat, mit welcher Wahrscheilichkeit die jeweilige Cashflows eitrete köte. We er es köte, so läge eie Risikosituatio vor, ud der I-

59 Ivestitio 91 vestor köte für die usichere Iputgröße eie Verteilugsfuktio agebe (vgl. Abb. 2.24). Dabei ist es für die weitere Bewertug der usichere Ivestitioe uerheblich, ob diese Wahrscheilichkeite über eie Statistik ermittelt wurde, sog. objektive Wahrscheilichkeite, oder mittels Erfahrug ud Ituitio des Ivestors, sog. objektive Wahrscheilichkeit (vgl. Perrido/ Steier (27), S.96). Abb. 2.24: Forme der Usicherheit Usicherheit Ugewissheit Risiko Ivestor ka de Ereigisraum determiiere, diesem aber keie Eitrittswahrscheilichkeite zuorde Ivestor ka sowohl de Ereigisraum als auch die Eitrittswahrscheilichk eite determiiere Quelle: eigee Darstellug I der Ivestitiostheorie gibt es eie Vielzahl a Verfahre, wie die als usicher agesehee Ivestitioe zu beurteile sid. Je achdem, ob die verschiedee Verfahre Eitrittswahrscheilichkeite berücksichtige oder icht, wolle wir sie etweder der Ugewissheits- oder der Risikosituatio zuorde (vgl. Abb. 2.24). Ierhalb der Ugewissheitssituatio etstamme der klassische Etscheidugstheorie folgede Verfahre, wobei die grudsätzliche Lebeseistellug des Ivestors bzw. seie Eistellug zur Usicherheit eie große Bedeutug erhält: MiiMax-Regel (absoluter Pessimist) MaxiMax-Regel (absoluter Optimist) Hurwicz-Regel (Feijustierug der Lebeseistellug über Optimismusgrad)

60 92 Ivestitio Laplace-Regel (eutrale Lebeseistellug) Savage-Niehas-Regel (relativer Pessimist) Krelle-Regel (Feijustierug der Ugewissheit über Präferezfuktio) Abb. 2.25: Etscheidugsverfahre bei Usicherheit Usicherheit Ugewissheit Risiko MiiMax-Regel MaxiMax-Regel Hurwicz-Regel Laplace-Regel Savage-Niehas-Regel Krelle-Regel Korrekturverfahre Sesitivitätsverfahre Fuzzy-Set-Verfahre -Prizip -s -Prizip Beroulli-Prizip Mote-Carlo-Simulatio Etscheidugsbaumverfahre Progammierugsorietierte Asätze Kapitalmarktorietierte Asätze (z.b. CAPM) Optiospreistheoretische Aätze (z.b. Realoptioe) Portfolio Selectio-Modell Quelle: eigee Darstellug Ohe im Detail auf jedes dieser Verfahre uter Ugewissheit eigehe zu wolle, ka folgedes festgehalte werde: All diese Verfahre ist gemeisam, dass der Ivestor sich zuächst Gedake über seie grudsätzliche Lebeseistellug zu usichere Aktioe mache muss. Ist er beispielsweise ei absoluter Pessimist (Optimist), so wird er sich bei der Wahleizeletscheidug a dem schlechtmöglichste (bestmögliche) Ausgag eies Ivestitiosprojekts orietiere, was der Vorgehesweise der MiiMax-Regel (Maxi- Max-Regel) etspricht. Setzt er das schlechtmöglichste Ergebis je Umweltzustad i Relatio zu de adere Alterative ud wählt daraus je Alterative das jeweils Maximale heraus, so wird sich ei pessimistischer Ivestor für diejeige Alterative mit dem kleiste dieser Werte etscheide (Savage- Niehas-Regel). Die obe aufgeführte Etscheidugs-Regel kote sich i der Ivestitiospraxis icht durchsetzte, da es dem Ivestor regelmäßig schwer fällt, seie Lebeseistellug zu usichere Ereigisse zu quatifiziere. Ausführliche Darstelluge mit Beispielsrechuge zu diese Verfahre

61 Ivestitio 93 fide sich zur Geüge i der Literatur (vgl. Schäfer (25), S.229ff. sowie Bieg/Kussmaul/Waschbusch (26), S.155ff.). Etabliert habe sich i der Ivestitiosrechug uter Ugewissheit jedoch das Korrektur- sowie das Sesitivitätsverfahre trotz ihrer erhebliche Schwäche. Beide Verfahre eige sich sowohl für Real- als auch für Fiazivestitioe. Sie komme regelmäßig bei Wahleizeletscheiduge zum Eisatz. Auf diese wolle wir später geauer eigehe (vgl. Kapitel ud 2.4.3). Zum Schluss seie och die Fuzzy-Set-Verfahre erwäht, welche spezielle Verfahre bei Etscheidugssituatioe uter Uschärfe darstelle. Als uscharf ka dabei sowohl die idividuelle Eistellug zur Usicherheit, als auch die gesamte Lebesplaug des Etscheiders bis hi zur Zielsetzug agesehe werde. Um trotz dieser erhebliche Widrigkeite eie Etscheidug auf quatitativer Basis herbeizuführe, hat Zadeh die Fuzzy-Set- Theorie etwickelt (vgl. Zadeh (1965)). Wir wolle diese Theorie hier icht weiter vertiefe, da sie zum eie sehr speziell ist ud zum adere sich i der Ivestitiospraxis bisher icht durchzusetze vermag. Eie gute Überblick über allgemeie Etscheidugsverfahre bei Uschärfe erhält der iteressierte Leser bei Rommelfager/Eickemeier (22). Eie Awedug der Fuzzy-Set-Theorie auf Ivestitios- ud Fiazetscheiduge fidet sich dagege bei Möbius (1997). Wede wir us der Risikosituatio zu. Das -Prizip, das --Prizip sowie das Beroulli-Prizip sid klassische Etscheidugsverfahre, die uiversell auch i de uterschiedlichste Bereiche der Betriebswirtschaftslehre zum Eisatz komme. Wie auch scho bei de vorgestellte Verfahre uter Ugewissheit, muss der Ivestor sich hisichtlich seier Lebeseistellug zu usichere Ereigisse erkläre. Der Uterschied besteht lediglich dari, dass jetzt icht mehr vo Optimismus bzw. Pessimismus des Ivestors die Rede ist, soder diesmal seie Eistellug zum Risiko abgefragt wird. Hier differeziert die Literatur gewöhlich zwische Risikofreude, Risikoscheue ud Risikoeutralität (vgl. Trautma (27), S. 239ff.). I der Praxis der Ivestitiosbeurteilug fide das Erwartugswertprizip ud das --Prizip große Aklag, die wiederum Grudlage für viele weitere Verfahre der Ivestitiosrechug uter Risiko darstelle. Isbesodere die Bewertug eier Ivestitio ach Erwartugs- ud Risikogesichtspukte fide sich sowohl bei Eizelfiazivestitios- als auch bei Programmfiazivestitio-Etscheiduge (Portfolio Selectio Theorie) wieder. Deswege wolle wir diese beide Verfahre im Aschluss vertiefe (vgl. Kapitel ud 2.4.5).

62 94 Ivestitio Die Mote-Carlo-Simulatio, als spezielles Verfahre ierhalb der Risikoaalyse, ist eie Weiteretwicklug der Szearioaalyse, die ierhalb der Sesitivitätsverfahre zum Eisatz kommt. Der Ivestor erhält bei diesem Verfahre keie eideutige Ergebisvorschlag, soder eie Wahrscheilichkeitsverteilug der Outputgröße, wie z.b. de Kapitalwert eier Ivestitio bei Vermögesstrebe. Dieses so geate Risikoprofil des betrachtete Ivestitiosprojektes gibt dem Ivestor darüber Auskuft, wie wahrscheilich es ist, dass die Ivestitio ei Flop wird (Kapitalwert<) oder ei Erfolg wird (Kapitalwert>). Daher ka i diesem Zusammehag bei der Mote-Carlo-Simulatio auch icht vo eiem Etscheidugsverfahre im egere Sie, soder ur vo eiem Etscheidugshilfeverfahre die Rede sei. Die Etscheidug selber über das Ivestitiosprojekt muss der Ivestor i Abstimmug mit seier persöliche Risikoeistellug treffe. Da dieses Verfahre i der Praxis sehr beliebt ist, soll es i Kap äher beschriebe werde. Die kapitalmarktorietierte Asätze, wie das Capital Asset Pricig Model (CAPM) oder das Adjusted Preset Value-Modell (APV), stelle gewissermaße eie Weiteretwicklug des Korrekturverfahres dar. Auch hier kommt es zu (Risiko-)Aufschläge beim Kalkulatioszisfuß, die jedoch im Gegesatz zum Korrekturverfahre icht subjektiv, soder aufgrud vo Beobachtuge am Kapitalmarkt erfolge. Diese Asätze komme i der Praxis isbesodere i der Uterehmesbewertug bzw. bei der fudametale Aktieaalyse zum Eisatz. Wir wolle auf diese Verfahre hier icht weiter eigehe. Der iteressierte Leser sei a die etsprechede Literatur verwiese (vgl. z.b. Götze (28), S. 353ff; Kruschwitz (27), S. 45ff.) Die i Abb aufgeführte Verfahre habe ihre Ursprug aus de uterschiedlichste Theorie ud Verwedugszwecke. Die dort geate Verfahresmöglichkeite bei Usicherheit habe wir ach der Usicherheitssituatio differeziert. Sie lasse sich jedoch auch ach adere Kriterie systematisiere, wie z.b. ach der Art der Ivestitiosetscheidug i Eizelud Programmetscheiduge (vgl. Blohm/Lüder/Schaefer (26), Götze (26)) oder ach der Art der Ivestitio i Sach- ud Fiazivestitio. Betrachte wir abschließed die Eizel- ud Programmetscheiduge. Zur Erierug: bei Eizeletscheiduge muss sich der Ivestor aus eier Vielzahl verschiedeer Hadlugsalterative für ei eiziges Ivestitiosprojekt etscheide. Liegt die Ivestitiosdauer fest, so spricht ma auch vo Wahleizeletscheiduge, asoste liegt eie Ivestitiosdaueretscheidug vor. Ka der Ivestor jedoch mehrere Ivestitioe gleichzeitig realisiere, so hadelt es sich um Programmetscheiduge (vgl. Kruschwitz (27), S.6).

63 Ivestitio 95 Ierhalb der Eizeletscheiduge werde i der Literatur folgede Verfahre aufgeführt: Korrekturverfahre Sesitivitätsaalyse Risikoaalyse (Mote-Carlo-Simulatio) Etscheidugsbaumverfahre (starre Plaug) Kapitalmarktorietierte Asätze (CAPM) Optiospreistheoretische Asätze (Realoptioe) Ierhalb der Programmetscheiduge uter Usicherheit fide sich die Verfahre: Sesitivitätsaalyse Programmierugsorietierte Asätze (Chace-Costraied Programmig) Portfolio Selectio-Asatz Etscheidugsbaumverfahre (flexible Plaug) Fuzzy-Set-Modelle Da wir hier icht alle Verfahre im Eizele bespreche köe, wolle wir us auf die i der Praxis gägigste Methode kozetriere. Dazu zähle sicherlich das Korrektur- ud Sesitivitätsverfahre im Fall der Ugewissheit sowie das Erwartugswert (-Prizip), das --Prizip ud die Mote-Carlo- Simulatio im Fall der Risikosituatio. Eizelivestitiosverfahre solle dabei im Vordergrud stehe.

64 96 Ivestitio Korrekturverfahre Das Korrekturverfahre geht wie die MiiMax-Regel vo eiem pessimistische Mesche aus. Der Pessimismus kommt dadurch zum Trage, dass für die usichere Iputgröße jeweilige Zu- bzw. Abschläge vorgeomme werde. So wird beispielsweise vom progostizierte Cashflow ud/oder vo der kalkulierte Nutzugsdauer ei pauschaler Abschlag ud/oder beim Kalkulatioszissatz ei pauschaler Aufschlag i Form eier Risikoprämie vorgeomme, um eie Quasi-Sicherheit zu erzeuge. Mit de veräderte Iputgröße köe u je ach Zielsetzug des Ivestors alle Verfahre uter Sicherheit zum Eisatz komme. Die Auswirkuge davo sid umittelbar eileuchted: das Ivestitiosprojekt wird schlecht bzw. tot gerechet. Folgedes Beispiel soll dies verdeutliche: Beispiel 2.8 (Korrekturverfahre) Eie Ivestori steht vor der Etscheidug, ob sie i ei Projekt mit folgede Date ivestiere soll: Die Ivestitiosauszahlug i t= beläuft sich auf -1 Mio.. Die weitere Cashflows z t für die gesamte Laufzeit vo 4 Jahre werde etspreched der Tabelle progostiziert: t z t Die Ivestori strebt ach maximalem Vermöge ud beurteilt diese Ivestitio mittels der Kapitalwertmethode. Bei eiem uterstellte Kalkulatioszisfuß vo 1 % ergibt sich ei Kapitalwert i Höhe vo ca. 7,2 Mio.. Da der Kapitalwert positiv ist, erscheit das Projekt absolut vorteilhaft. Die Ivestori ist pessimistisch ud stuft dieses Projekt als äußerst usicher ei. Sie immt daher hisichtlich der Ivestitiosauszahlug eie pauschale Aufschlag vo 1 % ud bezüglich der weitere Cashflow-Reihe eie pauschale Abschlag i Höhe vo 1 % vor: Die eue Zahlugsreihe sieht wie folgt aus: t z t

65 Ivestitio 97 Weiter Beispiel 2.8 (Korrekturverfahre) De Kalkulatioszisfuß belässt die Ivestori higege bei 1 %. Nach ereuter Berechug des Kapitalwertes stellt sich heraus, dass das vormals vorteilhafte Projekt plötzlich uvorteilhaft geworde ist. Der Kapitalwert beträgt u -13,5 Mio.. Die pauschale Korrektur der Zahlugsreihe um 1 %, die icht ratioal achvollziehbar ist, soder aus dem Bauchgefühl der Ivestori resultiert, hat also dazu geführt, dass die Ivestitio tot gerechet wurde. Komme wir zur Bewertug des Korrekturverfahres: Uterstellug eies pessimistische Ivestors Berücksichtigug ur egativer Zukuftslage Zukuftslage eie Frage des Figerspitze- bzw. Bauchgefühls Gefahr der Kumulatio der Korrekture Geriger Plaugs- ud Recheaufwad Aufgrud des gerige Plaugs- ud Recheaufwads ist das Korrekturverfahre i der Praxis beliebt. Die adere aufgeführte Pukte sid jedoch so egativ, dass das Korrekturverfahre aus theoretischer Sicht klar abzulehe ist Sesitivitätsverfahre Die Sesitivitätsaalyse ist ei i der Praxis sehr beliebtes Verfahre. Sie kommt etweder i Form eier Szearioaalyse oder eier Kritische-Werte- Rechug zur Awedug. Folgede zwei Fragestelluge versucht ma mit diesem Verfahre zu beatworte: Wie verädert sich der Zielfuktioswert bei vorgegebee Variatioe eier oder mehrerer Iputgröße? (Szearioaalyse) Welche Wert darf eie Iputgröße aehme, we ei vorgegebeer Zielfuktioswert midestes erreicht werde soll? (Verfahre der kritische Werte ) Die Szearioaalyse ist eie Weiteretwicklug des Korrekturverfahres. Auch hier werde die Auswirkuge eier Variatio der Iputgröße, wie z.b. die Ivestitiosauszahlug oder der zuküftige Cashflows, auf dere

66 98 Ivestitio Outputgröße, z.b. der Kapitalwert, betrachtet. Der Uterschied zum Korrekturverfahre liegt dari, dass ma sich icht auf ei eiziges Szeario beschräkt, soder i.d.r. drei verschiedee Szearie betrachtet: worst case, most likly case ud best case. Der most likely case soll dabei de möglichste oder auch wahrscheilichste Fall repräsetiere. Eie Abweichug sowohl ach obe (best case) als auch ach ute (worst case) rude die Betrachtug der Usicherheit ab. Die Aahme eies pessimistische Ivestors, wie beim Korrekturverfahre, wird hier also aufgegebe. Der Ivestor erhält aber durch die gleichzeitige Betrachtug der uterschiedliche Szearie keie klare Etscheidugsempfehlug mehr. Die Usicherheit wird durch die Szeariebildug lediglich etwas traspareter gemacht. Bei der Methode der kritische Werte wird geschaut, i wie weit die Veräderug eier usichere Iputgröße das Ergebis der Beurteilug so stark beeiflusst, dass es zur Ablehug des Projektes führt. Bezoge auf die Kapitalwertmethode bedeutet dies: Wie sehr dürfe sich die Iputgröße jede für sich betrachtet veräder, ohe dass der Kapitalwert egativ wird ud damit die Ivestitio gefährdet wird? Diese Fragestellug habe wir bereits bei der Itere-Zisfuß-Methode oder der dyamische Amortisatiosrechug kee gelert. Bei der Itere-Zisfuß-Methode (Amortisatiosrechug) habe wir ach demjeige Zissatz (Laufzeit) als kritische Wert gesucht, bei dem der Kapitalwert der Ivestitio gerade de Wert Null aimmt. Nu köe bei eier Ivestitio auch adere Werte als der Zissatz (i) bzw. der Zisfaktor (q) oder die Nutzugsdauer (T) agesehe werde. Wird der progostizierte Cashflow i seie Bestadteile zerlegt, da lasse sich folgede Größe idetifiziere (vgl. Götze (28), S. 364; Blohm/Lüder/ Schaefer (26), S. 233): Aschaffugsauszahlug (I ) Verkaufspreis (p) Absatz- bzw. Produktiosmege bei Güter (x) produktiosabhägige Auszahluge bei Güter (a v ) produktiosuabhägige Auszahluge bei Güter (A f ) Liquidatioserlös/Restwert (L) Formal betrachtet gilt bezoge auf de Kapitalwert C eier Ivestitio: T! t t t C z q T t T C I (pa v) xaf q Lq t1 (2.53)

67 Ivestitio 99 Uterstelle wir eimal, dass erstes die Frage ach dem kritische Verkaufspreis (p krit ) vo Iteresse ist ud dass zweites der Verkaufspreis, die Absatzud die Produktiosmege, die produktiosab- wie uabhägige Auszahluge über die gesamte Nutzugsdauer der Ivestitio kostat sid, so lässt sich die obige Gleichug modifiziere ud ach dem kritische Verkaufspreis leicht umforme: T t T C I (pkrit a v) xaf q Lq t1 T t T C I (pkrit a v) xaf q Lq t1 (2.54) Nach p krit umgeformt: p krit T t T I (av x A f) q L q t1 T t x q t1 (2.55)

68 1 Ivestitio Beispiel 2.9 (Sesitivitätsaalyse kritische Werte) ach Götze (28), S. 365) Aus Kapazitätsgrüde soll eie weitere Maschie ageschafft werde, damit zusätzlich 1. Megeeiheite des Produkts gefertigt ud verkauft werde köe (Aahme: Produktiosmege = Absatzmege, Fertigug ur eier Produktart). Die Nutzugsdauer der Alterative liegt bei 5 Jahre. Mit eiem Liquidatioserlös am Ede der Nutzugsdauer ist icht zu reche. Die produktiosabhägige Auszahluge pro Stück werde bei dieser Maschie mit 5 GE veraschlagt. Die produktiosuabhägige Auszahluge belaufe sich pro Periode auf 16. GE. Die Ivestitio kostet 1. GE. Der Kalkulatioszissatz beträgt 1 % ud der Preis pro Megeeiheit des Produkts soll ierhalb des gesamte Plaugshorizots bei kostate 1 GE liege. Der Kapitalwert ist uter dieser Voraussetzug mit ,74 GE positiv. Welche Verkaufspreis muss das Produkt midestes erziele, damit sich die Ivestitio ach wie vor rechet? Lösug Die Date i die obige Gleichug eigesetzt, ergibt: p krit 1. ( ) 5 t 1. 1,1 t1 5 1,1 t t1 92,38 Wie ist dieses Ergebis u zu iterpretiere? Bezoge auf de ursprügliche Verkaufspreis vo 1 GE darf der Verkaufspreis maximal um 7,62% ach ute abweiche, damit die betrachtete Ivestitio kei Flop wird, vorausgesetzt, die adere Iputgröße bleibe ceteris paribus uverädert. Betrachte wir die adere Iputgröße ud frage dort ach de kritische Werte, so erhält ma folgede Ergebisse:

69 Ivestitio 11 Tab. 2.16: Sesibilität der Iputgröße (Kritische Werte) auf die Outputgröße Iputgröße Kritische Werte Abweichug vom Ausgagswert A ,74 GE +28,9 % p 92,38 GE -7,6 % a v 57,62 GE +15,2 % x 847,6 Stück -15,2 % A f 23.62,3 GE +47,6 % i 2,76 % +17,6 % T 3,67 Jahre -26,6 % Quelle: eigee Darstellug Wie die Tabelle verdeutlicht, ist der Verkaufspreis der kritischste Wert vo alle Iputgröße, da er lediglich ca. 7,6 % ach ute abweiche darf. Am ukritischste ist dagege die Höhe des Kalkulatioszissatzes. Dieser darf sogar um mehr das Doppelte awachse, ohe dass der Erfolg der Ivestitio gefährdet wäre. Komme wir zur Bewertug des Sesitivitätsverfahres. I Wirklichkeit fidet die Usicherheit bei der Sesitivitätsaalyse auch keie direkte Berücksichtigug, weswege i der Literatur auch hier vo Ivestitiosetscheiduge uter Quasi-Sicherheit gesproche wird (vgl. Breuer (21), S.7ff.). Es bleibt festzuhalte: Kei Etscheidugsverfahre, soder eie Sesibilitätsaalyse Flexible Awedugsmöglichkeite auf verschiedee Ivestitiostype Urealistische Aahme über Kostaz der adere Iputgröße Keie Aussage über Eitrittswahrscheilichkeite der Größe Geriger Recheaufwad

70 12 Ivestitio Das Erwartugswertverfahre (-Prizip) Das Erwartugswertverfahre, auch -Prizip oder Bayes-Regel geat, ist ei Verfahre aus der klassische Etscheidugstheorie ud kommt bei Risikosituatioe zum Eisatz. Es geht vo eiem risikoeutrale Ivestor aus, da der Etscheider ausschließlich das erwartete Ivestitiosergebis i Form beispielsweise des Vermöges oder der erwartete Redite zur Etscheidugsgrudlage macht. Das Risiko bzw. die Chace eier Abweichug vom Erwartugswert wird bei dieser Betrachtug prizipiell ausgeschlosse. Voraussetzug für die Awedug dieses Verfahres ist, dass der Ivestor die Wahrscheilichkeitsverteilug der zuküftige, usichere Erwartugswerte agebe ka. Die Zielgröße des Ivestors je Umweltzustad i wird als zufallsabhägige (stochastische) Größe defiiert. Dabei ist es uerheblich, ob die Wahrscheilichkeite (p i ) subjektiver (geschätzt) oder objektiver (aufgrud vo Statistike) Natur sid. Bezoge auf die Kapitalwertmethode, rückt bei Awedug des Erwartugswertverfahres der erwartete Kapitalwert (E[C ]) i de Fokus des Ivestors. Formal gilt für die Ermittlug des erwartete Kapitalwertes eier Ivestitiosalterative bei Aahme diskreter Zufallsvariable (C,i ): E[ C I I ] C, i pi mit pi 1 i1 i1 (2.56) Die verschiedee Kapitalwerte je Umweltzustad resultiere aus de usichere Iputgröße, wie z.b. dem Cashflow oder der Nutzugsdauer. Bei Wahleizeletscheiduge sid alle Alterative j absolut vorteilhaft, die eie positive erwartete Kapitalwert aufweise. Relativ vorteilhaft ist die Alterative mit dem maximale erwartete Kapitalwert. Formal gilt: E[ C] j Ivestitio ist absolut vorteilhaft E[ C] max! j Ivestitio ist relativ vorteilhaft Natürlich lässt sich das Erwartugswertverfahre auch problemlos auf die itere Zisfußmethode übertrage. I diesem Fall würde der Ivestor seie Ivestitiosetscheidug ach der erwartete Redite ausrichte (vgl. z.b. Schäfer (22), S. 238 f).

71 Ivestitio 13 Beispiel 2.1 (Erwartugswertverfahre) Eiem Ivestor stehe drei Ivestitiosalterative (A, B ud C) zur Auswahl, die je ach Umweltzustad drei verschiedee Auspräguge aehme köe. Die jeweilige Umweltzustäde S i trete mit uterschiedliche Wahrscheilichkeite ei: S 1 = 2%, S 2 = 5%, S 3 = 3%. Die jeweilige Auspräguge des Kapitalwerts je Alterative köe Sie der folgede Matrix etehme: S 1 S 2 S 3 2% 5% 3% A B C Bestimme Sie die Vorteilhaftigkeit der drei Alterative ach dem Erwartugswertprizip, we der Ivestor ach maximale Vermöge strebt. Lösug: Nach der obige Formel erreche wir die erwartete Kapitalwerte für usere drei Alterative. Für die erste Alterative j=1 gilt: 3 E[ C ] 1 C pi 5 2% 65% 183% 7,4, i i1 Die eizele Ergebisse sid i der Tabelle zusammegetrage: Alterative A B C Erwartugswert 7,4 7,5 5,3 Wie ma der Tabelle etehme ka, sid alle drei Ivestitioe absolut vorteilhaft, da ihr erwarteter Kapitalwert positiv ist. Da der Ivestor aahmegemäß ach maximalem Vermöge strebt, würde er sich für die Alterative B etscheide.

72 14 Ivestitio Ahad des Beispiels kote ma sehr gut erkee, dass das Erwartugswertprizip auch als eie Weiteretwicklug der Szearioaalyse (vgl. Kapitel 2.4.3) bezeichet werde ka. Wir habe für usere Zielgröße Kapitalwert drei Szearie (S 1 = worst case, S 2 = most likely case, S 3 = best case) uterstellt, dee wir jetzt aber auch im Gegesatz zur Szearioaalyse Eitrittswahrscheilichkeite zuorde kote. Erst dadurch ware wir i der Lage, die drei erhaltee Ergebisse (Kapitalwerte) zu eier Kezahl (Erwartugswert) zu verdichte. Der Ivestor ist damit wieder i die Lage versetzt worde, eie Etscheidug uter Usicherheit über de direkte Vergleich der Ergebisse herbeizuführe, ud icht wie bei der Szearioaalyse lediglich die Risikosituatio trasparet zu mache. Das -Prizip ist i der Literatur icht uumstritte. Dabei wird oft das Petersburger Spiel - ei Spieler wirft eie Müze so oft hoch, bis zum erste Mal die Müzseite Zahl agezeigt wird. Der Spieler erhält eie Gewi i Abhägigkeit der Azahl Würfe. Die Zahlug beläuft sich auf 2 - ageführt, bei dem der Erwartugswert theoretisch uedlich groß ist. (vgl. Trautma (27), S. 236f). Eiem potezielle Mitspieler müsste die Beteiligug am Spiel theoretisch beliebig viel wert sei, we er sich ach dem erwartete Gewi orietiert. Tatsächlich wird es trotz hoher Gewiaussichte schwierig sei, eie Mitspieler zu fide, der bereit wäre, eie hohe Geldbetrag eizusetze, um a diesem Spiel teilehme zu köe. Dieses Paradoxo zwische Theorie ud Praxis hat Beroulli dazu veralasst, ei eues Prizip zu etwickel: das Beroulli-Prizip (vgl. Kapitel 2.4.6). Komme wir zur Bewertug des Erwartugswertprizips: Agabe eier Wahrscheilichkeitsverteilug bezüglich der usichere Iputgröße oder der Outputgröße otwedig Risiko eier Abweichug vom Erwartugswert bleibt uberücksichtigt (risikoeutraler Ivestor) Flexible Awedugsmöglichkeit auf zahlreiche Verfahre der Ivestitio uter Sicherheit (z.b. Kapitalwert ud Itere-Zisfuß-Methode) Paradoxo zwische Theorie ud Praxis (Petersburger Spiel)

73 Ivestitio Die Erwartugswert-Variaz-Regel (--Prizip) Etscheiduge ach dem Erwartugswert ud desse Streuug, kurz -- Prizip, beziehe explizit die Risikoeistellug des Ivestors i die Etscheidugsfidug mit ei. Dabei wird als geeigetes Risikomaß die Stadardabweichug i Bezug zum Erwartugswert gesetzt. Als Ergebis erhält ma eie Präferezwert (, ). Durch diese Komprimierug der beide Kezahle ud zu eier Kezahl ka es zu Iformatiosverluste komme, die das Ergebis verfälsche köe. Es ist durchaus dekbar, dass Etscheiduge auf der Grudlage des --Prizips i Widerspruch zum Domiazprizip stehe (vgl. Busse vo Colbe/Laßma (199), S. 17). Dieses Domiazprizip sagt aus, dass eie Alterative der adere überlege ist, sofer die zu betrachtede Zielgröße der eie Alterative i jedem Umweltzustad größer oder gleich ist als die der adere Alterative. Folglich muss der Etscheider, bevor er das --Prizip auf ei Etscheidugsproblem awede will, zuächst als sog. Vorauswahlregel das Domiazprizip awede, ud ggf. die domiierte Alterative zuvor aussortiere. Komme wir zurück zur Risikoeistellug: Ist der Ivestor risikoaffi (risikoavers), so wird er bei der Etscheidugsfidug die positive (egative) Abweichug vom Erwartugswert berücksichtige. Je ach Stärke der Affiität bzw. Aversio zu de Risike, wird die Stadardabweichug vom Ivestor mehr oder weiger stark i Bezug zum Erwartugswert gesetzt. Bei eifacher Relatio der Risike zum Erwartugswert laute die Etscheidugskriterie i Abhägigkeit der Risikoeistellug: (, ) = + (, ) = Max! (für risikoaffie Ivestor) Max! (für risikoaverse Ivestor) Wird das Risiko bzw. die Chace vollkomme ausgebledet ( =), so habe wir es wieder mit eiem risikoeutrale Ivestor zu tu. Das Erwartugswertprizip ist also ei Spezialfall des --Prizips. Wede wir das --Prizip auf Ivestitiosetscheiduge a, so sid zuächst i eiem erste Schritt die Erwartugswerte ud die Stadardabweichuge je Alterative zu bestimme. I eiem zweite Schritt werde diese beide Kezahle je ach Risikoeistellug des Ivestors zum Präferezwert () verdichtet. Eie Ivestitio j ist absolut vorteilhaft, we j > ist. Relativ vorteilhaft ist diejeige Ivestitio, dere j maximal ist. Formal gilt:

74 16 (, ) j Ivestitio Ivestitio j ist absolut vorteilhaft (, ) max! Ivestitio j ist relativ vorteilhaft j Wie der Erwartugswert allgemei berechet wird, habe wir bereits i Kapitel gesehe. Die Stadardabweichug bzw. die Variaz ( ) eier diskre- 2 te Zufallsvariable bereche sich formal wie folgt: I C, 2 (Variaz) (2.57) i1 2 p i i I C, (Stadardabweichug) (2.58) i1 2 p i i Betrachte wir das achfolgede Beispiel zum Erwartugswertverfahre ud ergäze es ach kleie Modifikatioe hisichtlich der Risikoeistellug um das --Prizip: Beispiel 2.11 (--Prizip) Eiem Ivestor stehe drei Ivestitiosalterative (A, B ud C) zur Auswahl, die je ach Umweltzustad drei verschiedee Auspräguge aehme köe. Die jeweilige Umweltzustäde S i trete mit uterschiedliche Wahrscheilichkeite ei: S 1 = 2%, S 2 = 5%, S 3 = 3%. Die jeweilige Auspräguge des Kapitalwerts je Alterative köe Sie der folgede Matrix etehme: S 1 S 2 S 3 2% 5% 3% A B C Bestimme Sie die Vorteilhaftigkeit der drei Alterative ach dem - -Prizip, we der Ivestor ach maximale Vermöge strebt. Gehe Sie dabei vo eiem mäßig risikoscheue, stark risikoaverse ud vo eiem mäßig risikofreudige Ivestor aus ud vergleiche Sie Ihre Ergebisse.

75 Ivestitio 17 Weiter Beispiel 2.11 (--Prizip) Lösug: Die Erwartugswerte der Kapitalwerte je Alterative habe wir bereits i Kapitel (vgl. Tab. ) berechet. Die Stadardabweichug für die Alterative A ergibt sich durch Eisetze der Date i obige Gleichug: ,4 2% 6 7,4 5% 18 7,4 3% 8, 1 1 Die Erwartugswerte ud Stadardabweichuge für alle drei Alterative sid i folgeder Tabelle zusammegefasst: Alterative A B C Erwartugswert 7,4 7,5 5,3 Stadardabweichug 8,1 5,2 2,1 Im zweite Schritt wird die Risikoeistellug des Ivestors berücksichtigt. Hier soll gemäß Aufgabestellug vo eiem stark ud mäßig risikoaverse sowie vo eiem mäßig risikoaffie Ivestor ausgegage werde. Der Vollstädigkeit halber betrachte wir auch och de risikoeutrale Etscheider. Die Ergebisse köe der achfolgede Tabelle etomme werde: risikoavers risiko- risiko- stark mäßig eutral freudig A -8,8 -,7 7,4 15,5 B -2,9 2,3 7,5 12,7 C 1,1 3,2 5,3 7,4 Richte wir zuächst user Augemerk auf de Fall des mäßig risikoscheue Ivestors. Die Stadardabweichug wird i eifacher Form vom Erwartugswert subtrahiert (-). Folglich ergibt sich für Alterative A ei Wert vo -,7 (= 7,4-8,1). Diese Alterative ist also icht absolut vorteilhaft für de Ivestor. Lediglich für die Alterative B ud C sid die verdichtete

76 18 Ivestitio Kezahle positiv. Da der Wert der Alterative C mit 3,2 am größte ist, wird sich dieser mäßig risikoscheue Ivestor, der sich ach dem --Prizip verhält, für diese Alterative etscheide. Diese Etscheidug wird bei eiem stark risikoaverse Ivestor maifestiert. Alterative B wäre i diesem Fall auch icht mehr absolut gesehe vorteilhaft, da der komprimierte Wert mit -2,9 egativ ist. Bei eiem mäßig risikoaffie Ivestor dreht sich die Etscheidug. Hier erscheit Alterative A mit eiem Wert vo 15,5 am vorteilhafteste. Der risikoeutrale Ivestor dagege würde sich für die Alterative B etscheide., was geau dem erwartete Kapitalwert etspricht, ist hier mit 7,5 maximal. Dieses Ergebis kee wir bereits aus dem Beispiel 3a (vgl. Kapitel 2.4.4). Komme wir zur Bewertug des --Prizips: Agabe eier Wahrscheilichkeitsverteilug bezüglich der usichere Iputgröße oder der Outputgröße otwedig Risiko/ Chace eier Abweichug vom Erwartugswert wird explizit berücksichtigt Stärke der Risikoeistellug (Risikoaversio ud affiität) lässt sich über die Additio bzw. Subtraktio der Kezahle ud relativ fei steuer Flexible Awedugsmöglichkeit auf zahlreiche Verfahre der Ivestitio uter Sicherheit (z.b. Kapitalwert ud Itere-Zisfuß-Methode) Awedug des Domiazprizips als Vorauswahlregel, um ggf. widersprüchliche Ergebisse des --Prizips zu vermeide Dem --Prizip kommt i der Ivestitios- ud Fiazierugstheorie eie sehr große Bedeutug zu. Weitere Verfahre der Ivestitiosrechug uter Usicherheit, wie z.b. das Etscheidugsbaumverfahre, die Mote-Carlo- Simulatio ud die Portfoliotheorie, basiere auf diesem Kozept. Flexibilität beweist das --Prizip auch hisichtlich des zu betrachtete Risikomaßes. Es ist durchaus möglich, statt der Variaz bzw. der Stadardabweichug auch ei aderes Risikomaß zu verwede, wie z.b. de Variatioskoeffiziete (vgl. Busse vo Colbe/Laßma (199), S. 171). Als Fazit lässt sich festhalte, dass die Erwartugswert-Variaz-Regel eie sowohl i der Theorie als auch i der Praxis bevorzugte Möglichkeit des Umgags mit Ivestitiosetscheiduge bei Risikosituatioe darstellt.

77 Ivestitio Das Beroulli-Prizip Das Beroulli-Prizip geht auf de Mathematiker Daiel Beroulli im Jahr 1738 zurück ud geriet bis zur Wiederetdeckug im Jahr 1944 durch Joh vo Neuma ud Oskar Morgester i Vergesseheit (vgl. Kruschwitz (27), S. 327 ud die dort aufgeführte Literatur Beroulli 1738). Als Etscheidugsgrudlage diet der erwartete Risikoutze des Etscheiders oder auch Beroulli- bzw. Neuma-Morgester-Nutze geat (vgl. Busse vo Colbe/Laßma (199), S.172). Der Etscheider bewertet gemäß seier idividuelle Risikoeistellug jede mögliche Ausprägug des Zielwertes i Form eier Nutzefuktio, um aschließed diese verschiedee Nutzewerte mit der jeweilige Eitrittswahrscheilichkeit des Umweltzustades zu gewichte. Als Ergebis dieses Bewertugsprozesses erhält der Etscheider eie Präferezwert für die betrachtete Alterative, de erwartete Risikoutze. Werde diese verschiedee erwartete Risikoutze je Alterative miteiader vergliche, so wählt der Etscheider diejeige mit dem maximale Nutze aus. Da das Beroulli-Prizip vo eiem ratioal hadelde Mesche ausgeht, basiere die weitere Überleguge auf eiem Ratioalitätspostulat bzw. eiem Axiomesystem, das aus de Axiome Vergleichbarkeit, Trasitivität, Stetigkeit, Beschräkug, Domiaz ud Uabhägigkeit der mögliche Auspräguge besteht. Auf eie weitere Beschreibug dieses Axiomesystems wolle wir hier verzichte. Der iteressierte Leser sei a die etsprechede Literatur verwiese (vgl. z.b. Kruschwitz (27), S. 335 f.). Beziehe wir u die allgemeie Aussage des Beroulli-Prizips wieder auf Ivestitiosetscheiduge uter Risiko ud wähle als ökoomische Größe de Kapitalwert. Da ergibt sich der erwartete Risikoutze aus eier Ivestitio E[ C, i )] aus der Summe mit der jeweilige Eitrittswahrscheilichkeit p i gewichtete Nutze (Utility) der verschiedee Kapitalwerte u( C, i ) je Umweltzustad i: I I C, i u( C, i ) pi mit pi 1 E u i1 i1 (2.59) Bei Wahleizeletscheiduge sid alle Alterative j absolut vorteilhaft, die eie positive erwartete Risikoutze aufweise. Relativ vorteilhaft ist die Alterative mit dem maximale erwartete Risikoutze. Formal gilt:

78 11 Ivestitio E [ u( C )] Ivestitio ist absolut vorteilhaft j E[ u( C)] max! j Ivestitio ist relativ vorteilhaft Streg geomme erfolgt also beim Beroulli-Prizip wie beim --Prizip ebefalls eie Verdichtug der Usicherheit durch die Berechug eies Präferezwertes (erwarteter Risikoutze). Jedoch erfolgt diese Kozetratio zu eier Kezahl icht erst am Schluss der Berechuge, soder bereits am Afag i Form eier Risikoutzefuktio, auf die sich der Ivestor zuvor festgelegt hat. Diese Risikoutzefuktio soll de persöliche Nutze der betrachtete Ivestitio i Abhägigkeit seier idividuelle Risikoeistellug widerspiegel. Durch die Gestalt der Risikoutzefuktio soll also die idividuelle Risikoeistellug zum Ausdruck komme. Dabei werde grudsätzlich drei verschiedee Risikoutzefuktioe betrachtet: Kokave Risikoutzefuktio für risikoscheue Ivestore Kovexe Risikoutzefuktio für risikofreudige Ivestore Lieare Risikoutzefuktio für risikoeutrale Ivestore Die typische Gestalt dieser Risikoutzefuktioe ist i Abb dargestellt. Abb. 2.26: Risikoutzefuktioe bei uterschiedlicher Risikoeistellug u(x) Risikoeutralität Risikoaffiität X: Ergebisgröße Risikoaversio x Quelle: eigee Darstellug

79 Ivestitio 111 Der Vollstädigkeit halber soll auch och eie vierte Risikoutzefuktio, die vo Friedma/Savage, erwäht werde (vgl. Bamberg/Coeeberg/Krapp (28)). Diese Fuktio, die wir im Weitere icht weiter verfolge wolle, besteht sowohl aus kokave wie aus kovexe Stücke ud soll die empirisch belegte, zum Teil widersprüchliche Eistellug des Etscheiders zum Risiko abbilde. Zu deke wäre a Mesche, die a Glückspiele, wie der staatliche Lotterie oder Spielwette, teilehme (Risikosympathie) ud sich gleichzeitig gege Sach- ud Persoerisike bei Versicheruge absicher (Risikoaversio). Beispiele für kokave Risikoutzefuktioe bei Risikoaversio sid: u( x) l x u( x) x Beispiele für kovexe Risikoutzefuktioe bei Risikoaffiität sid: 2 u( x) x x u( x) e Beispiele für lieare Risikoutzefuktioe bei Risikoeutralität sid: u( x) 2x 1 u( x) x 3 Die Risikoutzefuktioe erhält ma durch Befragug des Ivestors bzw. durch Herbeiführug hypothetischer Risikosituatioe. Dabei werde, eimal vereifached gesagt, fiktive Frage gestellt, desse Beatwortug eie Messug des Nutzes für bestimmte Risikosituatioe ermögliche ud damit Rückschlüsse auf die Gestalt der Risikoutzefuktio gebe soll. Diese Frage- ud Auswertetechik wolle wir hier im Eizele icht weiter vertiefe. Der iteressierte Leser sei a die etsprechede Literatur verwiese (vgl. z.b. Bamberg/Coeeberg/Krapp (28), S. 76ff. oder Trautma (27), S. 237ff.). Ahad des Beispiels 3 wolle wir mit leicht modifizierter Aufgabestellug die theoretische Ausführuge zum Beroulli-Prizip u verdeutliche:

80 112 Ivestitio Modifiziertes Beispiel 2.12 (--Prizip) Eiem Ivestor stehe drei Ivestitiosalterative (A, B ud C) zur Auswahl, die je ach Umweltzustad drei verschiedee Auspräguge aehme köe. Die jeweilige Umweltzustäde S i trete mit uterschiedliche Wahrscheilichkeite ei: S 1 = 2%, S 2 = 5%, S 3 = 3%. Die jeweilige Auspräguge des Kapitalwerts je Alterative köe Sie der folgede Matrix etehme: S 1 S 2 S 3 2% 5% 3% A B C Bestimme Sie die Vorteilhaftigkeit der drei Alterative ach dem Beroulli-Prizip, we der Ivestor ach maximalem Risikoutze strebt. Gehe Sie dabei vo eiem risikoscheue Ivestor aus, desse Risikoeistellug über folgede Fuktio sehr gut zum Ausdruck kommt: 2 C u( C ) C 1 C Lösug: Da die Risikoutzefuktio des Ivestors bereits bekat ist, köe wir gleich zur Bewertug der drei Alterative komme. Stellvertreted für Alterative A bereche wir i eiem erste Schritt zuächst die Nutzewerte für die verschiedee Kapitalwerte je Umweltzustad: 2 2 C,1 5 Umweltzustad i=1: u( C ) C 5 1,1,1 1 C C,1 Umweltzustad i=2: 6 u( C,1) C,1 6 3, 75 1 C C,1 Umweltzustad i=3: 18 u( C,1) C,1 18 6, 43 1 C ,1,1,1

81 Ivestitio 113 Diese Berechuge wiederhole wir für jede Alterative ud köe als Zwischeergebis folgede Nutzematrix erstelle: S 1 S 2 S 3 2% 5% 3% A -1 3,75 6,43 B -1,11 4,12 5,83 C 1,67 3,33 4,44 I eiem ächste Schritt ermittel wir de erwartete Risikoutze je Alterative. Für Alterative A ergibt sich: I C u C ) p 12% 3,755% 6,433% 1, 8 E u, i (, A i i i1 Bereche wir de erwartete Risikoutze der adere zwei Alterative ebeso, so erhalte wir die achfolgede Ergebisse: Alterative A B C E[u(KW)] j 1,8 3,6 3,3 Der Vergleich der erwartete Risikoutze je Alterative macht deutlich, dass für de Ivestor die Alterative B optimal ist, da der Nutze für ih dort maximal ist. Komme wir zur Bewertug des Beoulli-Prizips: Aufwedige Frage- ud Auswertugsprozedur bei der Erstellug der Risikoutzefuktio erschwert die schelle Awedbarkeit Awedug ur sivoll bei Aahme eies ratioal hadelde Mesche (Aerkeug des zugrude liegede Axiomesystems) Uterstellug eier diskrete Wahrscheilichkeitsverteilug der Zielgröße Traspareter Etscheidugsfidugsprozess Wege der obe geate, i erster Liie kritische Pukte, hat das Beroulli-Prizip keie große praktische Relevaz i der Ivestitiosrechug.

82 114 Ivestitio 2.5 Kotrollaufgabe Lerziele Dieses Kapitel vermittelt: Kotrollaufgabe zu de Fragestelluge der Ivestitio Aufgabe 2.1 Ei Bauuterehmer möchte eie eue Betomischmaschie aschaffe ud hat hierzu 2 Alterative: Alage 1 kostet 12.8, Alage 2 higege Die fixe Koste des Betriebs der Alage sid bei beide Alterative i- detisch ud betrage 35 pro Jahr. Die Betriebskoste für Alage 1 belaufe sich auf 12 ud für Alage 2 auf 1,5 pro m 3 Beto. Es wird eie jährliche Mege vo 2.8 m 3 Beto geplat ud die Kapazitäte reiche bei beide Alage hierzu aus. Der Restwert ach der für beide Alage geplate Nutzugsdauer vo 8 Jahre liegt jeweils bei 15%. Führe Sie eie statische Gewivergleich durch. Gehe Sie hierbei vo eiem Zissatz vo 7,9% aus. Aufgabe 2.2 Der Eigetümer der Autovermietug Time Ret will ei eues Fahrzeug aschaffe ud hat hierzu zwei Alterative: Für Typ 1 liegt ihm ei Kaufagebot für vor. Für Steuer ud Versicherug kalkuliert er 1% des Aschaffugspreises als fixe Koste pro Jahr. Er schätzt, dass das Fahrzeug 3 Jahre lag vermietet werde ka. Pro Moat rechet er mit eier Laufleistug vo 4.5 km, wobei laut Fachpresse ei Wertverlust vo 1% pro 2.5 km Laufleistug erwartet wird. Außerdem falle,12 pro km a variable Koste a. Ma glaubt, das Fahrzeug für,4 pro km vermiete zu köe. Für Typ 2 liegt ei Agebot über vor. Auch hier werde für Steuer ud Versicherug 1% des Aschaffugspreises pro Jahr ud ei Wertverlust vo 1% pro 25 km veraschlagt. Ma glaubt auch dieses Fahrzeug über drei Jahre utze zu köe ud erwartet dabei variable Koste vo,13 pro km. Als moatliche Laufleistug zu eiem Preis vo,45 pro km werde 42 km geschätzt. Der Zissatz bei beide Alterative beträgt 6,5%.

83 Ivestitio 115 a) Führe Sie eie Gewivergleichsrechug durch. b) Führe Sie eie Retabilitätsrechug durch. c) Warum führt ma hier keie Kostevergleichsrechug durch? d) Was ergibt sich bei eier Amortisatiosrechug? Aufgabe 2.3 Ei Kapital wird mit eiem Zissatz vo 5,6% pro Jahr verzist. Nach füf Jahre beträgt K Wie hoch ist das Kapital ach 3 Jahre? Wie hoch war es zum Zeitpukt t=? Aufgabe 2.4 Ei Darlehe über 25. soll über 25 Jahre i jährliche Auitäte zurückgezahlt werde. Als Zissatz sid 6,25% vereibart. Wie hoch sid die jährliche Auitäte? Wie hoch sid die Rate, we keie Tilgug vereibart ist (Tilgug der Darlehessumme am Ede i eier Summe)? Aufgabe 2.5 Ei Kapital wird zeh Jahre mit eiem Zissatz vo 6,3% verzist. Nach dem zehte Jahr hebt der Sparer die Hälfte des Afagskapitals ab ud lässt de Rest wieder zeh Jahre mit eiem Zis vo 6,9% verzise. Nach Ablauf des 2. Jahres zahlt ma ihm aus. Wie hoch war das Afagskapital? Aufgabe 2.6 Ei Kapital wird 26 Jahre mit eiem Zissatz vo 5,75% verzist. Jedes Mal, we die Bak die Zise vergütet, legt der Sparer och eimal 2. dazu. Wie hoch war das Kapital zum Zeitpukt t=, we es ach 26 Jahre beträgt? Aufgabe 2.7 Oma Schütterche (73 Jahre alt) bietet ihrer Ekeli a, ihr zum Ede jede Jahres de Betrag vo 1. zu zahle (begied zum Zeitpukt t=1), damit diese geug Geld i eie spätere Ehe eibrige ka. Da die Ekeli de Gesudheitszustad ihrer Großmutter kritisch betrachtet, schlägt sie ihr vor, ihr statt der jährliche Zahluge sofort (zum Zeitpukt t=) eie große Betrag über 1. zu scheke. Ab welchem Alter der Oma muss sich die Ekeli darüber ärger, de Eimalbetrag gewählt zu habe?

84 116 Ivestitio Aufgabe 2.8 Eie kleie Autowerkstatt verkauft derzeit mit zwei Moteure pro Jahr isgesamt 3.15 Werkstattstude. Der Verkaufspreis liegt bei 45 pro Stude. Die beide Moteure erhalte hierfür eie Studeloh vo 11. Durch de Kauf eier eue Hebebühe köte die Reparaturarbeite a de Kudefahrzeuge 3% scheller erfolge., sodass 3% mehr Stude verkauft werde köte. Da die Moteure ach verkaufter Stude bezahlt werde, würde sich atürlich auch die Lohkoste etspreched erhöhe. Die Nutzugsdauer der Hebebühe wird auf 15 Jahre veraschlagt. Der Aschaffugspreis beträgt 25., als Zissatz kalkuliert ma 7,5%. Ma erwartet, dass die Bühe ach 15 Jahre ur och wertloser Schrott ist. a) Erreche Sie de Kapitalwert dieser Ivestitio. b) Erreche Sie die Amortisatiosdauer. Aufgabe 2.9 Eie Fluggesellschaft ka für zwei Jahre befristet die Rechte erwerbe, Flüge zwische Düsseldorf ud Bagkok durchzuführe. Die Rechte habe eie Preis vo 1... Hierfür muss ei zusätzliches Lagstreckeflugzeug ageschafft werde, das ma gebraucht für 6.. erwerbe köte. Ma erwartet, dass dieses Flugzeug pro Jahr 2,5 Millioe Flugkilometer zurücklege wird, ud ma glaubt, pro 1. Flugkilometer Eiahme i Höhe vo 11. zu erziele, dee Koste i Höhe vo 75. im gleiche Zeitraum gegeüberstehe. Außerdem müsse pro Jahr für Pflege ud Wartug des Flugzeugs och eimal 11. veraschlagt werde. I zwei Jahre hat das Flugzeug och eie Wert vo 2.. ud es soll da hierfür verkauft werde. Der Kapitalmarktzis beträgt 5,7 %. Die Ivestitiosplaer erreche de itere Zisfuß der Ivestitio. Zu welchem Ergebis komme sie? Werde sie die Rechte kaufe? Begrüde Sie die Etscheidug. Aufgabe 2.1 Nehme Sie zu folgeder Aussage Stellug: Die dyamische Verfahre basiere alle auf der Kapitalwertmethode ud führe daher zu idetischer Beurteilug der Vorteilhaftigkeit vo Ivestitioe. Aufgabe 2.11 Ei Fertigugsbetrieb, der spezielle eergiesparede Neoröhre herstellt, beleuchtet seie eigee Fabrikhalle mit 1.5 Röhre aus eigeer Fertigug. Da die Röhre mit zuehmeder Betriebsdauer weiger Eergie verbrauche, soll die optimale Nutzugsdauer der Röhre ermittelt werde. Die Röhre

85 Ivestitio 117 habe Herstellugskoste vo 15 pro Stück. Im erste Jahr der Nutzug liegt die ersparte Eergie pro Röhre bei 12, im zweite Jahr bei 8, im dritte Jahr bei 2 ud im vierte Jahr spart ma ur och 1. Ermittel Sie die optimale Nutzugsdauer bei uedlich häufiger Reivestitio. Der Kalkulatioszissatz liegt bei 8%. Aufgabe 2.12 Wir wohe auf dem Lad. Aber auch hier ist alles teurer geworde isbesodere die gute frische Öko-Milch. Wir erwäge deshalb, selber eie Kuh zu halte. Wir verbrauche pro Tag 4,5 Liter Frischmilch, die,7 pro Liter kostet. Der beachbarte Bauer Müller bietet us Klara, eie Milchkuh, für 1.5 a. Wir schätze, dass Klara pro Jahr für 35 Futter braucht, de asoste ka sie auf userer Wiese weide (ud achts die Sträucher der Nachbar akabber), wodurch wir och eimal 5 für Rasemäherbezi spare. Bauer Müller meit, dass Klara och eie Lebeserwartug vo 7 Jahre hat, empfiehlt mir aber (als die Kider icht zuhöre), Klara ach 5 Jahre i Frischfleisch zu trasformiere, da sie da wohl och eie Restwert vo 4 habe wird. Der Zissatz beträgt 6,8%. a) Überprüfe Sie mittels Kapitalwertmethode, ob ich Klara kaufe soll. b) Soll ma Klara wirklich ach 5 Jahre schlachte? Aufgabe 2.13 Die Stadtväter Stuttgarts möchte die Attraktivität ihrer Stadt steiger ud plae deshalb eie Ausstellug vo Weltformat. Dabei dekt ma etweder a eie Kustausstellug über Claude Moet (A1) oder a eie Automobil- Ausstellug (A2), die die Etwicklugsgeschichte des Automobils i eiem och ie da gewesee Ausmaß dokumetiere soll. Die geschätzte Besucherzahle sid vo drei verschiedee Umweltzustäde (Sj) abhägig. Falls der Zustad S1 (Eitrittswahrscheilichkeit 3 %) eitrete sollte, da würde 49. Mesche die Moet- ud 81. die Automobil-Ausstellug besuche. We jedoch der Zustad S2 (Eitrittswahrscheilichkeit 45 %) eitrete sollte, da würde zur Kustausstellug 36. ud zur Automobil-Ausstellug lediglich 25. Besucher erwartet. Bei Eitritt des letztmögliche Zustades würde dagege 64. Kude die Kust- ud 49. die Autoschau besuche. Für welche der beide Alterative sollte sich die Stadtväter etscheide, we sie de Risikoutze maximiere möchte ud dabei vo der Risikoutzefuktio u(x)= x 1/2 ausgehe?

86 118 Ivestitio Aufgabe 2.14 Der Uterehmer Süß besitzt eie Keksfabrik. Er möchte sei Sortimet um Vollwertkekse erweiter ud plat deshalb de Kauf eier eue Teigmaschie. Sie soll 4. koste. Zusätzlich muss für die Errichtug der Maschie eie eimalige Ausgabe i Höhe vo 4. geleistet werde. Die betriebsgewöhliche Nutzugsdauer der Teigmaschie beträgt 3 Jahre. Für diese drei Jahre hat Süß die achfolgede Date (i ) zusammegestellt, wobei alle Zahluge am Jahresede erfolge. Jahr Verkaufspreis je Packug 3, 3,2 3,5 Variable Koste je Packug 1, 1,2 1,5 Fixe Koste je Jahr I eier Kekspackug befide sich 25 Vollwertkekse. Süß plat eie jährliche Produktiosmege vo 3. Kekse, die auch vom Markt aufgeomme wird. Die agestrebte Midestverzisug liegt bei 9 %. a) Beurteile Sie ahad der Kapitalwertmethode, ob sich die Ivestitio für Süß loht. b) Ageomme, die Nachfrage ach Vollwertkekse ist vo Süß für das zweite ud dritte Jahr zu hoch eigeschätzt worde. Es lasse sich i de betreffede Jahre ur 25. Kekse absetze. Würde Sie uter diese Voraussetzuge heute die Teigmaschie kaufe? c) Süß ist verusichert ud möchte u wisse, wie viele Kekse er midestes absetze muss, damit sich die Ivestitio für ih loht. Helfe Sie ihm.

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