Statistiktraining im Qualitätsmanagement

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1 Gerhard Linß Statistiktraining im Qualitätsmanagement ISBN-0: ISBN-: Leserobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter htt://www.hanser.de/ sowie im Buchhandel

2 . Binomialverteilung 47. Binomialverteilung Ausbildungs- und Trainingsziele Ziel des Trainings ist es, die Binomialverteilung, eine der wichtigsten diskreten Verteilungen, durch ein raktisches Demonstrationsbeisiel kennen zu lernen. Dabei sollen anhand von Übungsaufgaben und einer Gut/Schlecht -Prüfung die Eigenschaften, die Abhängigkeiten von Parametern und verschiedene Lösungsmöglichkeiten erarbeitet werden. Aufgaben Für die Qualitätsrüfung von Passstiften soll der Durchmesser 5 f7 mit einer Lehre ü- berwacht werden (Bild.-)! Gutseite Ausschussseite Bild.-: Beisiel für doelmäulige Grenzrachenlehre Aus einer Grundgesamtheit N = 400 Passstifte soll zufällig eine Stichrobe mit dem Stichrobenumfang n = 0 Passstifte entnommen und gerüft werden. Führen Sie dies 5- und 50-mal durch und notieren Sie die Anzahl schlechter Einheiten! Die Wiederholungen sollen eine betriebliche Situation, die Entnahme über 5 bzw. 50 Tage, darstellen. Die Passstifte werden auf gut/schlecht gerüft. Gut sind die Passstifte, die in den Rachen der Ausschussseite (unteres Abmaß) nicht fügbar und in den Rachen der Gutseite (oberes Abmaß) fügbar sind (Bild.-). Die Rachenlehre muss durch ihr Eigengewicht über die Prüfstelle gleiten. Sind die Passstifte in die Ausschussseite (unteres Abmaß) fügbar, ist der Durchmesser zu klein. Sind sie in die Gutseite (oberes Abmaß) nicht fügbar, sind die Durchmesser zu groß. In beiden Fällen erfüllen die Passstifte das Kriterium schlecht. Wenn Ihnen dieser Prüfling nicht zur Verfügung steht, verwenden Sie einen ähnlichen Gegenstand und ein geeignetes Prüfmittel, um eine Gut/Schlecht -Prüfung durchzuführen! Falls Ihnen kein Gegenstand zur Verfügung steht, simulieren Sie Zahlen mit

3 48 Trainingsmodule zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen dem Kugelkastensimulationsrogramm oder dem Zufallsgenerator (Binomialverteilung) von der dem Buch beiliegenden CD-ROM! Theoretische Grundlagen Die Binomialverteilung ist ein Verteilungsmodell für diskrete Zufallsvariablen mit zwei Ausrägungen. Es wird von einer Stichrobennahme mit Zurücklegen ausgegangen. Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein bestimmtes Ereignis bei n unabhängigen Ausführungen eines Exerimentes genau x -mal eintrifft, wenn es bei einer Einzelausführung die Wahrscheinlichkeit besitzt. Die Binomialverteilung ist das Modell für die Beschreibung fehlerhafter Einheiten in der Stichrobe. Die wichtigsten Eigenschaften der Binomialverteilung sind in Tabelle.- dargestellt. Tabelle.-: Binomialverteilung Verteilung Ty Binomialverteilung diskret f(x ) bi( x n ; ) Schreibweise F(X ) Bi ( x n ; ) Parameter E(X ) VAR(X ) n ( ) n Stichrobenumfang Eintrittswahrscheinlichkeit n n x Wahrscheinlich- x n x keitsfunktion bi( x n ; ) = ( ) bi( x n ; ) n = 00; = 6 0,8 0,6 0, x

4 . Binomialverteilung 49 Verteilung Binomialverteilung Verteilungs- i funktion Bi( x n ; ) = bi( x n ; ) = ( ) x i = 0 i = 0 x n i n i Bi( x n ; ),0 n = 00; = 6 0,8 0,6 0, x Zufallsstreubereiche Irrtumswahrscheinlichkeit einseitig nach oben einseitig nach unten zweiseitig 0 x x ob ; ob ( x n ; ) Bi erfüllt. x un x ist der kleinste x -Wert, der die Bedingung: x n ; ist der größte x -Wert, der die Bedingung: ( x n ; ) Bi erfüllt. x Bi x un x ob ( x n ; ) ; x un ist der größte x -Wert, der die Bedingung: und x ob ist der kleinste x -Wert, der die Bi x n ; erfüllt. Bedingung: ( )

5 50 Verteilung Schätzwert für Eintrittswahrscheinlichkeit einseitig nach oben Trainingsmodule zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung x + x x k ˆ = n + n n Vertrauensniveau: ob k 0 ; er wird so bestimmt, dass für n und x gilt: Bi ( x n ; ob ) = ( x + ) F f ; f ; x + ( x + ) F f ; f ; f ob = mit n f = = ( x + ) ( n x ) Vertrauensbereiche einseitig nach unten F: Fischer-Verteilung nach Ronald A. Fischer (Abschnitt.6) un Bi ; er wird so bestimmt, dass für x und n gilt: ( x n ; un ) = x f un = mit x + f ( n x + ) F f f ; ; = = x ( n x + ) Rekursionsformeln zweiseitig aufsteigend Bi un ob ; er wird so bestimmt, dass für x und n gilt: x ob = ( x n ; un ) = ; Bi( n ; ) ( x + ) F f ; f ; f ob = mit n x + F f ( x + ) ( n x + ) f ; f ; x f un = mit x + F f ( n ; ) absteigend bi( n ; ) f ; f ; ( n x ) ( x + )( ) = = = = x ( x n ) ( x + ) ( n x ) ( n x + ) bi x + = bi ; ; x = 0,,, n mit bi 0 n ; = dem Anfangsglied ( ) ( ) n x ( ) ( n x + ) ( x n ) x = bi ;

6 . Binomialverteilung 5 Verteilung Aroximationen durch: Poisson-Verteilung (Abschnitt.) Normalverteilung (Abschnitt.4) Binomialverteilung ( x n ; ) o( x n ) bi ; wenn n 500 und n 0 ( ) x + 0,5 n x 0,5 n bi x n ; Φ Φ ( ) n n ( ) ; wenn n ( ) > 9 ( ) ( x n ; ) No x + 0,5 n ; n ( ) Bi ; wenn n ( ) > 9 Reroduktivität ( x n ; ) + bi( x n ; ) bi( x n n ; ) Abhängigkeit von den Parametern bi + bi(x) n = 0; = bi(x) n = 00; = 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0, 0, x 0, 0, x bi(x) n = 0; = 5 bi(x) n = 00; = 5 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, x x

7 5 Verteilung Abhängigkeit von den Parametern Trainingsmodule zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung bi(x) n = 0; = 0, bi(x) n = 00; = 0, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, x x 0 Die Binomialverteilung ist die für die Qualitätssicherung am häufigsten benutzte diskrete Verteilung. Zur Ableitung soll folgendes Modell dienen. Betrachtet wird eine Maschine, die fortlaufend ein bestimmtes Erzeugnis roduziert (z. B. Widerstände). Entnimmt man einen beliebigen Widerstand, so können bei der Prüfung zwei Ergebnisse auftreten. Befindet sich der Widerstandswert nicht innerhalb von sezifizierten Grenzen (Toleranzgrenzen), so tritt das Ereignis A Widerstand ist Ausschuss ein. Befindet er sich innerhalb dieser Grenzen, so tritt das Ereignis A Komlementärereignis zu A ein. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ausschuss ist. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit für die Produktion eines brauchbaren Widerstandes q = ( ). Entnimmt man nun aus der fortlaufenden Produktion eine Stichrobe von n Stück, so wird nach der Wahrscheinlichkeit gesucht, mit der man genau k = 0... n Ausschusswiderstände in dieser Stichrobe vorfindet. Zur mathematischen Modellierung definiert man die Qualitätskenngröße X als die Anzahl der Ausschusswiderstände in der Stichrobe. Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten P ( X=k ) = k. Zunächst soll dieser Sachverhalt am Beisiel einer Stichrobe von n =4 betrachtet werden.. In der Stichrobe befindet sich kein Ausschuss (X =0) Für dieses Ergebnis muss viermal hintereinander das Ereignis A auftreten, d. h. die Prüfungen der vier Widerstände werden folgendermaßen verknüft (Abschnitt.): A 4 Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis (X = 0) berechnet sich nun nach dem Multilikationssatz für unabhängige Ereignisse (Unabhängigkeit bedeutet hier, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Ausschusswiderstand zu roduzieren, nicht von den Ergebnissen der vorher gefertigten Widerstände abhängt):

8 . Binomialverteilung 5 P ( X = 0 ) = q q q q = q 4 = ( ) 4. In der Stichrobe befindet sich genau ein Ausschusswiderstand (X =) Für dieses Stichrobenergebnis muss dreimal das Ereignis A (Wahrscheinlichkeit ( ) ) und einmal das Ereignis A (Wahrscheinlichkeit ) auftreten, beisielsweise (zweiter Widerstand ist Ausschuss): A A 4 mit einer Wahrscheinlichkeit von : ( ) Für das Prüfergebnis ist es jedoch gleichgültig, ob der Ausschusswiderstand als erster, zweiter usw. in der Stichrobe auftritt. Da es für die Anordnung des Ausschusswiderstandes hier vier Möglichkeiten gibt (Anzahl der Möglichkeiten 4 = ), ergibt sich: P ( X = ) = P ( A ) + P ( A ) +... = 4 ( ) 4 4. Es werden genau zwei Ausschusswiderstände (X = ) vorgefunden Dazu müssen zweimal A und zweimal A auftreten, beisielsweise A A 4 mit einer Wahrscheinlichkeit von ( ) 4 Für die Anordnung der zwei Ausschusswiderstände gibt es 6 Möglichkeiten ( = ) P ( X = ) = 6 ( ) 4. Analog zu diesen Betrachtungen gilt für die restlichen gesuchten Wahrscheinlichkeiten: P ( X = ) = 4 ( ) 4 ( X = 4 ) P = Verallgemeinert man diese Betrachtungsweise, so ergibt sich für einen beliebigen Stichrobenumfang n : P n k k ( X = k ) = = ( ) n k Dabei ist ( ) k k n k die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Abfolge von n Ausschusswiderständen. Der Binomialkoeffizient ist die Anzahl der möglichen k

9 54 Trainingsmodule zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen Anordnungen von k Ausschusswiderständen in n gezogenen Widerständen (Kombination ohne Wiederholungen, Abschnitt ). Geräte und Hilfsmittel Zur Durchführung des Trainings werden folgende Hilfsmittel benötigt: Java-Alet zur Binomialverteilung und zum Galton-Brett von der CD-ROM Verteilungsrechner von der dem Buch beiliegenden der CD-ROM Larson-Nomogramm (Formblatt FB 0) Kugelkastensimulationsrogramm von der CD-ROM PC mit MS Excel (ab Version 97) MS Excel Datei VB_Binom.xls von der CD-ROM Zufallsgenerator Binomialverteilung von der CD-ROM Grenzrachenlehre 5f7 400 Passstifte 5mm f7 oder anderes betriebliches Beisiel. Trainingsaufgaben zur Vorbereitung.. Machen Sie sich mit der Simulation Galton-Brett von der dem Buch beiliegenden CD-ROM oder [Web ] vertraut und führen Sie Simulationen für unterschiedliche Parameter durch!.. Machen Sie sich mit dem Java-Alet zur Binomialverteilung von der dem Buch beiliegenden CD-ROM oder [Web ] die Abhängigkeiten der Parameter deutlich und bestimmen Sie näherungsweise bi ( ; )!.. In der Wareneingangsrüfung werden aus einem Los angelieferter Schrauben 00 Einheiten entnommen. Der Anteil fehlerhafter Schrauben beträgt %. a) Ermitteln Sie den Erwartungswert E(X ) und die Varianz VAR(X )! Mit Hilfe der Formeln (Tabelle.-) berechnet sich der Erwartungswert E(X ) = und die Varianz VAR(X ) = 0,99. b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Larson-Nomogramms (Formblatt FB 0) die Wahrscheinlichkeit für das Auffinden bis zu vier fehlerhaften Einheiten in der Stichrobe!

10 . Binomialverteilung 55 Bild.-: Larson-Nomogramm mit Ablesebeisiel Bi( 4 00; 0,0) Das Larson-Nomogramm ist eine grafische Tabelle der Binomialverteilung (Bild.-), mit deren Hilfe Bi(x n; ) ermittelt werden kann. Die Werte x und der Stichrobenumfang n bilden ein Netz zwischen der Skala der Eintrittswahrscheinlichkeit und der Wahrscheinlichkeitsskala der Verteilungsfunktion Bi( x ) bzw. G. Auf der linken Seite des Nomogramms befindet sich die Skala der Eintrittswahrscheinlichkeit. Dort wird die Eintrittswahrscheinlichkeit gesucht und markiert. Die Eintrittswahrscheinlichkeit und der Punkt ( x ; n ) werden durch eine Gerade verbunden. Diese wird

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

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