Demo falsche Anwendung der Fourier-Reihen: Die System-Antwort ist NICHT die (mit Transferfunktion bewertete) Fourierreihe des Eingangs

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1 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, C:\ro\Si5\homepage\welcome\ZusstellAufstell\Fourier_falsch_1.doc, S. 1/1 Prof. Dr. R. Kessler, FH Karlsruhe homepage: Demo falsche Anwendung der Fourier-Reihen: Die System-Antwort ist NICHT die (mit Transferfunktion bewertete) Fourierreihe des Eingangs Die naheliegende Idee, den Zeitbereich der System-Antwort mit Hilfe der Fourier-Reihe zu berechnen, führt zu falschem Ergebnis. Kein Wunder: Dank Gibbs schem Phenomen wird die Fourierreihe einer Rechteck-Funktion an den Sprungstellen durch viele Teilschwingungen dargestellt. Diese haben beachtenswerterweise ansteigende Amplitude schon bevor der Sprung kommt. Folglich KANN die Systemantwort NICHT durch eine Fouriereihe dargestellt werden, denn die echte Systemantwort kann ja nicht ahnen, dass demnächst ein Sprung kommt. Sondern die System antwort kann erst dann reagieren, wenn der Sprung vorhanden ist, nicht aber schon vorher! Anschließend einige Matlab-Bilder: System ist ein RC-Glied 1. Ordnung Eingang ist Rechteckfunktion. Tiefpass-Ausgang (also Spannung am Kondensator des RC-Gliedes) oder Hochpass-Ausgang (also Spannung am Widerstand des RC-Gliedes). Zwei Berechnungsmethoden: 1) Mit Fourierreihe (ist ziemlich mühsam zu programmieren und außerdem falsch): = Fourierreihe Tiefpass-Ausgang = Fourierreihe Hochpass-Ausgang 2) mit numerischer Lösung der DGL(ist einfach zu programmieren, dafür aber richtig) = richtiger Tiefpass-Ausgang = richtiger Hochpass-Ausgang

2 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, C:\ro\Si5\homepage\welcome\ZusstellAufstell\Fourier_falsch_1.doc, S. 2/2 Anschließend: Aufruf clear; bild=1; anz=1; dt=.1; tau=.5; tmax=13; TP1_16; Man erkennt, dass insbesondere der Hochpass-Ausgang mit Fourierreihe (Kurve ) falsch ist. Hier wurden nur 1 Teilschwingungen berechnet bild=1, anz=1, tau=.5, dt= Zeit/sec Anschließend:Aufruf war clear; bild=2; anz=2; dt=.1; tau=.5; tmax=13; TP1_16; bild= 2, anz = 2, tau=.5, dt=.1 U R F ry T F ry H Y TP Y H P Zeit/s ec

3 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, C:\ro\Si5\homepage\welcome\ZusstellAufstell\Fourier_falsch_1.doc, S. 3/3 4 2 Fry T Fry H Y TP Y HP -2-4 bild=2: Zoom bei Abwärtsprung des Rechtecks -6-8 Y HP = ric htige A ntwort Hoc hpas s = Fouriereihe Hochpass Zeit/s ec Zoom von Bild 2: Man erkennt, dass insbesondere der Hochpass-Ausgang mit Fourierreihe (Kurve ) falsch ist. Hier wurden immerhin 2 Teilschwingungen berechnet. Anschließend: Aufruf clear; bild=3; anz=1; dt=.1; tau=.5; tmax=13; TP1_16; bild=3, anz=1, tau=.5, dt= Zeit/sec

4 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, C:\ro\Si5\homepage\welcome\ZusstellAufstell\Fourier_falsch_1.doc, S. 4/4 5 bild=3, anz=1, tau=.5, dt=.1 Zoom Bild 3 bei Abwärtssprung -5-1 =richtiher Hochpass-Ausgang =Fourier-Reihe Hochpass-Ausgang, also falsch!! Zeit/sec Zoom Bild 3: Man erkennt, dass insbesondere der Hochpass-Ausgang mit Fourierreihe (Kurve ) falsch ist, obwohl 1 Teilschwingungen berechnet worden sind! % Datei tp1_16.m % Aufruf z.b. so: % clear; bild=1; anz=1; dt=.1; tau=.5; tmax=13; TP1_16; % clear; bild=2; anz=2; dt=.1; tau=.5; tmax=13; TP1_16; % clear; bild=3; anz=4; dt=.1; tau=.5; tmax=13; TP1_16; % % Demo, dass die mit Übertragungsfunktion bearbeitete Fourierreihe % des Eingangs NICHT die Lösung der DGL ist % Beispiel Rechteck geht auf RC-Glied. % Berechnung Tiefpassausgang und Hochchpass-Ausgang % % zunächst nur Eingangsrechteck als Fourierreihe: % Aus Tephys: % Parameter f =.1; % Frequenz; ar = 5.; % Amplitude Rechteck % anz = 2.; % anz = Anzahl Teilschwingungen % dt =.1; % dt = zeitliche Schrittweite % tmax= 1.; % % tmax=2; %anz=5; tmax=2; %anz=5; tmax=13; % Tephysalgorithmus- D:\SI436\NEU\DGLN\FR1.TXT % 1 wt = 2*pi*f*t % 2 ur = ar*sign(sin(wt)) % 3 us = as*(2*saeg(f*t-del)-1) % 4 for = anz

5 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, C:\ro\Si5\homepage\welcome\ZusstellAufstell\Fourier_falsch_1.doc, S. 5/5 % 5 k = k+1 % 6 sur = sur+sin((2*k-1)*wt)/(2*k-1) % 7 sus = sus-sin(k*wt)*sign(cos(k*pi))/k % Sägezahn % 8 next = % 9 frr = ar*4/pi*sur %1 frs = as*2/pi*sus %11 t = t+dt % Tephys-Methode mit Matlab realisieren: % % zunächst nur Eingangsrechteck als Fourierreihe: t=:dt:tmax-1; for nt=1:length(t); wt=2*pi*f*t(nt); sur=; k=; for az=1:anz; k=k+1; sur=sur+sin((2*k-1)*wt)/(2*k-1); % Fourier-Reihe Rechteck end;%for anz FrR(nt)=aR*4/pi*suR; % Speicherwerte Fourier-Reihe bei t=t(nt) end;% for t=.. % Jetzt dies Rechteck auf Tiefpass einwirken lassen: % DLG tau*dy/dt +y= E E= Eingang, y = Ausgang mit s=d/dt ==> % (tau*s +1)*y= E ==> Übertragungsfunktion Z(s) = y/e = 1/(tau*s+1) % mit s=j*w wird % Betrag By=1/sqrt(1+ tau*w*tau*w) und % Winkel phi =-atn( w*tau/1) % Anwendung auf Fourierreihe: % w ersetzen durch wk= 2*pi*f * (2*k-1) % ==> Faktor Bu=1/(sqrt( 1+ sqr(tau*wk ) ) % Winkel phi=-atn( tau* wk) % Bei Rechteck war: sur=sur+sin((2*k-1)*wt)/(2*k-1); % ==> sur=sur+bu*sin((2*k-1)*wt + phi) / (2*k-1) ; tic; %Stoppur startet t=:dt:tmax-1; FrR =zeros(1,length(t) ); % Intitialisierungen Fry=FrR; =FrR; for nt=1:length(t); wt=2*pi*f*t(nt); sur=; k=; suy=; % für Ausgang Tiefpass suyh=; % für Ausgang Hochpass for az=1:anz; k=k+1; sur=sur+sin((2*k-1)*wt)/(2*k-1); % Foureirreihe Eingang % jetzt Ausgang Tiefpass als Fourierreihe berechnen: wk= 2*pi*f * (2*k-1); phi=-atan( tau* wk); % Phasenwinkel By=1/sqrt( 1+ (tau*wk)^2 ); % Amplitude % ==> Ausg.Tiefpass als Fourierreihe: suy= suy+ By*sin((2*k-1)*wt +phi )/(2*k-1); % zusätzlich Ausgang Hochpass als Fourierreihe berechnen: phih=pi/2+phi; % Phasenwinkel ByH=( tau*wk )/sqrt( 1+ (tau*wk)^2 ); % Amplitude % ==> Ausg.Hochpass als Fourierreihe: suyh= suyh+ ByH*sin((2*k-1)*wt +phih )/(2*k-1); end;%for anz % mit konstantem Faktor multiplizieren und speichern fürs Plotten: FrR(nt)=aR*4/pi*suR; % Fourier-Reihe bei t=t(nt)

6 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, C:\ro\Si5\homepage\welcome\ZusstellAufstell\Fourier_falsch_1.doc, S. 6/6 (nt)=ar*4/pi*suy; % Fourier-Reihe Ausgang Tiefpass bei t=t(nt) (nt)=ar*4/pi*suyh; % Fourier-Reihe Ausgang Hochpass bei t=t(nt) end;% for t=.. toc; % Stoppuhr endet % Jetzt numerische Lösung: % % DGL tau*dy/dt + y = ur % ==> y = y+ (ur-y)*dt/tau y=; % Startwert for nt=1:length(t); wt=2*pi*f*t(nt); % Faktor im Sinuswinkel ur=ar*sign(sin(wt)); % Eingangsrechteck y=y+(ur-y)*dt/tau; % Ausgang Tiefpass yh=ur-y; % Ausgang Hochpass % Werte speichern zum Zeichnen: (nt)=ur; % Eingangsrechteck als echte Zeitfunktion (nt)=y; % Tiefpass als Lös.DGL (nt)= yh; % Hochpass als Lös.DGL end; figure(bild); clf; % plot(t, Fry, t,); grid on; plot (t,,t,, t,, t,, t, ); grid on; legend('','','','',''); Sbild=['bild=',num2str(bild)]; SN=[', anz=',num2str(anz)]; Stau=[', tau=',num2str(tau)]; Sdt=[', dt=',num2str(dt)]; St=[Sbild,SN,Stau,Sdt]; gtext(st); % Fadenkreuz klicken!