Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS 12-13

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1 Karlsruher Institut für Technoloie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übunen zur Klassischen Theoretischen Physik III Theorie C Elektrodynamik WS -3 Prof. Dr. Alexander Mirlin Blatt 4 Dr. Ior Gornyi Besprechun 6..3 Aufabe : Eienschaften der Lorentz-Transformationen Punkte Eine Lorentztransformation x, t β x, t ist eeben durch mit β v/c. x ct x β ct β ct β x β a Zeien Sie explizit, dass die sukzessive Anwendun zweier Lorentztransformationen x, t β x, t β x, t wieder als Lorentztransformation eschrieben werden kann Was eribt sich für β +? x, t β + x, t Die erste Lorentztransformation x, t β x, t liefert: x ct β x β ct β ct β x Die Anwendun der zweiten Lornetztransformation x, t β x, t eribt: x analo : ct β x β ct x β ct β ct β x β β β β β + β β x β + β ct + β β x β + β β β ct + β β + β β ct β + β x β β + β β

2 Somit kommt nur β + β +β +β β in Frae und es bleibt zu prüfen, ob der Vorfaktor dazu passt: β + β +β +β β + β β + β β β + β + β β + β β + β β β + β + β β + β β β β Was exakt dem Vorfaktor der sukzessiven Lorentztransformationen entspricht. b Die Lorentztransformation kann alternativ auch in folender Form eschrieben werden: x cosh γ x sinh γ ct ct 3 cosh γ ct sinh γ x Berechnen Sie die Rapidität γ + aus β. Der Verleich mit liefert: cosh γ β sinh γ β β Daraus folt der Zusammenhan zwischen β und der Rapidität: tanh γ β γ artanh β Da und 3 symmetrisch unter der Vertauschun x ct, x ct sind, enüt es, nur die sukzessive Transformation nach x zu zeien: Daraus folt: x γ cosh γ x sinh γ ct ct γ cosh γ ct sinh γ x x γ cosh γ x sinh γ ct cosh γ cosh γ x sinh γ ct sinh γ cosh γ ct sinh γ x cosh γ + γ x sinh γ + γ ct γ + γ + γ artanh β + artanh β β + β artanh + β β artanh β +

3 c Zeien Sie explizit, dass die Wellenleichun invariant unter Lorentztransformationen ist, c t β Ψ r, t c Ψ r, t. 4 t Im folenden ilt: γ β Zur Transformation der partiellen Ableitunen benötien wir die Formeln für die Rücktransformation, die sich leicht aus herleiten lassen: x γx + β ct t γ c ct + β x Die partiellen Ableitunen der Rücktransformierten 5 lauten: x x γ x t γβc t x γβ c Betrachten wir nun die Differentialoperatoren Kettenreel: analo dazu: x x x x + t x t x x x x x + t x t x x x + t x t x x xt + x t 6 γ x + v c xt + v c 4 t γ x + β c xt + β c t 5 t t γ 6 x t t x + t t t 8 γ β c + βc t x xt + t Der transformierte D Alembertoperator lautet somit: c t x γ β x + β c xt + c t γ c β t β x c t x x β c xt β c t 7 9

4 Aufabe : Myon 7 Punkte Ruhende Myonen haben eine Lebensdauer von τ µ. 6 s. In der Atmosphäre werden durch hocheneretische Teilchenkollisionen eine roße Anzahl von Myonen erzeut. Nehmen Sie an, dass die Geschwindikeit der Myonen nach der Erzeuun v.9c beträt. Wie weit kann ein solches Muon flieen, bevor es zerfällt? Myon und Erde werden als Inertialsysteme betrachtet. Gesucht ist die Strecke im Inertialsystem Erde, die das Myon nach der mittleren Lebensdauer in Eienzeit zurückelet hat. Das Myon ruht räumlich im Eiensystem und befindet sich zum Erzeuunszeitpunkt an x, t, zum Zerfallszeitpunkt an x, t τ µ. Die im Erdsystem zurückelete Strecke ist : s x x γβcτ µ βc β τ µ m Aufabe 3: Zwillins-Paradoxon 5+38 Punkte Ein Raumschiff startet von der Erde aus zu einem kurzen Abstecher zu einem Gedichteabend auf der voonischen Heimatwelt. Um die Reise für die Insassen so anenehm wie mölich zu estalten, wird das Raumschiff jeweils auf erader Linie mit beschleunit bzw. abebremst. Eine Beschleuniuns- bw. Bremsphase dauert jeweils 5 Jahre Bordzeit. Nach einem Abend voller Kultur dreht das Raumschiff wieder um und fliet auf dem leichen We zurück, den es ekommen ist. Bob hat schon viel von der voonischen Dichtkunst ehört und hat sich ein Ticket ekauft. Seine Zwillinsschwester Alice verabschiedet sich am Raumfluhafen von ihm. Bob tröstet sie mit den Worten: Mach dir keine Soren, in Jahren bin ich schon wieder zurck! a Nachdem sie nach Hause zurückekehrt ist, wird Alice stutzi. Wird Bob wirklich nur Jahre unterwes sein? Rechnen Sie nach, wie viel Zeit auf der ruhenden Erde bis zur Rückkehr des Raumschiffs veranen sein wird. Erlebt Alice die Rückkehr ihres Zwillins noch? Verwenden Sie dabei, dass im ruhenden System der Erde für die Änderun der Geschwindikeit des Raumschiffs dβ c β dτ c β 3/ dt ilt. Das Problem ist symmetrisch, d.h. in jeder Beschleuniuns- und Abbremsunsphase vereht die leiche Zeit und die leiche Strecke wird zurückelet. Gesucht ist der Zusammenhan zwischen t und τ. Aus lassen sich paarweise drei Differentialleichunen ablesen, die aber alle von β abhänen, wesween nicht

5 direkt dτ β / dt elöst werden kann. Stattdessen werden die anderen beiden elöst und kombiniert: Interation eribt: dβ c β dτ dβ β c dτ artanh β c τ + C Durch die Bedinun βτ folt C und damit: Analo dazu: βτ tanh c τ dβ c β 3 dt β 3 dβ c dt β 3 dβ dtβ β c c t + C Da die Startzeitpunkte leich sind, folt auch hier C und damit: tβ c β β Setzt man in ein, erhält man nach Umformunen der Hyperbel- und Areafunktionen die Erdzeit in Abhänikeit von der Schiffszeit: tτ c sinh c τ 3 Die Gesamtdauer des Ausflus beträt dann mit T 5 y und 9.8 m/s : t 4tτ T 4 c sinh c T s 336 y 4 Alice muss also selbst auf Reisen ehen, um ihren Bruder wieder zu sehen und ihm Nachhilfe in Physik zu eben. b Wie weit ist der Heimatplanet der Voonen von der Erde entfernt? tτt tτt L vt dt cβτt dt. 5 Bestimmen wir zunächst βt, indem wir 3 nach τ auflösen und in einsetzen: βt c t + t c.

6 Daraus folt: L c c tτt t dt + t c [ + t c ] tτt + sinh T c.57 Em 66.3 ly 6 Bonusaufabe Leiten Sie Gl. her. 5 Bonuspunkte Die Erde wird als Inertialsystem S betrachtet. Das Raumschiff selbst bildet kein Inertialsystem. Betrachtet man jedoch einen beliebien Punkt der Reise mit Eienzeit τ, ibt es ein Inertialsystem, in dem sich das Raumschiff in Ruhe in x befindet. Es wird hier als S bezeichnet. Die Geschwindikeit des Raumschiffes in diesem System sei u, die Geschwindieit von S relativ zur S sei leich der Geschwindikeit des Raumschiffs in S: u. Betrachten wir die Geschwindikeitsänderun in S : du u τ + dτ u τ dτ Mittels relativistischer Geschwindikeitsaddition wird berechnet: woraus folt: Mit dτ β dt folt daraus direkt: u u + v + vu c du uτ + dτ uτ uτ + dτ u + du + u du c du u + du u + u du c u du c + u du c β du β dτ dβ c β dτ dβ c β 3 dt